Liczby pierwsze

w.
SIERPIŃSKI
(Warszawa)
Liczby pierwsze
Odczyt popularny,
wygłoszony
w Warszawie 17 marca 1953 r.
_
Jak wiadomo, liczby naturalne, czyli liczby całkowite dodatnie,
wszystkie otrzymane przez doda wanie do siebie skończoną
ilość razy samych składników równych jedności. Na przykład 1 =1,
2=1+1, 3=1+1+1, 4=1+1+1+1 itd. Wynika stąd, że każda liczba
naturalna n większa od jedności jest sumą dwóch liczb naturalnych od
niej mniejszych: n=(n-1)+1, gdzie n-l<n i l«n..
Inaczej jest, gdy doda wanie zastąpimy przez mnożenie. Nie każda
liczba naturalna większa od jedności jest iloczynem dwóch liczb naturalnych od niej mniejszych. Na przykład liczba 2 nie jest takim iloczynem. Te liczby naturalne większe od jedności, które nie są iloczynami
dwóch liczb naturalnych od niej mniejszych, nazywamy liczbami pierwszymi. Nasuwa się tu przede wszystkim pytanie, jak zbadać, czy dana
liczba naturalna n>l jest, czy nie jest liczbą pierwszą.
Z definicji liczb pierwszych wynika, że jeżeli liczba naturalna ·n >l
nie jest pierwsza, to istnieją takie liczby naturalne a i b mniejsze od n,
że n=ab. Liczbę n nazywamy wówczas złożoną. Każda liczba naturalna
większa od 1 jest więc albo pierwsza, albo złożona. Liczby 1 nie zaliczamy
ani do liczb pierwszych, ani do liczb złożonych. Jeżeli n=ab, gdzie a i b
są liczbami naturalnymi mniejszymi od n, to n/a=b. Liczba n jest więc
podzielna bez reszty przez liczbę a; innymi słowy, liczba a jest takim
dzielnikiem liczby n, że l<a<n (z a=lwynikałoby bowiemn=ab=b,
gdy tymczasem b< n). Jeżeli więc liczba naturalna n jest złożona,
to ma taki dzielnik naturalny a, że I<a<n.
Łatwo okazać, że na odwrót, jeżeli liczba naturalna n ma taki dzielnik naturalny a, że l<a<n, to n jest liczbą złożoną. Rzeczywiście, jeżeli
a jest dzielnikiem liczby naturalnej n, to n /a= b jest liczbą naturalną
i ri=ab, gdzie b<n, gdyż wobec l<a jest b<ab=n. Liczba n jest więc
iloczynem dwóch lir.zb naturalnych od niej mniejszych, jest zatem liczbą
mogą być
złożoną.
'n a to, by liozba naturalna. n > 1 byla pierwsza, pożeby nie miala żadnego dzielnika naturalnego większego
i mniejszego oil niej samej. Mamy więc elementarny sposób
Wynika stąd,
trzeba i wystarcza,
o<l je<lnośoi
że
w.
48
~ie.rpi
r1ski
sprawdzenia, czy dana liczba naturalna n> 1 jest pierwsza czy nie:
wystarczy ją dzielić kolejno przez licz by 2, 3,. „ , n - 1; jeżeli żadne
z tych dzieleń nie daje ilorazu całkowitego, n jest liczbą pierwszą, w przeciwnym zaś razie - złożoną. Sprawdzanie takie jest teoretycznie zawsze
wykonalne, ale dla wielkich liczb n sprawia trudności techniczne. Na
przykład już dla zbadania, czy liczba 641 jest pierwsza, musielibyśmy
dokonać kilkuset dzieleń. Poznamy niebawem krótsze sposoby badania.,
czy liczba naturalna jest pierwsza.
Udowodnimy w tym celu przede wszystkim, że każda liczba naturalna n>l ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy. Istotnie, jeżeli n
jest liczbą naturalną większą od 1, to ma dzielniki naturalne większe
od 1, na przykład sama liczba n jest takim dzielnikiem. Jak wiadomo,
w każdym (niepustym) zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniej8Za. Wśród dzielnikó·w liczby n większych od jedności istnieje więe
najmniejszy; oznaczmy go przez p. Ten dzielnik p musi być liczbą pierwszą. W przeciwnym razie, wobec p>l, liczba p miałaby taki dzielnik
naturalny q, że l<q<p, a ponieważ n jest podzielne przez p, ap przez q,
·więc n byłoby podzielne przez q. Zatem q byłoby dzielnikiem liczby n
większym od jedności, ale mniejszym od p, co jest niemożliwe, gdyż p
jest najmniejszym z większych od jedności dzielników· liczby n. Dowiedliśmy, że każda liczba naturalna większa od jedności ma co najmniej jeden
dzielnik pierwszy. Aby się więc przekonać, że liczba naturalna n jest
pierwsza, wystarczy dowieść, że nie ma ona żadnego dzielnika pierwszego
mniejszego od n. Nie trzeba więc dzielić liczby n przez wszystkie liczby
2,3, ... ,n-l; wystarczy ją dzielić tylko przez liczby pierwsze tego ciągu.
Przypuśćmy, że liczba naturalna n jest złożona. Istnieją więc takie
liczby naturalne a i b, że n=ab, l<a<n, l<b<n. Możemy tu założyć, że
a~b. Wówczas n=ab~aa=a 2 , skąd a~J/;,;. Wynika stąd, że każda liczba.
złożona n ma co najmniej jeden dzielnik naturalny a większy od 1
oraz ~
Ponieważ zaś, jak wiemy, najmniejszy z większych od jedności
dzielników liczby naturalnej n>l jest liczbą pierwszą, wynika stąd, że
każda liczb·a zlożona n ma co na]'1nn1'.ej jeden dzielnik pierwszlJ nie większy
od
Dla przekonania się, że liczba naturalna n>l jest pierwsza, wystarczy więc sprawdzić, że nie jest ona podzielna przez żadną liczbę pierwszą nie większą od ·1/n. W szczególności, dla stwierdzenfrt, że liczba naturalna n nie większa niż 120 jest pierwsza, wystarczy stwjerdzić, że nie
jest podzielna przez żadną z czterech liczb 2, 3, 5 i 7. Dla przekonania
się zaś, że liczba 641 jest pierwsza, wystarczy ją dzielić przez liczby
pierwsze nie większe cd y641<y676=26, to jest przez liczby 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19 i 23. Przekona.niP Rię, że liezlm 641 jeRt pierwsza, nie
wymaga więc wiei<~ cza.su.
y;,
y;.
Liczby pierwsze
49
Oto inne pytanie, które się nasuwa: jak można otrzymać kolejne
liczby pierwsze ciągu 1,2, „., n (gdzie n jest daną liczbą naturalną), nie
badając kolejno każdej -liczby 2, 3, ... , n. Do tego celu służy metoda znana
już w starożytności i zwana sitem Eratostenesa.
Chcąc otrzymać wszystkie licz by pierwsze, za warte w ciągu 1, 2, „ .. , n,
wykreślamy z tego ciągu przede wszystkim liczbę 1. Pierwsza z pozostałych liczb ciągu, to jest liczba 2, jest liczbą pierwszą. Pozostawiając ją,
wykreślamy dalej wszystkie liczby większe od 2 i podzielne przez 2 (ponieważ są złożone). Pierwszą większą od 2 i niewykreśloną liczbą jest 3,
która jest liczbą pierwszą. Pozostawiając ją, wykreślamy z ciągu wszystkie
liczby większe od liczby 3 i podzielne przez 3 (jako złożone). Pierwsza,
większa od 3 i niewykreślona liczba (liczba 5) jest liczbą pierwszą, gdyż
nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych od niej mniejszych
(tj. ani przez 2 ani przez 3), gdyż wszystkie liczby złożone, podzielne
przez 2 lub 3 zostały już wykreślone. W ten sposób postępujemy dalej,
pozostawiając za każdym razem pierwszą niewykreśloną liczbę p, większą
od wszystkich liczb pierwszych już wyznaczonych, wykreślając zaś
wszystkie wielokrotności liczby p od niej większe. Sama liczba p jest
liczbą pierwszą, gdyż nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych
od niej mniejszych, w tym przypadku bowiem byłaby już wykreślona.
