5.4 Ruch punktu materialnego w polu sił centralnych.

Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część piąta
Siły centralne
Siły centralne
Slajd podsumowania
5.1 Historia grawitacji
5.2 Definicja siły centralnej
5.3 Ruch płaski pod wpływem siły centralnej
5.4 Ruch punktu materialnego w polu sił centralnych
5.5 Wnioski
5.6 Prawa Keplera (orbity kołowe)
5.7 Nowe układy planetarne
5.8 Zasada antropiczna
Siły centralne
3
Koniec
pokazu
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
4
http://www.planetary.org/html/society/advisors/
sagandot.html
Ziemia widziana z Voyagera 1 z odległości 6,4 bilionów
kilometrów
5
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap980129.html
The Earth-Moon System
Credit:NEAR Spacecraft Team, JHUAPL, NASA
6
Earth at Night
Credit: C. Mayhew & R. Simmon (NASA/GSFC), NOAA/NGDC, DMSP
Digital Archive
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap001127.html
7
8
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap010204.html
Welcome to Planet Earth
Credit: Apollo 17 Crew, NASA
5.1 Historia grawitacji
Johannes Kepler (1571-1630)
1619 - Harmonia Światów
Kwadraty okresów obiegów planet są
proporcjonalne do sześcianów promieni orbit.
2
3
T
r .
Robert Hooke (1635-1703)
Siły, dzięki którym istnieje Układ Słoneczny, a
więc siły utrzymujące planety wokół Słońca
oraz Księżyc wokół Ziemi to są te same siły,
dzięki którym jabłko spada z jabłoni.
Siły centralne
9
Isaak Newton (1642-1726)
1687 - Mathematical Principles of
Natural Philosophy
1. Zasady dynamiki


d r

F  ma  m 2 .
dt
2
2. Grawitacja: Ruch w polu grawitacyjnym elipsa (okrąg), parabola, hiperbola.
Siły centralne
10
Ruch jednostajny po okręgu:

r

2

mv 
Fd 
er ,
r

Fd  Fd ,
2
mv
F d
.
r
Siły centralne
11
Prawo Keplera (obserwacja!)
 2r 
3
T 
 r ,
 v 
2
r
3
r ,
2
v
2
2
2
1
v  ,
r
2
v
1
Fd 
 2,
r
r
1
F  2.
r
Siły centralne
12
5.2 Definicja siły centralnej


r
Fc  F r   F r r̂.
r
5.3 Ruch płaski pod wpływem siły
centralnej Fc .
a. Moment pędu
  
L  r  p.
Siły centralne
13
b. Dla sił centralnych:

d Lc
 0.
dt
Mamy bowiem:



dL dr   d p  

 pr
 r  F.
dt dt
dt
Siły centralne
14

Lc

dLc

dt

 
r  Fc 

r  rˆ F r   0;
nie zmienia się w czasie.
   

Lc  r  p  r  mv .
Siły centralne
15
Wiemy jednak, że

v  rˆ r  r  ˆ,
  
r  v  r  rˆ r  r ˆ 
2 
 r  eˆ ,


L

2 
Lc  mr  eˆL ,

2 
Lc  Lc  m r   stałe.
Siły centralne
16
d Lc
2 

 2m r r   m r   0.
dt
Dla sił centralnych:

Lc  stałe  mr  .
2
Siły centralne
17
5.4 Ruch punktu materialnego w
 polu
 sił centralnych.
F  ma 

 

2

 m rˆ r  r  ˆ 2r  r 
 F r  rˆ.
Otrzymujemy dwa równania:



2

F r   m r  r ,
0  m 2r  r ,

opisujące ruch punktu materialnego w polu
sił centralnych.
Siły centralne
18
Równanie pierwsze
2

mr  mr   F r .
2
Wprowadzamy nową zmienną r=1/u i
równanie otrzymujemy w postaci:
d u
m 1  1  (*)

u


F
.


