Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 12

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
12. Funkcje charakterystyczne - zadania do samodzielnego
rozwiązania
Zad. 12.1 Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości
  1 1 − 1 |x| ;
2
f (x) = 2
0;
|x| ¬ 2
|X| > 2.
Zad. 12.2 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku (−1, 1). Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Y = g(X), gdzie
g(x) =

−1,
x,
x¬0
x > 0.
Zad. 12.3 Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn są niezależne i mają rozkład Cauchy’ego C(0, 1).
P
Wykaż, że X = n1 nk=1 Xk ma również rozkład Cauchy’ego.
Zad. 12.4 Sprawdź, czy suma X+Y niezależnych zmiennych losowych X i Y o rozkładach
1. Poissona z parametrami λ1 i λ2 ,
2. wykładniczych z tym samym parametrem λ
ma również rozkład odpowiednio Poissona i wykładniczy. Z jakim parametrem?
Zad. 12.5 Wykaż, że funkcje
1. ϕ(t) =
1
,
1+i|t|

2 − |t|;
2. ϕ(t) = 
0;
|t| < 2
|t| ­ 2
nie mogą być funkcjami charakterystycznymi.
Zad. 12.6 Korzystając ze wzoru na odwrócenie, wyznacz rozkład zmiennej losowej X
o funkcji charakterystycznej
ϕ(t) = exp(2it − 3|t|).
Zad. 12.7 Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona
z tym samym parametrem λ. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej
Z = X − Y i oblicz E(Z 3 ).
Zad. 12.8 Wyznacz:
1. EX 2 dla zmiennej losowej X o rozkładzie P o(λ),
2. EX k dla zmiennej losowej X o rozkładzie E(λ).
Zad. 12.9 Niech dla każdego n ∈ N zmienne losowe Xn i Yn będą niezależne oraz Xn
ma rozkład U (0, n), zaś Yn ma rozkład P o(1). Znajdź granicę według rozkładu ciągu
Zn = Xn + Ynn .
Zad. 12.10 Xn , Yn są
niezależnymi zmiennymi losowymi, Xn ma rozkład jednostajny na
odcinku − n1 , n1 , natomiast Yn ma rozkład zadany równościami:
1
1
1
= P Yn = −1 +
= .
P Yn = 1 +
n
n
2
Zmienna Zn określona jest wzorem Zn = 2Xn + Yn .
1. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Zn .
2. Wyznacz granicę według rozkładu zmiennej Zn .
Zad. 12.11 1. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Laplace’a, tzn. zmiennej o gęstości rozkładu
1
f (x) = e−|x| ,
2
x ∈ R.
2. Czy ciąg
X1 + X2 + . . . + Xn
√
,
n
gdzie X1 , X2 , . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Laplace’a
jest słabo zbieżny? Jeśli tak, to do jakiej zmiennej?
Zad. 12.12 Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu
1
1
1
1
Yn = X1 + 2 X2 + 3 X3 + ... + n Xn ,
2
2
2
2
gdzie X1 , X2 , ... są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1) każda.