Zaokrąglanie liczb po przecinku i przed przecinkiem

Zaokrąglanie liczb
Przedmowa
To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się
z zaokrąglaniem liczb. Oprócz wiedzy potrzebnej uczniom szkół podstawowych zamieściłem tu opis błędu bezwzględnego i względnego oraz podawanie przybliżonej wartości pierwiastków bez używania kalkulatora. Wszystko
co tu zawarłem, starałem się tak pisać, by dosłownie każdy niezależnie od wieku, zrozumiał wszystko co tyczy się
tego tematu. Na tyle na ile potrafiłem przedstawiłem najkrótsze i najbardziej zrozumiałe metody zaokrąglania
liczb, ilustrując je rozwiązanymi zadaniami i ćwiczeniami do samodzielnego rozwiązania. Wszystkie moje opracowania cechują się zrozumiałym językiem oraz zachowaniem poprawności matematycznej.
Spis tematów
1. Po co uczyć się zaokrąglania liczb? ...................................................................................................................... 2
2. Co trzeba wiedzieć nim zacznie się zaokrąglać liczby? ....................................................................................... 3
— rząd liczby ..................................................................................................................................................... 3
— wielokrotność liczby ..................................................................................................................................... 4
3. Zaokrąglanie liczb naturalnych oraz ułamków dziesiętnych do: ........................................................................ 5
— rzędu dziesiątek ........................................................................................................................................... 5
— rzędu setek ................................................................................................................................................. 8
— rzędów wyższych niż 100 ........................................................................................................................... 11
— rzędu jedności ............................................................................................................................................. 12
4. Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych: ............................................................................................................... 14
— do rzędu części dziesiątych ........................................................................................................................ 14
— do rzędu części setnych ............................................................................................................................. 15
— do rzędu niższego od części setnych ......................................................................................................... 16
— okresowych ................................................................................................................................................. 17
5. Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych. .............................................................................. 18
6. Zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. ........................................................................................ 20
7. Zaokrąglanie liczb z nadmiarem i niedomiarem. ............................................................................................. 22
8. Własności zaokrąglania liczb. ............................................................................................................................ 24
— Zaokrąglanie liczb całkowitych ujemnych. ................................................................................................... 27
9. Błąd zaokrąglenia. ............................................................................................................................................ 28
— błąd bezwzględny ...................................................................................................................................... 28
— błąd względny (procentowy) ...................................................................................................................... 29
10. Podawanie przybliżeń pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. ................................................................. 30
11. Zastosowanie zaokrąglania liczb. ...................................................................................................................... 33
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 1
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Po co uczyć się zaokrąglania liczb?
Zacznijmy od czegoś co pozornie nie jest związane z tematem tego opracowania, a mianowicie od odległości między
Ziemią a Słońcem. W różnych książkach możesz znaleźć informację o tym, że odległość ta wynosi 149 000 000 km.
Moje pytanie jest takie, czy odległość ta to dokładnie 149 000 000 km czy mniej więcej 149 000 000 km?
A co liczbą ludzi na Ziemi? W różnych źródłach znajdziesz, że około roku 2000 na Ziemi żyło 6 000 000 000 ludzi. Dokładnie tyle co do osoby? — czy mniej więcej 6 000 000 000?
Odległość z centrum Łodzi do centrum Warszawy jadąc drogą przez Rawę Mazowiecką wynosi 137 km. Dokładnie tyle i ani milimetra więcej czy mniej więcej tyle?
Powierzchnia oceanów stanowi 71% powierzchni Ziemi. Idealnie tyle, czy mniej więcej tyle?
Otóż na wszystkie powyższe pytania należy odpowiedzieć — mniej więcej tyle. Ale co to znaczy „mniej więcej tyle”?
Okazuje się, że to co potocznie określasz sformułowaniem „mniej więcej” matematycznie nazywa się zaokrągleniem
liczby. Musisz tylko narzucić sobie jakąś dokładność np. do 1 miliona lub do 1 miliarda lub do 1 kilometra itp. i podać
liczbę dość bliską liczbie rzeczywistej, którą łatwej będzie można zapamiętać.
Co łatwiej zapamiętać: czy to że kupione produkty w sklepie spożywczym kosztowały np. 2,99 zł, 12,78 zł, 20,18 zł
czy to, że kosztowały 3 zł, 13 zł, 20 zł? Wiadomo że te drugie ceny, bo nie posiadają końcówki wyrażonej w groszach.
Mało tego. Rzeczywisty koszt kupienia tych 3-ch produktów to:
2,99 zł + 12,78 zł + 20,18 zł = 35,95 zł
zaś ten sam koszt liczony po cenach zaokrąglonych to:
3 zł + 13 zł + 20zł = 36 zł
Jak widać, nie jest to wynik dokładny (różnica wynosi w tym przypadku 0,05 zł), ale czy te 5 groszy jest takie ważne?
Oczywiście że nie. Posługując się zaokrągleniami po prostu ułatwiasz sobie życie, choć na ogół nie dostajesz precyzyjnego wyniku. W tym opracowaniu pokażę Ci w jaki sposób należy zaokrąglać liczby jeśli wiesz jaką dokładność
chcesz uzyskać. Na początek co nieco powtórzmy z początkowych lat nauki w szkole podstawowej.
Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny
zarobek poprzez internet, bez wychodzenia z domu. Wejdź w link:
http://dobryzarobek.pl/index.php?id=b57fedcf66da493cb558c4d71186f51f
i przeczytaj to co tam jest napisane. Kliknij „Zarejestruj się” na dole strony i wpłać jednorazowo tylko 5 zł na podany tam numer konta bankowego. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Nawet jeśli to nie wypali, to stracisz tylko 5 zł. Jeśli
skusi się na to 1 osoba, to zwróci Ci się te 5 zł. W pozostałych przypadkach masz zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku
miesiącach.
UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do właściciela serwisu, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego konta bankowego. Chcesz zarobić? — to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do
użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić.
Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt
nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Nie robiąc przelewu w wyznaczonym czasie ryzykujesz tylko skasowaniem założonego tam konta.
Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie robi to ze swojego konta bankowego.
Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu osób chcących zrobić przelew. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej
liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz.
Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 2
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Co trzeba wiedzieć nim zacznie się zaokrąglać liczby?
Rząd liczby
Od dawna już wiesz, że każdą liczbę zapisujesz za pomocą cyfr (w systemie rzymskim cyfry wyglądają jak litery np.
I, V, X, L, C, D, M a w systemie arabskim tak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Mówiąc o zaokrągleniach będziesz mówić tylko
o cyfrach arabskich i o liczbach utworzonych wyłącznie za ich pomocą. Dodatkowo będziesz rozróżniać kolejność
cyfr w danej liczbie. Chodzi o to, że np. liczby 431, 143, 134, 413, 341, 314 nie są sobie równe choć każda z nich jest
utworzona z jednej cyfry 1, 3, 4. By móc rozróżnić liczby musisz najpierw wiedzieć co to jest rząd liczby.
Wyobraź sobie że razem ze swoją koleżanką oraz kolegą idziesz do kina na jakiś tam fajny film. Siadacie na mięciutkich wygodnych fotelach obok siebie i tak se siedzicie do końca filmu. No i co w tym szczególnego? Otóż wyobraź
sobie, że Ty, Twój kolega oraz Twoja koleżanka tuż przed przyjściem na ten film byliście aktorami w teatrzyku dla
5-cioletnich dzieci i że przyszliście do tego kina w kostiumach teatralnych. Wyobraź sobie, że Twoja koleżanka była
przebrana za cyfrę 5, Ty za cyfrę 7, a Twój kolega za cyfrę 0 i że siadając obok siebie do obejrzenia filmu utworzyliście liczbę 570. Matematycznie powiemy, że fotel na którym siedział Twój kolega nazywa się „rząd jedności”. Fotel
na którym Ty siedziałaś nazywa się „rząd dziesiątek”, a fotel na którym siedziała Twoja koleżanka nazywa się „rząd
setek”. Rząd liczby to nic innego jak nazwa miejsca w którym osadzona jest dana cyfra. Musisz jednak pamiętać, że
jeśli masz ułamek dziesiętny, to nazywanie miejsca w które wkładasz cyfrę rozpoczynasz od przecinka a nie od
ostatniej cyfry na prawo. Zobacz to na przykładzie ułamka dziesiętnego 123,45. W ułamku tym cyfra:
— 1 stoi w rzędzie setek
— 2 stoi w rzędzie dziesiątek
— 3 stoi w rzędzie jedności
— 4 stoi w rzędzie części dziesiątych (nie dziesiętnych i nie należy tego mylić ze sformułowaniem „ułamek dziesiętny”)
Informacja: Obecnie mówimy rząd części tysięcznych, zaś dawniej mówiono rząd części tysiącznych. Niektóre współczesne słowniki dopuszczają jeszcze stosowanie
obu tych sformułowań, ale zaznaczają, że to drugie staje się co raz mniej używane.
— 5 stoi w rzędzie części setnych.
Zatem nazwa rzędu liczby określa „odległość” w tejże liczbie zarówno na prawo jak i na lewo od przecinka. Jeśli
w liczbie nie ma przecinka, to domyślnie jest on usytuowany za ostatnią cyfrą np. 5279 = 5279,00000.
Zauważ, że mówiąc o nazwie rzędu znajdującego się za przecinkiem, używasz najpierw słowa części. Pominięcie go,
zawsze oznacza nazwę rzędu przed przecinkiem. Podobnie brzmiące sformułowania: rząd setek i rząd części setnych
nie oznaczają tego samego rzędu. Rząd setek zawiera trzecią cyfrę przed przecinkiem, zaś rząd części setnych zawiera drugą cyfrę po przecinku.
Wróćmy się jeszcze na chwilę do naszej liczby 123,45. Mam pytanie: Gdzie się podział w tej liczbie rząd tysięcy? Nie
ma go w tej liczbie, czy może jest tylko ukryty? Otóż jest. By się o tym przekonać wystarczy zrobić coś czego na ogół
się nie robi, a co jest poprawne. Otóż wystarczy przed daną liczbą dopisać zera. Zapis 0000123,45 nie jest na co
dzień spotykany, ale jest poprawny. Mając już taką postać widzisz już wyraźnie, że w rzędzie tysięcy jest 0 choć dostrzeżenie tego przy zapisie 123,45 nie było takie oczywiste. No dobra, a co np. z rzędem części milionowych? Też
jest ukryte? Tak. By się o tym przekonać wystarczy za daną liczbą dopisać wystarczająco dużo zer by pojawił się ów
rząd — dopisywanie zer na końcu za przecinkiem jest przecież poprawne i sporadycznie spotykane np. w sklepach
(łatwiej spotkać na półce sklepowej cenę np. 3,00 zł niż 3 zł, prawda?).
Podsumujmy to co ostatnio powiedzieliśmy. Jeśli mamy liczbę 123,45 to przed cyfrą stojącą w rzędzie setek i za cyfrą
stojącą w rzędzie części setnych są domyślnie same zera, więc w tej liczbie cyfrą:
— dziesiątek tysięcy jest 0
→ 00123,4500
— tysięcy jest 0
→ 00123,4500
— części tysięcznych jest 0
→ 00123,4500
— części dziesięciotysięcznych jest 0. → 00123,4500
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 3
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
a) 8546,45
Podkreśl cyfrę stojącą w rzędzie tysięcy.
b) 846,015
c) 0,1566
d) 98463
e) 65465,163
Ćwiczenie:
a) 8546,45
Podkreśl cyfrę stojącą w rzędzie części tysięcznych.
b) 846,015
c) 0,1586
d) 98463
e) 65465,163
Wielokrotność liczby
Wielokrotność liczby a to liczba b otrzymana z pomnożenia liczby a przez liczbę całkowitą1. Przykładowo wielokrotnością liczby 10 jest 0 oraz każda z liczb: 10, 20, 30, 40, 50, 60, itd. Wielokrotnością liczby np. 25 jest 0 oraz każda
z liczb: 25, 50, 75, 100, 125, 150, itd. Ponieważ liczby całkowite są także ujemne, więc wielokrotności mogą być także ujemne. Zatem wielokrotnościami liczby:
10 są: …, −20, −10, 0, 10, 20, 30, 40, …
→ liczba 10 została pomnożona odpowiednio przez: …, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …
20 są: …, −20, 0, 20, 40, 60, 80, 100, …
→ liczba 20 została pomnożona odpowiednio przez: …, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
100 są: …, −300, −200, −100, 0, 100, 200, 300, 400, …
→ liczba 100 została pomnożona odpowiednio przez: …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …
0 jest tylko 0.