2
2
2
d
Lc u  u 
2
Siły centralne
19
5.5 Wnioski
a. Równanie (*) jest podstawowym równaniem
ruchu opisującym ruch punktu materialnego o
masie m w polu sił centralnych F(r)F(1/u).
b. Równanie (*) jest słuszne dla dowolnej funkcji
F(r)=F(1/u).
Na przykład:
K3
K1
K2
F r    ;
;
;
3
2
r
r
r
K5
K4
;
.
0.634
 4.62
r
r
Siły centralne
20
W zmiennej u
1

3
2
F    K1u , K 2u , K 3u
u
0.634
 4.62
K 4u
, K 5u
.
Makroskopowy Wszechświat można opisać
uwzględniając tylko dwa rodzaje sił:
grawitacja – prawo Newtona
elektromagnetyzm – prawo Coulomba, siła
Lorentza.
Siły centralne
21
Oba rodzaje sił mają tę samą zależność od r, (u):
K
2
Fc r   2  Ku .
r
DLACZEGO?
Siły centralne
22
Dla sił typu F=Ku2 otrzymujemy
równanie (*) w postaci:
2
d u
m 1
2

u


Ku

2
2
2
d
Lc u
Km
  2  stała,
Lc
czyli
Siły centralne
2
d u
 u  W  stała,
2
d
Km
W- 2 .
Lc
23
( )
m
Rozwiązania równania
znamy:
u  W  A cos  ,
1
r   
.
W  A cos 
Siły centralne
24
W zależności od wartości stałych W
oraz A:
elipsa (okrąg),

r    parabola,
hiperbola.

Siły centralne
25
5.6 Prawa Keplera (orbity kołowe)
Prędkość polowa:
S   r 2.
ds
dt
ds
dt
ds
Prędkość polowa  ,
dt
dr
 2 r
 2 rv,
dt
L
2 
 2 r   2 .
m
Siły centralne
ds
 stałe.
dt
26
2 r
T
,
v
2 2
4 r
2
T 
,
2
v
4 r
T 
,
2
v r
2
2
2
2
2
T
4
4 r 4 am
 2 3  2 4 
 stałe.
3
2
r
 r
 r
L
2
3
2
Siły centralne
27
Wniosek
1. Prędkość polowa jest stała.
2. T 2/r 3 = stałe.
Siły centralne
28
5.7 Nowe układy planetarne
1. Rozwiązanie równania Newtona w polu potencjału
sił centralnych V(r)
2
d u
m 1
2
u   2 2 K u ,
2
d
Lc u
K
V r 
Fc  2  
,
r
r
u  W  A cos  ,
1
r
,
W  A cos 
Siły centralne
29
K
V r   ,
r
1
W
p
r   

,
A
1


cos

1  cos 
W
elipsa (okrąg),   1 0 ,

r    
parabola,   1,

hiperola,   1,

p = parametr krzywej stożkowej,
 = mimośród.
Siły centralne
30
a. Definicja krzywej stożkowej
P
r
d2

ognisko
d1
Krzywa stożkowa:
zbiór punktów dla których stosunek: odległość
do ogniska / odległość do prostej jest stały i
równy  = mimośród.
Siły centralne
31
r
r

 ,
d 2 d1  r cos 
d1   r cos  r ,
d1
p
r

.
1   cos  1   cos 
b. Prędkość radialna na krzywej stożkowej
 p   sin  
vr  r 

2
1   cos  
p sin  

.
2
1   cos  
Siły centralne
32
Prawo zachowania momentu pędu
L  mr θ  stała  B,
2
B
B1   cos  

