IX Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I

IX Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów
rok szkolny 2013/2014
Etap I – szkolny
Matematyka to „sztuka poprawnego rozumowania”.
Odpowiedź do każdego zadania należy uzasadnić, nie wystarczy odpowiedzieć tak lub nie.
Zadanie 1.
Krótsza przekątna równoległoboku o długości 2 5 cm tworzy z krótszym bokiem tego
2
równoległoboku kąt prosty. Krótszy bok stanowi 66 % dłuższego boku. Oblicz długość drugiej
3
przekątnej tego równoległoboku.
Zadanie 2.
Pierwsza ciężarówka zrobiła 4 kursy, a druga 3. Razem wywiozły mniej niż 21 ton gruzu. Nazajutrz
pierwsza ciężarówka zrobiła 7 kursów, druga 4 i razem wywiozły więcej niż 33 tony gruzu.
Ciężarówki za każdym razem były maksymalnie obciążone. Która z ciężarówek ma większą
ładowność?
Zadanie 3
Pan Piotr kupił paczkę z cukierkami. Swojemu synowi dał 3 cukierki i 1/6 części pozostałych
cukierków. Następnie obdarował swoją córkę 2 cukierkami i 1/6 części z pozostałych. Syn
zauważył, że ma o 6 cukierków więcej niż jego siostra. Ile było wszystkich cukierków w paczce
przed rozdaniem?
Zadanie 4.
W trójkącie prostokątnym ABC kąt A jest kątem prostym a jeden z kątów ostrych ma miarę  .
Oblicz miarę kąta między wysokością i środkową wychodzącymi z wierzchołka A.
Zadanie 5.
Jaś i Małgosia wybierają się do miasta odległego o 22,5 km. Mają jeden rower i muszą wyruszyć
i przybyć na miejsce jednocześnie. Jaś wyjeżdża z prędkością 8 km/h, zostawia rower i idzie dalej
z prędkością 5 km/h. Małgosia wyrusza pieszo z prędkością 4 km/h, a po dojściu do roweru jedzie
na nim z prędkością 10 km/h. Przez ile minut rower nie będzie używany?
Zadanie 6.
Czy można liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 wpisać w kratki tablicy 3 x 3 tak, aby suma każdych dwóch
sąsiadujących liczb (pionowo lub poziomo) była liczbą pierwszą?
Powodzenia !
Przykładowe rozwiązania
Zadanie 1.
Krótsza przekątna równoległoboku o długości 2 5 cm tworzy z krótszym bokiem tego
2
równoległoboku kąt prosty. Krótszy bok stanowi 66 % dłuższego boku. Oblicz długość drugiej
3
przekątnej tego równoległoboku.
Rozwiązanie:
Trójkąt ABD jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa
2
3
otrzymujemy ( a) 2  (2 5 ) 2  a 2 , stąd a = 6
Długość krótszego boku wynosi zatem 4.
Przekątne przecinają się w połowie. Trójkąt AOD jest prostokątny. Oznaczając przez p dłuższą
przekątną i korzystając ponownie z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
1
( p) 2  4 2  ( 5 ) 2 , skąd p  2 21
2
Odpowiedź: Dłuższa przekątna wynosi 2 21 .
Zadanie 2.
Pierwsza ciężarówka zrobiła 4 kursy, a druga 3. Razem wywiozły mniej niż 21 ton gruzu. Nazajutrz
pierwsza ciężarówka zrobiła 7 kursów, druga 4 i razem wywiozły więcej niż 33 tony gruzu.
Ciężarówki za każdym razem były maksymalnie obciążone. Która z ciężarówek ma większą
ładowność?
Rozwiązanie:
x – ładowność pierwszej ciężarówki w tonach
y – ładowność drugiej ciężarówki w tonach
Za warunków zadania mamy:
4x + 3y < 21 i 7x + 4y >33
Przekształcamy nierówności tak aby prawe strony były równe i otrzymujemy
44x + 33y < 11 . 21 i 49x + 28y > 33 . 7
44x + 33y < 231 i 49x + 28y > 231, stąd
49x + 28y > 231 > 44x + 33y, czyli
49x + 28y > 44x + 33y, po redukcji
x >y
Odpowiedź: Pierwsza ciężarówka ma większą ładowność.
Zadanie 3
Pan Piotr kupił paczkę z cukierkami. Swojemu synowi dał 3 cukierki i 1/6 części pozostałych
cukierków. Następnie obdarował swoją córkę 2 cukierkami i 1/6 części z pozostałych. Syn
zauważył, że ma o 6 cukierków więcej niż jego siostra. Ile było wszystkich cukierków w paczce
przed rozdaniem?