→ liczba 0 została pomnożona przez dowolną liczbę całkowitą.
0 jest wielokrotnością każdej liczby oraz to, że wielokrotnością liczby a jest m.in. liczba a.
Dodatkowo zauważ, że każda wielokrotność liczby:
— 10
jest zakończona przynajmniej jednym zerem
— 100 jest zakończona przynajmniej dwoma zerami
— 1000 jest zakończona przynajmniej trzema zerami
…
1
Liczbę nazywamy całkowitą jeśli da się ją zamienić na ułamek zwykły o mianowniku 1 lub −1. Liczba taka po zamianie na ułamek dziesiętny nie ma cyfr za przecinkiem (wówczas przecinka się nie pisze) lub ma za nim wyłącznie zera.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 4
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Zaokrąglanie liczb naturalnych oraz ułamków dziesiętnych.
Zaokrąglanie liczb do rzędu 10-tek
Zaokrąglenie liczby do rzędu 10-tek polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 10. Przypuśćmy,
że liczbę 46 chcesz zaokrąglić do rzędu 10-tek. W myślach znajdujesz wielokrotności liczby 10:
…, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, …
i zauważasz, że liczba 46 leży między 40 a 50. Ponieważ do 50 jest bliżej niż do 40 (mniejsza różnica), więc szukanym
zaokrągleniem jest liczba 50. I ot cała filozofia z zaokrąglaniem. Symbolicznie możesz to zapisać w taki sposób:
50
46 ≈
Weź teraz inną liczbę. Niech nią będzie np. 123 i tak samo jak poprzednio spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 10-tek. Ponownie w myślach wyobraź sobie liczby:
…, 0, 10, 20, 30, 40, …, 120, 130, 140, 150, …
i zauważ, że liczba 123 leży między 120 a 130. Ponieważ do 120 jest bliżej niż do 130 (mniejsza różnica), więc szukane zaokrąglenie to liczba 120. Symbolicznie możesz zapisać to w taki sposób:
120
123 ≈
Proste, prawda? No teraz spróbuj wykonać poniższe ćwiczenie i sprawdź sobie czy wyniki wyjdą Ci zgodne z odpowiedziami.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek.
a) 27
b) 4
c) 9
d) 142
e) 386
[Odp. a) 30, b) 0, c) 10, d) 140, e) 390]
No dobrze, już coś umiesz, ale to dopiero początek. Zastanów się teraz ile wynosiłoby zaokrąglenie liczby np. 15 do
10-tek? Na podstawie tego co było napisane wcześniej należy w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 10,
czyli:
…, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, …
i sprawdzić czy liczba którą zaokrąglamy tj. 15 jest bliżej liczby 10 czy bliżej liczby 20. No i pojawia się tu pewien problem, bo liczba ta jest dokładnie w połowie między liczbą 10 a 20. No i co wtedy? Nie ma zaokrąglenia czy obie liczby
10 i 20 są jej zaokrągleniami? Otóż jest zaokrąglenie i jest nim liczba 20 a nie 10. W takich szczególnych przypadkach
gdy zaokrąglana liczba leży dokładnie w połowie, zawsze jako wynik zaokrąglenia musisz przyjąć liczbę większą2, czyli w tym przypadku liczbę 20.
20
15 ≈
Zobacz teraz inną liczbę np. 135 i tak jak poprzednio, spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 10-tek. W myślach wyobrażasz
sobie wielokrotności liczby 10:
…, 0, 10, 20, 30, 40, …, 120, 130, 140, 150, …
i zauważasz że leży ona dokładnie w połowie między 130 a 140. Oznacza to, że jej zaokrągleniem do tego rzędu
10-tek jest liczba 140 (większa z dwóch wyróżnionych kolorem niebieskim).
140
135 ≈
2
Nie dotyczy to zaokrąglania liczb mniejszych od zera.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 5
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek.
a) 25
b) 5
c) 75
d) 145
e) 385
[Odp. a) 30, b) 10, c) 80, d) 150, e) 390]
No dobra, a co z ułamkami dziesiętnymi np. z 28,75? Wszystko tak samo jak wyżej. Przypuśćmy, że podany przez
Ciebie ułamek 28,75 chcesz także zaokrąglić do rzędu 10-tek. Wówczas w myślach tak samo jak poprzednio wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 10:
…, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, …
i zauważasz, że liczba 28,75 leży między 20 a 30 i bliżej jej do 30 niż do 20. Zatem zaokrągleniem liczby 28,75 do rzędu 10-tek jest liczba 30. Symbolicznie możesz to zapisać w postaci:
30
28,75 ≈
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek.
a) 14,7
b) 54,17
c) 196,1
d) 1,09
e) 429,009
[Odp. a) 10, b) 50, c) 200, d) 0, e) 430]
Niby już wiesz wszystko o zaokrąglaniu liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych do wskazanego rzędu, ale czy zastanawiałaś się nad tym jak np. do rzędu 10-tek zaokrąglić dużą liczbę np. 46513115617? Niby tak samo jak poprzednio, czyli poprzez wyobrażenie sobie wielokrotności liczby 10:
…, 0, 10, 20, 30, 40, …, 120, 130, 140, 150, …
no ale nim myślami zbliżysz się do liczby 46513115617 to dużo czasu minie, a i po drodze możesz się pomylić. Powyższe wyobrażanie sobie wielokrotności danego rzędu nie jest wygodne dla dużych liczb, choć jest poprawne. Dla
dużych liczb warto znaleźć inną metodę równoważną powyższej. Taka metoda oczywiście jest i jest bardzo łatwa do
zrozumienia. Wystarczy zauważyć, że zaokrąglając liczby jakie były w tym temacie do rzędu 10-tek zawsze w wyniku
końcowym dostawaliśmy liczbę zakończoną co najmniej jednym zerem, bo rząd zaokrąglenia wynosił 10, a każda
wielokrotność liczby 10 ma na końcu co najmniej jedno zero. Zatem by liczbę dużą np. 46513115617 zaokrąglić do
rzędu 10-tek wystarczy zamienić w niej ostatnią cyfrę na 0 a liczbę przed nią stojącą tj. 4651311561 zwiększyć o 1,
bo cyfra zamieniona na 0 tj. 7 była większa od 4. Innymi słowy:
46513115620
46513115617 ≈
By łatwiej ogarnąć ten szybki sposób (prawdziwy również dla małych liczb), wystarczy wyobrazić sobie, że przy zaokrągleniach do rzędu 10-tek odcinamy w danej liczbie cyfrę jedności (bo liczba 10 ma jedno zero):
i każdą cyfrę znajdującą się za niebieską kreską zamieniamy na 0. Dodatkowo jeśli pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, to liczbę znajdującą się przed niebieską kreską zwiększamy o 1, w przeciwnym razie przepisujemy
ją bez zmian.
Zobacz inny przykład. Tym razem weźmy liczbę 541232132,98465 i tak samo jak poprzednio spróbujmy zaokrąglić ją
do rzędu 10-tek. Ponieważ liczba 10 ma jedno zero, więc robisz cięcie w takim miejscu, by między niebieską kreską
a przecinkiem została dokładnie jedna cyfra.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 6
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze). Z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, przepisujesz liczbę która jest po lewej stronie tej kreski, czyli liczbę 54123213. Dostajesz więc, że:
541232130,00000
541232132,98465 ≈
Zważywszy na to że zera końcowe za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają wartości danej liczby), więc masz, że:
541232130
541232132,98465 ≈
Dla upewnienia się, że to rozumiesz, zobacz jeszcze zaokrąglanie liczby 9999999,13 także do rzędu 10-tek. Ponieważ
liczba 10 ma jedno zero, więc robisz cięcie w takim miejscu, by między niebieską kreską a przecinkiem została dokładnie jedna cyfra.
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze) i z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, liczbę po lewej stronie tej kreski zwiększasz o 1. Przerabiasz więc
liczbę 999999 na 1 000 000.
10000000
9999999,13 ≈
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek.
a) 999,1
b) 5645465,16
c) 86113213,564
d) 54654654,99
e) 1232999,99999
[Odp. a) 1000, b) 5645470, c) 86113210, d) 54654650, e) 1233000]
Zróbmy małe podsumowanie o zaokrąglaniu do rzędu 10-tek. Jeśli masz małą liczbę, powiedzmy z zakresu od 0 do
1000, (mogą to być także ułamki dziesiętne z tego zakresu), to wygodnie jest w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 10 i zobaczyć do której wielokrotności jest najbliżej. W przypadku większych liczb wygodniejsze jest stosowanie obcinania cyfr począwszy od cyfry jedności.
Spróbuj prześledzić jak za pomocą obcinania wyglądałoby np. podawanie zaokrąglenia liczby 6,54854321 do rzędu
dziesiątek. Tak jak poprzednio obcinamy cyfrę jedności, czyli stawiamy kreskę w taki sposób by między nią a przecinkiem znajdowała się dokładnie jedna cyfra.
6,54854321
Jedyna różnica w stosunku do tego co było poprzednio jest taka, że tym razem przed kreską nie ma żadnej cyfry.
Tym się jednak nie przejmuj, bo brak cyfr przed kreską jest równoważny występowaniu przed nią samych zer. Innymi słowy powyższy zapis jest równoważny zapisowi:
06,54854321
No i jakoś bardziej swojsko się już zrobiło. Teraz tak samo jak poprzednio wszystkie cyfry za kreską zamieniasz na zera, pamiętając o tym, że zer za przecinkiem się nie pisze. Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa
od 4, więc liczbę stojącą przed niebieską kreską zwiększasz o 1. Dostajesz więc, że:
10
6,54854321 ≈
Widzisz teraz wyraźnie, że w celu zaokrąglania tak małych liczb szybsze jest wyobrażanie sobie liczb 0, 10, 20, 30, …
niż bawienie się obcinaniem cyfr, prawda?
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 7
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zaokrąglanie liczb do rzędu 100-tek
Zaokrąglenie liczby do rzędu 100-tek polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 100. Przypuśćmy, że liczbę 46 chcesz zaokrąglić do rzędu 100-tek. W myślach znajdujesz wielokrotności liczby 100:
…, 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, …
i zauważasz, że liczba 46 leży między 0 a 100. Ponieważ do 0 jest bliżej niż do 100 (mniejsza różnica), więc szukanym
zaokrągleniem jest liczba 0. I ot cała filozofia z zaokrąglaniem. Symbolicznie możesz to zapisać w taki sposób:
0
46 ≈
Weź teraz inną liczbę. Niech nią będzie np. 1237 i tak samo jak poprzednio spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 100-tek.
Ponownie w myślach wyobraź sobie liczby:
…, 0, 100, 200, 300, 400, …, 1200, 1300, 1400, 1500, …
i zauważ, że liczba 1237 leży między 1200 a 1300. Ponieważ do 1200 jest bliżej niż do 1300 (mniejsza różnica), więc
szukane zaokrąglenie to liczba 1200. Symbolicznie możesz zapisać to w taki sposób:
1200
1237 ≈
Proste, prawda? No teraz spróbuj wykonać poniższe ćwiczenie i sprawdź sobie czy wyniki wyjdą Ci zgodne z odpowiedziami.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek.
a) 27
b) 4
c) 752
d) 142
e) 386
[Odp. a) 0, b) 0, c) 800, d) 100, e) 400]
No dobrze, już coś umiesz, ale to dopiero początek. Zastanów się teraz ile wynosiłoby zaokrąglenie liczby np. 150 do
100-tek? Na podstawie tego co było napisane wcześniej należy w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby
100, czyli:
…, 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, …
i sprawdzić czy liczba którą zaokrąglamy tj. 150 jest bliżej liczby 100 czy bliżej liczby 200. No i pojawia się tu pewien
problem, bo liczba ta jest dokładnie w połowie między liczbą 100 a 200. No i co wtedy? Nie ma zaokrąglenia czy obie
liczby 100 i 200 są jej zaokrągleniami? Otóż jest zaokrąglenie i jest nim liczba 200 a nie 100. W takich szczególnych
przypadkach gdy zaokrąglana liczba leży dokładnie w połowie, zawsze jako wynik zaokrąglenia musisz przyjąć liczbę
większą3, czyli w tym przypadku liczbę 200.
