Kalendarz MATURZYSTY 18

Kalendarz MATURZYSTY 18
Zadanie 1. Dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji
y=
x2 + ax + 1
x2 + 3x − 3a
D
E
jest zbiór liczb rzeczywistych, natomiast zbiorem wartości przedział 0, 83 ?
Odp. a = −2
Zadanie 2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M , N są
odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P , Q są odpowiednio środkami przekątnych AC
i BD. Uzasadnij, że M Q || P N .
Zadanie 3. W trójkącie ABC miara kąta przy wierzchołku B jest o 90◦ większa od miary kąta
|AC| √
przy wierzchołku A. Oblicz miary kątów tego trójkąta, jeśli wiadomo, że
= 3.
|AB|
Odp. 6 A = 30◦ , 6 B = 120◦ , 6 C = 30◦
Zadanie 4. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych AB i BC,
gdzie |AB| = 5 cm i |BC| = 12 cm. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny
podstawy pod kątem α = 30◦ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły.
√
√
Odp. V = 203 3 , Pc = 30 + 20 3.
Zadanie 5. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
(m + 1)x4 − 4mx2 + 2m + 3 = 0
w zależności od parametru m. Następnie sporządź wykres funkcji g(m) przedstawiającej zależność
liczby rozwiązań od parametru m.
Odp. brak rozwiązań dla m ∈ h−1, 3), ma 2 różne rozwiązania dla m ∈ − 23 , −1 ∪ {3}, ma 3
różne rozwiązania dla m = − 23 , ma 4 różne rozwiązania dla m ∈ −∞, − 23 ∪ (3, ∞).
1