+ (7 − 8i)

MATEMATYKA II, Chemia rok I
Lista 1
Liczby zespolone
1. Wykonaj podane działania:
a) (−2 + 3i) + (7 − 8i)
e) (1 − 3i) + (4 − 5i)
√
√
c) ( 2 + i) · (3 − 3i)
√
√
√
√
g) ( 7 − 3i) · ( 7 + 3i)
b) (4i − 3) − (1 + 10i)
√
√
f) (1 + 2i) − ( 3 − 6i)
d)
h)
2−3i
5+4i
2+3i
1+i
2
Rez+iImw
i) z · w, zw , z−w
, dla z = 5 − 2i, w = 3 + 4i
z+w ,
z+w
2. Oblicz moduły podanych liczb zespolonych:
√
√
a) 4i
b) 12i − 5
c) 7 + 29i
√
e) sin α + i cos α, gdzie α ∈ R
f) − 3i
√
√
√
√
d) ( 5 − 3) + ( 5 + 3)i
g) 6
h)
1+3i
3−4i
3. Znajdź na płaszczyźnie następujące liczby: z, z, −z, z1 , gdy:
a) z = 1 + i
b) −2 − 3i
4. Znajdź graficznie z1 + z2 oraz z1 − z2 , gdy z1 = 1 + i, z2 = 3 + 2i.
5. Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory liczb z spełniających podane warunki:
a) Imz = 4
b) Rez = −1
e) Rez = 2 · Imz
f) Imz ­ Rez
c) |z| = 2
d) z = z
g) 2 < |z − 1| < 3
h) |z − 2i| ­ |z − 4 + 2i|
6. Znajdź liczby rzeczywiste x, y spełniające podane równania:
a) x(2 + 3i) + y(4 − 5i) = 6 − 2i
b) x(4 − 3i)2 + y(1 + i)2 = 7 − 12i
c) (2 + yi) · (x − 3i) = 7 − i
d)
1+yi
x−2i
= 3i − 1
7. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż podane równania:
a) z 2 + i = 0
b) z 2 − 8 − 6i = 0
e) 2z + (1 + i)z = 1 − 3i
c) iz 2 + (2 − 4i)z − 4 + 2i = 0
f) z 2 − z + 1 = 0
d) z 3 + 2z 2 + z + 2 = 0
g) (z + z) + i(z − z) = 2i − 6
8. Podane liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:
√
√
√
√
√
√
a) − 5
b) −6 + 6i
c) −2i
d) 3 + i
e) 6 + 2 + i( 6 − 2)
9. Korzystając ze wzoru de Moivre’a oblicz wartości podanych wyrażeń:
√
6
e) (1 − i)12
a) (1 + i)7
b) ( 3 − i)32
c) (−2 + 2i)8
d) √1−i
3+i
√
f) (2 3 − 2i)30
10. Oblicz pierwiastek kwadratowy z podanej liczby, nie korzystając z ogólnego wzoru na n–ty pierwiastek:
a) 2 − 3i
b) i
11. Korzystając z definicji, oblicz podane pierwiastki:
√
√
√
√
a) 4i − 3
b) 3 8
c) 5 − 12i
d) 3 i
e)
√
4
16