200
150 ≈
Zobacz teraz inną liczbę np. 1350 i tak jak poprzednio, spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 100-tek. W myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 100:
…, 0, 100, 200, 300, 400, …, 1200, 1300, 1400, 1500, …
i zauważasz że leży ona dokładnie w połowie między 1300 a 1400. Oznacza to, że jej zaokrągleniem do rzędu 100-tek
jest liczba 1400 (większa z dwóch wyróżnionych kolorem niebieskim).
1400
1350 ≈
3
Nie dotyczy to zaokrąglania liczb mniejszych od zera.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 8
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek.
a) 50
b) 350
c) 850
d) 1450
e) 3850
[Odp. a) 100, b) 400, c) 900, d) 1500, e) 3900]
No dobra, a co z ułamkami dziesiętnymi np. z 28,75? Wszystko tak samo jak wyżej. Przypuśćmy, że podany przez
Ciebie ułamek 28,75 chcesz także zaokrąglić do rzędu 100-tek. Wówczas w myślach ponownie wyobrażasz sobie
wielokrotności liczby 100:
…, 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, …
i zauważasz, że liczba 28,75 leży między 0 a 100 i bliżej jej do 0 niż do 100. Zatem zaokrągleniem liczby 28,75 do rzędu 100-tek jest liczba 0. Symbolicznie możesz to zapisać w postaci:
0
28,75 ≈
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek.
a) 157,4
b) 34,16
c) 692,1
d) 1542,09
e) 426,00001
[Odp. a) 200, b) 0, c) 700, d) 1500, e) 400]
Niby już wiesz wszystko o zaokrąglaniu liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych do wskazanego rzędu, ale czy zastanawiałaś się nad tym jak np. do rzędu 100-tek zaokrąglić dużą liczbę np. 46513115617? Niby tak samo jak poprzednio, czyli poprzez wyobrażenie sobie wielokrotności liczby 100:
…, 0, 100, 200, 300, 400, …, 1200, 1300, 1400, 1500, …
no ale nim myślowo zbliżysz się do liczby 46513115617 to dużo czasu może minąć, a i po drodze możesz się pomylić.
Powyższe wyobrażanie sobie wielokrotności danego rzędu nie jest wygodne dla dużych liczb, choć jest poprawne.
Dla dużych liczb warto znaleźć inną metodę równoważną powyższej. Taka metoda oczywiście jest i jest bardzo łatwa
do zrozumienia. Wystarczy zauważyć, że zaokrąglając liczbę do rzędu 100-tek zawsze wynik końcowy był zakończony
co najmniej dwoma zerami, bo rząd zaokrąglenia wynosił 100, a każda wielokrotność liczby 100 ma na końcu co
najmniej dwa zera. Zatem by liczbę dużą np. 46513115687 zaokrąglić do rzędu 100-tek wystarczy zamienić w niej 2
ostatnie cyfry na 0 a liczbę przed nią stojącą tj. 465131156 zwiększyć o 1, bo pierwsza cyfra zamieniona na 0 tj. 8 była większa od 4. Innymi słowy:
46513115700
46513115687 ≈
By łatwiej ogarnąć ten szybki sposób (prawdziwy również dla małych liczb), wystarczy wyobrazić sobie, że przy zaokrągleniach do rzędu 100-tek tniesz daną liczbę między cyfrą dziesiątek a cyfrą setek (bo liczba 100 ma dwa zera).
Innymi słowy stawiasz niebieską kreskę pionową w takim miejscu by między nią a przecinkiem zostały dokładnie 2
cyfry (bo liczba 100 ma 2 zera):
46513115687
i każdą cyfrę znajdującą się za niebieską kreską zawsze zamieniasz na 0. Dodatkowo patrzysz na pierwszą cyfrę za
niebieską kreską i oceniasz czy jest ona większa od 4 czy nie. Jeśli tak, to liczbę po lewej stronie niebieskiej kreski
zwiększasz o 1 (nie jej ostatnią cyfrę), a jeśli nie to tylko ją przepisujesz.
Zobacz inny przykład. Tym razem weźmy liczbę 541232132,98465 i tak samo jak poprzednio spróbujmy zaokrąglić ją
do rzędu 100-tek. Ponieważ liczba 100 ma dwa zera, więc cięcie robisz w takim miejscu by między kreską a przecinkiem znalazły się dokładnie 2 cyfry:
541232132,98465
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze). Następnie z tytułu tego,
że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, przepisujesz liczbę która jest po lewej stronie tej kreski,
czyli liczbę 5412321. Dostajesz więc, że:
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 9
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
541232100
541232132,98465 ≈
Dla upewnienia się, że to rozumiesz, zobacz jeszcze zaokrąglanie liczby 9999999,13 także do rzędu 100-tek. Ponieważ liczba 100 ma dwa zera, więc cięcie robisz między cyfrą setek a cyfrą dziesiątek:
9999999,13
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze). Z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, liczbę po lewej stronie tej kreski zwiększasz o 1. Przerabiasz więc
liczbę 99999 na 100 000. Dostajesz więc, że:
10000000
9999999,13 ≈
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564
d) 54654654,99
e) 1232999,99999
[Odp. a) 1000, b) 5645500, c) 86113200, d) 54654700, e) 1233000]
Zróbmy małe podsumowanie o zaokrąglaniu do rzędu 100-tek. Jeśli masz małą liczbę, powiedzmy z zakresu od 0 do
1000, (mogą to być także ułamki dziesiętne z tego zakresu), to wygodnie jest w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 100 i zobaczyć do której wielokrotności jest najbliżej. W przypadku większych liczb wygodniejsze jest
stosowanie obcinania cyfr począwszy od cyfry jedności. Spróbuj prześledzić jak za pomocą obcinania wyglądałoby
np. podawanie zaokrąglenia liczby 6,54854321 do rzędu setek. Tak jak poprzednio tniemy między cyfrą dziesiątek
a cyfrą setek, ale pojawia się nowy problem którego wcześniej nie było. Otóż w liczbie tej nie ma ani cyfry dziesiątek
ani cyfry setek. Pojawia się więc pytanie, co zrobić w takim feralnym przypadku? Skoro nie ma w danej liczbie cyfry
dziesiątek i cyfry setek to je sobie dopisz dostawiając z przodu tej liczy same zera. Otrzymasz wówczas:
006,54854321
No i jakoś bardziej swojsko się już zrobiło. Teraz tak samo jak poprzednio wszystkie cyfry za kreską zamieniasz na zera, pamiętając o tym, że zer za przecinkiem się nie pisze. Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc liczbę stojącą przed niebieską kreską przepisujesz. Dostajesz więc, że:
0
6,54854321 ≈
Widzisz teraz wyraźnie, że w celu zaokrąglania tak małych liczb szybsze jest wyobrażanie sobie liczb 0, 100, 200, 300,
itd. niż bawienie się obcinaniem cyfr, prawda?
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 10
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zaokrąglanie liczb do rzędów wyższych niż 100
Zaokrąglanie liczb do rzędu tysięcy, dziesiątek tysięcy, setek tysięcy, milionów itd. niczym się nie różni od wyżej
omówionych sposobów. Jeśli masz jakąś liczbę zaokrąglić np. do rzędu tysięcy, to w myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 1000 tj.: 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000 itd. i sprawdzasz do której wielokrotności
Twojej liczbie jest najbliżej. Jeśli Twoja liczba leży dokładnie w połowie między wymienionymi wielokrotnościami to
zawsze wybierasz większą wielokrotność. Przykładowo gdy masz liczbę 3500 to widzisz że leży ona dokładnie w połowie między 3000 i 4000 więc jej zaokrągleniem do tysięcy jest 4000 a nie 3000. Jeśli tego typu sposób zaokrąglania
Ci się nie widzi, możesz zrobić cięcie w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem były dokładnie 3 cyfry
(tysiąc ma 3 zera)
3500
Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, więc liczbę z lewej strony niebieskiej kreski zwiększasz o 1 i każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na 0. W wyniku tego dostajesz, że:
4000
3500 ≈
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy.
a) 500
b) 7500
c) 8500
d) 14500
e) 38500
[Odp. a) 1000, b) 8000, c) 9000, d) 15000, e) 39000]
Zobacz inne przykłady.
0
463,123 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz
i każdą cyfrę na prawo od
niebieskiej kreski zamieniasz na 0.
Ćwiczenie:
7000 8587,5964 ≈
9000
7456,4568 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej
kreski zamieniasz na 0.
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 1
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej
kreski zamieniasz na 0.
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy.
a) 780
b) 5640
c) 46513
d) 65432
0
89,8 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz
i każdą cyfrę na prawo od
niebieskiej kreski zamieniasz na 0.
1000
537 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 1
i każdą cyfrę na prawo od
niebieskiej kreski zamieniasz na 0.
e) 54543132
[Odp. a) 1000, b) 6000, c) 47000, d) 65000, e) 54543000]
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy.
a) 65,5
b) 684,654
c) 1286,156 d) 54894,58
e) 641,14654
[Odp. a) 0, b) 1000, c) 1000, d) 55000, e) 1000]
Rozpatrz teraz liczbę 3299654546,0146 i zaokrąglij ją do rzędu milionów. Ponieważ milion ma 6 zer, więc robisz cięcie w takim miejscu by między kreską a przecinkiem zostało 6 cyfr:
3299654546,0146
i liczbę z lewej strony tj. 3299 niebieskiej kreski zwiększasz o 1 (otrzymujesz liczbę 3300), bo pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4. Dodatkowo każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na 0 (zer za przecinkiem się
nie pisze), w wyniku czego dostajesz, że:
3299654546,0146
Wersja z dnia: 27.12.2010
≈
3300000000
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 11
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zobacz inne przykłady.
54656463,123
≈
55000000
440587,5964
Pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską
zwiększasz o 1 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0.
Ćwiczenie:
≈
0
Pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską
przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0.
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564
d) 54654654,99
e) 1232999,99999
d) 54654654,99
e) 1232999,99999
d) 54654654,99
e) 1232999,99999
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1 000 000-ów.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99
e) 1232999,99999
[Odp. a) 1000, b) 5645000, c) 86113000, d) 54655000, e) 1233000]
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10 000-cy.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564
[Odp. a) 0, b) 5650000, c) 86110000, d) 54650000, e) 1230000]
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100 000-cy.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564
[Odp. a) 0, b) 5600000, c) 86100000, d) 54700000, e) 1200000]
Ćwiczenie:
[Odp. a) 0, b) 6000000, c) 86000000, d) 55000000, e) 1000000]
Zaokrąglanie liczb do rzędu jedności
Zaokrąglanie liczb do rzędu jedności niczym się nie różni od wyżej omówionych sposobów. Jeśli masz jakąś liczbę zaokrąglić np. do rzędu jedności, to w myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 1 tj.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd.
i sprawdzasz do której wielokrotności Twojej liczbie jest najbliżej. Jeśli Twoja liczba leży dokładnie w połowie między
wymienionymi wielokrotnościami to zawsze wybierasz większą wielokrotność. Przykładowo gdy masz liczbę 7,5 to
widzisz że leży ona dokładnie w połowie między 7 i 8 więc jej zaokrągleniem do jedności jest 8 a nie 7. Jeśli tego typu
sposób zaokrąglania Ci się nie widzi, to możesz swoją liczbę zaokrąglić robiąc wcześniej omówione cięcie w miejscu
w którym jest przecinek. Zobacz. Masz liczbę 7,5 i tniesz ją w miejscu w którym jest przecinek:
7,5
Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską tj. 5 jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz
o 1, a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zera. Dzięki temu otrzymujesz, że:
8,0
7,5 ≈
Ponieważ końcowych zer za przecinkiem się nie pisze, więc w rezultacie masz, że:
8
7,5 ≈
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 12
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1-ności.
a) 50,5
b) 350,5
c) 850,5
d) 1450,5
e) 3850,5
[Odp. a) 51, b) 351, c) 851, d) 1451, e) 3851]
Rozpatrz teraz liczbę 3299654546,4126 i zaokrąglij ją do rzędu jedności. Robisz cięcie w miejscu w którym jest przecinek:
3299654546,4126
i liczbę z lewej strony tj. 3299654546 niebieskiej kreski przepisujesz bez zmian, bo pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4. Dodatkowo każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na 0 (zer za przecinkiem się nie pisze),
w wyniku czego dostajesz, że:
3299654546
3299654546,4126 ≈
Zobacz inne przykłady.
