Lista 5 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE. "pdf"

Arytmetyka teoretyczna
LISTA 5. Równania diofantytyczne. Równania ax + by = c oraz
x + y2 = z2.
2
Zad. 1. Udowodnić:
Twierdzenie 1. Równanie
(∗) ax + by = c
o współczynnikach całkowitych ma rozwia̧zanie w zbiorze liczb całkowitych
wtedy i tylko wtedy, gdy N W D(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb (k, l) jest
rozwia̧zniem równania (∗), to zbiór rozwia̧zań całkowitych równania (∗) składa
siȩ ze wszystkich par (k + tb1 , l − ta1 ), t ∈ Z, gdzie a1 = a/N W D(a, b) i
b1 = b/N W D(a, b).
Wersja ogólna:
Twierdzenie 2.
Równanie
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = c , n ≥ 2,
o współczynnikach całkowitych ma rozwia̧zanie w zbiorze liczb
całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy N W D(a1 , ..., an ) dzieli c.
Zad. 2. Udowodnić:
Lemat. Gdy n > 1, to najwiȩkszy wspólny dzielnik liczb całkowitych a1 , a2 ..., an ,
z których co najmniej jedna jest różna od 0, daje siȩ przedstawić w postaci
a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn , gdzie c1 , ..., cn sa̧ całkowite.
Dzielnik ten jest najmniejsza̧ liczba̧ naturalna̧ takiej postaci.
Zad. 3. Znaleźć całkowite rozwia̧zania równań:
(a) 2x + 5y = 6 (b) 12x + 7y + 9z = 5.
Rozwia̧zanie k, l, m ∈ N \ {0} równania
(∗∗)x2 + y 2 = z 2
nazywa siȩ właściwym, jeśli (k, l) = 1.
1
Twierdzenie 3. Wszystkie rozwia̧zania właściwe równania x2 + y 2 = z 2 ,
w których y jest parzysta, otrzymujemy ze wzorów
x = m2 − n2 , y = 2mn , z = m2 + n2 ,
biora̧c za m, n wszystkie pary liczb naturalnych wzglȩdnie pierwszych, w których
tylko jedna z liczb jest parzysta i n < m.
Twierdzenie 4. Istnieje nieskończenie wiele rozwia̧zań równania
x + y 2 = z 2 takich, że x, y sa̧ kolejnymi liczbami naturalnymi.
2
Zad. 4. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele rozwia̧zań równania (∗∗)
takich, że z = y + 1.
Zad. 5. Znaleźć wszystkie trójka̧ty prostoka̧tne, których boki maja̧
dlugości wyrażaja̧ce siȩ liczbami naturalnymi, a pole jest równe obwodowi.
Zad. 6. Pokazać, że jedynym rozwia̧zaniem naturalnym równania
3n + 4n = 5n jest n = 2.
Zad. 7. Pokazać, że dla żadnej liczby n > 1 równanie xn + y n = z n nie
ma rozwia̧zania w liczbach pierwszych x, y, z.
2