Matematyka Dyskretna

Matematyka Dyskretna
Ćwiczenia 1
Zagadnienia wstępne
Zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych. Systemy pozycyjne,
przeliczanie.
Liczby naturalne: dzielenie z resztą, liczby pierwsze, rozkład liczby na czynniki, NWD,
hipoteza Goldbacha.
Liczby wymierne: niewymierność 2 , gęstość liczb wymiernych, brak własności istnienia
kresów.
Liczby rzeczywiste: krótko o aksjomatyce i konstrukcji. Własność kresów. Istnienie
pierwiastków kwadratowych z liczb nieujemnych.
Zadanie 1
Udowodnić, że
a) Kwadrat liczby parzystej jest liczbą parzystą
b) Kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą
Załóżmy, że k jest liczbą całkowitą, taką że k2 jest nieparzysta. Co można powiedzieć o
liczbie k?
Systemy pozycyjne
System pozycyjny o podstawie p  2 : ustalamy p różnych symboli (zwanych cyframi), a
wartość napisu (an a1a0 ) p obliczamy według wzoru:
(an
a1a0 ) p  a0 p0  a1 p1 
 an1 p n1  an p n
Przykład 1
Zapis dwójkowy: mamy dwa symbole 0, 1
(1011)2  1 20  1 21  0  22  1 23  1  2  8  (11)10
(10100)2  0  20  0  21  1 22  0  23  1 24  4  16  (20)10
Przykład 2
Zapis szesnastkowy: mamy szesnaście symboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. W
zapisie dziesiętnym mamy: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
(24)16  4 160  2 161  4  32  (36)10
(5B7)16  7 160  B 161  5 162  7  1116  5  256  (1463)10
Zadanie 2
Podać zapis dziesiętny następujących liczb:
(20211)3 , (403022)5 , (1010011)2 , ( A08)16 , ( F 02)16 , (FFA5)16
Zadanie 3
Podać zapis dwójkowy, trójkowy i siódemkowy następujących liczb zapisanych w systemie
dziesiętnym:
204, 511, 1024, 3303
Zadanie 4
Zamienić liczby podane w systemie szesnastkowym na system dwójkowy:
(FA2)16, (EA43)16, (8302)16
Zadanie 5
Zamienić podane liczby w systemie dwójkowym na system szesnastkowy:
(10001010)2, (10011001)2, (111100101010)2, (100111010)2, (111011101010011)2.
Zadanie 6
Korzystając z algorytmu Euklidesa wyznaczyć NWD następujących par liczb naturalnych:
(990, 168), (55, 89), (128, 74), (128, 36).
Ćwiczeni 7
Uzasadnić, że największa wartość liczby dwójkowej o n cyfrach wynosi 2n-1.