46
46,3123 ≈
456
456,4568 ≈
88
87,5964 ≈
90
89,8 ≈
237
237 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej
kreski zamieniasz na 0.
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej
kreski zamieniasz na 0.
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 1
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej
kreski zamieniasz na 0.
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 1
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej
kreski zamieniasz na 0.
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest równa 0, więc liczbę przed
niebieską kreską przepisujesz i każdą
cyfrę na prawo od niebieskiej kreski
zamieniasz na 0.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij podane liczby do rzędu jedności.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564
d) 54654654,99
e) 1232999,99999
[Odp. a) 999, b) 5645465, c) 86113214, d) 54654655, e) 1233000]
Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny
zarobek poprzez internet, bez wychodzenia z domu. Wejdź w link:
http://dobryzarobek.pl/index.php?id=b57fedcf66da493cb558c4d71186f51f
i przeczytaj to co tam jest napisane. Kliknij „Zarejestruj się” na dole strony i wpłać jednorazowo tylko 5 zł na podany tam numer konta bankowego. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Nawet jeśli to nie wypali, to stracisz tylko 5 zł. Jeśli
skusi się na to 1 osoba, to zwróci Ci się te 5 zł. W pozostałych przypadkach masz zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku
miesiącach.
UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do właściciela serwisu, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego konta bankowego. Chcesz zarobić? — to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do
użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić.
Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt
nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Nie robiąc przelewu w wyznaczonym czasie ryzykujesz tylko skasowaniem założonego tam konta.
Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie robi to ze swojego konta bankowego.
Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu osób chcących zrobić przelew. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej
liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz.
Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 13
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych do rzędu za przecinkiem.
Zaokrąglanie liczb do rzędu części dziesiątych (do 0,1)
Zaokrąglenie liczby do rzędu części dziesiątych (nie dziesiętnych) polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 0,1. Generalnie chodzi o to, że wynik takiego zaokrąglenia musi zawsze mieć dokładnie 1 cyfrę za
przecinkiem, nawet jeśli cyfrą tą będzie 0.
Przypuśćmy, że liczbę 46,87 chcesz zaokrąglić do rzędu części dziesiątych. Ponieważ wynik musi zawierać zawsze 1
cyfrę za przecinkiem, więc robisz cięcie danej liczby w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem znajdowała się dokładnie 1 cyfra.
46,87
Mając już zrobione cięcie patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i jeśli jest ona większa od 4, to liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 0,1 (bo do takiego rzędu zaokrąglasz liczbę), a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zero — w przeciwnym razie liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Otrzymujesz więc, że zaokrągleniem powyższej liczby jest:
46,90
Ponieważ końcowe zera za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają one wartości danej liczby), więc należy je wykreślić. Masz zatem, że:
,
46,9
46,87 ≈
Zobacz inne przykłady.
,
46,3
46,3123 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz.
Ćwiczenie:
,
456,5
456,4568 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 0,1.
,
88,0
87,9764 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 0,1.
,
89,8
89,8 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest równa 0, więc liczbę przed
niebieską kreską przepisujesz.
Zaokrąglij podane liczby do rzędu części dziesiątych.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99
,
237,0
237 ≈
237 = 237,0 czyli pierwsza cyfra za
niebieską kreską nie jest większa od
4, więc daną liczbę przepisujesz.
e) 1232999,99999
[Odp. a) 999,1 b) 5645465,2 c) 86113213,6 d) 54654655,0 e) 1233000,0]
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 14
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zaokrąglanie liczb do rzędu części setnych (do 0,01)
Zaokrąglenie liczby do rzędu części setnych polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 0,01.
Generalnie chodzi o to, że wynik takiego zaokrąglenia musi zawsze mieć dokładnie 2 cyfry za przecinkiem (bo liczba
0,01 ma 2 cyfry za przecinkiem), nawet jeśli cyframi tymi będą zera.
Przypuśćmy, że liczbę 46,8798 chcesz zaokrąglić do rzędu części setnych. Ponieważ wynik musi zawierać 2 cyfry za
przecinkiem, więc robisz cięcie danej liczby w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem znajdowały się
dokładnie 2 cyfry.
46,8798
Mając już zrobione cięcie patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i jeśli jest ona większa od 4, to liczbę przed
niebieską kreską (w powyższym przypadku 46,87) zwiększasz o 0,01 (bo do takiego rzędu zaokrąglasz liczbę), a każdą
cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zero — w przeciwnym razie liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez
zmian. Otrzymujesz więc, że zaokrągleniem powyższej liczby jest:
46,8800
Ponieważ końcowe zera za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają one wartości danej liczby), więc należy je wykreślić. Masz zatem, że:
,
46,88
46,8798 ≈
Jeśli dana liczba nie ma cyfr za przecinkiem, np. 7954 to najpierw dopisz przecinek i co najmniej 3 zera, a dopiero
potem postępuj jak wyżej. Zatem najpierw liczbę 7954 zapisz w postaci 7954,000 i dopiero teraz postaw niebieską
kreskę w taki sposób, by między nią a przecinkiem były dokładnie 2 cyfry:
7954,000
Mając już taką postać jak wyżej, widzisz wyraźnie, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc
liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Masz więc, że:
,
7954,00
7954 ≈
a po odrzuceniu końcowych zer za przecinkiem, dostajesz, że:
,
7954
7954 ≈
Zobacz inne przykłady.
,
46,31
46,3123 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz.
Ćwiczenie:
,
456,56
456,4568 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 0,01.
,
87,60
87,5964 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 0,01.
,
89,80
89,8 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest równa 0, więc liczbę przed
niebieską kreską przepisujesz.
Zaokrąglij podane liczby do rzędu części setnych.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 6113213,564 d) 54654654,998
,
237,00
237 ≈
237 = 237,00 czyli pierwsza cyfra za
niebieską kreską nie jest większa od
4, więc daną liczbę przepisujesz.
e) 1232999,99999
[Odp. a) 999,10 b) 5645465,16 c) 6113213,56 d) 54654655,00 e) 1233000,00]
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 15
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zaokrąglanie liczb do rzędu niższego od części setnych
Zaokrąglenie liczby do rzędu niższego od części setnych polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności
liczby 0,001 lub 0,0001 lub 0,00001 lub 0,000001 lub … . Generalnie chodzi o to, że wynik takiego zaokrąglenia musi
zawsze mieć dokładnie tyle cyfr za przecinkiem ile cyfr za przecinkiem jest w liczbie 0,001 lub 0,0001 lub 0,00001 lub
0,000001 lub … .
Przypuśćmy, że liczbę 46,8798 chcesz zaokrąglić do rzędu części tysięcznych (dawniej tysiącznych) czyli do 0, 001
.
Ponieważ wynik musi zawierać 3 cyfry za przecinkiem, więc robisz cięcie danej liczby w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem znajdowały się dokładnie 3 cyfry.
46,8798
Mając już zrobione cięcie patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i jeśli jest ona większa od 4, to liczbę przed
niebieską kreską (w powyższym przypadku 46,879) zwiększasz o 0,001 (bo do takiego rzędu zaokrąglasz liczbę),
a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zero — w przeciwnym razie liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Otrzymujesz więc, że zaokrągleniem powyższej liczby jest:
46,8800
Ponieważ końcowe zera za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają one wartości danej liczby), więc należy je wykreślić. Masz zatem, że:
,
46,88
46,8798 ≈
Jeśli dana liczba nie ma cyfr za przecinkiem, np. 7954 to najpierw dopisz przecinek i co najmniej 4 zera, a dopiero
potem postępuj jak wyżej. Zatem najpierw liczbę 7954 zapisz w postaci 7954,0000 i dopiero teraz postaw niebieską
kreskę w taki sposób, by między nią a przecinkiem były dokładnie 3 cyfry:
7954,0000
Mając już taką postać jak wyżej, widzisz wyraźnie, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc
liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Masz więc, że:
,
7954,000
7954 ≈
a po odrzuceniu końcowych zer za przecinkiem, dostajesz, że:
,
7954
7954 ≈
Zobacz inne przykłady.
,
,
46,312 456,4568 ≈
456,567
46,3123 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
nie jest większa od 4, więc liczbę
przed niebieską kreską przepisujesz.
Ćwiczenie:
Pierwsza cyfra za niebieską kreską jest
większa od 4, więc liczbę przed niebieską
kreską zwiększasz o 0,001.
,
,
,
87596
87,5964 ≈
89,800
89,8 ≈
237,000
237 ≈
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest większa od 4, więc liczbę przed
niebieską kreską zwiększasz o 0,001.
Pierwsza cyfra za niebieską kreską
jest równa 0, więc liczbę przed
niebieską kreską przepisujesz.
237 = 237,000 czyli pierwsza cyfra
za niebieską kreską nie jest większa
od 4, więc daną liczbę przepisujesz.
Zaokrąglij podane liczby do rzędu części tysięcznych.
a) 999,1 b) 5645465,16 c) 6113213,564 d) 54654654,998
e) 1232999,99999
[Odp. a) 999,100 b) 5645465,160 c) 6113213,560 d) 54654655,000 e) 1233000,000]
Zaokrąglanie do rzędu części dziesięciotysięcznych (0,0001), stutysięcznych (0,00001), milionowych (0,000001), itd.
odbywa się dokładnie w taki sam sposób jak wyżej, tyle tylko, że między niebieską kreską a przecinkiem musi być
więcej cyfr.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 16
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych okresowych
Na początek przypomnij sobie, że ułamek dziesiętny okresowy to ten, który po przecinku ma jakąś grupę cyfr systematycznie się powtarzającą (zakończoną wielokropkiem) np.:
— 54,8888…
— 45654,19191919…
— 123,00456456456456…
— 0,111222333111222333111222333…
oraz że te grupy cyfr które się powtarzają systematycznie możesz ująć w nawias, dzięki czemu dostaniesz krótszy zapis tych samych liczb:
— 54,(8)
— 45654,(19)
— 123,00(456)
— 0,(111222333)
W zaokrąglaniu ułamków dziesiętnych okresowych nie ma nic trudnego. Nim zaczniesz je zaokrąglać musisz tylko ich
skrócony zapis (ten z użyciem nawiasu) wydłużyć do wersji z wielokropkiem na końcu. Oznacza to, że ułamek 54,(8)
najpierw musisz zapisać w postaci 54,88888888888… a dopiero potem zaokrąglać go do wskazanego rzędu stosując
metody podane we wcześniejszych podtematach. To wszystko.
Zobacz inne przykłady.
,
546,0195
546,0195 = 546,0195195195195. . . ≈
,
546,0195 = 546,0195195195195. . .
≈
546,01952
,
546,0195 = 546,0195195195195. . .
≈
546,019520 ≈ 546,01952
,
546,0195 = 546,0195195195195. . .
Wersja z dnia: 27.12.2010
≈
546,0195195
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 17
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij liczbę 761,1(862) do rzędu a) tysięcy, b) setek, c) części tysięcznych, d)części stutysięcznych.
[Odp. a) 1000, b) 800, c) 761,186, d) 761,18629.]
Temat: Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych.
