1 Lokalizacja zer wielomianów

1
Lokalizacja zer wielomianów
Metody lokalizowania zer wielomianów pozwala j¡ na rozstrzygni¦cie wielu problemów typu: czy wszystkie zera danego wielomianu le»¡ w kole jednostkowym,
czy le»¡ na prawo lub lewo od osi uro jonej, czy w±ród zer wielomianu nie ma
warto±ci zero i warto±ci ujemnych.
Rozpatrujemy wielomian postaci
n
X
w(x) =
an−i xi ,
ai ∈ R,
a0 6= 0.
(1)
i=0
Równanie algebraiczne stopnia n ma dokªadnie n pierwiastków
rzeczywistych lub zespolonych, je»eli ka»dy pierwiastek s-krotny uwa»a si¦ za s
pierwiastków.
Twierdzenie 1.1.
1.1
Metoda Sturma
Uzyskujemy informacj¦ o lokalizacji pierwiastków rzeczywistych wielomianu i
ich dokªadnej liczbie w danym przedziale. Dla wielomianu
w(x)
tworzymy ci¡g
Sturma
f0 (x) = w(x)
f1 (x) = w0 (x)
f2 (x) − reszta
z dzielenia
f0 (x)
przez
f1 (x)
wzi¦ta ze znakiem przeciwnym
f3 (x) − reszta
z dzielenia
f1 (x)
przez
f2 (x)
wzi¦ta ze znakiem przeciwnym
...
fp (x) − ostatnia
ró»na od zera reszta
fp+1 (x) = 0
(2)
W celu uproszczenia oblicze« mo»na przemno»y¢ wielomian przez liczb¦ dodatni¡nie zmieni to znaku.
Niech
N (x0 )
x0
oznacza liczb¦ zmian znaku w ci¡gu Sturma (
ró»ne od zera
wielomianu).
Je»eli ci¡g (fi (x)) jest ci¡giem Sturma na przedziale
(a, b) i f0 (a)f0 (b) 6= 0, to liczba ró»nych zer rzeczywistych wielomianu w(x) le»¡cych w przedziale (a,b) jest równa N (a) − N (b).
Twierdzenie 1.2 (Sturma).
1.2
Metoda Fouriera
Dla wielomianu
w(x)
tworzymy ci¡g jego pochodnych
w(x), w0 (x), ..., w(n) (x).
Niech
M (x0 )
oznacza liczb¦ zmian znaku w ci¡gu
wielomianu).
1
(w(k) (x0 )) (x0
(3)
ró»ne od zera
Je»eli w(x) jest wielomianem stopnia n okre±lonym na przedziale (a, b) i w(a)w(b) 6= 0, to liczba zer wielomianu w(x) le»¡cych
w przedziale (a, b) jest równa M (a)−M (b) lub jest od tej liczby mniejsza o liczb¦
parzyst¡.
Twierdzenie 1.3 (Fouriera).
1.3
Metoda Laguerre'a
Dla wielomianu
w(x)
tworzymy ci¡g wielomianów
f0 (x) = a0
f1 (x) = a0 x + a1
f2 (x) = a0 x2 + a1 x + a2
(4)
...
fn (x) = w(x)
Niech
L(x0 )
oznacza liczb¦ zmian znaku w ci¡gu
(fk (x0 )) (x0
ró»ne od zera
wielomianu).
Je»eli w(x) jest wielomianem stopnia n okre±lonym na przedziale (a, b) i w(a)w(b) 6= 0, to liczba zer wielomianu w(x) le»¡cych
w przedziale (a, b) jest równa L(a) − L(b) lub jest od tej liczby mniejsza o liczb¦
parzyst¡.
Twierdzenie 1.4 (Laguerre'a).
Przypadkiem szczególnym metody Laguerre'a jest reguªa Kartezjusza
mówi¡ca, »e liczba dodatnich zer wielomianu
w(x)
z uwzgl¦dnieniem ich krot-
no±ci jest równa liczbie zmian znaku w ci¡gu jego wspóªczynników
od tej liczby mniejsza o liczb¦ parzyst¡.
wielomianu konstruujemy wielomian
ai
lub jest
Chc¡c znale¹¢ liczb¦ ujemnych zer
w(−x) i badamy liczb¦ jego dodatnich zer.
