() iloczynach satnyeh różnych czynnikó`v pierwszych

W.
8IERPIŃSKI
(Warszawa)
() iloczynach satnyeh różnych czynnikó'v pierwszych
Nazwijn1y liczbami Q liczby naturalne, które są iloczynami samych
czynników pierwszych. Celem niniejszego artykułu jest dowód
elem(mtarny następujących dwóch twierdzeń:
TwiERDZENIE l. Istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb na,t1tralnych; z których żadna nie jest liczbą Q.
TWIERDZENIE 2. Istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych k, że każda z liczb 4k+l, 4k+2 i 4k+3 jest liczbą Q.
.Jest oczywiste, że nie ma żadnych czterech kolejnych liczb naturalnych, będących liczbami Q, gdyż z każdych czterech kolejnych liczb nat'uralnych zawsze jedna jest podzielna przez 4, a więc nie jest liczbą Q.
Liczby Q są, jak łatwo spostrzec, liczbami naturalnymi >l, niepodzielnymi przez żaden kwadrat Jiczby naturalnej >l; są to więc liczby
ńazywane przez autorów nien1ieckich quadratfrei (po polsku można by
je nazwać liczbami bezkwadratowymi).
Dowód twierdzenia 1 wynika bezpośrednio przez indukcję z nastę­
pującego lematu.
I .JE MA '.l'. ,]eżeli ·n jest liczbą naturalną i jeżeli istnieje n kolejnych liczb
nattttralnych > l, z których żadna nie jest liczbą Q, to istnieje też n+ l kolejn.ych liczb naturalnych > l, z których żadna nie jest liczbą Q.
Dowód. Niech n będzie daną liczbą naturalną. Przypuśćmy, że
istnieje n kolejnych liczb naturalnych > 1, z których żadna nie jest liczbą
Q. Istnieje więc taka liczba naturalna l, że każda z liczb l+ k, gdzie k =l,
2, . , . , n, jest podzielna przez kwadrat liczby naturalnej > l. Istnieją
więc takie liczby naturalne
mk (k = l, 2, ... , n), że mk > l
oraz
m~! (l+ k) dla k =l, 2, ... , n. Przyjmijmy m = m 1 m 2 ••• mn; będzie
więc m ~ 2 oraz m~jm 2 dla k = 1, 2, ... , n, skąd wobec tn~l{l+ k) dla,
k =l, 2, ... ,n znajduiemy, że
·~
różnych
k=l,2, ... ,n.
l.~ecz
wobec
tożsarności
O 'iloczynach samych
znajdujemy
różnych
czynników
205
p'ier'wszyclł
('m+l) 2 lm2 (m2 -2) (l+n+l) +l+n+l.
Każda więc z n+l kolejnych liczb naturalnych
gdzie
m, 2 (m 2 -2)(Z+n+l)+Z+k,
k =l, 2, ...
,n, n+l,
jest podzielna przez kwadrat liczby naturalnej >l i przeto jest >l i nie
jest liczbą Q. Lemat nasz został więc udowodniony.
Najmniejszą liczbą naturalną > 1, nie będącą liczbą Q, jest liczba 4.
Najmniejszymi dwimna kolejnymi liczbami naturalnymi, nie będącymi
liczbami Q, są liczby 8 i 9. Najmniejszymi trzema kolejnymi liczbami
naturalnymi, nie będącymi liczbami Q, są liczby 48, 49 i 50.
Dowód twierdzenia 2. Oznaczmy dla danej liczby naturalnej n
przez Q (n) licz hę wszystkich licz h Q nie większych od n, a przez qn największą liczbę nieparzystą, której kwadrat jest ~n .
.feżeli z ciągu l, 2 , ... , n usuniemy liczbę l oraz wszystkie licz by
podzielne przez którąkolwiek z liczb 2 2 i (2k+l) 2 (gdzie k jest taką liczbą
naturalną, że 2k+l ~ qn), to pozostaną w naszym ciągu tylko liczby Q.
