1. Podzielnoą˘

ELEMENTARNA TEORIA LICZB
IZABELA AGATA MALINOWSKA
1. Podzielno±¢
N = {1, 2, . . .}
Denicja 1.1.
Niepusty podzbiór
je»eli istnieje taka liczba naturalna
do
A
n0 ,
zbioru liczb naturalnych jest ograniczony,
»e
m < n0
dla dowolnej liczby
m
nale»¡cej
A.
Twierdzenie 1.1. (Zasada maksimum)
W ka»dym niepustym ograniczonym
podzbiorze A zbioru liczb naturalnych istnieje liczba najwi¦ksza tzn. istnieje taka
liczba m0 nale»¡ca do A, »e m ≤ m0 dla dowolnej liczby m nale»¡cej do A.
Twierdzenie 1.2. (Zasada minimum) W ka»dym niepustym podzbiorze A zbioru
liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza tzn. istnieje taka liczba
do A, »e m0 ≤ m dla ka»dej liczby naturalnej m nale»¡cej do A.
m0 nale»¡ca
Twierdzenie 1.3. (Zasada indukcji matematycznej zupeªnej) Niech ka»dej
liczbie naturalnej
ªo»e«:
(1) zdanie
n przyporz¡dkowane b¦dzie zdanie logiczne p(n). Wówczas z za-
p(1) jest prawdziwe;
n ∈ N, je±li zdanie p(n) jest prawdziwe, to zdanie p(n + 1) jest
(2) dla ka»dego
prawdziwe;
wynika prawdziwo±¢ zda«
p(n) dla ka»dego n ∈ N.
Denicja 1.2. Niech a, b b¦d¡ liczbami caªkowitymi takimi, »e a 6= 0. Mówimy, »e
liczba a dzieli liczb¦ b lub liczba b jest podzielna przez liczb¦ a, lub »e liczba a jest
dzielnikiem liczby b, lub »e liczba b jest wielokrotno±ci¡ liczby a, gdy istnieje liczba
caªkowita k taka, »e b = ak .
Oznaczenia:
dzieli
a
a
Twierdzenie 1.4.
a|b
a-b
b
nie dzieli
b
Dla dowolnych
a, b, c ∈ Z oraz 0 6= m ∈ Z prawdziwe s¡ nast¦pu-
j¡ce wªasno±ci:
(1)
(3) je»eli
(4) je»eli
(5) je»eli
(6) je»eli
(7)
1 | a i −1 | a;
a | c, to a | b + c i a | b − c;
b | c, to a | c;
a | bc;
b 6= 0, to |a| ≤ |b|;
b | a, to b = a lub b = −a;
wtedy i tylko wtedy, gdy ma | mb.
m | m,
(2) je»eli
a|b
m | 0,
a|b i
a|b i
a | b to
a|b i
a|b i
Twierdzenie 1.5. (Twierdzenie o dzieleniu z reszt¡ w liczbach caªkowitych) Je»eli a, b ∈ Z i b 6= 0, to istniej¡ jednoznacznie okre±lone liczby caªkowite
q, r takie, »e a = qb + r
i
0 ≤ r < |b|.
1
2
IZABELA AGATA MALINOWSKA
Twierdzenie 1.6.
Niech b b¦dzie liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e b > 1. Wówczas ka»da
n mo»e by¢ jednoznacznie zapisana w postaci:
liczba naturalna
n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 ,
gdzie
aj jest liczb¡ caªkowit¡ tak¡, »e 0 ≤ aj ≤ b − 1 dla j = 0, 1, . . . k oraz ak 6= 0.
Wniosek 1.7.
pot¦g liczby
Ka»da liczba naturalna mo»e by¢ przedstawiona jako suma ró»nych
2.
2. Liczby pierwsze
Denicja 2.1.
Liczb¦ naturaln¡ nazywamy liczb¡ pierwsz¡, je»eli
jej dzielnikami nauralnymi s¡
1 i n.
n > 1 i jedynymi
1, która nie
Ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ wi¦ksz¡ od
jest liczb¡ pierwsz¡ nazywamy liczb¡ zªo»on¡. Zbiór wszystkich liczb pierwszych
oznacza¢ b¦dziemy symbolem
P.
