Zadania z Algebry I

Zadania z Algebry I
Seria 1.
16.10.15
1. Podane liczby zespolone zapisać w postaci a + ib, gdzie a, b ∈ R.
5 + 4i
,
3 − 2i
(a) (2 + 3i)(1 − 5i),
(c) (1 − 5i)(i − 5)),
(e)
(b) (3 − 4i)(3 + 4i),
(d)
(f) (1 − i)3 ,
2+i
,
2−i
(g)
(h)
(2+i)(1−3i)
(1−2i)(3−i) ,
√
2
2 (1
4
+ i) .
2. Rozwia̧zać równania i układy równań w zbiorze liczb zespolonych:
(1 + i) z1 + (2 + i) z2 =3 + i
(a) (2 + i) z + 5 − 4 i = (3 + 4 i) z − 7 + 2 i,
(c)
(1 − i) z1 + (2 − i) z2 =−3 + i
z + 3i − 4
(2 + i)z + 3
(b)
=
,
3 + 2i
1+i
3. Rozwia̧zać równania kwadratowe w ciele C:
(a) (3 + i)z 2 + (3 − 2i)z + (3 − i) = 0,
(c) z 2 − 5z + 7 + i = 0,
(b) z 2 + (2 + i)z + 2 − 2i = 0,
(d) (1 + i)z 2 + (2 + 3i)z + 4 − i = 0.
4. Obliczyć wszystkie możliwe wartości poniższych wyrażeń:
√
√
√
(b) 3 −i,
(c) 3 −2 + 2i,
(a) 3 27i,
(d)
√
4
−81,
(e)
√
6
64.
5. Sprawdzić, że z = 1 jest rozwia̧zaniem równania z 3 − 9z + 8 = 0 i wykorzystać to do znalezienia
pozostałych rozwia̧zań tego równania.
6. Rozwia̧zać w dziedzinie liczb zespolonych równania:
(a) x3 + 6ix + 4 + 4i = 0,
(b) x3 − 3x2 + 6x − 2 = 0,
√
(c) x3 − 3 3 2x + 2 = 0,
(d) x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 = 0,
(e) (z + i)5 = z 5 .
7. Sprowadzić do postaci trygonometrycznej wyrażenia:
(b) 1 − a2 + 2ia, gdzie a = tg α.
(a) 1 + cos a + i sin a,
8. Niech w = ei2π/5 . Sprawdzić, że z = w +
1
spełnia równanie z 2 + z = 1. Jakie równanie spełnia w?
w
9. Niech j, j 2 oznaczaja̧ różne od 1 pierwiastki równania z 3 = 1. Wykazać, że:
(a) (1 + j 2 )4 = j,
(b) (1 − j)(1 − j 2 )(1 − j 4 )(1 − j 5 ) = 9.
10. Niech w = ei2π/n i niech k bȩdzie liczba̧ naturalna̧ niepodzielna̧ przez n. Wykazać, że:
1 + wk + w2k + . . . + w(n−1)k = 0;
k
1−w +w
2k
n−1
− . . . + (−1)
w
(n−1)k
=
(
0
2
1 + wk
n = 2p
n = 2p + 1
11. Dowieść, że:
2i arc tg t
(a) 1+it
dla t ∈ R;
1−it = e
z−1
ϕ
= i tg
dla z = eiϕ , ϕ ∈] − π, π[;
z+1
2
ϕ π z−i
π 3π
(c)
= i tg
−
dla z = eiϕ , ϕ ∈] − ,
[;
z+i
2
4
2 2
1−z
1 − zn
(d) jeżeli tg ϕ = i
, to tg(nϕ) = i
, dla z ∈ C, z 6= −1 6= z n , ϕ ∈ R
1+z
1 + zn
n
1 + i tg x
1 + i tg nx
(e)
=
.
1 − i tg x
1 − i tg nx
(b)
1
12. Znaleźć liczby zespolone z spełniaja̧ce równanie: z 6 + z 3 z̄ + z̄ 2 = 0
z−i
=0 .
13. Podać interpretacjȩ geometryczna̧ i naszkicować zbiór:
z ∈ C : Re
z−5
14. Wyznaczyć i naszkicować:
(a) obraz półpłaszczyzny { z ∈ C : Im(z) > 1 } w odwzorowaniu f (z) :=
(b) przeciwobraz
n
z ∈ C : 0 < arg(z) <
2z − 1
;
2z + 3
πo
z+i
w odwzorowaniu f (z) :=
;
4
z−i
(c) obraz półpłaszczyzny {z ∈ C : Re(z) > 0 } w odwzorowaniu f (z) :=
2
z−3
.
z+4