Liczby naturalne ~n, podzielne przez liczbę naturalną d, mają postać
dt, gdzie t jest liczbą naturalną, przy czym dt ~n, zatem t ~ nfd; liczb
takich jest więc ~ nfd. Liczb ciągu l, 2, ... , n, podzielnych przez którąkolwiek z liczb 2 2 i (2k+l) 2 (gdzie 2k+l ~ qn), jest więc nie więcej
niż
n
n
n
n
n
-- +-+·-+22
32
52
72 + ... +-·
ą;~
Stąd
wniosek,
że
l --+-Q. (n)
( n +.-32n + -52n + ... +. -n)
n- -22
~
~
czyli
l+Q(n)~n
~
Lecz
l
92
l
+ :ii2 +
= } (~ Jest
l
13 2
ą!
( l
1
l)
l
1 - - -2- - - ... - - .
4
3
52
ą!
l
+···+q! <
1
/
l
7 ·9
l
l
l
+ 9 ·11 + il· i3 -t-·"+ (qn -2)q~
1
~ + ~ - 1 1 + 1 1 -l~ + •.' + qn
1
2-
:J
=
1
~ (~ - ~h 1 4 •
więc
1 +Q(n)
l
l
l
l
l )
>n ( l - 4 - 9 - 2 5 - 49- 14
=
=
22 361
n44100 ·
\V.
206
Oznaczając
a
= 22361/44100
będziemy więc
l+Q(n) > an,
(l)
Sierpiński
gdzie
mieli a
a-ł
>
ł
oraz
· . ;,., ,
>O.
teraz, że liczb naturalnych k, dla których każda· z liczb
4k+l, 4k+2 i 4k+3 jest liczbą Q, jest liczba skończona m. Obierzmy
taką liczbę naturalną n, że n ~ (m+ l)/ 4 (a- ł ). Licz b k z ciągu O, l, 2 , ... ,
n~l, dla których każda z liczb 4k+l, 4k+2, 4k+3 jest liczbą Q, jest
więc ~ m; istnieje więc co najmniej n- m liczb k z ciągu O, l, 2, ... , n ~l,
dla których wśród liczb 4k+l, 4k+2, 4k+3 co najmniej jedna nie jest
liczbą Q. Ponieważ także żadna z n licz b 4 · l, 4 · 2, ... , 4 · n, nie jest liczbą
Q, więc w ciągu l, 2, 3, ... , 4n mamy co najmniej n+ (n- m) = 2n-'- m.
liczb, które nie są liczbami Q. Wynika stąd, że Q(4n) - ~ 4n-(2n-m) ==
=2n+m. Lecz ze wzoru (l) wynika, że l+Q(4n)>4an. Stąd 2n+m+l >
> 4an, zatem n< (m+l)/4(a-ł), wbrew definicji liczby n. Założenie,
że jest tylko skończona liczba liczb naturalnych k, dla których każda
z liczb 4k+l, 4k+2 i 4k+3 jest liczbą Q, doprowadza więc do sprzecz.
ności. Dowodzi to prawdziwości twierdzenia 2.
Zauważmy, że istnieją takie liczby naturalne k, iż każda z liczb
4k+l, 4k+2 i 4k+3 jest iloczynem co najwyżej dwóch różnych liczb
pierwszych, na przykład k = l, 3, 5, 8, 9, 14, 21, 23, 35. Nie wiem, czy
takich liczb k jest nieskończenie wiele. Nie wiem też, czy
istnieje·nieskończenie wiele liczb naturalnych k, dla których każda z·liczb
4k+l, 4k+2 i 4k+3 jest iloczynem dwóch różnych czynników pierwszych, jak na przykład dla k = 8, 21, 23, 35.
Przypuśćmy
U w a g i. Po oddaniu do druku tego artykułu ukazała się w N ordisk Matematisk Tidskrift 4 ( 1956), st1·. 21-29, praea: S. G o l o m b, Proptrties oj conse.cuti·ve ;iiCtegers, w której podany jest inny dowód mego twierdzenia l. Co się zaś tyczy ostatniego postawionego tu przeze mnie pytania, to odp.owied~ twierdząca na nie wynika
z pewnej hipotezy . A. Schinzla o licz bach pierwszych: patrz A. S c h i n z e l et
W. Sierp i ń ski, Sur certaines hypotheses concernant les nombres premiers, .Ącta
Arithmetica 4 (1958), str. 197, C1.