Lemat 2.1. Ka»da liczba naturalna > 1 ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy.
Lemat 2.2. Dla ka»dej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza wi¦ksza od n.
Twierdzenie 2.3. (Euklides) Istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych.
√
Twierdzenie 2.4. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy 6 n.
Sito Eratostenesa
Przykªad 2.1.
Zastosujemy metod¦ sita Eratostenesa do wyznaczenia wszyst-
kich liczb pierwszych mniejszych od
99
100.
Wypisujemy wszystkie liczby od
2 do
2, 3, 5, 7. Dla
11 zachodzi 112 > 99, a
i w otrzymanym ci¡gu wykre±lamy kolejno wielokrotno±ci liczb
najmniejszej niewykre±lonej liczby wi¦kszej od
7,
czyli dla
zatem wszystkie liczby zªo»one zostaªy ju» wykre±lone.
ELEMENTARNA TEORIA LICZB
Tablica 1.
2
3
4
11
12
13
21
22
31
32
41
42
51
52
61
62
71
72
81
82
91
92
Sito Eratostenesa
5
6
14
15
16
23
24
25
26
33
34
35
36
3
7
8
17
18
27
28
43
44
45
46
53
54
55
56
63
64
65
66
29
30
39
40
47
48
49
50
57
58
67
68
74
75
76
77
78
83
84
85
86
87
88
93
94
95
96
97
98
59
60
69
70
73
20
38
19
37
10
9
79
80
89
90
99
3. Najwi¦kszy wspólny dzielnik
Denicja 3.1. Niech a, b ∈ Z, przy czym a 6= 0 lub b 6= 0. Najwi¦kszym wspólnym
dzielnikiem liczb a i b nazywamy liczb¦ caªkowit¡ d speªniaj¡c¡ warunki:
(1) d | a i d | b;
(2) dla ka»dej liczby caªkowitej c takiej, »e c | a i c | b zachodzi nierówno±¢ c 6 d.
Najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb a i b oznaczamy symbolem (a, b) lub NWD(a, b).
Twierdzenie 3.1.
Dla dowolnych liczb caªkowitych
istnieje ich najwi¦kszy wspólny dzielnik.
Denicja 3.2.
Liczby caªkowite
a
i
b
dla których
a, b takich, »e a 6= 0 lub b 6= 0
(a, b) = 1
nazywamy wzgl¦dnie
pierwszymi.
Twierdzenie 3.2.
Niech
Twierdzenie 3.3.
Je»eli
a, b (a 6= 0 lub b 6= 0) b¦d¡ liczbami caªkowitymi takimi,
a b ,
= 1.
»e (a, b) = d. Wwóczas
d d
a, b, c s¡ liczbami caªkowitymi przy czym a 6= 0 lub b 6= 0,
to
(a + cb, b) = (a, b).
4
IZABELA AGATA MALINOWSKA
Twierdzenie 3.4.
liczby caªkowite
Dla dowolnych liczb caªkowitych
a, b (a 6= 0 lub b 6= 0) istniej¡
x, y takie, »e
xa + yb = (a, b).
Wniosek 3.5.
liczb
Niech a, b ∈ Z, a 6= 0 lub b 6= 0. Je±li d jest wspólnym dzielnikiem
a i b, to d dzieli (a, b).
Twierdzenie 3.6.
Niech
a, b ∈ Z, a 6= 0 lub b 6= 0. Wówczas najwi¦kszy wspólny
dzielnik jest:
(1) najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ daj¡c¡ si¦ przedstawi¢ w postaci
ax + by gdzie
x, y ∈ Z,
(2) dodatnim wspólnym dzielnikiem
dzielnik liczb
Twierdzenie 3.7.
naturalnej
a i b, który jest podzielny przez ka»dy wspólny
a i b (istnieje dokªadnie jedna liczba o tej wªasno±ci).
Niech
a, b ∈ Z, a 6= 0 lub b 6= 0. Wówczas dla dowolnej liczby
m
(ma, mb) = m(a, b).