Rozwiązanie:
x – liczba cukierków w paczce
1
1
1
3  ( x  3)  x  2
6
6
2
1
1
x  2 – liczba cukierków syna
6
2
1
1
5
1
x( x2 )  x2
6
2
6
2
5
1
x  2 – liczba pozostałych cukierków
6
2
1 5
1
5
1
2  ( x  2  2) 
x 1
6 6
2
36
4
5
1
x  1 – liczba cukierków córki
36
4
1
1 5
1
x2 
x 1  6
6
2 36
4
x  171
Odpowiedź: W paczce było 171 cukierków.
Zadanie 4.
W trójkącie prostokątnym ABC kąt A jest kątem prostym a jeden z kątów ostrych ma miarę  .
Oblicz miarę kąta miedzy wysokością i środkową wychodzącymi z wierzchołka A.
Niech  ABC =  , czyli  BCA = 900 -  , a stąd  CAD = 
Trójkąt ABC jest prostokątny, zatem punkt S jest środkiem okręgu
opisanego na tym trójkącie. Stąd AS = SB czyli  BAS =  ABC =  .
Szukany kąt między środkową a wysokością wynosi więc 900 – 2  .
Gdyby kąt  BCA =  , wówczas, Zaznaczone na rysunku kąty przy
wierzchołku A wynosiłyby 900 -  (a nie  ).
Szukany kąt wynosiłby wtedy 900 – 2(900 -  ) = 2  - 900
Odpowiedź: Szukany kąt wynosi I900 – 2  I.
Zadanie 5.
Jaś i Małgosia wybierają się do miasta odległego o 22,5 km. Mają jeden rower i muszą wyruszyć
i przybyć na miejsce jednocześnie. Jaś wyjeżdża z prędkością 8 km/h, zostawia rower i idzie dalej
z prędkością 5 km/h. Małgosia wyrusza pieszo z prędkością 4 km/h, a po dojściu do roweru jedzie
na nim z prędkością 10 km/h. Przez ile minut rower nie będzie używany?
Rozwiązanie:
t – czas kiedy rower nie jest używany
22,5 - drga do pokonania przez Jasia i Małgosię
Każde z nich jedzie na rowerze dwa razy szybciej niż drugie idzie. Czas t, kiedy rower nie jest używany
jest jednocześnie czasem jazdy Jasia na rowerze, bo Małgosia potrzebuje dwa razy więcej czasu 2t na
dojście do roweru (idzie dwa razy wolniej niż Jaś jedzie). Czas t jest również czasem jazdy Małgosi od
momentu dojścia do roweru do końca trasy, bo Jaś potrzebuje dwa razy więcej czasu na dojście do
końca trasy (czas t gdy rower nie jest używany dodać czas t jazdy Małgosi).
Trasę jaką pokonuje Jasiu możemy zapisać: 8t + 5 . 2t
Z równania 8t + 5 . 2t = 22,5 otrzymujemy t = 1,25
1,25 h = 75 minut
Odpowiedź: Rower jest nieużywany przez 75 minut.
Zadanie 6.
Czy można liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 wpisać w kratki tablicy 3 x 3 tak, aby suma każdych dwóch
sąsiadujących liczb (pionowo lub poziomo) była liczbą pierwszą?
Rozwiązanie:
Sumy , które są liczbą pierwszą:
2 + 1 = 3,
2 + 3 = 5,
2 + 5 = 7,
2 + 9 = 11,
4 + 1 = 5,
4 + 3 = 7,
4 + 7 = 11,
4 + 9 = 13
Liczby 2 i 4 dają najwięcej wyników spełniających warunek, że suma jest liczba pierwszą.
Gdyby w środkowej kratce umieścić liczbę 4, to liczba 7 znalazłaby się w kratce leżącej w środku
boku. Liczba siedem miałaby wtedy trzy sąsiadujące liczby, czyli trzy sumy a tylko jedna z nich jest
liczbą pierwszą.
Gdy w środek wstawimy liczbę 2, to środki boków zajmują liczby 1, 3, 5, 9. Liczba 7 znajduję się wtedy
w kratce w rogu i nie są spełnione warunki zadania, gdyż dwie sumy sąsiadujących z nią liczb są
parzyste i większe od dwóch, więc nie są liczbami pierwszymi.
Odpowiedź: Nie można.