Prześledź już uzupełnioną tabelkę z zaokrągleniami niektórych liczb do wskazanego rzędu i sprawdź czy Tobie wyszłyby takie same odpowiedzi. Jeśli tak, to masz bardzo dobrze opanowane zaokrąglanie ułamków dziesiętnych, jeśli
nie, to musisz jeszcze trochę poćwiczyć.
zaokrąglenie do rzędu:
liczba
3
6
42
468
752
756
1398
3213,561
4687,499
6479
6531
12387,4
465744643,16
dziesiątek
tysięcy
tysięcy
setek
dziesiątek
jedności
części
dziesiątych
części
setnych
10000
1000
100
10
1
0,1
0,01
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
40
0
0
500
470
0
1000
800
750
0
1000
800
760
0
1000
1400
1400
0
3000
3200
3210
0
5000
4700
4690
10000
6000
6500
6480
10000
7000
6500
6530
10000
12000
12400
12390
465740000 465745000 165744600 465744640
Każda liczba kończy się co najmniej
4-ma zerami.
Ćwiczenie:
Każda liczba kończy się co najmniej
3-ma zerami.
Każda liczba kończy się co najmniej
2-ma zerami.
Każda liczba kończy się co najmniej
jednym zerem.
3
6
42
468
752
756
1398
3214
4687
6479
6531
12387
465744643
3,0
6,0
42,0
468,0
752,0
756,0
1398,0
3213,6
4687,5
6479,0
6531,0
12387,4
465744643,2
3,00
6,00
42,00
468,00
752,00
756,00
1398,00
3213,56
4687,50
6479,00
6531,00
12387,40
465744643,16
Brak części ułamkowej.
Każda liczba kończy się
dokładnie jedną cyfrą po
przecinku.
Każda liczba kończy się dokładnie dwiema cyframi po
przecinku.
Uzupełnij poniższą tabelkę.
liczba
10 000
1 000
100
zaokrąglenie do rzędu:
10
1
0,1
0,01
0,001
8762,3546
8749,2(58)
843,1(97)
58,9992
9,(9)
138,87
499,(84)
500,484
999,196
1000
1004
6,5
13,(13)
5764,876
29,999991
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 18
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zadanie: Długość Amazonki wynosi 6695 km, zaś długość Wisły 1047 km. Ile razy Amazonka jest dłuższa od Wisły?
Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.
Aby obliczyć ile razy Amazonka jest dłuższa od Wisły należy jej długość podzielić przez długość Wisły. Skoro otrzymany wynik ma być podany z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, więc dzielenie pisemne liczby 6695 przez 1047 wystarczy przerwać po otrzymaniu drugiej cyfry po przecinku.
Rozwiązanie:
,
6695 km ∶ (1047 km) ≈ 6,39 ≈
6,4
Odp. Amazonka jest dłuższa od Wisły mniej więcej 6,4 raza.
Zadanie: Sprzedawca zmieszał 1 kg cukierków w cenie 15,79 zł za 1 kilogram i pół kilograma innych cukierków
w cenie 6,89 zł za kilogram. Ile będzie wynosić cena 1 kg tej mieszanki? Podaj cenę z dokładnością do jednego grosza.
Rozwiązanie:
1 kg × 15,79 zł/kg = 15,79 zł
— tyle zapłacono za 1 kg cukierków pierwszego typu
0,5 kg × 6,89 zł/kg = 3,445 zł
— tyle zapłacono za 0,5 kg cukierków drugiego typu
Wszystkie te cukierki razem ważą 1,5 kg i kosztują 15,790 zł + 3,445 zł = 19,235 zł. Aby wyliczyć ile będzie
kosztować 1 kg tej mieszanki wystarcz że ułożysz równanie:
1,5 kg = 19,235 zł /: 1,5
,
12,82 zł
1 kg ≈
Odp. Jeden kilogram tej mieszanki będzie kosztować około 12,82 zł.
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
Narysuj kwadrat i zmierz długość jego boku oraz przekątnej. Oblicz stosunek4 długości przekątnej kwadratu do długości jego boku. Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 1,41.]
Narysuj trójkąt równoboczny i zmierz długość jego boku oraz długość wysokości. Oblicz stosunek długości wysokości tego trójkąta do długości jego boku. Wynik podaj zaokrąglij do rzędu części setnych.
[Odp. 0,87.]
4
Stosunek to wynik z podzielenia dwóch liczb przez siebie. Aby wyliczyć stosunek długości odcinków należy długość jednego odcinka podzielić przez długość drugiego z nich. Kolejność liczb które dzielimy przez siebie jest ważna.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 19
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Zaokrąglanie ułamków zwykłych.
Aby zaokrąglić ułamek zwykły np. భఴ do wskazanego rzędu, musisz go najpierw zamienić na ułamek dziesiętny. W tym
celu możesz posłużyć się dzieleniem pisemnym liczby 1 (bo jest ona nad kreską ułamkową) przez liczbę 8 (jest ona
pod kreską ułamkową) w wyniku którego otrzymasz ułamek dziesiętny 0,125. Mając już ułamek dziesiętny, zaokrąglasz go do podanego rzędu tak, jak to zostało omówione we wcześniejszych tematach. I ot cała filozofia. Dzielenie
pisemne nie jest przymusowe, ale jest zawsze skuteczne. W przypadku ułamka భఴ zamianę na ułamek dziesiętny rówభమఱ
nie dobrze można było osiągnąć mnożąc jego licznik przez 125 i mianownik również przez 125 co dałoby ułamek భబబబ
równy 0,125. Co jednak zrobić gdy dany jest ułamek np. భళ i chcesz go zaokrąglić np. do rzędu części setnych? Mnożenie jego licznika i mianownika przez żadną liczbę nie będzie skuteczne. W takim przypadku pozostaje przymusowe
wykonanie dzielenia pisemnego (liczby 1 przez liczbę 7):
Wykonując dzielenie pisemne liczby 1 przez liczbę 7, masz wynik: 0,(142857) który po zaokrągleniu do rzędu części setnych daje 0,14. Czas jaki został zużyty na to dzielenie na pewno
nie był krótki. Zastanów się czy był sens wykonywania tego dzielenia do końca. Zauważ, że
skoro masz podać zaokrąglenie liczby z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, to będzie Ci potrzebna tylko wiedza o tym, jaka cyfra stoi na miejscu 3-cim za przecinkiem. Pozostałe cyfry są nieistotne. Zatem tracenie czasu na wykonywanie całego dzielenia pisemnego
jest bez sensu. Pamiętaj. Jeśli masz wykonać dzielenie np. do rzędu części milionowych (6
cyfr po przecinku), to dzielenie pisemne przerwij po uzyskaniu 7-dmej cyfry po przecinku, jeśli do rzędu części miliardowych (9 cyfr po przecinku) to dzielenie pisemne przerwij po uzyskaniu 10-tej cyfry po przecinku itd. Oszczędność czasu i logiczne myślenie to podstawa do
efektywnego zaokrąglania liczb.
Prześledź teraz zaokrąglanie ułamków zwykłych w poniższych zadaniach.
ఴ
Zadanie: Ile wynosi zaokrąglenie ułamka భళ
do rzędu 100-tek?
W myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 100 czyli: 0, 100, 200, 300, 400, … Ponieważ ułamek
ఴ
leży między 0 a 100 i bliżej mu do 0 niż do 100, więc jego zaokrąglenie do rzędu setek jest równe 0.
భళ
Rozwiązanie:
0
≈
ఴ
do rzędu setek jest równe 0.
Odp. Zaokrąglenie ułamka భళ
ఴ
Zadanie: Ile wynosi zaokrąglenie ułamka భళ
do rzędu 0,01?
Podziel pisemnie liczbę 8 przez 17 i przerwij obliczenia po uzyskaniu 3-ciej cyfry po przecinku, gdyż wymagane jest zaokrąglenie tylko do dwóch miejsc po przecinku.
Rozwiązanie:
,
0,47
≈
ఴ
Odp. Zaokrąglenie ułamka భళ
do rzędu części setnych jest równe 0,47.
Zauważ, że gdyby powyższe dzielenie wykonać do końca, to otrzymany wynik miałby 16 cyfr w okresie, a na jego
wykonanie zmarnowane zostałoby bardzo dużo czasu.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 20
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
Uzupełnij tabelkę wpisując żądane zaokrąglenia podanych ułamków zwykłych.
zaokrąglenie do rzędu
1
0,1
0,01
0,001
0,001
0,0001
0,00001
ଵଶ଻
ଶ଴ଵଵ
ଵଽ
ଷଵ
ଶଷ
ଶଽ
Pozostało już tylko omówić zaokrąglanie liczb mieszanych np. 7భయ, 546ఴవ do wskazanego rzędu. Nie jest to trudne. Wystarczy najpierw zamienić na ułamek dziesiętny tylko część ułamkową takiej liczby i postępować jak wyżej przy zaokrąglaniu ułamków.
Przykłady:
,
7,333
7 = 7,333333 … ≈
భ
య
546
Wersja z dnia: 27.12.2010
,
546,8889
= 546,88888 ≈
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 21
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Zaokrąglanie liczb z nadmiarem i niedomiarem.
Zaokrąglanie o którym mówiliśmy w poprzednich tematach to jeszcze nie wszystko. Wyobraź sobie, że w łazience na
podłodze chcesz położyć terakotę oraz że firma która ją produkuje paczkuje ją wyłącznie po 1 m2. Nie możesz więc
kupić ani 5,5 m2, ani 8,25 m2 ani np. 4,75 m2. Możesz tylko kupić albo 1 m2 albo 2 m2 albo 3 m2 albo 4 m2 itd. Przypuśćmy, że pole podłogi w Twojej łazience wynosi dokładnie 5,25 m2. Gdyby tę liczbę zaokrąglić do jedności czyli do
pełnych metrów kwadratowych, to wyszłoby Ci, że musisz kupić dokładnie 5 m2. Problem jest tylko taki, że kupione
5 m2 nie wystarczy Ci na całą podłogę i trzeba będzie dokupić jeszcze jedną paczkę, czyli 1 m2. Zatem by całą podłogę w Twojej łazience pokryć tą terakotą trzeba było kupić 6 m2 a nie 5 m2.
Matematycznie rzecz ujmując mieliśmy do czynienia z zaokrąglaniem liczby 5,25 do jedności, ale w przypadku tego
zadania, po myślowym wyobrażeniu sobie wielokrotności liczby 1 trzeba było wybrać liczbę 6 a nie 5 pomimo tego,
że liczbie 5,25 bliżej jest do liczby 5 niż do liczby 6. Takie zaokrąglanie liczb tj. polegające na wybraniu większej liczby
spośród dwóch danych wielokrotności nazywamy zaokrąglaniem z nadmiarem.
Zaokrąglanie z nadmiarem jest równoważne wykonaniu cięcia pionową kreską, tak jak to było omawiane we wcześniejszych tematach, z tą tylko różnicą, że liczbę przed niebieską kreską zawsze zwiększamy.
Przykłady:
5200,0000
5104,1351 ≈
,
6404,1400
6404,1321 ≈
Ćwiczenie:
Zaokrąglij liczbę 3146,156 z nadmiarem do rzędu: a) tysięcy, b) setek, c) dziesiątek, d) jedności.
[Odp. a) 4000, b) 3200, c) 3150, d) 3147.]
Teraz wyobraź sobie że razem z 6-cioma znajomymi chcesz kupić pizzę i coś do picia. Robicie zrzutkę powiedzmy po
5 zł (Ty również ją robisz) i kupujesz to co cała grupa uzgodniła. Po zapłaceniu rachunku okazuje się, że zostało Ci
2,50 zł i chcesz każdemu oddać po tyle ile się mu należy. Dzielisz więc 2,50 zł przez liczbę osób czyli przez 7 i otrzymujesz, że:
2,50 ∶ 7 = 0,35714285 zł
Hm. Nie wyszła równa liczba. No i po ile trzeba im oddać? Przyjmij, że z każdym chcesz się rozliczyć z dokładnością
do 1 grosza czyli do 0,01 zł. Zaokrąglasz więc otrzymaną liczbę do 2-ch miejsc po przecinku (tak jak to było omawiane w poprzednich tematach) i każdemu zwracasz po 0,36 zł (bo 3-cia cyfra za przecinkiem jest większa od 4). Masz
jednak nowy problem, bo 7 razy 0,36 zł daje 2,52 zł a zostało ci 2,50 zł. Musisz więc wybrać: albo sobie zwracasz
o 2 grosze mniej (czyli 0,34 zł, a pozostałym po 0,36 zł), albo pozostałym osobom dajesz po 0,35 zł i sobie bierzesz
0,40 zł. Jeśli wybierzesz tę drugą wersję — korzystniejszą dla siebie, wówczas matematycznie powiesz, że wykonane
zostało zaokrąglenie z niedomiarem, bo zignorowana została (w tym przypadku) 3-cia cyfra za przecinkiem.