Twierdzenie 3.8.
Je±li
Niech
a, b, c ∈ Z, a 6= 0 lub b 6= 0. Je±li c | a i c | b i c > 0, to
a b
1
,
= (a, b).
c c
c
(a, b) = d, to
Twierdzenie 3.9.
Niech
a b
,
d d
= 1.
a, b, c ∈ Z. Je±li (a, b) = 1 i c | a, to (c, b) = 1.
Algorytm Euklidesa
Poniewa»
(|a|, |b|) = (a, b)
wi¦c mo»emy zaªo»y¢, »e
a > b > 0.
Twierdzenie 3.10.
Niech r0 = a i r1 = b b¦d¡ liczbami caªkowitymi takimi, »e
a > b > 0. Je»eli wielokrotnie wykonuj¡c dzielenie z reszt¡, otrzymujemy ci¡g
zale»no±ci
gdzie
0 < rj+2 < rj+1
Denicja 3.3.
rj = rj+1 qj+1 + rj+2 ,
dla j = 0, 1, 2, . . . , n − 2 oraz rn+1 = 0, to (a, b) = rn .
Niech S b¦dzie niepustym (sko«czonym lub niesko«czonym) zbiorem
liczb caªkowitych, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Liczb¦ caªkowit¡
d, która jest dzielnikiem ka»dej z liczb ze zbioru S nazywamy wspólnym dzielnikiem
liczb ze zbioru S . Najwi¦ksz¡ liczb¦ calkowit¡ dziel¡c¡ wszystkie liczby za zbioru S
nazywamynajwi¦kszym wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S , tzn. najwi¦kszym
wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S nazywamy liczb¦ caªkowit¡ d speªniaj¡c¡
warunki:
a ∈ S zachodzi d | a;
d0 ∈ Z i d0 > d, to istnieje a ∈ S
(1) dla dowolnego
(2) je±li
Najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych
bolem
d0 - a.
a1 , a2 , . . . , an
takie, »e
oznaczamy sym-
(a1 , a2 , . . . , an ).
Twierdzenie 3.11.
Niech S b¦dzie niepustym (sko«czonym lub niesko«czonym)
zbiorem liczb caªkowitych, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Wówczas
istnieje najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb ze zbioru S .
ELEMENTARNA TEORIA LICZB
5
Twierdzenie 3.12. Niech k ∈ N oraz k > 2 oraz niech a1 , a2 , . . . , ak b¦d¡ liczbami
caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest
ró»na od zera.
a
a
a
Je»eli (a1 , a2 , . . . , ak ) = d, to d1 , d2 , · · · , dk = 1.
Twierdzenie 3.13.
Niech k ∈ N, k > 2. Je»eli a1 , a2 , . . . , ak s¡ liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera, to istniej¡ takie liczby
caªkowite x1 , x2 , . . . , xk , »e
(∗)
k
X
ai xi = (a1 , a2 , . . . , ak ),
i=1
przy czym
w postaci
(a1 , a2 , . . . , ak ) jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ daj¡c¡ si¦ przedstawi¢
(∗), ponadto (a1 , a2 , . . . , ak ) jest dodatnim wspólnym dzielnikiem liczb
a1 , a2 , . . . , ak , który jest podzielny przez ka»dy wspólny dzielnik tych liczb.
Twierdzenie 3.14.
Niech k ∈ N, k > 2. Je»eli a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak s¡ liczbami
caªkowitymi, przy czym przynajmniej jedna z a1 , a2 , . . . , ak−1 jest ró»na od zera, to
(a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak ) = ((a1 , a2 , . . . , ak−1 ), ak ).
(a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak ), gdzie a1 6= 0 mo»emy
d2 = (a1 , a2 ), d3 = (d2 , a3 ), d4 = (d3 , a4 ),..., dk−1 =
(dk−2 , ak−1 ) i (a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak ) = (dk−1 , ak )
St¡d wynika, »e aby znale¹¢ liczb¦
obliczy¢ kolejno dzielniki
Twierdzenie 3.15.
