Temat: Systemy pozycyjne, czyli liczenie na dwóch palcach

Temat: Systemy pozycyjne, czyli liczenie na dwóch palcach.
1) Kilka pojęć podstawowych:
 Liczby zapisujemy za pomocą cyfr. My posługujemy się cyframi arabskimi.
Liczby, które znasz, są zapisane przy użyciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
System liczbowy - sposób zapisywania i nazywania liczb.
System pozycyjny - system liczbowy, w którym liczba to ciąg cyfr, zaś wartość poszczególnych znaków
cyfrowych zależy od miejsca, na którym się znajdują w tym ciągu.
 Nasz system, to system pozycyjny o podstawie:10,czyli system dziesiątkowy.
Dlatego każdą liczbę możemy tak rozpisać:
452,07= 400+50+2+0.07=4*100+5*10+2*1+0*0,1+7*0,01=4*102+5*101+2*100+7*10-2
W systemie dziesiętnym każda pozycja ma swoją nazwę: części tysięczne (10-3), setne (10-2), dziesiąte
(10-1), jedności (100), dziesiątki (101), setki (102), tysiące (103), itd.
2) Wybrane inne systemy pozycyjne:
a) system dwójkowy(binarny)- jest to system pozycyjny o podstawie 2. Liczby zapisywane są w nim za
pomocą cyfr: 0,1 i przedstawiane za pomocą potęg 2-ki, np.:
13,25 = 1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*22, liczba ta w systemie dwójkowym wygląda tak: 1101,01(2)
(czyt. ”jeden, jeden, zero, jeden, przecinek, zero, jeden”)
b) system szesnastkowy- jest to system pozycyjny o podstawie 16. Liczby za zapisywane w nim za
pomocą cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(=10),B(=11),C(=12),D(=13),E(=14),F(=15) i przedstawiane jako
kolejne potęgi 16-tki, np.: 2752,25 = B*161+1*160+2*16-1, co zapiszemy w systemie szesnastkowy
jako: B1,2(16) (czyt. ”be, jeden, przecinek, dwa”)
3) Ogólnie o systemie pozycyjnym:
Ogólny wzór liczby rzeczywistej zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie B (B-liczba naturalna):
(an...a1a0,a-1...a-m)B = an*Bn+...+a1*B1+a0+a-1*B-1+...+a-m*B-m
gdzie: an,an-1,...,a1,a0,a-1,…,a-m- kolejne cyfry liczby,
n- ilość cyfr w części całkowitej liczby, m – ilość cyfr w części ułamkowej liczby.
Oznaczenie systemu: za liczbą w dolnym indeksie w nawiasie piszemy podstawę, np.: 123(4), B,23(13)
4) Zapis liczby w dowolnym systemie, czyli zamiany liczb miedzy systemami:
a) z systemu dziesiątkowego na system o dowolnej podstawie
 liczby całkowite:
Metoda I – do kolejnych obliczeń bierzemy wyniki ilorazów, np.:
Chcemy zapisać 79 w systemie o podstawie 5
79 : 5 = 15 r.4
15 : 5 =3 r.0
3 : 5 = 0 r.3 Stąd 79 = 304(5)

ułamki: mnożymy i wynik odczytujemy od góry do dołu, np.;
Chcemy zapisać 0,921875 w systemie o podstawie 4?
0,921875 * 4 = 3,6875
0,6875 * 4 = 2,75
0,75 * 4 = 3,0 Stąd 0,921875 = (0,323)(4)
b) z dowolnego systemu pozycyjnego na dziesiątkowy: za pomocą schematu Hornera
Przykład: zamieńmy liczbę 1203(4) na liczbę dziesiętną:
- „4” w lewym dolnym rogu to podstawa systemu.
- odpowiedź odczytujemy w prawej dolnej komórce,
czyli 1203(4)=99(10)