Zaokrąglanie z niedomiarem jest równoważne wykonaniu cięcia pionową kreską, tak jak to było omawiane we wcześniejszych tematach i zamienieniu każdej cyfry za tą kreską na 0. Liczby przed niebieską kreską nie zwiększasz —
zawsze przepisujesz ją bez zmian.
Przykłady:
5100,0000
5104,1351 ≈
,
6404,1300
6404,1321 ≈
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 22
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Ćwiczenie:
Zaokrąglij liczbę 3146,156 z niedomiarem do rzędu: a) tysięcy, b) setek, c) dziesiątek, d) jedności.
[Odp. a) 3000, b) 3100, c) 3140, d) 3146.]
Uwaga! Podręczniki do matematyki różnie interpretują zaokrąglanie z nadmiarem i niedomiarem. Według niektórych każdą liczbę można zaokrąglić z nadmiarem i niedomiarem, natomiast wg innych tylko z nadmiarem
albo z niedomiarem. Oznacza to, że wg jednych podręczników zaokrąglenie liczby 18 do rzędu dziesiątek:
— z niedomiarem jest równe 10
— z nadmiarem jest równe 20
zaś wg innych o zaokrąglaniu z nadmiarem lub niedomiarem mówimy dopiero po wykonaniu zaokrąglenia
zgodnego z matematycznymi prawidłowościami. Jeśli po zaokrągleniu otrzymaliśmy liczbę większą od danej, to mówimy, że wykonaliśmy zaokrąglenie z nadmiarem, jeśli zaś wynik wyszedł mniejszy, to mówimy
o zaokrągleniu z niedomiarem. Zatem w myśl tych podręczników, nie można liczby jednocześnie zaokrąglać
z nadmiarem i niedomiarem.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 23
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Własności zaokrąglania.
Zakładam, że na podstawie poprzednich tematów umiesz już zaokrąglać liczby do wskazanego rzędu. Czy jednak na
podstawie wiedzy którą już masz, umiesz określić, do jakiego rzędu została zaokrąglona np. liczba 7000 oraz jaka jest
najmniejsza i największa liczba która zaokrąglona do ustalonego rzędu daje owe 7000?
Powiedzmy, że policja poinformowała w telewizji, że w minionym miesiącu na polskich drogach doszło do 3000 kolizji drogowych. Oczywiście mało prawdopodobne jest to by liczba ta była podana dokładnie co do sztuki. Przypuszczalnie jest ona zaokrąglona do jakiegoś rzędu i podane 3000 to tylko przybliżona wartość rzeczywistej liczby kolizji
drogowych. Moje pytanie jest więc takie, czy umiesz w oparciu o już posiadaną wiedzę z zaokrąglania liczb określić
ile minimalnie wydarzyło się w tym okresie kolizji drogowych a ile maksymalnie? Jeśli nie, to najpierw zauważ, że
liczba 3000 kończy się 3-ma zerami, czyli że jest ona albo zaokrąglona do rzędu 1000-cy (bo 1000 ma 3 zera), albo do
rzędu 100-tek albo do rzędu 10-tek, albo do rzędu jedności. Ponieważ nie wiesz do którego z wymienionych rzędów
jest zaokrąglona ta liczba, więc zawsze przyjmuj, że do tego rzędu który jest największy, czyli w tym przypadku do
rzędu 1000-cy. Teraz pozostaje już tylko ustalić jaka jest najmniejsza i największa liczba która zaokrąglona do rzędu
1000-cy daje owe 3000. Aby zrozumieć jak to się ustala, na chwilę przejdź na dużo mniejsze liczby naturalne.
Wiesz już, że niektóre liczby zaokrąglone do wskazanego rzędu dają ten sam wynik. Przykładowo:
10
5≈
10
6≈
10
7≈
10
8≈
10
9≈
10
10 ≈
10
11 ≈
10
12 ≈
10
13 ≈
10
14 ≈
To co widzisz powyżej przedstaw na osi liczbowej za pomocą strzałek. Następnie zrób to samo dla kolejnych liczb na
tej samej osi liczbowej i spróbuj odpowiedzieć na pytania:
— Ile jest liczb naturalnych które zaokrąglone do rzędu 10-tek dają ten sam wynik?
— Jaka jest najmniejsza liczba która zaokrąglona do rzędu 10-tek daje ustaloną wielokrotność liczby 10?
— Jaka jest największa liczba która zaokrąglona do rzędu 10-tek daje ustaloną wielokrotność liczby 10?
Tak powinna wyglądać Twoja oś liczbowa ilustrująca powyższe zaokrąglenia liczb naturalnych do rzędu 10-tek:
Zauważ, że istnieje po 10 liczb naturalnych które zaokrąglone do 10-tek dają ten sam wynik (ustaloną wielokrotność
liczby 10):
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
po zaokrągleniu do rzędu 10-tek dają 10
{15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}
po zaokrągleniu do rzędu 10-tek dają 20
{25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}
po zaokrągleniu do rzędu 10-tek dają 30
itd.
Dodatkowo zauważ, że najmniejszą z nich można obliczyć odejmując od wyniku zaokrąglenia połowę rzędu do którego zaokrąglamy. Innymi słowy, najmniejszą liczbę naturalną, która po zaokrągleniu do 10-tek daje np. 20 można
obliczyć wykonując działanie:
20 – (10 : 2) = 20 – 5 = 15.
Chcąc obliczyć największą liczbę naturalną, która po zaokrągleniu do rzędu dziesiątek daje 20 należy wykonać działanie:
20 + (10 : 2) – 1 = 20 + 5 – 1 = 24.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 24
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Odjęcie jedynki było konieczne z tego względu, że liczba 25 po zaokrągleniu do dziesiątek dawałaby 30 a nie 20.
Wracając się do 3000 kolizji drogowych z początku tego tematu widzisz, że najmniejsza liczba naturalna która zaokrąglona do rzędu 1000-cy daje liczbę 3000 to:
3000 – (1000 : 2) = 3000 – 500 = 2500.
a największa to:
3000 + (1000 : 2) – 1 = 3000 + 500 – 1 = 3549.
Zatem wnioskujesz, że rzeczywista liczba kolizji drogowych wynosiła od 2500 do 3549.
Ćwiczenie:
W bibliotece szkolnej jest 8000 książek. Oblicz ile minimalnie i ile maksymalnie jest książek w tej bibliotece. [Odp. Od 7500 do 8499 książek.]
Ćwiczenie:
Pewna firma w zeszłym roku wyprodukowała 50000 samochodów. Oblicz ile minimalnie i ile maksymalnie samochodów zostało wyprodukowanych przez tę firmę. [Odp. Od 45000 do 54999 samochodów.]
Ćwiczenie:
Średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi 149 000 000 km. Oblicz ile minimalnie i ile maksymalnie kilometrów dzieli Ziemię od Słońca. [Odp. Od 148 500 000 km do 149 499 999 km.]
Ćwiczenie:
Na przełomie XX i XXI wieku na Ziemi żyło 6 000 000 000. Oblicz ile minimalnie i ile maksymalnie ludzi
żyło na Ziemi w tym okresie. [Odp. Od 5 500 000 000 do 6 499 999 999 ludzi.]
To jeszcze nie wszystko. Wróć się na chwilę do liczb wypisanych w nawiasach sześciennych (klamerkowych) tuż pod
wyżej narysowaną osią liczbową. Zauważ, że tam było wykonywane zaokrąglenie do rzędu 10-tek oraz, że w każdym
powyższym nawiasie sześciennym występuje dokładnie po 10 liczb, czyli tyle ile wynosi rząd zaokrąglenia.
Wnikając bardziej w szczegóły, dopatrz się, że:
— jest dokładnie 5 liczb mniejszych od wyniku zaokrąglenia (wyróżniłem je kolorem jasnoniebieskim)
— są dokładnie 4 liczby większe od wyniku zaokrąglenia (wyróżniłem je kolorem żółtym)
— wśród tych liczb jest liczba równa wynikowi zaokrąglenia.
Przy zaokrąglaniu liczb naturalnych np. do rzędu setek wszystkie wypisane własności będą dokładnie takie same. Zatem:
— istnieje dokładnie 100 liczb naturalnych które zaokrąglone do rzędu 100-tek dają ten sam wynik
— najmniejszą liczbę naturalną która zaokrąglona do 100-tek daje np. 700 oblicza się:
700 – (100 : 2) = 700 – 50 = 650
— największą liczbę naturalną która zaokrąglona do 100-tek daje np. 700 oblicza się:
700 + (100 : 2) – 1 = 700 + 50 – 1 = 749
— jest dokładnie 50 liczb mniejszych od wyniku zaokrąglenia (połowa rzędu zaokrąglenia)
— jest dokładnie 49 liczb większe od wyniku zaokrąglenia (połowa rzędu zaokrąglenia odjąć 1)
— wśród tych liczb jest liczba równa wynikowi zaokrąglenia
Dla formalności:
700
{650,
651, 652, 653, … , 749} ≈
ą ą
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 25
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Zadanie: Wypisz wszystkie liczby naturalne, które zaokrąglone do 100-tek dają 1000. Ile jest tych liczb?
Rozwiązanie:
1000 – (100 : 2) = 1000 – 50 = 950
1000 + (100 : 2) – 1 = 1000 + 50 – 1 = 1049
Poszukiwane liczby naturalne to: {950, 951, 952, 953, …, 1049}. Liczb tych jest dokładnie 100 (jest 50 liczb
mniejszych od 1000, dokładnie 49 liczb większych od 1000 i jeszcze liczba 1000).
Odp.: Najmniejszą liczbą naturalną która zaokrąglona do 100-tek daje 1000 jest 950, zaś największą 1049. Liczb
tych jest dokładnie 100.
Ćwiczenie:
Wypisz wszystkie liczby naturalne które zaokrąglone do rzędu dziesiątek tysięcy dają liczbę 80000 oraz
zlicz ile tych liczb jest. [Odp. {75000, 75001, 75002, 75003, 75004, …, 84999}. Liczb tych jest dokładnie 10 000.]
Ćwiczenie:
Wypisz wszystkie liczby naturalne które zaokrąglone do rzędu milionów dają liczbę 28000000 oraz zlicz
ile tych liczb jest. [Odp. {27 500 000, 27 500 001, 27 500 002, 27 500 003, …, 28 499 999}. Liczb tych jest dokładnie 1 000 000.]
No dobrze. Omówiliśmy własności zaokrąglania liczb naturalnych. A co z liczbami rzeczywistymi dodatnimi? Otóż
z nimi jest prawie tak samo jak z liczbami naturalnymi. Zasadnicza różnica polega tylko na tym że liczb rzeczywistych
które po zaokrągleniu do wskazanego rzędu dają ten sam wynik jest nieskończenie wiele, a by je wszystkie wypisać
należy posłużyć się tzw. przedziałami liczbowymi (lewostronnie domkniętymi).
Na podstawie osi liczbowej z początku tego tematu wypisz teraz wszystkie liczby rzeczywiste które zaokrąglone do
dziesiątek dają 20. Nim to zrobisz zauważ jednak, że tych liczb jest nieskończenie wiele oraz:
— liczba 15 jest najmniejszą liczbą rzeczywistą, która po zaokrągleniu do rzędu 10-tek daje 20
— liczba 24 nie jest największą liczbą rzeczywistą która po zaokrągleniu do rzędu 10-tek daje 20
— między liczbą 24 a 25 są jeszcze liczby rzeczywiste, które po zaokrągleniu do rzędu 10-tek dają również 20
— najmniejszą liczbą rzeczywistą która po zaokrągleniu do rzędu 10-tek nie daje liczby 20 jest liczba 25.
