matematyka

KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
Ilość punktów
Kod ucznia
Witamy Cię w trzecim etapie konkursu.
Przed Tobą test składający się z 5 zadań otwartych i 15 zadań zamkniętych. Za każde
zadanie otwarte możesz otrzymać 5 punktów, a za każde zadanie zamknięte 1 punkt. Razem 40
punktów.
W zadaniach otwartych rozwiązanie wpisz czytelnie bezpośrednio pod treścią
zadania. Pamiętaj, zaprezentuj cały tok rozumowania (wykonaj rysunki pomocnicze, opisz
niewiadome, zamieść konieczne wyjaśnienia).
W zadaniach zamkniętych wskaż dokładnie jedną prawidłową odpowiedź,
zaznaczając ją krzyżykiem na karcie odpowiedzi, gdy się pomylisz błędną odpowiedź weź w
kółeczko, a prawidłową zaznacz krzyżykiem.
Na rozwiązanie zestawu zadań masz 120 minut.
Życzymy Ci powodzenia!
ZADANIA OTWARTE
Zadanie I
Znajdź trzy kolejne liczby naturalne (różne od 0) o tej własności, że jeżeli kwadrat
największej z nich podzielimy przez liczbę najmniejszą i od otrzymanego ilorazu odejmiemy
6, to otrzymamy liczbę większą od pozostałej z szukanych liczb.
Rozwiązanie zadania I
KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
Zadanie II
Dwie beczki zawierają 240 litrów wody. Gdyby z pierwszej beczki przelać do drugiej tyle
litrów wody, żeby zawartość drugiej beczki podwoiła się, a następnie z drugiej beczki przelać
do pierwszej tyle litrów wody, żeby zawartość pierwszej beczki podwoiła się, to w obu
beczkach będzie jednakowa liczba litrów wody. Ile litrów wody było pierwotnie w każdej
z beczek ?
Rozwiązanie zadania II
KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
Zadanie III
Jakie warunki musi spełniać m, żeby punkt przecięcia się prostych o równaniach 3x+y=5m+4
i 2x-y=5m+1 należał do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych?
Rozwiązanie zadania III
KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
Zadanie IV
Średnica koła jest podstawą trójkąta równobocznego o boku a. Oblicz pole części wspólnej
koła i trójkąta.
Rozwiązanie zadania IV
Zadanie V
W wierzchołku A sześcianu ABCDA’B’C’D’ o krawędzi równej 20 cm znajduje się mucha.
Chce ona dostać się do wierzchołka C’, poruszając się po powierzchni sześcianu. Jaką drogę
powinna wybrać mucha, aby droga ta była możliwie najkrótsza? Zaznacz tę drogę na rysunku.
Oblicz długość tej drogi. Ile jest takich najkrótszych dróg z wierzchołka A do C’ ?
Rozwiązanie zadania V
C’
D’
B’
A’
D D
A
A
C
C
B
B
KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Pamiętaj, o zaznaczeniu odpowiedzi na karcie odpowiedzi.
1. W mojej ulubionej restauracji, jako stały klient, dostaję 10% zniżki. Ale do ceny posiłku
trzeba dodać 17,5% VAT i 12% za obsługę. Jeżeli procenty są naliczane po kolei, przy
czym każdy procent – dodatek lub odliczenie- jest obliczany od poprzedniej kwoty, to
jaka kolejność naliczania jest dla mnie najkorzystniejsza?
A. VAT, obsługa, zniżka
B. zniżka, VAT, obsługa
C. zniżka, obsługa, VAT
D. obsługa, zniżka, VAT
E. kolejność nie ma znaczenia
2. Używając tylko raz każdej z cyfr 9, 7, 6, 4, 2, 0 trzeba utworzyć możliwie najmniejszą
parzystą liczbę sześciocyfrową. Którą cyfrę należy postawić w rzędzie setek ?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 7
E. 9
3. Która z poniższych liczb jest równa ułamkowi
A.

9
B. 3 5  2
94 5
3
4. Rozwiązaniem równania  
7
A. -1
B. -7

2 x 7
1
4
B.
1
2
7
 
3
C. 7
C.
52
C. 5
3
4
?
D. 9
E. 1
7 x2
jest:
D. 0
5. Średnia arytmetyczna liczb x i y jest równa
A.
3
E. 1
3y
x
. Ile równa się
4
y
D. 1
E. 2
6. 300 złotych podzielono w stosunku 2:3. Większą część podzielono następnie w stosunku
3:2. Jaka jest najmniejsza z tych części ?
A. 48 zł
B. 72 zł
C. 108 zł
D. 120 zł
E. 200 zł
7. Funkcja f(n) każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę powstałą z dzielenia
liczby n przez liczbę 5. Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A. zbiór liczb naturalnych
B. zbiór liczb rzeczywistych C. zbiór liczb mniejszych od 5
D. {5}
E. {0,1,2,3,4}
KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
8. W klasie liczącej 24 uczniów siedemnaścioro wybrało jako dodatkowy przedmiot łacinę,
trzynaścioro wybrało grekę, a ośmioro historię starożytną. Jaka jest najmniejsza z
możliwych liczba uczniów, którzy wybrali więcej niż jeden z tych przedmiotów ?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
9. Która z figur posiada środek symetrii:
A. trapez równoramienny
B. trójkąt równoboczny
D. pięciokąt foremny
E. trójkąt równoramienny
C. równoległobok
10. Z dwudziestu siedmiu jednostkowych sześcianików chcę złożyć zwarty sześcian 3×3×3.
Wszędzie tam, gdzie sześcianiki stykają się ściankami, na jedną z tych dwóch ścianek
nakładamy klej. Na ile ścianek muszę nałożyć klej ?
A. 18
B. 27
C. 36
D. 54
E. 108
a
11. Na tym diagramie suma kątów a, b, c, d wynosi:
0
A. 180
0
0
B. 270
C. 360
D. 450
0
b
0
E. 540
c
d
12. Jeden bok kwadratu wydłużam o 3 cm, a przyległy do niego skracam o 2 cm i otrzymuję
w ten sposób prostokąt o polu 24 cm2. Jaki jest obwód tego prostokąta (w cm2) ?
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
E. 28
13. Na rysunku AB=6cm, AC=10cm, DE=4cm, a kąt ABC i EDC jest prosty . Jaką
B
długość ma AD (w cm) ?
2
A. 4
3
1
B. 5
3
C. 7,5
2
D. 6
3
E
E 8
A
C
D
14. Ile boków ma wielokąt wypukły, w którym suma kątów wewnętrznych ma miarę 18000
A. 12
B. 3
C. 10
D. 8
E. 9
15. W tym zadaniu r oznacza długość promienia podstawy stożka, l – długość jego tworzącej.
W którym z podanych niżej przypadków nie można zbudować stożka ?
A. r=3cm, l=5cm
B. r=10cm, l=12cm
D. r=6cm, l=5cm
E. r=5cm, l=13cm
C. r=3cm, l=4cm
KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki – 2004/2005
KARTA ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Numer
zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Punktacja
BRUDNOPIS