Wykreślając następnie liczby większe od p i podzielne przez p, możemy
rozpocząć wykreśla~ie od liczby p 2 , gdyż wielokrotności liczby p, większe
9d p, a mniejsze od p 2 zostały już przedtem wykreślone. Istotnie, wielokrotności te są postaci kp, gdzie l<k<p, są więc podzielne przez liczbę
k mniejszą od p. Skoro więc dojdziemy do takiej liczby (pierwszej) p,
że p2 >n, to możemy wykreślanie liczb już zakończyć, gdyż wszystkie
niewykreślone liczby ciągu 1, 2, ... , n są pierwsze.
Skoro każda liczba naturalna n>l ma dzielnik pierwszy, to dzieląc taką liczbę n przez jej najmniejszy dzielnik pierwszy p, otrzymamy
w ilorazie liczbę naturalną n', stąd n=pn', gdzie n>n'>I. Jeżeli n'=l,
to n= pi n jest liczbą pierwszą. W przeciwnym razie mamy n'>l i znowu
możemy napisać n'= p'n", gdzie p' jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby n', a n" liczbą naturalną mniejszą od n'. Gdyby było
n" =1, byłoby n'= p', skąd n= pp' i liczba n byłaby iloczynem dwóch
czynników pierwszych (niekoniecznie różnych). Jeżeli zaś n"> 1, to
z liczbą n" możemy postąpić tak, jak postąpiliśmy z liczbami n i n' itd.
Jest nadto n>n'>n">··· Liczby n,n',n", ... tworzą ciąg malejący
liczb naturalnych, który oczywiście musi być skończony. Postępując
we wskazany poprzednio sposób musimy dojść do ilorazu n<k>=l. Stąd
wynika rozwinięcie n=pp'p".„p<k- 1>. Każda liczba naturalna n>l jest
więc iloczynem skończonej liczby samych czynników pierwszych (niekoniecznie różnychr. Można dowieść, że jeżeli nie zwracać uwagi na.
Roczniki
P.T.M.-Wladomośol
Matematyczno I
4
50
W.
Sierpiński
czy uników, to każda liczba naturalna, ma tylko jeden rozkZad
na czynniki pierwsze.
Podaliśmy tu zarazem sposób rozwijanja każdej liczby naturalnej
na czynniki pierwsze. Teoretycznie każdą liczbę naturalną można w skoń­
czonym czaf'.;ie rmndnąć na czynniki pierwsze. Dla wielkich jednak liczb
takie rozwinięcie może być ze względów technicznych niewykonalne.
Nie potrafimy irnJ przykład rozłożyć na czynnjki pierwsze liczby 2257 -1,
o której dowiedziono, że jest złożona, ~d.e nie znamy żadnego jej dzielnika
pierwszego. Dla liczby zaś 2131 -1 zna.my tylko jeden jej dzielnik
pierwszy: 263.
Zapytamy teraz, ile jest liczb pierwszych~ Już Euklides wiedział,
że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Można dowieść z łatwością,
że jeżeli n. jest liczbą naturalną większą od 2, to między n a n1=1·2 ·3·... ·n
jest co najmniej jedna liczba pierwsza. Rzeczywiście, wobec n>2 liczba
n!-1 jest większa od 1, ma zatem co najmniej jeden dzielnik pierwszy p. Gdyby było p~n, to p byłoby jednym z czynników iloczynu
n! =1 · 2 · 3 · ... ·n i przeto iloczyn n! byłby podzielny przez p. Lecz liczba 1
nie jest podzielna przez p, a jak wiemy różnica dwóch liczb, z których
jedna jest podzielna przez p, a druga nie, nie może być podzielna przez p.
Liczba n!-1 nie byłaby więc podzielna przez p, skąd sprzeczność. Nie
może więc być p~n, i przeto jest p>n. Z drugiej strony, skoro p jest
dzielnikiem liczby n!-1, więc p~n!-1 i przeto p<n! Dowiedliśmy zatem,
że jeżeli 111 jest dowolną liczbą naturalną większą od 2, to istnieje co najmniej
jedna taka liczba pierwsza p, że n<p<n!. Dla każdej liczby pierwszej
istnieje więc liczba pierwsza od niej większa. Wynika stąd, że liozb
pferwszych jest nieskończenie wiele.
Znamy twierdzenie mocniejsze niż to, że dla naturalnych n>2 mię­
dzy n a n! istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza. W 1850 r. znakomity matematyk rnsyjski P. Czebyszew dowiódł, że dla Ziozb naturalnych n> 1 między n i 2n istnieje co najmniej jedna liozba pierwsza, co
przypuszczał kilka lat przedtem matematyk francuski J. Bertrand.
Dowód twierdzenia Czebyszewa nie był jednak elementarny. Uprośoili
go dzisiejsi matematycy węgierscy P. Erdos i L. Kalmar, tak iż
obecnie dowód twierdzenia Czebyszewa jest zrozumiały dla każdego,
kto zna matematykę elementarną. Dowód taki ukaże się niebawem
w języku polskim w mej książce Arytmetyka teoretyozna.
Można dowieść, choć z trudem, że dla dostatecznie wielkich n mię­
dzy n 3 a (n+1) 3 leży co najmniej jedna liczba pierwsza. Nie wiemy jednak,
2
czy dla dostatecznie wielkich n między n 2 a (n+1) leży co najmniej
jedna liczba pierwsza.
2
Nie wiemy również, czy jeżeli liczby 1, 2, ... , n (n jest liczbą naturalną większą od 1) wypiszemy kolejno w n wierszach, tak by tworzyły
porządek
Liczby pierwsze
51
kwadrat, to w każdym wierszu znajdzie się co najmniej jedna liczba
pierwsza.
Z twierdzenia Czebyszewa wynika bezpośrednio, że dla każdej liozby
naturalnej n istnieją oo najmniej trzy różne liozby pierwsze, które w ukladzie dziesiętnym mają po n oyfr. Dowód wynika z uwagi, że liczby 10n- 1 ,
2 · 1on- 1, 4 · 10n- 1 i 8 · 10n-I mają po n cyfr. Dla n>l liczby te są większe
od 1 i przeto, w myśl twierdzenia Czebyszewa, między każdymi dwoma
kolejnymi z nich leży co najmniej jedna liczba pierwsza, która oczywiś­
cie ma też n cyfr (twierdzenie jest słuszne oczywiście także dla n=l).
W szczególności więc istnieją liczby pierwsze mające tysiąc cyfr.
Dla żadnej takiej liczby nie potrafimy jednak wypisać jej cyfr. Jeszcze
na początku XIX wieku największą znaną liczbą pierwszą była znaleziona przez Eulera liczba 231 -1=2147 483647 mająca 10 cyfr. Największą liczbą pierwszą, której wszystkie cyfry potrafiliśmy wypisać,
była do 1951 r. liczba 2127 -1, mająca 39 cyfr, o której w 1914 r. matematyk francuski Fauquemberge dowiódł, że jest liczbą pierwszą. Dopiero
w 1951 r. matematyk francuski A. Ferrier pobił ten rekord, dowodząc
że liczba (2 148 +1)/17, mająca 44 cyfry, jest liczbą pierwszą. W kilka miesięcy później znaleziono kilkanaście większych od niej liczb pierwszych,
z których największą jest liczba 1+180(2 127 ·-1)2 , mająca 79 cyfr. Że
jest to liczba pierwsza, stwierdzono za pomocą maszyn elektronowych.