Zatem by móc wypisać wszystkie liczby rzeczywiste x które po zaokrągleniu do dziesiątek dają 20, musisz posłużyć
się przedziałem liczbowym lewostronnie domkniętym:
x ∈ ⟨15; 25).
Zadanie: Wypisz wszystkie liczby rzeczywiste x, które zaokrąglone do rzędu 100-tek dają 1000. Ile jest tych liczb?
Rozwiązanie:
Znajdujesz najmniejszą liczbę rzeczywistą która po zaokrągleniu do rzędu 100-tek da liczbę 1000. W tym
celu od wyniku zaokrąglenia musimy odjąć połowę rzędu do którego zaokrąglamy. Mianowicie:
1000 – (100 : 2) = 1000 – 50 = 950.
Znając już najmniejszą liczbę, która spełnia warunki zadania, znajdź najmniejszą liczbę która nie spełnia
warunków zadania. Wykonaj więc działanie:
1000 + (100 : 2) = 1000 + 50 = 1050.
Odp.: x ∈ ⟨950; 1050). Liczb tych jest nieskończenie wiele.
Uwaga. Przedziałami liczbowymi należy posługiwać się tylko wtedy, gdy chcesz wypisać nieskończenie wiele liczb.
Uwaga. Jeśli chcesz wypisać skończoną ilość liczb, musisz posłużyć się nawiasami sześciennymi tj. {…} umieszczając w nich żądane liczby rozdzielone przecinkiem.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 26
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
W zadaniu powyższym konieczne było posłużenie się najmniejszą liczbą nie spełniającą warunków zadania, gdyż
ustalenie liczby największej nie byłoby możliwe. Zobacz, że gdyby przyjąć liczbę 1049,99999 za największą, to np.
liczba 1049,9999999999999999 zostałaby pominięta. A gdyby tę liczbę przyjąć za największą, to pomięta zostałaby
np. liczba 1049,99999999999999999999999999999 itd. Z związku z tym, konieczne było znalezienie najmniejszej
liczby która nie spełnia warunku z treści zadania i posłużenie się przedziałem lewostronnie domkniętym.
Pisanie zaś że największą liczbą która spełnia warunek z treści zadania jest liczba 1049,(9) też mija się z prawdą, bo
liczba ta jest dokładnie równa 1050 (pozornie wydaje się że jest ona od niej mniejsza).
Zawsze w sytuacjach gdy nie możesz ustalić liczby największej która spełnia dany warunek, posłuż się liczbą najmniejszą nie spełniającą danego warunku.
Ćwiczenie:
Wypisz wszystkie liczby rzeczywiste x, które zaokrąglone do rzędu 1000-cy dają 12000. Ile jest tych
liczb? [Odp. x ∈ ⟨11500; 12500). Liczb tych jest nieskończenie wiele.]
Ćwiczenie:
Wypisz wszystkie liczby rzeczywiste x, które zaokrąglone do rzędu milionów dają 38000000. Ile jest
tych liczb? [Odp. x ∈ ⟨37 500 000; 38 500 000). Liczb tych jest nieskończenie wiele.]
Zaokrąglanie liczb całkowitych ujemnych
Odbywa się ono analogicznie do zaokrąglania liczb dodatnich. Przykładowo liczba 15 po zaokrągleniu do rzędu
10-tek dawała liczbę 20 (zaokrąglenie w górę), a teraz będziemy mówić, że liczba –15 po zaokrągleniu do rzędu
10-tek daje liczbę –20. Niby nic trudnego. Wszystko tak samo jak dla liczb dodatnich, tyle tylko że trzeba dopisać
znak minus z przodu liczby. Jest jednak problem. Otóż jeśli oś liczbową z początku tego tematu przedłużysz w lewo
i konsekwentnie będziesz postępować przy rysowaniu strzałek, to zobaczysz, że zaokrągleniem liczby –15 do rzędu
10-tek jest liczba –10 (zaokrąglenie w górę) a nie –20. No i powstał dylemat, czy we wspomnianym przypadku będzie to liczba –10 czy –20. By go rozwiązać trzeba znaleźć fachową książkę (źródła internetowe nie są wiarygodne),
w której byłoby to jednoznacznie rozstrzygnięte. Problem jest tylko taki, że nie można nigdzie znaleźć ani pozycji
książkowej ani internetowej w której byłby omówiony problem zaokrąglania liczb ujemnych. Pod koniec roku 2010
udało mi się ustalić tylko tyle, że pani Alicja Molęda wydała kiedyś książkę (nie znam jej tytułu) w której pisze, że poprawnym zaokrągleniem liczb ujemnych jest tylko dostawienie minusa. Zatem na tej podstawie możesz wywnioskować, że w omawianym przypadku poprawną odpowiedzią będzie liczba –20 a nie –10. Pamiętaj, że wszystko co
się dzieje w matematyce wynika z jakiegoś tekstu matematycznego sprawdzonego pod kątem poprawności np.
twierdzenia, aksjomatu itp. i że o niczym nie wolno rozstrzygać na tzw. „widzi mi się”.
Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny
zarobek poprzez internet, bez wychodzenia z domu. Wejdź w link:
http://dobryzarobek.pl/index.php?id=b57fedcf66da493cb558c4d71186f51f
i przeczytaj to co tam jest napisane. Kliknij „Zarejestruj się” na dole strony i wpłać jednorazowo tylko 5 zł na podany tam numer konta bankowego. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Nawet jeśli to nie wypali, to stracisz tylko 5 zł. Jeśli
skusi się na to 1 osoba, to zwróci Ci się te 5 zł. W pozostałych przypadkach masz zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku
miesiącach.
UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do właściciela serwisu, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego konta bankowego. Chcesz zarobić? — to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do
użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić.
Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt
nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Nie robiąc przelewu w wyznaczonym czasie ryzykujesz tylko skasowaniem założonego tam konta.
Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie robi to ze swojego konta bankowego.
Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu osób chcących zrobić przelew. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej
liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz.
Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 27
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Błąd zaokrąglenia.
Błąd bezwzględny
Błąd ten to nic innego jak różnica między otrzymanym wynikiem a liczbą którą zaokrąglamy. Błąd ten może być zarówno liczbą dodatnią jak i ujemną.
Niech oznacza liczbę którą zaokrąglamy, wartość zaokrąglenia, zaś ∆ poszukiwany błąd bezwzględny. Wów
190 masz:
czas dla zaokrąglenia: 187 ≈
= 187
= 190
∆ = 190 − 187 = 3
380 to:
Jeśli weźmiesz inne zaokrąglenie np.: 384 ≈
= 384
= 380
∆ = 380 − 384 = −4
Gdy rozpatrywanym przez Ciebie odczycie nie interesuje Cię ani wartość ujemna ani dodatnia błędu bezwzględnego
(błąd losowy), to na otrzymany wynik możesz narzucić moduł (wartość bezwzględną) i wówczas Twój wynik będzie
zawsze dodatni. Przykładowo dla powyższego zaokrąglenia otrzymasz:
|∆| = |380 − 384| = |−4| = 4
O tym czy na ten błąd należy narzucać moduł czy nie decydujesz Ty. Wynika on bowiem tylko z Twoich potrzeb. Na
ogół przyjmuje się, że jeśli w zadaniu nic nie jest napisane na temat tego czy należy na niego narzucać moduł czy nie,
to domyślnie się to robi.
Zadanie: Oblicz błąd bezwzględny zaokrąglenia liczby 4694 do rzędu 100-tek.
Rozwiązanie:
4600
4634 ≈
= 4634
= 4600
|∆| = |4600 − 4634| = |−34| = 34
Odp.: Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 34.
Ćwiczenie:
Oblicz błąd bezwzględny zaokrąglenia liczby 4513 do rzędu 100-tek. [Odp. 13.]
Ćwiczenie:
Oblicz błąd bezwzględny zaokrąglenia liczby 4513 do rzędu 1000-cy. [Odp. 487.]
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 28
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Błąd względny (procentowy)
Aby obliczyć błąd względny (oznaczenie: ) dzielisz błąd względny ∆ przez liczbę która była zaokrąglana (czyli przez
wartość dokładną ) i otrzymany wynik zamieniasz na procenty (mnożysz go przez 100 i dopisujesz symbol %). Zatem:
=
∆
⋅ 100%
lub w razie potrzeby:
|| =
|∆|
⋅ 100%
| |
i tak samo jak przy błędzie bezwzględnym na ogół używa się powyższego wzoru z modułami.
Ponownie rozpatrzmy zaokrąglenie:
4600
4634 ≈
ale tym razem obliczmy jego błąd względny. Wiesz już, że:
|∆| = 34
(obliczone w poprzednim podtemacie)
= 4634
(liczba którą zaokrąglamy)
|| =
34
⋅ 100% ≈ 0,7337%
4634
Zadanie: Oblicz błąd względny zaokrąglenia liczby 21657 do rzędu 1000-cy.
Rozwiązanie:
22000
21657 ≈
= 21657
= 22000
|∆| = |22000 − 21657| = |343| = 343
|| =
343
⋅ 100% ≈ 1,58378%
21657
Odp.: Błąd względny tego przybliżenia wynosi ok. 1,58378%.
Ćwiczenie:
Oblicz błąd względny zaokrąglenia liczby 4513 do rzędu 100-tek. [Odp. Ok. 0,288%.]
Ćwiczenie:
Oblicz błąd względny zaokrąglenia liczby 4513 do rzędu 1000-cy. [Odp. Ok. 10,791%.]
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 29
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Podawanie przybliżeń pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia.
Do tej pory podawałem w jaki sposób zaokrągla się ułamki zwykłe oraz dziesiętne. Teraz pokażę jak bez używania
kalkulatora można obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka dowolnego stopnia. Tak samo jak przy zaokrąglaniu
ułamków zwykłych, trzeba najpierw uzyskać zapis w postaci ułamka dziesiętnego, a dopiero potem zaokrąglić go do
wskazanego rzędu.
Uniwersalną metodą przybliżania wartości pierwiastka dowolnego stopnia jest tzw. metoda równomiernych podziałów5. Chcąc znaleźć przybliżoną wartość np. √8:
— rysujesz oś liczbową z zaznaczonymi pod nią liczbami naturalnymi: 0, 1, 2, 3, 4, …
— nad każdą liczbą naturalną zaznaczoną na osi piszesz pierwiastek który jest jej równoważny (w tym przypadku
muszą to być pierwiastki stopnia drugiego bo chcesz znaleźć zaokrąglenie √8)
— ponieważ √8 leży między √4 a √9 więc odcinek √4-√9 dzielisz na 9 − 4 = 5 równych części (stawiasz 4 pionowe kreseczki)
— nad każdą dorysowaną czerwoną kreseczką piszesz kolejne pierwiastki (patrz rysunek wyżej)
— wnioskujesz, że skoro odcinek 2-3 jest podzielony na 5 równych części, a poszukiwany √8 leży na 4-tej kreseczce
za liczbą 2, więc jego przybliżona wartość to 2రఱ = 2,8.
√8 ≈ 2,8
— zaokrąglasz otrzymany wynik (w tym przypadku liczbę 2,8) do wskazanego rzędu (tak jak to było omawiane
w poprzednich tematach tego opracowania)
Pewnie się teraz zastanawiasz czy otrzymany wynik jest dość dokładny w porównaniu z tym co pokazuje kalkulator.
Zobacz. Przybliżona wartość √8 odczytana z kalkulatora to:
√8 ≈ 2,828
a Twój wynik to 2,800. Zatem różnica wyników to zaledwie 0,028. Jak więc widzisz jest to w miarę dokładna metoda
podawania przybliżonej wartości pierwiastków, choć nie ukrywam że istnieją metody trudniejsze, ale dużo bardziej
dokładniejsze.
Spójrz jeszcze raz na ostatnio narysowaną oś liczbową. Oprócz poszukiwanego przybliżenia √8 możesz z niej odczytać także, że:
√5 ≈ 2భఱ ≈ 2,2
Z kalkulatora masz: √5 ≈ 2,236.
