ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel

ARYTMETYKA MODULARNA
Grzegorz Szkibiel
Wiosna 2014/15
Spis tre±ci
1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci
3
2 Systemy pozycyjne
8
3 Elementy odwrotne
12
4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
17
5 Maªe Twierdzenie Fermata
20
6 Twierdzenie Eulera
23
7 Twierdzenie Lagrange'a
27
8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach
29
9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon
34
10 Kongruencje wy»szych stopni
38
11 Liczby pseudopierwsze
44
12 Pierwiastki pierwotne
49
13 Istnienie pierwiastków pierwotnych
53
14 Logarytm dyskretny
58
15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych
61
2
Wykªad 7
Twierdzenie Lagrange'a
Podstawowe twierdzenie algebry mówi, »e wielomian stopnia
n
o wspóªczyn-
n pierwiastków. Podobne twierdzen, ale tylko modulo liczba pierwsza. Dla
x4 ≡ 1 (mod 5) oraz x2 ≡ 1 (mod 8). Z
nikach zespolonych mo»e mie¢ co na jwy»ej
nie zachodzi dla kongruencji stopnia
przykªadu, rozwa»my kongruencje
twierdzenia 5.1, tj.
z Maªego Twierdzenia Fermata, mamy, »e pierwsza z
tych kongruencji ma dokªadnie 4 pierwiastki modulo 5 (s¡ to liczby wzgl¦dnie pierwsze z 5). Je±li chodzi o drug¡ kongruencj¦, to ma ona 4 pierwiastki:
1, 3, 5 i 7.
7.1 Twierdzenie
(Lagrange'a )
.
Niech
n ≥ 1
b¦dzie wielomianem stopnia
f (x) ≡ 0 (mod p)
b¦dzie liczb¡ pierwsz¡ i niech
f (x)
o wspóªczynnikach caªkowitych, którego
wspóªczynnik przy najwy»szej pot¦dze
gruencja
p
x
nie dzieli si¦ przez
ma co najwy»ej
n
p.
Wówczas kon-
pierwiastków modulo
p.
Dowód. Zastosujemy tu indukcj¦ ze wzgl¦du na stopie« wielomianu. Zaªó»my
f (x) jest wielomianem stopnia 1. Oznacza to, »e f (x) = ax + b,
p - a. Zatem a jest liczb¡ odwracaln¡ modulo p, czyli kongruencja
ax + b ≡ 0 (mod p) ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
zatem, »e
przy czym
Przypu±¢my, »e teza twierdzenia jest prawdziwa dla wszystkich wielomia-
f (x) b¦dzie wielomianem stopnia n. Je±li
f (x) nie ma pierwiastków, to twierdzenie jest udowodnione jako »e 0 ≤ n.
Przypu±¢my wi¦c, »e f (x) ma pierwiastek a. Z twierdzenia o podzielno±ci
dla wielomianów, wynika, »e istniej¡ wielomiany q(x) oraz r(x), takie »e
f (x) = (x − a)q(x) + r(x), przy czym deg r(x) < deg(x − a) = 1. Oznacza
to, w szczególno±ci, »e r(x) jest liczb¡ r . Poniewa» f (a) ≡ 0 (mod p), wi¦c
nów stopnia mniejszego od
n.
(a − a)q(a) + r ≡ 0
Niech
(mod p),
27
st¡d
r≡0
(mod p).
Otrzymujemy wi¦c, »e
f (x) ≡ (x − a)q(x) (mod p).
Ale wielomian
q(x)
n − 1 pierwiastków (z zaªo»enia indukcyjnego). Co wi¦cej,
b jest pierwiastkiem wielomianu f (x), to (b − a)q(b) ≡ 0 (mod p), czyli
p | (b − a)q(b), wi¦c b ≡ a (mod p) lub b jest te» pierwiastkiem q(x). Zatem
f (x) ma, co na jwy»ej, o jeden pierwiastek wi¦cej ni» q(x), czyli co najwy»ej n.
ma co najwy»ej
je»eli
Na podstawie indukcji matematycznej, twierdzenie jest prawdziwe.
Powy»sze twierdzenie okre±la tylko maksymaln¡ liczb¦ pierwiastków wielomianu modulo
p.
sprawa ªatwa.