Za pomocą tychże maszyn odkryto w 1952 r. trzy jeszcze większe liczby
pierwsze, mianowicie 2521 -1, 2617 -1 i 21279 -1, mające odpowiednio
157, 183 i 386 cyfr. Liczba 21279 -1, mająca 386 cyfr, była we. ·wrześniu 1952 r. największą znaną liczbą pierwszą, której wszystkie cyfry
(w układzie dziesiętnym) potrafimy wypisać. Jest to mianowicie liczba
2 1279 -1 =
10407 932194 664399081925240327 364 085 538615262 247 266
7048053191123504096080 5967326029801223944173 2324184
8424216139542810077913 8356624832346490813990 6605677
3207629241295093892203 4577318334966158355047 2959420
5476898112116936771475 4847886696250138443826 0291732
3488853111608285384165 8502825560466622483189 0918801
8470682222031405210266 9843548873295802887805 0869736
1869007147207105557031 68729087.
W jaki sposób przekonano się, że wypisana liczba jest pierwsza?
Gdyby tu stosować dzielenia przez kolejne liczby pierwsze nie więkRze
od pierwiastka kwadratowego z badanej liczby, to trzeba hy ją dzielić
między innymi przez wszystkie liczby pierwsze nie większe od 2639 , a tablicy takich liczb nie mamy. A nawet gdybyśmy ją mieli, to ponieważ
można obliczyć, że liczb pierwszych nie większych od 2639 jest więcej
niż 10100 , trzeba by wykonać więcej niż 10 100 dzieleń, co jeRt niemożliwe
4*
52
W.
Sierpiński
na wet przy użyciu największych dziś maszyn elektronowych. O tym,
1279
-1 jest pierwsza, przekonano się inną metodą.
że licz ba 2
Utwórzmy ciąg liczb, którego pierwszym wyrazem jest liczba 4,
każdy zaś następny wyraz ciągu otrzymujemy z danego wyrazu, podnosząc go do kwadratu, a następnie odejmując od tego kwadratu liczbę 2.
2
Otrzymamy w ten sposób ciąg liczb naturalnych u 1 =4, u 2 =4 -2=14,
u 3 =142 -2=194 itd., który nazwiemy ciągiem Lucasa. Otóż można
dowieść, że jeżeli p jest liczbą pierwszą nieparzystą, to na to, żeby lwzba 2P-1
byla plerwszą, potrzeba i wystarcza, żeby (p-1)-szy wyraz ciągu Luoasa
(tj. wyraz uP_ 1 ) byl podzielny przez 2P-I.
2 2
Można łatwo dowieść przez indukcję, że ?tn>l0 n- dla n>l. Stąd
21276
10382
(gdyż 210 = 1024 > 103 ). Liczba u 1278 ma więc więcej
>10
'lt1278 > 10
niż 10300 cyfr i przeto nie potrafimy jej napisać. Ale dla zbadania, czy
liczba ta jest podzielna przez liczbę N =2 1279 -1, możemy postąpić inaczej.
Można dowieść, że w tym celu wystarczy ciąg u1 , u 2 ,. • • zastąpić
przez ciąg r 1 , r2 , ••• , który otrzymujemy w następujący sposób. Przyjmujemy, że r 1 =4, i że dla n~l wyraz rn+l jest resztą z dzielenia liczby
r!-2 przez N. W ten sposób każda z liczb r 1 ,r2 , ••• ,r1278 ma co najwyżej 386 cyfr. Każdą z tych liczb musimy podnieść do kwadratu, a wynik,
zmniejszony o 2 podzielić przez N. Są to więc rachunki wykonalne,
zwłaszcza przy użyciu maszyn do liczenia. Tak oto obliczono liczbę r 1278
1279
-1, a zatem że
i stwierdzono, że jest podzielna przez liczbę N =2
pierwszą.
ta ostatnia jest liczbą
Zauważmy tu, że twierdzenie Lehmera, pozwalające za pomocą
ciągu Lucasa stwierdzić, czy licz ba postaci 2P -1 jest pierwsza czy nie,
było znane już od 1930 r. Fakt, że dopiero w 1952 roku zastosowano
je do badania liczby 21279 -1 tłumaczy się tym, że dopiero najnowocześniejsze maszyny elektronowe pozwoliły wykonać potrzebne rachunki
bez nadmiernego wysiłku.
Największe znane dziś liczby pierwsze są postaci Mn=2n-l, gdzie 1~
jest liczbą naturalną. Liczby tej postaci noszą nazwę liczb l\fersenne'a
(1588-1648), mianowicie Mn nazywamy n-tą liozbą Mersenne'a. Do badania tych liczb doprowadziło szukanie tzw. liozb iloskonalyoh. Liczbę naturalną nazywamy doskonalą, jeżeli jest sumą wszystkich swych, mniejszyeh od niej samej, dzielników naturalnych. Na przykład 6 jest liczbą
doskonałą, gdyż wszystkimi mniejszymi od niej dzielnikami naturalnymi
są liczby 1, 2 i 3, których suma daje 6. Jest to, jak łatwo sprawdzić, najmniejsza liczba doskonała. Następną po niej liczbą doskonałą jest liczba
28=1+2+4+7+14.
Już Euklides podał sposób znajdywania wszystkich liczb doskonałych parzystych. Należy w tym celu badać sumy cząstkowe szeregu
2
geometrycznego .1+2+22 +2'+ ... , a więc sumy 1+2, 1+2+2 , 1+2+
+22+23' ...
Liczby pierwsze
53
Jeżeli taka suma jest liczbą pierwszą, to pomnożona przez ostatni
swój składnik, daje liczbę doskonałą. Można dowieść, że w ten sposób
otrzymamy wszystkie liczby doskonałe parzyste.
Na przykład 1+2 =3 jest liczbą pierwszą; wobec tego 3 ·2 =6 jest
2
liczbą doskonałą. Podobnie 1+2+2 =7 jest liczbą pierwszą; wobec
2
tego 7 · 2 = 28 jest liczbą doskonałą. Lecz 1+2 + 2 2 +2 3 =15 nie jest
liczbą pierwszą; nie otrzymamy więc stąd liczby doskonałej. Ale 1+2 +
+22 +2 3 +2 4 =31 jest liczbą pierwszą, skąd otrzymujemy trzecią z kolei
4
liczbę doskonałą parzystą: 31·2 =496.
1
Ponieważ 1+2 + 2 2 + „ . + 2n- = 2"' -1, więc z twierdzenia Euklidesa wynika, że liczby doskonałe parzyste mają postać 2"-1(2n-l),
·a na to, żeby liczba tej postaci była doskonała, potrzeba i wystarcza,
żeby liczba 2n -1 była pierwsza.
Tak więc szukanie liczb doskonałych parzystych jest związane z badaniem liczb Mersenne'a i tyle będziemy znali liczb doskonałych parzystych, ile będziemy znali liczb Mersenne'a pierwszych. Nie znamy żadnej
liczby doskonałej nieparzystej i nie wiemy czy liczby takie w ogóle istnieją.
Nie ma ich w każdym razie poniżej liczby 1012 • Do 1952 r. znano tylko
12 liczb Mersenne'a pierwszych: były to liczby Mn, gdzie n=2,3,5, 7,13,
17,19,31,61,89,107 i 127. W czerwcu 1952 r. znaleziono trzy dalsze liczby
pierwsze Mersenne'a Mn dla n= 521, 617 i 1279 i wykazano, że nie ma
poza tymi 15 liczbami innych liczb pierwszych Mersenne'a dla n~ 1279.