Niech k ∈ N, k > 2. Je»eli a1 , a2 , . . . , ak s¡ liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera, to dla dowolnej liczby
naturalnej m
(ma1 , ma2 , . . . , mak ) = m(a1 , a2 , . . . , ak ).
Twierdzenie 3.16. (Podstawowe twierdzenie arytmetyki)
Je»eli
a, b, c ∈ Z, a | bc oraz (a, b) = 1, to a | c.
Twierdzenie 3.17.
(1) Niech k ∈ N i k > 1. Wówczas dla dowolnych liczb
caªkowitych a1 , a2 , . . . , ak , (a1 , a2 , . . . , ak ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡
liczby caªkowite t1 , t2 , . . . , tk takie, »e a1 t1 + a2 t2 + · · · + ak tk = 1.
(2) Niech k ∈ N i k > 1. Je»eli d, b, a1 , a2 , . . . , ak ∈ Z takie, »e (a1 , a2 , . . . , ak ) = 1
i d | bai dla ka»dego i = 1, 2, . . . , k , to d | b.
Twierdzenie 3.18.
Je»eli
a, b, c s¡ liczbami caªkowitymi takimi, »e (a, c) = (b, c) = 1, to (ab, c) = 1.
Twierdzenie 3.19.
Niech k ∈ N, k > 2. Je»eli liczba caªkowita c jest wzgl¦dnie
pierwsza z ka»d¡ z liczb a1 , a2 , . . . , ak , to jest te» wzgl¦dnie pierwsza z ich iloczynem.
Twierdzenie 3.20.
Je»eli
a, b i c s¡ liczbami caªkowitymi takimi, »e a | c, b | c i
(a, b) = 1, to ab | c.
Twierdzenie 3.21.
Niech k ∈ N, k > 2. Je»eli liczby m1 , m2 , . . . , mk
parami wzgl¦dnie pierwsze i wszystkie dziel¡ liczb¦ caªkowit¡ x,
to iloczyn m1 · m2 · . . . · mk dzieli x.
∈ Z s¡
6
IZABELA AGATA MALINOWSKA
4. Najmniejsza wspólna wielokrotno±¢
Denicja 4.1.
naturaln¡
m
(1) liczby
(2) je»eli
Niech
a, b
b¦d¡ ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi.
nazywamy najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb
a i b dziel¡ m;
m0 ∈ N i a | m0 i b | m0 ,
to
a i b,
Liczb¦
je»eli
m0 > m.
Najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±¢ liczb
aib
oznaczamy symbolem
Twierdzenie 4.1.
Dla dowolnych ró»nych od zera liczb caªkowitych
najmniejsza wspólna wielokrotno±¢.
[a, b].
a, b istnieje ich
Twierdzenie 4.2.
Niech a, b b¦d¡ dowolnymi ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi
oraz m0 = [a, b] b¦dzie ich ich najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡. Je»eli m jest
liczb¡ caªkowit¡ podzieln¡ przez a, jak i przez b, to m0 | m.
Twierdzenie 4.3.
Wówczas:
Niech
a, b b¦d¡ dowolnymi ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi.
(1) je»eli m ∈ N, to [ma, mb] = m[a, b];
(2) [a, b](a, b) = |ab|.
Denicja 4.2.
Niech
k ∈ N, k > 2.
Je»eli liczby caªkowite
a1 , a2 , . . . , ak
s¡
wszystkie ró»ne od zera, to najmniejsz¡ liczb¦ naturaln¡ dziel¡c¡ si¦ przez nie
wszystkie nazywamy najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb
naczamy symbolem
Zatem najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb
liczb¦ naturaln¡
m,
a1 , a2 , . . . , ak
i oz-
[a1 , a2 , . . . , ak ].
a1 , a2 , . . . , ak
nazywamy tak¡
która speªnia warunki:
i = 1, 2, . . . , k zachodzi ai | m,
m0 ∈ N i dla ka»dego i = 1, 2, . . . , k zachodzi ai | m,
(1) dla ka»dego
(2) je»eli
to
m0 > m.