θ

,
2
2
mr
mp
2
p sin  B1   cos    B
vr 

sin  .
2
2
mp
mp 1   cos  
2
vr  stała  sin  .
Siły centralne
33
2. Zagadnienie dwóch ciał
a. środek masy
z
z’

r1

r0

r2
'
r1
'
r2
y’
x
x’
Siły centralne
34
y
a  1, 2, 3

 
ra  ra  r0 ,



va  va  V ,

d r0
V 
.
dt
N




p   ma va   ma va  V  ma .
a 1
a
a



p  p  V  ma .
a
Siły centralne
35

Istnieje taki układ odniesienia, w którym p  0.
Układ środka masy

V 

p
 prędkość środka masy,
 ma
a

r0 

 ma ra
a
m
a
Siły centralne

 R,

dR 
V,
dt
36

R określa położenie środka masy układu

Wybieramy początek układu w R

 ma ra  0,
a
Siły centralne

 mava  0.
a
37
b. Zagadnienie dwóch ciał.
Rozważmy dwa ciała oddziałujące na siebie za
pomocą potencjału
 
  
V  r1  r2 , r  r1  r2 .
Całkowita energia układu dwóch ciał:
 2
 2
m1r1
m2 r2
E


2
2
 
V  r1  r2 .
Siły centralne
38
(1)
Umieszczamy początek układu w środku masy
dwóch ciał. Oznacza to, że


  
m1r1  m2 r2  0, r  r1  r2 ,
 

 m1 r1  r2   r  m1 ,



 m1r1  m1r2  m1r ,


r2 m1  m2   m1r ,

r2  


 dr
m1 
v2  
u , gdzie u 
.
m1  m2
dt
Siły centralne
39

m1r
,
m1  m2
 

m2 r1  r2   r m2 ,



m2 r1  m2 r2  m2 r ,


r1 m1  m2   m2 r ,


m2 r
r1 
,
m1  m2

v1 
Siły centralne

m2
u.
m1  m2
40
Stąd
E
 2
 2
m1  m2 r 
m2   m1r 

 

  V r  
2  m1  m2 
2  m1  m2 
 2
r  m1m22
m2 m12 

  V r  

2
2
2  m1  m2 
m1  m2  
 2
m1m2 r  m2  m1 


2
 m  m  
2
2
 1


m1m2
r2  V r .
2m1  m2 





 2
r
(2)
E
 V r .  nazywamy masą zredukowaną.
2
Siły centralne
41
Wzór (2) opisuje energię całkowitą jednego ciała o
masie  poruszającego się w zewnętrznym potencjale
V(r).

v1 
m2 
u,
m1  m2

v2  

v1
v2
m1 środek masy
m1  m2 ,
m1 
u.
m1  m2
Siły centralne
m2 
m1  ,

v1  0,


v 2  u .
42
Nowy układ planetarny

50 lat świetlnych
~50 · 1013 km
~5 ·1014 km
1 AU  1.5 · 108 km
Obserwator na Ziemi
108 km
  14
 10 6.
10 km
Siły centralne
43
v
v
Masy Słońca
i niektórych planet
Ziemia
5,97 · 1024 kg
Jowisz
1,9 · 1027 kg
Słońce
1,9 · 1030 kg
Siły centralne
44
1
2
3
4
5
6
7
8
Star Name
M sin i Period Semimajor EccenK
[Fe/H]
(Mjup )
(d)
Axis (AU) tricity (m/s)
HD68988
HD142
HD4203
HD114783
HD23079
HD4208
HD33636
HD39091
1.90
1.00
1.64
0.99
2.54
0.81
7.71
10.37
6.276
337.1
406.0
501.0
627.3
829.0
1553.0
2115.2
0.071
0.980
1.09
1.20
1.48
1.69
2.62
3.34
http://exoplanets.org/eight_new.shtml
Siły centralne
45
0.14
0.38
0.53
0.10
0.06
0.04
0.39
0.62
187.0
29.6
51.0
27.0
56.7
18.3
148.0
196.2
0.24
0.04
0.22
0.33
*****
-0.24
-0.13
0.09
Siły centralne
46
http://exoplanets.org/doppler.html
Siły centralne
47
http://exoplanets.org/graphics/kepslaw.gif
Siły centralne
48
Author: Goeff Marcy (UC Berkeley)
http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content
/hd46375rvw.jpg
HD 46375 Radial Velocity
Siły centralne
49
HD 46375 Orbit
Goeff Marcy (UC Berkeley)
http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content/
hd46375orbitw.jpg
Nowy układ planetarny
m p  2000me .
e
p
10-10m
Wprawdzie proton i elektron poruszają się wokół
wspólnego środka masy, ale praktyczne biorąc
prędkość protonu jest równa zeru. To gwarantuje
istnienie stabilnej struktury związków chemicznych.
Siły centralne
50
5.8 Zasada antropiczna
Rozpatrzmy własności fizyczne innego (od naszego
Wszechświata) wszechświata, o n wymiarach
przestrzennych w którym siła grawitacji i siła
elektrostatyczna są opisywane za pomocą wzoru:*
K
F  n  2 n 1 , n  2.
(1)
r
* Energia potencjalna w innym wszechświecie ma postać:
V r  
K
 Kr 2 n ,
r n2