Znamy więc dziś 15 liczb doskonałych, z których największa jest
liczba 21278(2 1279 -1), mająca 770 cyfr.
Przez stwierdzenie, że liczba Mersenne'a .M521 jest pierwsza, obalono
przypuszczenie E. Catalana, że następną liczbą pierwszą Mersenne'a
po M 121 jest M 81911 liczba mająca 2466 cyfr. O liczbie tej nie wiemy,
czy jest pierwsza.
Przy badaniu liczb Mersenne'a pomocne jest następujące twierdzenie, którego dowód nie jest trudny.
postaci 4k + 3 i jeżeli liczba 2p + 1 też jest
p·ierwsza, to liczba, Mersenne'a lJfP jest zlożona, podzielna przez 2p+ 1.
J eżeU p jest
liczbą pierwszą
Na przykład 23111-111 , 47IM2s, 167IM83 , 263l1łfm, 359!1l-I179 , 38311'1191 ,
479j ll'I239 , 5031 M 251 (alb oznacza, że liczba a jest dzielnikiem liczby b).
Znajdywanie dzielników pienvszych liczb Mersenne'a ułatwia też twierdzenie, że każdy dzielnik pierwszy liczby MP, gdzie p jest liczbą pierwszą,
musi mieć postać 2kp+1, gdzie k jest liczbą naturalną.
Na przykład dla przekonania się, czy liczba M 11 jest pierwsza, wystarczy sprawdzić, czy jest podzielna przez liczby pierwsze postaci 22k+1,
a więc liczby postępu arytmetycznego o różnicy 22, którego pierwszym
wyrazem jest 23. Ale tu już od razu przekonujemy się, że liczba M 11 =2047
jest podzielna przez 23, a więc nie jest piel'wsza. Dla przekonania się zaś,
W.
Sierpiński
czy liczba M 13 = 8191 jest pierwsza, wystarczy zbadać, czy jest podzielna
przez liczby pierwsze nie większe od y8191<91, będące wyrazami postępu
o i·óżnicy 26, którego pierwszym wyrazem jest 27. Takie liczby pierwsze
są tylko dwie: 53 i 79. Przy dzieleniu liczby 8191 przez 53 otrzymujemy
resztę 29, a przy dzieleniu przez 79 - resztę 54. Wnosimy stąd, że liczba
M 13 jest pierwsza.
Badano też, które z liczb postaci 2n+ 1 są pierwsze. Łatwo dowieść,
że jeżeli liczba 2" + 1 jest pierwsza, to liczba (naturalna) n musi być
potęgą liczby 2 (o wykładniku nie mniejszym od O). W przeciwnym bowiem
razie liczba n miałaby dzielnik nieparzysty k> 1 i byłoby n= kl, gdzie l
jest liczbą naturalną. Stąd łatwy wniosek, że liczba 2n+1=(2Z)k+1
byłaby podzielna przez liczbę 2z + 1<2n + 1 i przeto nie byłaby pierwsza.
Liczby pierwsze postaci 2m+ 1 muszą więc być tak zwanymi liozbami Fermata F,,,,=2 2n +1. Przypuszczenie Fermata, że wszystkie liczby
tej postaci są pierwsze, okazało się błędne, gdyż, jak tego dowiódł Euler,
liczba F 5 jest złożona, podzielna przez 641. Liczby F n są pierwsze dla
n= O, 1, 2, 3 i 4, a złożone dla n= 5, 6, 7, 8 i 9. Nie wiemy, czy liczby F 13
i Fl4. są pierwsze czy nie. Liczby F 10 , F 11 , F 12 i F 16 są złożone. Nie wiemy,
('ZY wśród liczb Fermata jest nieskończenie wiele pierwszych, ani czy
wśród liczb Fermata jest nieskończenie wiele złożonych. Przy badaniu
liczb Fermata pomocne jest tv{ierdzenie, że każdy dzielnik pierwszy liczby F n musi być postaci 2n+ 2 k+1. Więc na przykład, ponieważ liczb
pierwszych postaci 64k+ 1, nie większych od yF,, czyli nie większych
od 28 , jest tylko dwie, mianowicie 129 i 193, to dwa dzielenia (liczby F,
przez te liczby) wystarczą dla stwierdzenia, że liczba F,=216 +1 jest
pierwsza. Natomiast, ponieważ dzielniki pierwsze liczby F 5 muszą mieć
postać 128k+1, już dla k=5 stwierdzamy, że liczba F 5 jest podzielna
przez 641, zatem jest złożona. Podobnie, ponieważ dzielniki pierwsze
liczby F 73 muszą mieć postać 2 74 k+ 1, stwierdzono, że dla k= 10 otrzymujemy dzielnik liczby F 131 a więc, że liczba ta jest złożona. Ma ona
więcej niż 1020 cyfr i jest największa ze złożonych liczb Fermata, jakie
znamy.
Oto inne twierdzenie, pomocne przy badaniu liczb Fermata: Na
to, by liczba Fermata F.,,, była pierwsza, potrzeba i wystarcza, żeby
liczba 3<Fn- 1>t 2 + 1 była podzielna przez Fn. Stosując właśnie to twierdzenie
stwierdzono w 1909 roku, że liczby F 7 i J!18 są złożone. Nie znamy żadnego
dzielnika llierwl\.zego tych liczb. Dla liczby F 10 zastosowano inną metodę,
opartą na tym, że każdy jej dzielnik pierwszy musi byó postaci 2 12 k + 1
i dla k = 11131 znaleziono jej dzielnik. Podobnie było z liczbą F 16 , gdzie
tylko dzięki temu, że ma ona niezbyt wielki dziPlnik pierwszy 218 • 3150 +
+1=825753601, znaleziono ten dzielnik.
Liczby pierwsze
Szczególnym przypadkiem liczb Fermata
55
są
wyrazy
eiągu
Przypuszczano, że wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze, ale okazało
się, że piąty wyraz tego ciągu, czyli liczba F 16 =2 65536 +1, mająca 19 729
cyfr, jest liczbą złożoną.
Zauważmy jeszcze, że liczby pierwsze Fermata występują w pewnym zagadnieniu z geometrii elementarnej. Gauss udowodnił mianowicie następujące twierdzenie: N a to, by mo~na bylo podzielić obwód kola
na m równych części, używając tylko cyrkla i lin,iali1t, potrzeba i wystarcza,
żeby liczba m albo byla potęgą liczby 2, albo dawala rozwinięcie na czynniki pierwsze m=2kF,,,,1 F,,,, 2 •• • , gdzie k jest liczbą calkowitą ri,ie mniejszą
od O, a F ni' F 'n2,. . . są liczbami pierwszymi Fermata, różny,;ni rniędzy
sobą.
Za czasów Eulera istniały tablice liczb pierwszych do 100000. Mamy
obecnie drukowane tablice liczb pierwszych do 11 milionów. Mianowicie D. N. Lehmer wydał drukiem w 1914 r. w Waszyngtonie tablice
liczb pierwszych od 1 do 10006721, a w 1951 r. wydano w .Amsterdamie
tablice liczb pierwszych od 10006741 do 10999997. Poza tym Jakub
Filip Kulik, urodzony we Lwowie w 1793 r., pozostawił w rękopisie
tablice liczb pierwszych aż do 100 milionów. Rękopis ten, któremu Kulik
poświęcił 20 lat życia składa się z 6 tomów in 4°, przechowywany jest
w Wiedeńskiej .Akademii N a uk.