Twierdzenie 4.4.
caªkowitych
Niech k ∈ N, k > 2. Dla dowolnych ró»nych od zera liczb
a1 , a2 , . . . , ak istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotno±¢.
Twierdzenie 4.5. Niech k ∈ N, k > 2. Je»eli a1 , a2 , . . . , ak s¡ liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, to [a1 , a2 , . . . , ak ] dzieli ka»d¡ wspóln¡ wielokrotno±¢ tych
liczb. Ponadto [a1 , a2 , . . . , ak ] jest dodatni¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ tych liczb, która
dzieli ka»d¡ ich wspóln¡ wielokrotno±¢.
Twierdzenie 4.6.
Niech
tymi ró»nymi od zera, to
k ∈ N, k > 2. Je»eli a1 , a2 , . . . , ak s¡ liczbami caªkowi-
[a1 , a2 , . . . , ak ] = [[a1 , a2 , . . . , ak−1 ], ak ].
Twierdzenie 4.7.
Niech k ∈
parami wzgl¦dnie pierwsze, to
N, k > 2. Je»eli liczby naturalne a1 , a2 , . . . , ak s¡
[a1 , a2 , . . . , ak ] = a1 · a2 · . . . · ak .
5. Liniowe równania diofantyczne
Denicja 5.1.
Równaniem diofantycznym nazywamy ka»de równanie postaci f (x1 , . . . , xn ) = 0,
gdzie f jest funkcj¡ n zmiennych, a którego rozwi¡za« szukamy w zbiorze liczb
caªkowitych lub zbiorze liczb naturalnych.
ELEMENTARNA TEORIA LICZB
Twierdzenie 5.1.
Niech
7
a, b, c ∈ Z, a 6= 0 lub b 6= 0. Równanie
(∗)
ax + by = c,
ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych
x i y wtedy i tylko wtedy, gdy (a, b) | c.
Twierdzenie 5.2. Niech a, b, c (a 6= 0 i b 6= 0) b¦d¡ liczbami caªkowitymi oraz
niech para liczb caªkowitych x0 , y0 b¦dzie rozwi¡zaniem równania
(∗)
ax + by = c.
Para liczb caªkowitych x, y jest rozwi¡zaniem równania
istnieje liczba caªkowita t taka, »e
(∗∗)
gdzie
a = a1 (a, b),
(∗) wtedy i tylko wtedy, gdy
y = y0 − a1 t,
x = x0 + b1 t,
b = b1 (a, b).
Twierdzenie 5.3. Niech b¦dzie danych n liczb caªkowitych
z których przynajmniej jedna nie jest zerem. Równanie
(∗)
a1 , a2 , . . . , an (n > 2),
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = c
ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych
gdy (a1 , a2 , . . . , an ) | c.
x1 , x2 , . . . , xn wtedy i tylko wtedy,
6. Rozkªad na czynniki pierwsze
Lemat 6.1.
Je»eli
p jest liczb¡ pierwsz¡, a, b ∈ Z i p | a · b, to p | a lub p | b.
Twierdzenie 6.2.
to istnieje
Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡ a1 , a2 , . . . , an ∈ Z i p | a1 a2 · · · an ,
k, 1 6 k 6 n, takie, »e p | ak ,
Twierdzenie 6.3.
Ka»d¡ liczb¦ naturaln¡
n > 1 mo»na przedstawi¢ w postaci
n = p 1 p2 · · · pk ,
przy czym
k > 1, liczby za± p1 , p2 , . . . , pk s¡ pierwsze.
Twierdzenie 6.4.
Ka»d¡ liczb¦ naturaln¡
n > 1 mo»na przedstawi¢ jednoznacznie
w postaci
(∗)
n = p1 · · · p k ,
przy czym k > 1 oraz p1 6 p2 6 · · · 6 pk s¡ liczbami pierwszymi. W±ród liczb
wyst¡pi ka»dy dzielnik pierwszy liczby n.
Twierdzenie 6.5.
Ka»d¡ liczb¦ naturaln¡
pi
n > 1 mo»na jednoznacznie zapisa¢
w postaci
n=
r
Y
i
pα
i ,
i=1
przy czym r >
naturalnymi.
