Zadania z algebry. Lista 1.

Zadania z algebry. Lista 1.
Sprawdzi¢, »e dany zbiór ze zwykªymi dziaªaniami dodawania i mno»enia liczb jest pier±cieniem:
a) Z[i]
√= {a + bi ∈√C : a, b ∈ Z}.
b) Z[√ 5] = {a + b√ 5 ∈ R√: a, b ∈ Z}.
c) Z[ 3 2] = {a + b 3 2 + c 3 4 ∈ R : a, b, c ∈ Z}.
1.1
1.2
Sprawdzi¢,
»e dany
√
√zbiór ze zwykªymi dziaªaniami dodawania i mno»enia liczb jest ciaªem:
a) Q( √2) = {a + b √2 ∈ R : a, b ∈ Q}.
b) Q( 3) = {a + b 3 ∈ R : a, b ∈ Q}.
Dla liczby caªkowitej a niech (a)n oznacza reszt¦ z dzielenia a przez n. Udowodni¢, »e
zachodz¡ równo±ci
1.3
((a)n + (b)n )n = (a + b)n
oraz ((a)n · (b)n )n = (a · b)n .
Wykaza¢, »e zbiór Zn = {0, 1, . . . , n − 1} z dziaªaniami dodawania i mno»enia modulo n
jest pier±cieniem.
1.4
1.5
Uªo»y¢ tabelki dodawania i mno»enia w Zn dla n = 1, 2, 3, 4, 5.
Dla dowolnego przedziaªu I ⊂ R, niech C(I) oznacza zbiór wszystkich funkcji ci¡gªych
f : I → R. Sprawdzi¢, »e dany zbiór funkcji z dziaªaniami dodawania i mno»enia funkcji jest
pier±cieniem.
1.6
a) C([a, b]);
c) {f ∈ C([a, b]) : f (a) ∈ Q};
1.7
b) {f ∈ C([a, b]) : f (a) = f (b)};
d) {f ∈ C((−∞, ∞)) : ∀x∈R f (−x) = f (x)}.
Udowodni¢, »e je»eli A jest pier±cieniem, oraz a, b, c ∈ A, to
a) a · 0 = 0;
c) (−a)(−b) = ab;
1.8
b) a · (−b) = (−a) · b = −ab;
d) a(b − c) = ab − ac.
Niech (A1 , +1 , ·1 ) i (A2 , +2 , ·2 ) b¦d¡ pier±cieniami. W zbiorze A1 ×A2 deniujemy dziaªania
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 +1 b1 , a2 +2 b2 ),
(a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = (a1 ·1 b1 , a2 ·2 b2 ).
a) Wykaza¢, »e A1 × A2 z powy»szymi dziaªaniami jest pier±cieniem.
b) Zaªó»my, »e A1 i A2 s¡ ciaªami. Czy A1 × A2 jest ciaªem?
Niech X b¦dzie niepustym zbiorem i niech P (X) b¦dzie rodzin¡ wszystkich podzbiorów
zbioru X . Dla dowolnych U, V ∈ P (X) niech
1.9
U + V = (U \V ) ∪ (V \U ),
U · V = U ∩ V.
Udowodni¢, »e P (X) z powy»szymi dziaªaniami jest pier±cieniem.
1.10
Poda¢ przykªad pier±cienia nieprzemiennego.
1.11
Wyznaczy¢ wszystkie elementy odwracalne w pier±cieniach Z6 i Z8 i poda¢ ich odwrotno-
±ci.
Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Obliczy¢ liczb¦ dzielników zera w pier±cieniu
a) Zp × Zp
b) Zp2 .
1.12
1.13
Niech n b¦dzie liczb¡ nieparzyst¡ ≥ 3. W pier±cieniu Zn znale¹¢ odwrotno±¢ elementu 2.
Wyznaczy¢ elementy odwracalne oraz dzielniki zera w pier±cieniach
a) Z × Z
b) R × R
c) R × Z
d) P (X)
e) R[0,1]
1.14
f) C([0, 1]).
Czy suma elementów nieodwracalnych mo»e by¢ elementem odwracalnym? Czy suma
dzielników zera mo»e by¢ elementem odwracalnym?
1.15
1.16
Udowodni¢, »e dla dowolnych pier±cieni A i B pier±cienie A × B i B × A s¡ izomorczne.
1.17
Wykaza¢, »e »adne dwa spo±ród podanych ciaª nie s¡ izomorczne
√
√
Q, R, C, Q( 2), Q( 3).
1.18
Wykaza¢, »e »adne dwa spo±ród podanych pier±cieni nie s¡ izomorczne
√
Z, Zn , Z[i], Z[ 5].
1.19
Udowodni¢, »e pier±cie« P (X) jest izomorczny z pier±cieniem ZX
2 .
Udowodni¢, »e podane pier±cienie s¡ izomorczne
a) C([0, 1]) i C([3, 4]);
b) C([1, 4]) i C([1, 7]);
1.20
c) C((−∞, ∞)) i C((0, ∞)).
W zbiorze Q×Q zdeniowa¢ dziaªania + i · w takie sposób, »eby (Q×Q, +, ·) byªo ciaªem
izomorcznym
z √
√
a) Q( 2) b) Q( 3).
1.21
a b
1.22 Wykaza¢, »e zbiór
: a, b ∈ R z dziaªaniami dodawania i mno»enia macierzy
−b a
jest ciaªem izomorcznym z C.