Istnieje tylko jedna para kolejnych liczb naturah1ych, które są
obie pierwsze, mianowicie para 2 i 3. Znamy natomiast więcej par kolejnych liczb nieparzystych, które są obie pierwsze, na przykład pary 3 i 5,
5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31. Są to tzw. pary liczb bliźniacz~11oh. Nie
wiemy, czy par takich jest nieskończenie wiele. Poniżej 100000 istnieją
1224 pary liczb bliźniaczych, a poniżej miliona jest ich 8164. Chociaż
nie wiemy, czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, nie jest rzeczą łatwą dowieść, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych,
które nie należą do żadnej pary liczb bliźniaczych.
Udowodniono, że na to, by istnialo nieskończenie wiele par Uczb bliźniaczych, potrzeba i wystarcza, żeby istnialo nieskończenie wiele U<izb na.turalnyoh, które nie dadzą się przedstawić w żadnej z czterech postaci 6x y ± x ± y,
gilzie m i y są liczbami naturalnymi.
Znamy dekady, w których są dwie pary liczb bliźniaczych, na przykład 11, 13, 17, 19; 101, 103, 107, 109 i 191, 193, 197, 199. Poniżej 10000
jrn~t tylko 1 l takich ,:e1rn.d. Najwięluizą znaną czwórkę należącą do takiPj
dekady, tworzą liczby 10013950+k, gdzie k=l,3,7,9.
56
W.
Sierpiński
Z drugiej strony łatwo dowieść, że wśród każdyoh dziesięciu kolejnych Ziozb naturalnyoh większych od 2 jest co najmniej 6 zlożonyoh.
Nie rozstrzygnięto dotąd, czy prawdziwe jest przypuszczenie M. Cantora, że poza trójką liczb 3, 5 i 7 nie ma trzech kolejnych liczb pierwszych, tworzących postęp arytmetyczny. Trójki niekolejnych liczb
pierwszych, dające postęp arytmetyczny, istnieją; na przykład 3, 11,
19; 41, 47, 53; 29, 41, 53. Potrafimy też zbudować postęp arytmetyczny
utworzony z dziesięciu liczb pierwszych, na przykład 199+210k dla
k=0,1,2, ... ,9. Nie wiemy natomiast; czy istnieje postęp arytmetyczny,
utworzony ze stu liczb pierwszych. Udowodniono, że gdyby taki postęp
istniał, to różnica jego wyrazów byłaby liczbą co najmniej klikudziesięciocyfrową (w układzie dziesiętnym).
Choć z jednej strony spotykamy (być może nawet dowolnie daleko)
liczby pierwsze blisko siebie stojące (na przykład bliźniacze), to z drugiej strony łatwo wskazać 100 kolejnych liczb naturalnych, z których
żadna nie jest liczbą pierwszą, na przykład liczby lOl!+k, dla k=2,3,„ .
. . . , 101. Trudniej jest dowieść, że istnieją liczby pierwsze otoczone z obu
stron dowolnie wielką liczbą liczb złożonych.
Każda liczba naturalna nie większa od 100 ma co najwyżej trzy
różne dzielniki pierwBze; każda licz ba naturalna nie większa od 2000 ma
co najwyżej cztery różne dzielniki pierwsze, a każda liczba naturalna nie
większa od 30000 ma co najwyżej pięć różnych dzielników pierwszych.
Najmniejszą liczbą naturalną, mającą 10 różnych dzielników pierwszych,
jest liczba 6469 693 230, a najmni~jsza liczba naturalna, mająca sto róż­
nych dzielników pierwszych, ma przeszło 200 cyfr w układzie dziesiętnym.
Nie każda liczba naturalna jest sumą dwóch liczb pierwszych. Rzeczywiście, jeżeli liczba nieparzysta n jest sumą dwóch liczb pierwszych
n=p+q, to jedna z tych liczb, na przykład q, musi być liczbą parzystą
(gdyż suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą). Jest więc
n=p+2, gdzie p jest liczbą pierwszą. Zatem wśród liczb nieparzystych
tylko te są sumami dwóch liczb pierwszych, które są postaci p+2, gdzie p
jest liczbą pierwszą. Łatwo dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb
nieparzystych, które nie spełniają tego warunku: takimi są na przykład
wszystkie liczby większe od 5, które przy dzieleniu przez 6 dają resztę 5.
Nie są one więc sumami dwóch liczb pierwszych.
Trudniej odpowiedzieć na pytanie, jakie liczby parzyste są sumami
dwóch liczb pierwszych. W 1742 r. Ch. Goldbach wyraził przypuszczenie, że każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczh
pierwszych (co zostało sprawdzone dla n~l 000000). Z hipotezy Goldbacha wynika łatwo, że każda liczba nieparzysta n>7 jest sumą trzech
liczb pierwszych nieparzystych. Twierdzenia tego nie potrafimy dowieść.
Natomiast matematyk radziecki I. Winogradow dowiódł w 1937 r.,
Liczby pierwszP.
57
twierdzenie to jest p1·awdziwe dla dostatecznie wielkich n, innymi
jest ono prawdziwe dla wszystkich liczb nieparzystych n więk­
szych od pewnej liczby naturalnej N. Niestety, liczba ta jest tak wielka,
że sprawdzenie twierdzenia dla pozostałych liczb jest technicznie niewykonalne.
W związku z rozkładami na sumę dwóch liczb pierwszych zauważmy,
że można dowieM elementarnie (choć dowód nie jest łatwy), że dla każ­
dej liczby naturalnej s istnieje liczba naturalna, która "ięcej niż na s
różnych sposobów rozkłada się na sumę dwóch liczb pierwszych.
Łatwo zbadać, jakie liczby naturalne nieparzyste są różnicami
dwóch liczb pierwszych. Są to liczby postaci p-2, gdzie p jest liczbą
pierwszą. Na przykład liczba 7 nie jest różnicą dwóch liczb pierwszych,
gdyż liczba 7 +2 =9 nie jest pierwsza. Natomiast nie wiemy, czy każda
liczba parzysta jest różnicą dwóch liczb pierwszych, ani też, czy każda
liczba parzysta daje się na nieskończenie wiele różnych sposobów
przedstawić jako różnica dwóch liczb pierwszych.
Można dowieść, choć nie łatwo, że 5 jest jedyną liczbą naturalną,
która jest sumą wszystkich liczb pierwszych od niej mniejszych. W 1950 r.
H. E. Richert dowiódł, że każda liczba naturalna większa od 6 jest
sumą samych różnych liczb pierwszych (gdzie nie wyłączamy sum o jednym składniku, ho na przykład liczba 11 nie jest sumą dwóch lub więcej
różnych liczb pierwszych.) Można zresztą dowieść, że każda liczba naturalna większa od 11 jest sumą dwóch lub więcej samych różnych liczb
pierwszych.
Można dowieść, że jeżeli Pn oznacza n-tą z kolei liczbę pierwszą,
to dla każdego naturalnego k liczba p 2k+i jest sumą algebraiczną wszystkich liczb pierwszych od niej mniejszych, mianowicie przy odpowiednim
clobm.·ze znaków + lub - otrzymujemy
że
słowy, że
P2k+1
=
± P1 ±P2 ± · · · + P2k-1 +P2k,
natomiast dla liczby p 2k otrzymujemy, przy odpowiednim doborze znaków + lub
wzór
P2f.~ = l ± P1
Twierdził
a
to
Słynne
± P2 ± ·· · ± P2k-2 +P2k-1 ·
już w 1830 r. J. Scherk, a dowód znaleziono niedawno.
jest twierdzenie Fermata, że jeżeli p jest liozbą pforwszą.
zaś jakąkolwiek liozbą oalkowitą,
to liozba aP -a jest podzielna przez p.
Na przykład liczby 211 -2, 3 11 - -3, 10011 -100 są podzielne przez 11.