V r 
n  2K
1 n
F r   
 2  n Kr 
.
n 1
r
r
We wszechświecie z n=2 nie mogą istnieć struktury biologiczne.
Siły centralne
51
Równanie Newtona w innym wszechświecie:
d u
m 1 1
(2)
 u   2 2 F  .
2
d
L u u
Podstawiamy wzór (1) do wzoru (2) i otrzymujemy:
2
2
d u
m 1
n 1
 u   2 2 n  2Ku ,
2
d
L u
2
d u
m
n 3
 u   2 n  2Ku . ()
2
d
L
Siły centralne
52
We Wszechświecie trójwymiarowym – naszym
Wszechświecie (n = 3) równanie (2) ma
następujące rodzaje orbit:
parabola
orbity, które nie gwarantują
powstania i podtrzymania
hiperbola
życia.
elipsa – orbita stabilna, która gwarantuje
warunki do powstania i trwania życia.
Siły centralne
53
W innym wszechświecie (n3) równanie ()
nie ma rozwiązania w postaci elipsy. Trajektorie
punktów materialnych przyciąganych przez
centrum siły (grawitacja, elektrodynamika) albo
mijają centrum i oddalają się do nieskończoności
albo spadają na centrum siły.
5
2
4

Siły centralne

54
3

1

Zasada antropiczna
Wszechświat musi być taki, aby dopuszczać
powstanie w nim obserwatorów.
B. Carter: Confrontation of cosmological theories with
observations, M. Longair ed. Reidel 1973.
Siły centralne
55
Zasada antropiczna
Jedynym prawdziwie rzeczywistym
wszechświatem jest ten, który jest
postrzegany, toteż ten rzeczywisty
wszechświat musi dostosować swoje
właściwości do warunków niezbędnych do
istnienia obserwatorów.
P.C. Davies, The anthropic principle,
Progres in Particle and Nuclear Physics, 10 (1983) 1,
Postępy Fizyki 37 (1986) 214.
Siły centralne
56
57
Sir Izaak Newton zmienił obraz świata
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap000723.html
58
59
Płaszczyzna ekliptyki
Płaszczyznę ekliptyki definiujemy jako płaszczyznę zawierającą orbitę Ziemi
wokół Słońca. W tej płaszczyźnie zawarte są orbity większości planet (oprócz
Neptuna). Na zdjęciu (od prawej) widzimy Księżyc oświetlony słabym
promieniowaniem Ziemi oraz planety: Saturn, Mars, Merkury.
Credit: The Clementine Project
http://antwr.gsfc.nasa.gov/apod/ap001014.html
60
61
Wschód Księżyca nad Ziemią
Credit: STS-35 Crew, NASA
http://antwr.gsfc.nasa.gov/apod/ap001028.html
Saturn i jego księżyce http://pds.jpl.nasa.gov/planets/
62
To jest ostatni slajd rozdziału „Siły centralne”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału tego rozdziału,
•zakończyć pokaz.
Spis treści
Koniec
pokazu