Matura 2017 - Planimetria - poziom rozszerzony

PLANIMETRIA – POZIOM ROZSZERZONY
Z.1. W trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej 20
wpisujemy prostokąty tak, że jeden bok prostokąta leży na
przeciwprostokątnej, a pozostałe dwa wierzchołki prostokąta leżą na
przyprostokątnych. Jakie wymiary ma ten spośród wpisanych prostokątów,
który ma największe pole?
z.2. Każde ramię trapezu, w który można wpisać okrąg ma długość 5, a
podstawa ma długość 8. Znajdź dł. promienia opisanego na tym trapezie .
Z.3. Dany jest trójkąt prostokątny o katach ostrych  i  . Oblicz cos   cos 
2
5
wiedząc, że sin   sin   .
Z.4. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt, którego dwa kąty mają miary
15o i 75o , a najkrótszy bok ma długość 2.
z.5. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli bok przeciwległy
temu kątowi w stosunku 3:5. Wykaż, że stosunek długości promienia okręgu
wpisanego r w ten trójkąt do długości promienia opisanego R na tym trójkącie
2
jest równy .
5
z.6. Długości boków (x, y, z) trójkąta tworzą ciąg geometryczny, zaś kąt leżący
naprzeciw boku długości y ma miarę 60o. Wykaż, że trójkąt o bokach x, y, z jest
równoboczny.
z.7.Na okręgu o promieniu długości 6 opisano trapez równoramienny o
ramionach długości 13. Oblicz pole tego trapezu.
z.8. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym o kącie
150ᵒ oraz bokach długości 4 i 8. Rozpatrz wszystkie przypadki.
z.9. Wykaz ,że środkowe w każdym trójkącie przecinają się w jednym punkcie
dzieląc się w stosunku 2:1.
ODPOWIEDZI:
z.1. 5 x 10
z.2. r=
Z.3.
5√41
8
3 5
.
5
Z.4. r  3  3  6  2.
z.7. P = 156
z.9. r= 4 lub r= 4√5 + 2√3