Z twierdzenia Fermata wynika w szczególności, że jeżeli p jest liozbą
pierwszą, to 2v-2 jest podzielna przez p. Otóż przed 25 wiekami matematycy chińscy wypowiedzieli twierdzenie, że dla naturalnych n>l
liczba 2n -2 jest tylko wtedy podzielrnt przez n, gdy liczba n jeRt piPrw-
W.
SiorpińRki
sza. Prawdopodobnie sprawdzali to bezpośrednio dla kilkuset kolejnych
wartości liczby n, na przykład dla l<n<300, i z prawdziwości twierdzema w tych wielu przypadkach wnioskowali o ogólnej prawdziwości
twierdzenia. .A.le takie wnioskowame jest, jak wiadomo, w matematyce
niedopuszczalne. Okazało się, że twierdzenie chińskie jest fałszywe, bo
jak to stwierdzono w 1819 r., liczba 341=11·31 jest złożona, a jednak
liczba 2341 -2 jest podzielna przez 341. Sprawdzić to można na mocy
twierdzenia Fermata. Rzeczywiście, ponieważ liczba 341 jest iloczynem
dwóch różnych liczb pierwszych 11 i 31, więc aby się przekonać, że liczba
2341 -1 jest podzielna przez 341, wystarczy przekonać się, że jest podzielna przez 11iprzez31. Otóż łatwo sprawdzić, że 233 (2 341 -2)=(234 ) 11 -234 ,
a więc podstawiając w twierdzeniu Fermata a=2 34 i p=ll przekonujemy
33
341
się, że liczba 2 -2 jest podzielna przez 11; a ponieważ liczba 2 jest
pierwsza względem 11, więc liczba 2341 -2 musi być podzielna przez 11.
Z drugiej strony jest 2341 -2 =[ (2 11 ) 31 -2 11 ] +(2 11 -2). Liczba
(2 11 ) 31 -2 11 jest podzielna przez 31 w myśl twierdzenia Fermata (dla
a=2 11 , p=31), a ponadto jest 211 -2=2046=31·66; liczba 2341 -2 jest
więc sumą dwóch liczb podzielnych przez 31, jest zatem podzielna przez 31.
Tak więc twierdzenie chińskie jest fałszywe dla liczby 341. Jak dowiódł
jeszcze w 1909 r. T. Banachiewicz, są w pierwszym tysiącu jeszcze
dwie inne liczby, dla których twierdzenie chińskie jest fałszywe, mianowicie liczby 561=3·11 ·17 oraz 645=3 ·5·43; dla n<2000 mamy
7 liczb złożonych, dla których twierdzenie chińskie jest fałszywe. Później
udowodniono, że istnieje nieskończenie wiele liczb n, dla których twierdzenie chińskie jest fałszywe. Do niedawna wszystkie znane takie liczby
były nieparzyste i nie wiedziano, czy istnieje choć jedna liczba parzysta n,
dla której twierdzenie chińskie byłoby fałszywe. Liczbę tę znalazł dopiero
w 1950 r. D. H. Lehmer: jest to liczba n=161038. Później znaleziono
więcej takich liczb parzystych i udowodniono, że jest ich nieskończenie
wiele.
Znaleźć liczbę n Lehmera było bardzo trudno, ale sprawdzenie,
że twierdzenie chińskie jest dla niej fałszywe, nie wymaga wielkich rachunków. Istotnie, łatwo sprawdzić, że n=2·73·1103 i n-1=3 2 • 29 · 617
oraz 29 -1=7·73 i 229 -1=1103·486737. Wiadomo, że jeżeli a i k
są liczbami naturalnymi, to liczba ak-1 jest podzielna przez a-1. Sto29
9
sując to twierdzenie dla a=2 , k=29·617, a następnie dla a=2 ,
k=3 2 • 617, wnosimy, że liczba 2n- 1 -1 jest podzielna przez 29 -1 oraz
przez 229 -1; tym samym jest więc podzielna przez 73 oraz przez 1103.
Podzielna przez te dwie liczby jest też liczba 2n-2. Ta ostatnia jest
oczywiście podzielna jeszcze przez 2. Jest więc ona podzielna przez każdą
z liczb pierwszych 2, 73 i 1103, a wobec tego również przez ich iloczyn n.
Liczba 2n-2 jest więc podzielna przez liczbę złożoną parzystą n i twier-
Liczby pierwsze
59
dzenie chińskie jest dla tej ostatniej fałszywe. P. Maciąg dowiódł,
i liczba 2089n nie spełnia twierdzenia chińskiego, oraz podał kilka innych takich liczb parzystych. W 1951 r. N. Beeger z Amsterdamu
znalazł jeszcze inne takie liczby (na pTzykład 215326) i dowiódł, że jest
ich nieskończenie wiele.
Zauważmy jeszcze (w z1viązku z twierdzeniem Fermata), że istnieją
takie liczby złożone n, że dla każdej liczby całkowitej a liczba an -a
jest podzielna przez n. Najmniejszą z takich liczb jest 561=3·11·17.
Inną taką liczbą jest 1105=5·13·17. Liczb n złożonych parzystych
o takiej właściwości nie ma.
Z twierdzenia Fermata wynika łatwo, że każda liczba pierw::)za
większa od 5 jest dzielnikiem liczby, której rozwinięcie dziesiętne składa
się
z p -1 jedynek.
Na przykład 7 I 111111, 1111111111111,
131111111111111 itd. Łatwo dowieść, że liczba naturalna, której cyframi
są same jedynki, może (ale nie musi) być liczbą pierwszą tylko wtedy,
gdy liczba jej cyfr jest pierwsza. Lecz na przykład liczby 111=3 ·37,
11111=41·271, 1111111=239 · 4649 są złożone. M. Krai tchik dowiódł,
że liczba, której rozwinięcie uziesiętnc składa się z 23 jedynek, jest liczbą
pierwszą. Nie wiadomo, czy w eiągi_1 1, 11, 111, 1111, ... jest nieskończe­
nie wiele liczb l>ierwszych.
Można dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba
pierwsza p, że skreślając z jej rozwinięcia dziesiętnego wszystkie cyfry
od pewnego miejsca (aż do ostatniego), otrzymujemy liczbę n. Można
również dmvieść, że dla każdej liczby naturalnej n, której ostatnią cyfrą
jest 1, 3, 7 lub 9, istnieje taka liczba pierwsza q, że skreślając z jej rozwinięcia dziesiętnego wszystkie cyfry (poczynając od pierwszej) aż op
pewnego miejsca, otrzymujemy liczbę n. Nie dla każdej jednak liczby n
potrafimy takie liczby pierwsze p i q napisać: nie potrafimy na przykład
napisać (w układzie dziesiętnym) liczby pierwszej, której pierwszymi
stu cyframi są jedynki (choć ·wiemy, że takie liczby pierwsze istnieją).
Z twierdzenia Fermata wynika łatwo, że jeżeli n jest liczbą pierwszą,
to liczba 1n- 1 +2n- 1 + ... + (n-1r- 1 +1 jest podzielna przez n.
G. Gi uga wyraził (w 1950 r.) przypuszcz~·nie, że nie jest to prawdą dla
żadnej liczby złożonej n i twierdził, że w każdym razie nie je8t to prawd~~
dla żadnej liczby złożonej n~10 1000 •
Udowodniono, że na to, by liczba nat'lM'ti,l·na, p > l byfo pfr. r·wszą, potrzeba i wystarcza, żeby linzbn (p-1) ! +1 uyla podzielna, przez p. JeRt
to twierdzenie Wilsona (odkryte około 1770 r.). Na przykład 1!+1=:.!
je~t podzielne przez 2 i 2 jest liczhą pierwRzą; :3!+1=3 je~t podzielrn.·
przez 3 i 3 jei:;t liczhą pierw~zą; natomiaf't 3!+1=7 nil' jeRt po<hiehw
przez 4 i 4 nie jest liczbą pierwszą; 4 ! +1 =2~ jest znowu podzielne przez i)
i 5 jest liczbą pierwszą itcl. Oczy,,iście twierdzenie Wilsona nie jest doże
oo
W.
