Zbiór Cantora

Georg Cantor, 1845 - 1918
O małym
zbiorze
Zbiórdużym
Cantora
C0
C1
C2
0
1
0
1/3
0
1/9 2/9 3/9
2/3
6/9 7/9
1
8/9 1
C3
C4
.
.
.
Zbiór Cantora C = część wspólna wszystkich zbiorów Cn
Długości odrzuconych odcinków:
1/3
C1
1/3
C2
1/32
1/3
1/32
2•1/32
C3
1/32
1/3
1/32
4•1/33
1/33
1/33
1/33
1/33
C4
Suma szeregu geometrycznego (pierwszy wyraz 1/3, iloraz 2/3):
1
1

3 1 2
3
1
Co zostało?
Zapis w systemie trójkowym:
,
32
31
30
3 =(10)3
1/3 = (0,1)3
2/3 = (0,2)3
8/9 = (0,22)3
1/3 1/32 1/33 1/34
5 =(12)3
(0,1) 3 = (0,0222…) 3
7/9 = (0,21)3
1= (0,2222…) 3
C0
0
C1
0
C2
0 (0,01) (0,02)
1
(0,1) 3
(0,2) 3
(0,1)
(0,(2)) 3
(0,2) (0,21) (0,22) 1
C3
C4
.
.
.
Wniosek:
Liczby ze zbioru C można zapisać w systemie trójkowym
bez użycia cyfry 1.
Czy każda taka liczba należy do C?
C0
C1
C2
0
0
1
0
(0,1) 3
2
a = (0,0202….)3
0 (0,01) (0,02)
0
(0,1)
(0,2) 3
(0,(2)) 3
(0,2) (0,21) (0,22) 1
C3
2
C4
Wniosek:
C = zbiór wszystkich liczb postaci c1/3 + c2/32 + c3/33 + …
gdzie ci = 0 lub ci = 2.
Do C należą:
1/3 = (0,1) 3 = (0,0222…) 3
2/3 = (0,2) 3
1/9 = (0,01) 3 = (0,00222…) 3
2/27 = (0,002) 3
1/4 = (0,020202…) 3
3/4 = (0,202020…) 3
7/10 = (0,2002200220002…) 3
Ile liczb należy do C?
2
1
1


9 1 1
4
2
19
3


3 1 1
4
9
Co to znaczy, że zbiory A i B są równie duże (równoliczne)?
• Każdy element zbioru A jest w parze
z jednym elementem zbioru B
• Każdy element zbioru B jest w parze
z jednym elementem zbioru A
• Istnieje funkcja różnowartościowa z A na B (lub z B na A)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Zbiór A jest przeliczalny, gdy jest równoliczny z N.
Czy zbiór C jest przeliczalny?
L 1:
L 2:
L 3:
L 4:
L 5:
0,a11a12a13a14a15…
0,a21a22a23a24a25…
0,a31a32a33a34a35…
0,a41a42a43a44a45…
0,a51a52a53a54a55…
………..
b = 0,b1b2b3b4b5…..
bk = 2 – akk
Wniosek:
Zbiór C nie jest przeliczalny.
Co więcej…
• Zbiór
C jest równoliczny ze zbiorem punktów z przedziału [0, 1],
które zostały usunięte.
• Zbiór
C jest równoliczny ze zbiorem wszystkich punktów
z przedziału [0, 1].
• Zbiór
C jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb
rzeczywistych.
(0,20220020200…) 3→ (0,10110010100…) 2
1/3 = (0,0222…) 3 → (0,0111…) 2
2/3 = (0,2000…) 3 → (0,1000…) 2
Jak gęsto są rozmieszczone liczby ze zbioru C na osi?
Czy między dowolnymi dwiema liczbami ze zbioru C istnieje trzecia?
C1
0
(0,1) 3
(0,2) 3
(0,(2)) 3
Element a jest punktem skupienia zbioru C, gdy w każdym jego otoczeniu
Istnieje element zbioru C różny od niego.
• ••
•
C0
x0
•
C1
x1
C2
•
C3
C4
x2
•
x
3
.
.
.
Wniosek:
Każdy element zbioru C jest jego punktem skupienia.
0
1/9 2/9 3/9
•
6/9 7/9
Wniosek:
Każdy punkt skupienia zbioru C należy do C.
8/9 1
.
.
.
Dywan Sierpińskiego
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
DZIĘKU
UWAGĘ
DZ
UW GĘ
KU