1, p1 < p2 < · · · < pr s¡ liczbami pierwszymi, αi za± s¡ liczbami
Twierdzenie 6.6.
Ka»d¡ liczb¦ caªkowit¡
n 6= 0, ±1 mo»na zapisa¢ jednoznacznie
w postaci
n = sgn n
r
Y
i
pα
i ,
i=1
przy czym r >
naturalnymi.
1, p1 < p2 < · · · < pr s¡ liczbami pierwszymi, αi za± s¡ liczbami
8
IZABELA AGATA MALINOWSKA
Twierdzenie 6.7.
Ka»d¡ liczb¦ caªkowit¡
n 6= 0 mo»na zaposa¢ jednoznacznie
w postaci
n=ε
Y
pαp (n) ,
p∈P
przy czym ε = ±1, αp (n) ∈ N∪{0}. Wyst¦puj¡cy tu iloczyn zawiera jedynie sko«czenie wiele czynników ró»nych od jedno±ci.
Twierdzenie 6.8.
Ka»d¡ liczb¦ wymiern¡
w ró»n¡ od zera mo»na zapisa¢ jedno-
znacznie w postaci
w=ε
Y
pαp (w) ,
p∈P
przy czym ε = ±1, αp (w) ∈ Z. Wyst¦puj¡cy tu iloczyn zawiera jedynie sko«czenie
wiele czynników ró»nych od jedno±ci.
Uwaga 6.1. Rozkªady wyst¦puj¡ce w powy»szych twierdzeniach nazywamy rozkªadami
kanonicznymi odpowiednich liczb.
Twierdzenie 6.9.
(1) Dla dowolnych niezerowych liczb wymiernych
αp (vw) = αp (v) + αp (w),
αp (−w) = αp (w),
αp ( wv )
αp (v k )
v, w zachodz¡ równo±ci:
= αp (v) − αp (w),
= kαp (v),
przy czym w ostatniej równo±ci k = 1, 2, . . .
w 6= 0 jest caªkowita wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich liczb pierwszych p zachodzi nierówno±¢ αp (w) > 0.
(2) Liczba wymierna
(3) Je»eli
n ∈ Z, to pαp (n) jest najwi¦ksz¡ pot¦g¡ liczby pierwszej p, dziel¡c¡ n.
Twierdzenie 6.10.
Je»eli a, b s¡ liczbami caªkowitymi, to a dzieli
wtedy, gdy dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi αp (a) 6 αp (b).
Twierdzenie 6.11.
(1)
b wtedy i tylko
Niech
a1 , a2 , . . . , an b¦d¡ niezerowymi liczbami caªkowitymi.
Je»eli d = (a1 , a2 , . . . , an ), to dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi
αp (d) = min{αp (a1 ), αp (a2 ), . . . , αp (an )}.
(2) Je»eli
D = [a1 , a2 , . . . , an ], to dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi
αp (D) = max{αp (a1 ), αp (a2 ), . . . , αp (an )}.
(3) Je»eli
N | ai dla i = 1, 2, . . . , n, to N | (a1 , a2 , . . . , an ).
ai | N dla i = 1, 2, . . . , n, to [a1 , a2 , . . . , an ] | N .
Je»eli a, b s¡ liczbami naturalnymi, to (a, b)[a, b] = a · b.
(4) Je»eli
(5)
Twierdzenie 6.12.
(1) Ka»dy wspólny dzielnik sko«czonego ukªadu liczb caªkowitych jest dzielnikiem
najwi¦kszego wspólnego dzielnika tych liczb.
(2) Ka»da wspólna wielokrotno±¢ sko«czonego ukªadu liczb caªkowitych dzieli si¦
przez ich najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±¢.
Uwaga 6.2. Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡, α za± liczb¡ naturaln¡ to b¦dziemy pisa¢
pα k n dla zaznaczenia, »e pα dzieli n, ale pα+1 - n.
Twierdzenie 6.13.
Liczba
Θ(n) dzielników naturalnych liczby naturalnej n > 1
wyra»a si¦ wzorem
Θ(n) =
Y
pα kn
gdzie w tej notacji
α = αp (n).