Siorpiński
godne do badania, gdyż dla stosunkowo niewielkich nawet p liczba
(p-1) ! jest bardzo wielka.
Z łatwej do sprawdzenia tożsamości dla naturalnych p>2
( p - 2) ! -- 1 = ( p - 2) ! p - (p -- 1) ! - ]
oraz z twierdzenia Wilsona wynika bezpośrednio twierdzenie Leibniza,
które mówi, że liczba naturalna p > 2 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy,
gdy liozba (p-2)!-1 jest podzielna przez p. Na przykład liczba 5!-1=
= 119=7·17 jest podzielna przez 7 i Ucz ba 7 jest liczbą pierwszą.
Przytoczymy jeszcze następujące twierdzenie Wolstenholme'a: Jeżeli
p jest liczbą pierwszą większą oil 3, to licznik liczby
1
1
1
-+-+„.+-p-1
2
1
jest podzielny przez p 2 • Na przykład licznik liczby
1
1
1
1
1
1
49
+-6 + =20-1- +-2 +-3 +-+5
t
j(:>st podzieJny przez 72•
W związku z twierdzeniami Wilsona i Leibniza badano, dla jakich
naturalnych n liczby n!+l lub liczby n!-1 są pierwsze. Z twierdzenia
Wilsona i Leibniza wynika od razu, że wśród liczb n! +1, jak też wśród
liczb n!--1 jest nieskończenie wiele złożonych {w pierwszym przypadku
dla n=p-1, w drugim dla n=p-2, gdzie p jest liczbą pierwszą). Nie
wiemy natomiast, czy wśród liczb n! +1 lub n!-1 istnieje nieskończenie
wiele liczb pierwszych.
Dla n<26 jedynymi liczbami pierwszymi wśród liczb n! +1 są te,
które otrzymujemy dla n=l, 2, 3i11. Nie wiemy, czy liczba 27!+1
jest pierwsza. Liczba 28!+1 jest złożona, gdyż w myśl twierdzenia Wilsona, jest podzielna przez liczbę pierwszą 29, ale nie wiemy, czy liczba
29! +1 jest pierwsza. Dla 30<n~36 otrzymujemy liczby złożone, natomiast nie wiemy, czy liczba 37! +1 jest pierwsza.
Nie wiadomo też, czy wśród liczb postaci n! +1 są kwadraty, po.za
liczbami 52 =4!+1, 11 2 =5!+1 i 71 2 =7!+1. Dowiedziono, że jeżeli takie
kwadraty istnieją, to muszą mieć ponad 2700 oyfr.
Liczby n!-1 są pierwsze dla n=3,4,6,7,12,14,20, dla innych zaś n,
gdzie 2<n<22. są złożone. Nie wiemy, czy liczby 23!-1 oraz 24!-1
są pierwsze. Natomiast liczba 25!-1 jest złożona, podzielna przez 149.
Nie wiemy, czy liczba 26!-1 jest pierwsza. Liczba 27!-1 jest w myśl
twierdzenia Leibniza złożona, gdyż jest podzielna przez 29.
61
Di.czby pierwfl~(~
Badano też liczby p 1 p 2 „ ·Pn+1, gdzie p oznacza n-tą z kolei liczbę
Liczby 2+1=3, 2·3+1=7, 2·3·5+1=31, 2·3·5·7·11+1=
=2311 są pierwsze, ale liczba 2 ·3 ·5·7·11·13+1=59·509 jest złożona.
I tu nie wiemy, czy wśród liczb p 1 p 2 • ··Pn+l jest nieskończenie wiele
liczb pierwszych, ale także nie wiemy, czy wśród nich jest nieskończenie
wiele złożonych.
Udowodniono twierdzenie (pochodzące od Fermata), że każda liozba
pierwsza postaoi 4k+l rozkłada się, i to w jeden tytko sposób, na swnię
dwóoh kwadratów liozb naturalnyoh (jeżeli nie zwracać uwagi na porządek
2
2 2
2 2
składników). Na przykład 5=12 +2 , 13=2 +3 , 41=4 +5 , 97 =42 +9 2 •
Twierdzenie to pozwala niekiedy stwierdzić, czy dana liczba jest złożona,
bez wyznaczania jej dzielnika, mianowicie wtedy, gdy rozpatrywana
liczba jest postaci 4k+l i gdy wiemy, że da.je dwa różne rozkłady na
sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych. Na przykład stąd, że 3977=
=162 +612 =29 2 +562 , wnosimy, że liczba 3977 jest złożona, choć nie
wyznaczyliśmy żadnego jej dzielnika większego od jedności i mniejszego
od niej samej. Co się zaś tyczy liczb postaci 4k+3, to żadna z nich nie
jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Łatwo dowieść, że na to: by liozba nieparzysta p rozkladala się, i to
w jeden tylko sposób, na różnioę kwadratów dwóoh liozb naturalnyoh, potrzeba
i wystaroza, żeby liozba ta byla pierwszą. Istotnie, jeżeli p jest liczbą pierwszą i p=m2 -y 2 , gdzie x i y są liczbami naturalnymi, to p=(x-y)(x+y),
skąd m-y=l, m+y=p. Zatem m=(p+l}/2, y=(p-1)/2 i istnieje rozkład liczby p na różnicę kwadm.tów dwóch liczb naturalnych:
pierwszą.
v=
(p+1)2
2
-
(p-1)2
2
··
Gdyby natomiast dla liczby 11iepa1·zystej n istniał jeszcze inny rozkład
n=m2 -y2 niż ten, gdzie m-y=l (i gdzie liczby mi y są naturalne), byłoby
n=(m-y)(a1+y), gdzie l<m-y<m:+y<n, i liczba n byłaby złożona. Tak
więc dla stwierdzenia, że liczba nieparzysta n jest złożona, wystarczy
dowieść, że istnieje rozkład n= x2 -y2 , gdzie a: i y są takimi liczbami
naturalnymi, iż m-y=/=l. Możemy tu więc podstawiać za y kolejne wartości y=l,2,3,.„ i badać, czy liczba n+y 2 jest kwadratem. Gdybybyło
n+y"=m2 , mielibyśmy rozkład n=(m-y)(m+y). Np. dla liczby n=
=900720143 już dla y=l znajdujemy n+l2 =900720144=30012 2 i wnosimy, że liczba n jest złożona. Gdybyśmy zaś szukali dzielnika pierwszego
liczby .ni, dzieląc ją przez kolejne liczby pie1·wsze nie większe od v1i,
zabrałoby nam to znacznie więcej czasu, gdyż najmniejszym dzielnikiem
pierwszym liczby n jest liczba 30011. W innych jednak przypadkach
dzielenie przez kolejne liczby pierwsze może szybciej doprowadzić do
62
celu. Np. dla n=51017 najmniejszym dzielnikiem pierwszym jest 17,
natomiast najmniejszą liczbą naturalną y, rlla której n +y 2 jest kwadratem, jest y=1492.
Nie znamy żadnego pro:-;tego ·wyrażenia, zależnego od x, które by
clla naturalnych wartości x dawało same liczby pierwsze. Łatwo dowieść,
że wyrażeniem takim nie może być żaden wielomian względem x
o współczynnikach całkowitych. Znane są natomiast wielomiany, dające wiele liczb pierwszych, gdy w miejsce x wstawiamy kolejne wartości m=0,1,2, „. Takim jest np. wielomian Eulera x2 +m+41, który
daje same liczby pierwsze dla x=0,1,2, ... ,39 i dla X=-1,-2, ...