Błąd bezwzględny ≈ 0,04.
√6 ≈ 2మఱ ≈ 2,4
Z kalkulatora masz: √6 ≈ 2,449.
Błąd bezwzględny ≈ 0,05.
√7 ≈ 2యఱ ≈ 2,6
Z kalkulatora masz: √7 ≈ 2,646.
Błąd bezwzględny ≈ 0,05.
√8 ≈ 2రఱ ≈ 2,8
Z kalkulatora masz: √8 ≈ 2,828.
Błąd bezwzględny ≈ 0,03.
Wykorzystując tę samą metodę spróbuj podać przybliżoną wartość: √10, √11, √12, √13, √14, √15. Na początek
zauważ, że wszystkie wymienione pierwiastki leżą między 9 = 3 , a 16 = 4 . Narysuj więc oś liczbową i tak jak poprzednio, zaznacz pod nią liczby 0, 1, 2, 3, 4, …, a nad nią ich odpowiedniki zapisane za pomocą symbolu pierwiastka
tj. 0 , 1 , 4 , 9 , 16 , … .
5
Prezentowana nazwa metoda równomiernych podziałów jest wymyślona przeze mnie — nie ma jej w oficjalnej matematyce.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 30
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Podziel teraz odcinek „3-4” na 7 równych części (bo 16 – 9 = 7) dostawiając w równych odległościach 6 pionowych
kreseczek. Nad każdą z tych dostawionych kreseczek napisz: 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15
Ponieważ podział odcinka „3-4” nastąpił na 7 równych części więc:
√10 ≈ 3భళ ≈ 3,143 Z kalkulatora masz: √10 ≈ 3,162.
Błąd bezwzględny ≈ 0,02.
√11 ≈ 3మళ ≈ 3,286 Z kalkulatora masz: √11 ≈ 3,317.
Błąd bezwzględny ≈ 0,03.
√12 ≈ 3యళ ≈ 3,429 Z kalkulatora masz: √12 ≈ 3,464.
Błąd bezwzględny ≈ 0,04.
√13 ≈ 3రళ ≈ 3,571 Z kalkulatora masz: √13 ≈ 3,606.
Błąd bezwzględny ≈ 0,03.
√14 ≈ 3ఱళ ≈ 3,714 Z kalkulatora masz: √14 ≈ 3,742.
Błąd bezwzględny ≈ 0,03.
√15 ≈ 3లళ ≈ 3,857 Z kalkulatora masz: √15 ≈ 3,873.
Błąd bezwzględny ≈ 0,02.
Zauważ, że dla tej grupy pierwiastków błąd bezwzględny waha się w okolicach 0,03 zaś dla grupy poprzedniej był on
większy i wynosił około 0,04. Można więc przypuszczać, że im większa liczba znajduje się pod symbolem pierwiastka,
tym mniejszy błąd przybliżenia dostajesz stosując tę metodę.
Podawanie przybliżonej wartości pierwiastka możesz robić bez rysowania osi liczbowej. Rozpatrz ponownie √11
i jeszcze raz spróbuj oszacować jego wartość oraz otrzymany błąd.
1. Zauważ, że dwie najbliższe √11 liczby naturalne, to 3 = √9 i 4 = √16.
2. Oblicz numer kreseczki nad którą znajdować się będzie √11. W tym celu wykonaj działanie: 11 − 9 = 2.
3. Oblicz różnicę między liczbą 16 i 9, czyli wykonaj działanie 16 – 9 = 7, otrzymując w ten sposób liczbę odcinków
na jakie trzeba będzie podzielić odcinek „3-4”.
4. Zapisz wynik w postaci: √11 ≈ 3మళ i zamień go na ułamek dziesiętny (wyk. dziel. pisemne): √11 ≈ 3,2857143.
5. Z kalkulatora odczytaj, że √11 ≈ 3,3166248.
6. Oblicz różnicę między otrzymanym wynikiem, a wynikiem kalkulatorowym: 3,3166248 – 32857143 ≈ 0,03.
Zadanie: Nie używając kalkulatora, oszacuj przybliżoną wartość 150 i porównaj go z wynikiem kalkulatorowym.
Rozwiązanie:
1. Znajduję dwie najbliższe √150 liczby naturalne: 12 = √144 i 13 = √169.
2. Obliczam numer kreseczki nad którą znajdować się będzie
150 – 144 = 6.
150 . W tym celu wykonuję działanie:
3. Obliczam różnicę między liczbą 169 i 144, czyli wykonuję działanie 169 − 144 = 25, otrzymując
w ten sposób liczbę odcinków na jakie trzeba będzie podzielić odcinek „12-13”.
ల
4. Zapisuję wynik w postaci: √150 ≈ 12మఱ
i zamieniam go na ułamek dziesiętny: 150 ≈ 12,24 .
5. Z kalkulatora odczytuję, że 150 ≈ 12,247449.
6. Obliczam różnicę między otrzymanym wynikiem, a wynikiem kalkulatorowym:
12,247449 – 12,24 ≈ 0,007.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 31
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Odp.: 150 ≈ 12 256 , zaś błąd tego oszacowania, wynosi około 0,007.
Z pierwiastkami stopnia trzeciego postępujemy analogicznie.
Zadanie: Nie używając kalkulatora, oszacuj przybliżoną wartość
3
20 i porównaj go z wynikiem kalkulatorowym.
Rozwiązanie:
1. Znajduję dwie najbliższe
20 liczby naturalne, to 2 = 3 8 i 3 = 3 27 .
3
2. Obliczam numer kreseczki nad którą znajdować się będzie
20 – 8 = 12.
3
20 . W tym celu wykonuję działanie:
3. Obliczam różnicę między liczbą 27 i 8, czyli wykonuję działanie 27 – 8 = 19, otrzymując w ten sposób
liczbę odcinków na jakie trzeba będzie podzielić odcinek „2-3”.
4. Zapisuję wynik w postaci:
3
5. Z kalkulatora odczytuję, że
20 ≈ 2 12
i zamieniam go na ułamek dziesiętny:
19
3
3
20 ≈ 2,6315789.
20 ≈ 2,7144176.
6. Obliczam różnicę między otrzymanym wynikiem, a wynikiem kalkulatorowym:
2,7144176 – 2,6315789 ≈ 0,08.
Odp.:
Ćwiczenie:
3
20 ≈ 2,63 , zaś błąd tego oszacowania, wynosi około 0,08.
Uzupełnij tabelkę.
oszacowane przybliżenie pierwiastka zaokrąglone do rzędu części dziesięciotysięcznych
przybliżona wartość pierwiastka odczytana z kalkulatora
błąd oszacowania
√51
√200
√399
య
√30
య
√65
య
√124
Wyjaśnijmy sobie teraz dlaczego metoda równomiernych podziałów daje minimalnie inny wynik niż kalkulator. Otóż
w rzeczywistości pierwiastki z kolejnych liczb naturalnych nie są rozłożone równomiernie na osi liczbowej. Błędy zaś,
otrzymane tą metodą są na tyle małe, że stosowanie tej metody do obliczeń szkolnych jest w pełni wystarczające.
Wartość błędu przy szacowaniu wartości pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej powyższą metodą, przedstawia poniższy wykres.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 32
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.
Temat: Zastosowanie zaokrąglania liczb.
Zasadniczo rzecz ujmując zaokrąglanie liczb to podawanie ich przybliżonej wartości z odgórnie narzuconą dokładnością. Przypuśćmy, że policja poinformowała, że w zeszłym miesiącu na polskich drogach doszło do 5000 wypadków
i 18000 kolizji drogowych w których zginęło 600 osób, a 5240 zostało rannych. Zauważmy, że każda z tych liczb jest
zakończona zerem, co sugeruje nam, że liczby te nie są dokładne. Ponieważ każda liczba zakończona przynajmniej
jednym zerem jest zawsze wielokrotnością liczby 10, więc prawdopodobnie każda z tych liczb została zaokrąglona co
najmniej do rzędu 10-tek (lub do rzędu 100-tek lub do rzędu 1000-cy itd.). W praktyce takie zaokrąglanie oznacza, że
rzeczywisty wynik nie różni się od podanego o więcej niż połowę rzędu zaokrąglenia. Zatem:
— patrząc na liczby 5000 i 18000 możesz przypuszczać, są one zaokrąglone maksymalnie do rzędu 1000-cy, gdyż
kończą się dokładnie trzema zerami. Innymi słowy, błąd w podanych liczbach na pewno nie przekracza połowy
rzędu zaokrąglenia, czyli nie jest większy niż ± 500. Z matematycznego punktu widzenia, waha się on od
−500 do +499, (patrz strona 25). Wracając się do naszych danych, mamy, że rzeczywista liczba wypadków wynosi od 4500 do 4499, zaś kolizji drogowych od 17500 do 18499.
— patrząc na liczbę 600 możesz przypuszczać, że jest ona zaokrąglona do rzędu setek, gdyż jest zakończona dokładnie dwoma zerami. Oznacza to, że maksymalny błąd wynosi 50, a rzeczywista liczba osób zabitych waha się
między 550 a 649.
— patrząc na liczbę 5240 możemy przypuszczać, że jest ona zaokrąglona do rzędu dziesiątek, gdyż jest zakończona
dokładnie jednym zerem. Oznacza to, że maksymalny błąd wynosi 5, a rzeczywista liczba osób rannych jest od
5235 do 5244.
Zauważ, że im mniej zer na końcu ma dana liczba całkowita, tym podany wynik zaokrąglenia jest bardziej precyzyjny.
Innym przykładem wykorzystywania zaokrągleń są wszelkiego rodzaju zestawienia statystyczne. Zobaczmy je na
przykładzie szacunkowej liczby ludności Ziemi z początków poszczególnych wieków.
rok
1700
1800
1900
2000
2100
szacunkowa
przyrost ludności
w ciągu 100 lat
liczba ludności
600 000 000
?
905 000 000
+ 305 000 000
1 610 000 000
+ 705 000 000
6 000 000 000 + 4 390 000 000
20 000 000 000 + 14 000 000 000
Poza wszelkiego rodzaju statystykami, z zaokrąglaniem liczb najczęściej można spotkać się przy określaniu odległości
np. między miastami, planetami, gwiazdami itp.
Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny
zarobek poprzez internet, bez wychodzenia z domu. Wejdź w link:
http://dobryzarobek.pl/index.php?id=b57fedcf66da493cb558c4d71186f51f
i przeczytaj to co tam jest napisane. Kliknij „Zarejestruj się” na dole strony i wpłać jednorazowo tylko 5 zł na podany tam numer konta bankowego. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Nawet jeśli to nie wypali, to stracisz tylko 5 zł. Jeśli
skusi się na to 1 osoba, to zwróci Ci się te 5 zł. W pozostałych przypadkach masz zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku
miesiącach.
UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do właściciela serwisu, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego konta bankowego. Chcesz zarobić? — to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do
użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić.
Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt
nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Nie robiąc przelewu w wyznaczonym czasie ryzykujesz tylko skasowaniem założonego tam konta.
Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie robi to ze swojego konta bankowego.
Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu osób chcących zrobić przelew. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej
liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz.
Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się.
Wersja z dnia: 27.12.2010
http://matematyka.strefa.pl
Zaokrąglanie liczb — strona 33
Znajdziesz tu zasady zaokrąglania liczb do danego rzędu np. setek, dziesiątek, jedności (np. do pełnych złotych), tysięcy oraz zaokrąglanie liczb po przecinku: do rzędu części dziesiątych, setnych (dwóch cyfr znaczących), tysięcznych itp. Jest tu także zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych. Dodatkowo dowiesz się jak obliczać przybliżenia pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Nauczysz się wyznaczać błąd bezwzględny i względny przybliżenia dziesiętnego oraz zaokrąglać liczby z nadmiarem i niedomiarem. Poznasz matematyczne sposoby zaokrąglania liczb. Znajdziesz rozwiązane zadania różnymi metodami i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. To
jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej (klasa 6 i 5) i gimnazjum (klasa 1). Download.