LISTA NR 2

LISTA NR 2
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność.
1. Między cyfry liczby 16 wpisujemy 15, w środek liczby 1156 znowu wpisujemy 15, itd.
Pokazać, że wszystkie te liczby są kwadratami.
2. Wykazać, że
30| mn ( m4-n4 ), m., n >0.
3. Niech x będzie dowolną liczbą całkowitą. Wykazać, że liczba
3x2 + 2
nie może być kwadratem.
4. Opętana magią liczb dziewczyna napisała cztery kolejne cyfry, a po chwili, dwie pierwsze
zamieniła miejscami. Spostrzegła wtedy, doznając metafizycznej rozkoszy, że jej liczba
jest kwadratem! Czy potraficie go znależć?
5. Udowodnić, że
2n | (n + 1)(n + 2)(n + 3)...(n + n), n>0.
6. Obliczyć NWD podanych zestawów liczb, za pomocą algorytmu Euklidesa:
1) 546 i 231;
2) 1001 i 6253;
3) 2737 , 9163 i 9639;
7. Obliczyć NWW podanych zestawów liczb, za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze:
1) 360 i 504;
2) 2520 i 6600;
3) 187 i 533;
8. Wykazać, że:
a = cp + r, b = cq + s  (a, b, c) = (c, r, s),
gdzie a, b, p, q, r, s  0, c>0. Sformułować ogólne prawo dla n liczb.
9. Korzystając z poprzedniego zadania obliczyć NWD podanych zestawów liczb:
1) 299, 391 i 667;
2) 588, 2058 i 2849;
3) 31605, 13524, 12915 i 11067;
10. Znależć NWW podanych par liczb korzystając ze wzoru:
1) 252 i 468;
2) 279 i 372;
3) 178 i 381;
11. Znależć liczby a i b jeśli wiemy, że
(a, b) = 24, [a, b] = 2496.
12. Suma dwóch liczb wynosi 667, a stosunek ich NWW do ich NWD jest równy 120.
Znależć te liczby.
13. Znależć liczby a i b spełniające warunki:
a + b = 18(a, b), [a, b] = 975.
14. Niech a = 899, b = 493. Wyznaczyć d = (a, b) i podać liczby x, y spełniające równanie
d = ax + by.
15. Rozwiązać poprzednie zadanie dla podanych par liczb:
1) 1445, 629;
2) 903, 731;