Udowodnimy teraz wniosek, który wypªywa z twierdze« La-
Nie mówi ono nic na temat ich zna jdywania, a nie jest to
grange'a i Fermata.
7.2 Wniosek.
kongruencja
p
x − 1 ≡ 0 (mod p)
Przypu±¢my, »e
jest liczb¡ pierwsz¡ oraz
d
ma dokªadnie
d
d | p − 1.
Wówczas
pierwiastków modulo
p.
xp−1 − 1 ≡ 0 (mod p) ma
. . . , p − 1. Zapiszmy p − 1 = kd.
Dowód. Z Maªego Twierdzenia Fermata wynika, »e
dokªadnie
p−1
rozwi¡za«, którymi s¡ 1, 2,
Mamy
xp−1 − 1 = (xd − 1)(xd(k−1) + xd(k−2) + · · · + xd + 1).
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, »e
a
(x
d(k−1)
+x
d(k−2)
d
+ · · · + x + 1)
xd − 1
Zatem prawa strona (7.1) ma co najwy»ej
ma dokªadnie
p−1
pierwiastków.
d
d(k − 1)
ma co najwy»ej
ma co na jwy»ej
p−1
(7.1)
pierwiastków,
pierwiastków.
pierwiastków, a strona lewa
Dlatego ka»dy z wielomianów po prawej
stronie (7.1) ma maksymaln¡ mo»liw¡ liczb¦ pierwiastków. W szczególno±ci,
xd − 1
ma dokªadnie
d
pierwiastków.
Z Maªego Twierdzenia Fermata oraz z poprzedniego wniosku wynika nast¦puj¡ce twierdzenie,
które wykorzystamy przy rozwa»aniu tak zwanych
liczb silnie pseudopierwszych.
7.3 Twierdzenie. Przypu±¢my, »e p jest liczb¡ pierwsz¡ i d oznacza najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb
d
pierwiastków modulo
s i p − 1.
Wówczas wielomian
xs − 1
ma dokªadnie
p.
d | s, wi¦c tak»e xd − 1 | xs − 1. Z
d
wniosku 7.2 wynika, »e kongruencja x − 1 ≡ 0 (mod p) ma dokªadnie d pier-
Dowód. Zauwa»my na jpierw, »e poniewa»
wiastków. Z uwagi poczynionej na pocz¡tku dowodu, mamy, »e pierwiastki te
s¡ te» pierwiastkami kongruencji
kongruencja ma przynajmniej
d
x −1
modulo
p.
d
xs −1 ≡ 0 (mod p).
Oznacza to, »e ostatnia
pierwiastków i s¡ to pierwiastki wielomianu
Przypu±¢my, »e
y
jest pierwiastkiem modulo
28
p
wielomianu
xs − 1, ale nie jest on pierwiastkiem kongruencji xd − 1 ≡ 0 (mod p). Jedp−1
nak»e p - y , wi¦c y
− 1 ≡ 0 (mod p). Zatem z twierdzenia 5.4 wynika, »e
y d −1 ≡ 0 (mod p), czyli y jest pierwiastkiem xd −1 i mamy sprzeczno±¢.
7.4 Przykªad.
4
Poniewa» 4 jest dzielnikiem liczby 12,
x ≡ 1 (mod 13)
wi¦c kongruencja
ma oprócz oczywistych pierwiastków 1 i
−1
jeszcze dwa
pierwiastki.
7.5 Przykªad.
Przypu±¢my, »e p ≡ 1 (mod 4).
Wówczas istnieje pier−1 modulo p, czyli kongruencja x2 ≡ −1 (mod p) ma rozwi¡zanie.
Aby to zauwa»y¢, zapiszmy p = 4k + 1.
Z twierdzenia 5.1, kongruencja
x4k ≡ 1 (mod p) ma dokªadnie 4k (czyli p − 1) pierwiastków. Poniewa»
x4k − 1 = (x2k − 1)(x2k + 1), wi¦c wielomiany x2k − 1 oraz x2k + 1 maj¡
2k
po 2k pierwiastków. Ale je±li a jest pierwiastkiem x
+ 1, to x = ak jest
2
rozwi¡zaniem x + 1, czyli pierwiastkiem z −1.
wiastek z
29