Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa 1. Rozkład dwumianowy b

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa
1. Rozkład dwumianowy b(n, p), p ∈ (0, 1) jest rozkładem o funkcji prawdopodobieństwa
!
n x
p(x) =
p (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, . . . , n.
x
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X o tym rozkładzie wynoszą E(X) = np,
Var(X) = np(1 − p). Gdy n = 1, rozkład ten nazywamy rozkładem zero-jedynkowym
i oznaczamy przez b(p), p ∈ (0, 1).
Lemat 1. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
P
rozkładzie b(p). Wówczas ni=1 Xi ∼ b(n, p).
2. Rozkład Poissona π(λ), λ > 0 jest rozkładem o funkcji prawdopodobieństwa
p(x) =
e−λ λx
, x = 0, 1, 2, . . . .
x!
Dla zmiennej losowej X o tym rozkładzie E(X) = λ, Var(X) = λ.
Lemat 2. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
P
rozkładzie π(λ). Wówczas ni=1 Xi ∼ π(nλ).
3. Rozkład wykładniczy Ex(λ), λ > 0 jest rozkładem o gęstości f (x) = λe−λx I(0,∞) (x),
gdzie IA oznacza funkcję charakterystyczną zbioru A. Zmienna losowa X o tym rozkładzie
posiada E(X) = λ1 , Var(X) = λ12 .
Lemat 3. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
P
rozkładzie wykładniczym Ex(λ). Wówczas ni=1 Xi ∼ G (n, λ) .
4. Rozkład normalny N (µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0 jest rozkładem o gęstości
!
1
(x − µ)2
f (x) = √ exp −
, x ∈ R.
2σ 2
σ 2π
Jeśli zmienna losowa X posiada rozkład N (µ, σ 2 ), to E(X) = µ, Var(X) = σ 2 .
Lemat 4. Jeżeli zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn są niezależne i mają rozkłady normalne
N (µi , σi2 ), i = 1, 2, . . . , n, oraz a1 , a2 , . . . , an ∈ R, to
n
X
ai Xi ∼ N
i=1
n
X
i=1
ai µ i ,
n
X
!
a2i σi2
.
i=1
5. Rozkład jednostajny U (a, b), a, b ∈ R, jest rozkładem o funkcji gęstości
f (x) =
1
I[a,b] (x), x ∈ R.
b−a
Zmienna losowa X o powyższym rozkładzie ma E(X) =
1
a+b
,
2
Var(X) =
(b−a)2
.
12
6. Rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody χ2 (n), n = 1, 2, . . .
Niech X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
normalnym N (0, 1). Mówimy, że zmienna losowa X = X12 + X22 + · · · + Xn2 ma rozkład
chi-kwadrat z n stopniami swobody. Funkcja gęstości tego rozkładu dana jest wzorem
f (x) =
n
1
−1 − x2
2
e I(0,∞) (x), x ∈ R,
n x
2 Γ( 2 )
n
2
gdzie Γ oznacza funkcję gamma Eulera postaci Γ (x) = 0+∞ tx−1 e−t dt dla x > 0. Zmienna
losowa X o danym rozkładzie ma E(X) = n, Var(X) = 2n.
R
7. Rozkład t-Studenta z n stopniami swobody t(n), n = 1, 2, . . . Niech X ma rozkład
N (0, 1) oraz Y ma rozkład χ2 (n) i niech będą to niezależne zmienne losowe. Mówimy, że
zmienna losowa Z = √X1 ma rozkład t-Studenta z n stopniami swobody. Gęstość tego
n
Y
rozkładu ma postać
Γ( n+1
)
x2
2
1+
f (x) = √
nπΓ( n2 )
n
!− n+1
2
, x ∈ R.
Jeżeli zmienna losowa X ma powyższy rozkład, to wartość oczekiwana E(X) = 0 dla
n
dla n > 2.
n > 1 natomiast wariancja Var(X) = n−2
8. Rozkład F-Snedecora z n i m stopniami swobody F (n, m), n, m = 1, 2, . . . Niech
X ma rozkład χ2 (n) oraz Y ma rozkład χ2 (m). Ponadto niech X i Y będą niezależnymi
1
X
zmiennymi losowymi. Zmienna losowa postaci Z = n1 Y ma rozkład F-Snedecora z n i m
m
stopniami swobody. Funkcja gęstości tego rozkładu ma postać
Γ
n+m
2
m
f (x) = n m n
Γ
Γ
2
n
m
x 2 −1
2
2
x+
m
n
n+m I(0,∞) (x), x
∈ R.
2
Zmienna losowa X o powyższym rozkładzie ma
E(X) =
m
dla m > 2,
m−2
Var(X) =
2m2 (n + m − 2)
dla m > 4.
n(m − 2)2 (m − 4)
9. Rozkład gamma G (p, λ) Rozkład zmiennej losowej o gęstości postaci
f (x) =
λp xp−1 e−λx
I(0,∞) (x),
Γ(p)
gdzie p > 0, λ > 0, nazywa się rozkładem gamma z parametrem skali λ i parametrem
kształtu p. Jeżeli zmienna losowa X ma powyższy rozkład, to E(X) = λp oraz Var(X) = λp2 .
10. Rozkład Rayleigha R(λ), λ > 0 Rozkład zmiennej losowej o gęstości postaci
!
2
x2
f (x) = x exp −
I(0,∞) (x),
λ
λ
gdzie λ > 0, nazywa się rozkładem √
Rayleigha z parametrem λ. Jeżeli zmienna losowa X
1
ma powyższy rozkład, to E(X) = 2 λπ oraz Var(X) = 4−π
λ.
4
2