„ . ,-40, ale już dla x=40 daje liczbę złożoną, podzielną przez 41.
Znamy też proste wyrażenia zależne od x i dające nieskończenie
wiele różnych liczb pierwszych dla natmalnych wartości x, np. wyrażenie 4x+l. Nic wiemy natomiast, czy wzór x2 +1 może dawać (poza
liczbami złożonymi) nieskończenie wiele liczb pierwszych, gdy za x bę­
dziemy wstawiali wartości naturalne.
W związku z postępami arytmetycznymi nasuwa się pytanie, które
z nieskończonych postępów arytmetycznych o wyrazie pierwszym a
i różnicy r, tj. z postępów a, a+r, a+2r,. „, zawierają nieskończenie
wiele liczb pierwszych. Otóż Lej eune-Dirichlet dowiódł w 1837 r.,
że na to, by wypisany postęp zawieral nieskończenie wiele liczb pieru.,szyoh,
potrzeba i wystaroza, żeby liozby naturalne a i r były względnie pierwsze,
tj. nie miały wspólnego dzielnika większego od jedności. Dowód tego
twierdzenia jest jednak trudny. Łatwo dowieść pewne szczególne przypadki tego twierdzenia, np. że każdy z postępów 4k+3 lub 3k+2 zawiera
nieskończenie wiele liczb pierwRzych; nieco trudniejszy jest dowód dla
postępów 4k+l lub 3k+l.
Badano, ile jest liczb pierwszych, nic większych od danej liczby x;
ilość takich liczb oznaczamy przez n(x). Jest więc
n(l)=O,
n(2)=1,
n(3)=2,
n(4)=2,
:rr(100)=25.
n(5)=3,
n(10)=4,
Istnieją sposoby obliczania dokładnej wartości liczby :rr(x) bez
wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych odm. Obliczono, że
n(1000)=168,
n(l0000)=1229,
:rr(108 )=5 761455,
9
n(10 )=50847 478.
Znane są też wzory dla przybliżonego obliczenia funkcji :rr(x). W 1896 r.
dwaj żyjący dziś jeszcze matematycy J. Hadamard oraz Ch. de la Vallee-Poussin dowiedli, że stosunek liczby n(m) do liczby x/lgm (gdzie lgm
oznacza logarytm naturalny liczby x) zmierza do granicy 1, gdy liczba m
wzrasta nieograniczenie. Wynika Rtąrl, że dla wielkich x przybliżoną
wartością liczby n(m) jest m/lgm. Z twierdzenia Hadamarda i de la ValIee-Poussin'a wynika, że jeśli Pn oznacza n-tą z kolei liczbę pierwszą,
to stosunek liczby Pn do liczby nlgn. zmierza do jedności, gdy n wzrasta
nieograniczenie. Wynika stąd, że dla wielkich n przybliżoną wartością
liczby Pn jest nlgn.
Dowód twierdzenia Hadamarda i de i<' Vallee-Poussin'a oraz dowody
wielu innych twierdzeń o liczbach pierwszych należą do tak zwanej analityoznej teorii liozb, to jest tego działu teorii liczb, który posługuje się
rachunkiem nieskończonościowym lub teorią funkcji analitycznych.
W 14 tomie Wiadomości Matematycznych z 1910 r. na stronicach 113-128
znajduje się mój artykuł Zagadnienia i metoay teorii analityoznej liozb.
Był to mój wykład wygłoszony w Uniwersytecie J.Jwowskim 18 paździer­
nika 1909 r.
Wprawdzie w 1949 r. A.. Sel b erg ogłosił dowód elementarny tV\rierdzenia Hadamarda i de la Vallee-Poussin'a, to znacz.y dowód bez użycia
analizy matematycznej (oprócz najprostszych własności logarytmów),
ale dowód ten jest bardzo skomplikowany.
Powiemy jeszcze kilka słów o rozwiązywaniu równa11 algebraicznych
w liczbach pierwszych. Dla pewnych prostych równań algebraicznych
dadzą się łatwo wyznaczyć wszystkie ich rozwiązania w liczbach pierwszych. Łatwo na przykład znaleźć wszystkie rozwiązania równania p+3=q
w liczbach pierwszych p i q. Mianowicie istnieje tu jedno tylko rozwią­
zanie: p=2, q=5. Natomiast nie wiemy, czy równanie 2p+l=q ma
w liczbach pierwszych p i q nieskończenie wiele rozwiązań. Nie wiemy
też, czy równanie p +q=r ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach
pierwszych p, q i r, natomiast łatwo jest dowieść, że dla naturalnych
n> 1 równanie p" q" = r" nie ma rozwiązań w liczbach pierwszych p, q i r.
Z tego krótkiego przeglądu wynika, że o liczbach pierwszych sporo
wiemy: ale jest też co do nich wiele zagadnień, na pozór prostych, na które
nie potrafimy dziś dać odpowiedzi, i to nieraz zagadnień, pozostawionych jeszcze przed wiekami. Zwolna jednak powiększa się zasób no„szych
wiadomości o liczbach pierwszych. Rośnie też, w ostatnich czasach nawet
z dużą szybkością, największa znana liczba pierwsza.
+
OiJ, autora. W kilka miesięcy po przesłaniu przeze mnie do Redakcji
Roczników P.T.M. tego artykułu nadeszły wiadomości o nowych
wynikach, dotyczących liczb pierwszych, które podaję.
i 9 października 1952 r. za pomocą maszyn elektronov.rych do
liczenia SWAC znaleziono 16-tą i 17-tą liczbę pierwszą Mersenne,a,
mianowicie M 2203 i M 2281 , mające odpowiednio 634 i 687 cyfr. Obliczn.nie trwało 59 i 66 minut. Największą znaną nam dziś liczbą pierwszą
jest więo liczba 22281 -1, mająca 687 eyfr w układzie dziesiętnym.
:7
W. 8ierpiru:\ki
z wykryciem dwóch nowych liczb pierwszych Mersenne'a
dwie nowe liczby doskonałe, których zatem znamy obecnie
4561
-22280 , mająca 1373
siedemnaście. Największą z nich jest liczba 2
cyfry 1 ).
W ostatnim półroczu ukazały się też zagranicą dwie ciekawe książki,
poświęcone liczbom pierwszym. Są to: Nonibres preniiers E. Borela
(Paris 1953, wydawnictwo „Que sais-je~") oraz Primzahlen E. Trosta
(Bazylea-Stuttgart 1953). Ostatnia książka podaje dowody elementarne
różnych twierdzeń dotyczących liczb pierwszych. Tak na przykład
potrafimy dowieść elementarnie, że jeżeli n jest liczbą naturalną większą
od 5, to między n a 2n leżą co najmniej dwie różne liczby pierwsze.
2
Wspomnimy tu jeszcze, że o wielomianie Eulera f(m)=m +x+41
udowodniono, ze dla całkowitych m liczba f (m) nie ma żadnego dzielnika, który byłby ~iększy od 1 oraz mniejszy od 41. Powoduje to, że
dla kolejnych naturalnych a; wśród wartości wielomianu f (m) jest dużo
liczb pierwszych. Jak podaje E. Trost (na str. 41 cytowanej książki)
flla naturalnych x~llOOO wielomian f (m) ffaje 4506 liczb pierwszych.
W
związku
przybyły też
dane
1)
Zob. H. I. Uhler, Scripta :Jfathematica 19 (1953), str. 128-131, gdzie tez potych liczb.
~ą rozwinięcia dzieF.1iętne