(α + 1) =
Y
p∈P
αp (n) + 1 ,
ELEMENTARNA TEORIA LICZB
9
7. Kongruencje
Denicja 7.1.
m b¦dzie liczb¡ naturaln¡. Mówimy, »e liczba caªkowita a przystaje do liczby
caªkowitej b modulo m i piszemy a ≡ b (mod m), je±li m | a − b. Tak okre±lon¡
relacj¦ nazywamy kongruencj¡. Liczb¦ m nazywamy moduªem kongruencji. Je»eli
m - a − b, to piszemy a nie przystaje do b modulo m.
Niech
Twierdzenie 7.1.
Niech
a, b, c, d i m b¦d¡ liczbami caªkowitymi takimi, »e m > 0.
Wówczas:
(1)
(2)
(3)
a ≡ b (mod m) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita k
taka, »e a = b + km.
Relacja przystawania (kongruencji) modulo m jest relacj¡ równowa»no±ci
w zbiorze liczb caªkowitych Z.
Je»eli a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m), to
(a) a + c ≡ b + d (mod m);
(b) a − c ≡ b − d (mod m);
(c) a · c ≡ b · d (mod m).
Denicja 7.2.
Peªnym ukªadem reszt modulo
»e ka»da liczba caªkowita przystaje modulo
m jest zbiór liczb caªkowitych takich,
m dokªadnie do jednej liczby caªkowitej
z tego zbioru.
Przykªad 7.1.
Niech
m
b¦dzie liczb¡ caªkowit¡ tak¡, »e
peªny ukªad reszt modulo
m.
m > 1.
Zbiór
{0, 1, . . . , m − 1}
tworzy
Nazywamy go zbiorem najmniejszych nieujemnych
reszt modulo
Zbiór
m.
{1, 2, . . . , m}
tworzy równie» peªen ukªad reszt modulo
zbiorem najmniejszych dodatnich reszt modulo m
Twierdzenie 7.2.
Niech
m.
Nazywamy go
a, b ∈ Z oraz m, c, d ∈ N. Wówczas:
(1) je»eli
(2)
a ≡ b (mod m) i d | m, to a ≡ b (mod d);
a ≡ b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy ac ≡ bc (mod mc).
Twierdzenie 7.3.
(1)
(2)
a, b, c ∈ Z oraz m ∈ N. Wówczas:
ac ≡ bc (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a ≡ b mod
m .
(c, m)
Je»eli ac ≡ bc (mod m) i (c, m) = 1, to a ≡ b (mod m).
Twierdzenie 7.4.
(1)
(2)
Niech
Niech
x, y ∈ Z oraz mi ∈ N dla i = 1, 2, . . . , r. Wówczas:
x ≡ y (mod mi ) dla i = 1, 2, . . . , r wtedy i tylko wtedy, gdy
x ≡ y (mod [m1 , m2 , . . . , mr ]).
Je»eli x ≡ y (mod mi ) dla i = 1, 2, . . . , r oraz m1 , m2 , . . . , mr s¡ parami
wzgl¦dnie pierwsze, to x ≡ y (mod m1 · · · mr ).
Twierdzenie 7.5.
Niech m ∈ N. Je»eli f (x1 , x2 , . . . , xn ) jest wielomianem n
zmiennych o caªkowitych wspóªczynnikach, a liczby ai , bi (i = 1, 2, . . . , n) s¡ caªkowite
i speªniaj¡ warunek ai ≡ bi (mod m) przy i = 1, 2, . . . , n, to
f (a1 , a2 , . . . , an ) ≡ f (b1 , b2 , . . . , bn ) (mod m).
Twierdzenie 7.6.
Je»eli
Niech a, b i m b¦d¡ liczbami caªkowitymi takimi, »e m > 0.
a ≡ b (mod m), to (a, m) = (b, m).
10
IZABELA AGATA MALINOWSKA
Twierdzenie 7.7.
je»eli
Je»eli r1 , r2 , . . . , rm jest peªnym ukªadem reszt modulo m oraz
a jest liczb¡ caªkowit¡ tak¡, »e (a, m) = 1, to
ar1 + b, ar2 + b, . . . , arm + b
jest peªnym ukªadem reszt modulo
m dla dowolnej liczby caªkowitej b.
