Podróże po Imperium Liczb

Olsztyn, Toruń, 2008
Podróże po Imperium Liczb
06 Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych
Andrzej Nowicki
1 Relacja podzielności
1.1 Potęgi i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Liczby postaci nn + (n+1)n+1 i podzielność . . .
1.3 Funkcje liniowe i podzielność . . . . . . . . . . . .
1.4 Ciągi i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Pewne cechy podzielności . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Reszty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Pary liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Trójki liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Czwórki liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Największy nieparzysty dzielnik . . . . . . . . . .
1.11 Różne fakty i zadania dotyczące podzielności liczb
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
8
9
10
11
13
15
16
17
17
18
2 Nwd i nww
2.1 Własności nwd i nww . . . . . . . .
2.2 Nierówności z nwd i nww . . . . . .
2.3 Równania postaci (x,y)=d i [x,y]=w
2.4 Różne równania z nwd i nww . . . .
2.5 Algorytm Euklidesa . . . . . . . . .
2.6 Wyznaczniki z nwd i nww . . . . . .
2.7 Ciągi z nwd i nww . . . . . . . . . .
2.8 Szeregi z nwd i nww . . . . . . . . .
2.9 Różne fakty i zadania o nwd i nww
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
23
24
25
25
26
27
28
28
3 Liczby względnie pierwsze
3.1 Elementarne własności i przykłady . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Liczby względnie pierwsze oraz sumy, różnice i iloczyny . . .
3.3 Formy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Liczby względnie pierwsze i ciągi arytmetyczne . . . . . . . .
3.5 Nieskończone ciągi liczb parami względnie pierwszych . . . .
3.6 Ciągi a1 +n, ..., as +n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych liczb względnie pierwszych
3.8 Różne fakty i zadania o liczbach względnie pierwszych . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
33
34
35
37
39
39
4 Kongruencje
4.1 Własności i przykłady kongruencji
4.2 Kongruencje liniowe . . . . . . . .
4.3 Twierdzenie chińskie o resztach .
4.4 Układy kongruencji liniowych . .
4.5 Kongruencje w algebrach . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
42
45
46
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Kongruencje jednej zmiennej
5.1 Podstawowe pojęcia i fakty . . . . . .
5.2 Kongruencje o module złożonym . . .
5.3 Kongruencje z potęgą liczby pierwszej
5.4 Kongruencja x2 ≡ a (mod 2n ) . . . .
5.5 Kongruencja x3 ≡ a (mod 3n ) . . . .
5.6 Kongruencja x5 ≡ a (mod 5n ) . . . .
5.7 Kongruencja xp ≡ a (mod pn ) . . . .
5.8 Różne fakty dotyczące kongruencji . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
48
49
51
53
54
54
56
6 Podzielność i wielomiany
6.1 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Funkcje wielomianowe i podzielność . . . . . . . . . .
6.3 Pierwiastki wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Istnienie pewnych wielomianów o danych wartościach
6.5 Wartości wielomianów i podzielność . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
58
59
60
61
7 Macierze o współczynnikach całkowitych
7.1 Liczby Dk (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Równoważność macierzy o współczynnikach całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Postać kanoniczna macierzy o współczynnikach całkowitych . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
65
67
8 Liniowe równania diofantyczne
8.1 Ogólne fakty o układach jednorodnych . . . .
8.2 Ogólne fakty o układach niejednorodnych . . .
8.3 Równanie ax + by = c. Rozwiązania całkowite
8.4 Równanie ax + by = c. Rozwiązania nieujmne
8.5 Równanie ax + by = c. Rozwiązania naturalne
8.6 Równanie ax + by +cz = d . . . . . . . . . . .
8.7 Układy równań liniowych trzech zmiennych . .
8.8 Równania liniowe n zmiennych . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
w module
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
71
73
75
76
78
80
82
83
9 Systemy numeracji
9.1 System numeracji o danej podstawie . . . . . . . . . . . . .
9.2 Systemy numeracji i liczby z kolejnymi rosnącymi cyframi .
9.3 Systemy numeracji i liczby z kolejnymi malejącymi cyframi
9.4 Systemy numeracji i liczby palindromiczne . . . . . . . . .
9.5 Uogólnione systemy pozycyjne . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Uogólnione systemy pozycyjne z jednoznacznością rozkładu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
85
85
88
89
91
91
94
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń
Olsztyńska Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania, Olsztyn
e-mail: [email protected]
2