Denicja 7.3.
Zredukowanym ukªadem reszt modulo m nazywamy zbiór liczb
(ri , m) = 1, ri 6≡ rj (mod m), je»eli i 6= j oraz takich, »e
ka»da liczba caªkowita x wzgl¦dnie pierwsza z m przystaje modulo m do pewnego
elementu ri tego zbioru.
caªkowitych
ri
takich, »e
Denicja 7.4.
Niech
n ∈ N. Liczba ϕ(n) oznacza
n i wzgl¦dnie pierwszych z n.
ile jest liczb naturalnych
mniejszych lub równych
ϕ : N −→ N
Funkcj¦
nazywamy funkcj¡ Eulera.
Twierdzenie 7.8.
Niech a ∈ Z, m ∈ N i (a, m) = 1. Je»eli r1 , r2 , . . . , rϕ(m) jest
zredukowanym ukªadem reszt modulo m, to ar1 , ar2 , . . . , arϕ(m) jest zredukowanym
ukªadem reszt modulo m.
Twierdzenie 7.9. (Euler) Niech m ∈ N i a ∈ Z.
ϕ(m)
a
≡1
Je»eli
(a, m) = 1, to
(mod m).
Twierdzenie 7.10. (Fermat) Niech a b¦dzie liczb¡ caªkowit¡ i p liczb¡ pierwsz¡.
Je»eli
p - a, to
ap−1 ≡ 1
Twierdzenie 7.11.
(mod p).
Dla ka»dej liczby caªkowitej
a i ka»dej liczby pierwszej p za-
chodzi
ap ≡ a (mod p).
8. Funkcja Eulera
Denicja 8.1.
C,
gdzie
N
Funkcj¡ arytmetyczn¡ nazywamy dowolne odwzorowanie
C - zbiorem liczb zespolonych.
f :N→
jest zbiorem liczb naturalnych,
Denicja 8.2.
(1)
(2)
Funkcj¦ arytmetyczn¡ f nazywamy multiplikatywn¡, je»eli
f nie jest to»samo±ciowo równa zeru;
f (m · n) = f (m) · f (n) dla wszystkich wzgl¦dnie pierwszych liczb m, n.
Twierdzenie 8.1.
Je»eli
f jest funkcj¡ multiplikatywn¡ i je»eli
Y
n=
pαp (n)
p
jest rozkªadem kononicznym liczby
n, to
Y
f (n) =
f (pαp (n) ),
p
a ponadto
f (1) = 1.
Twierdzenie 8.2.
naturaln¡ tak¡, »e
Twierdzenie 8.3.
Wówczas
Je»eli p jest liczb¡ pierwsz¡, to ϕ(p) = p − 1. Je»eli p jest liczb¡
ϕ(p) = p − 1, to p jest liczb¡ pierwsz¡.
Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡ i α liczb¡ naturaln¡.
ϕ(pα ) = pα − pα−1 .
ELEMENTARNA TEORIA LICZB
11
Twierdzenie 8.4.
Wówczas
Niech m i n b¦d¡ wzgl¦dnie pierwszymi liczbami naturalnymi.
ϕ(mn) = ϕ(m) · ϕ(n).
Twierdzenie 8.5.
naturalnej
n>
Niech n
1. Wówczas
αk
α2
1
= pα
1 · p2 · · · pk b¦dzie rozkªadem kanonicznym liczby
Y
1
1
1
1
1−
··· 1 −
=n
1−
.
ϕ(n) = n 1 −
p1
p2
pk
p
p|n
Lemat 8.6.
w postaci
Je»eli (m1 , m2 ) = 1 i d | m1 ·m2 , to d da si¦ przedstawi¢ jednoznacznie
d = d1 · d2 , przy czym d1 | m1 i d2 | m2 .
Twierdzenie 8.7.
Dla dowolnej liczby naturalnej
X
d|n
ϕ(d) = n.
n zachodzi równo±¢