Zadanie 1. Okre±l liczb¦ oraz lokalizacj¦ pierwiastków rzeczywistych nast¦puj¡cych wielomianów ró»nymi metodami:
a)
w(x) = x3 + x2 − x − 2
b)
w(x) = x3 − 5x2 − 5x + 5
c)
w(x) = x4 − 2x2 − 6x + 5
d)
w(x) = x5 + 4x4 − 3x3 + 5x2 + 3x + 2
e)
w(x) = 3x5 − 4x4 − 3x3 + 2x − 1
Rozwi¡zanie. a) Skorzystamy z metody Sturma. Konstruujemy ci¡g poprzez
dzielenie odpowiednich wielomianów i wyznaczanie reszt.
f0 (x) = x3 + x2 − x − 2
f1 (x) = 3x2 + 2x − 1
8
8
f2 (x) = x + = x + 1
9
9
f3 (x) = 0
2
(5)
Obliczamy liczb¦ zmian znaku w powy»szym ci¡gu w ró»nych punktach. Wyniki
zapisujemy w tabeli. Je»eli warto±¢ którego± z wyrazów ci¡gu wynosi zero to nie
liczymy go jako zmiana znaku-taki ci¡g traktujemy tak jakby wyrazów zerowych
nie byªo.
f0
f1
f2
N (x)
−∞
∞
0
1
-1
2
-
+
-
-
-
+
+
+
-
+
0
+
-
+
+
+
0
+
2
0
1
1
0
0
Korzysta j¡c z Twierdzenia Sturma dostajemy, »e wielomian posiada 2 zera
rzeczywiste-
N (−∞) − N (∞) = 2,
ujemny w przedziale
(−1, 0).
b) Skorzystamy z metody Fouriera.
wielomianu
N (−∞) − N (0) = 1.
(1, 2), natomiast pierwiastek
w tym 1 zero ujemne-
Jeden pierwiastek dodatni zna jduje si¦ w przedziale
Konstruujemy ci¡g pochodnych dla
w:
w(x) = x3 − 5x2 − 5x + 5
w0 (x) = 3x2 − 10x − 5
w00 (x) = 6x − 10
(6)
w000 (x) = 6
Obliczamy liczb¦ zmian znaku w powy»szym ci¡gu w ró»nych punktach. Wyniki
zapisujemy w tabeli:
w
w0
w00
w000
M (x)
−∞
∞
0
1
2
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
-
-
+
+
+
+
+
+
3
0
2
1
1
Korzysta j¡c z Twierdzenia Fouriera dostajemy, »e wielomian posiada 3 lub 1
zero rzeczywiste-
1.
M (−∞)−M (∞) = 3, w tym 1 zero ujemne- M (−∞)−M (0) =
(0, 1).
Jeden pierwiastek dodatni znajduje si¦ w przedziale
c) Skorzystamy z metody Laguerre'a. Konstruujemy ci¡g wielomianów:
f0 (x) = 1
f1 (x) = x
f2 (x) = x2 − 2
(7)
3
f3 (x) = x − 2x − 6
f4 (x) = x4 − 2x2 − 6x + 5
Obliczamy liczb¦ zmian znaku w powy»szym ci¡gu w ró»nych punktach. Wyniki
zapisujemy w tabeli:
3
−∞
∞
0
1
-1
2
+
+
+
+
+
+
f0
f1
f2
f3
f4
L(x)
-
+
0
+
-
+
+
+
-
-
-
+
-
+
-
-
-
-
+
+
+
-
+
+
4
0
2
1
2
2
Podsumowuj¡c z Twierdzenia Laguerre'a dostajemy: wielomian ma 4 lub 2
lub nie ma pierwiastków rzeczywistych.
pierwiastek. W przedziale
Zadanie 2.
(1, 2)
W przedziale
(0, 1)
zna jduje si¦ jeden
tak»e zna jduje si¦ jeden pierwiastek.
Korzysta j¡c z metody Laguerre'a okre±l liczb¦ zer wielomianu
w(x) = x4 − 5x3 + 2x2 − x + 3
na przedziale
(−5, 5).
Zadanie 3. Zbada j liczb¦ dodatnich i ujemnych zer wielomianu
6
5
4
3
w(x) = x7 +
2
5x + 20x − 12x − 5x − 2x + 3x + 4.
Rozwi¡zanie.
Liczymy zmiany znaku w ci¡gu wspóªczynników wielomianu
w(x): 1, 5, 20, −12, −5, −2, 3, 4.
Z reguªy Kartezjusza dosta jemy, »e dodatnich
pierwiastków jest 2 lub nie ma wcale.
Aby policzy¢ ujemne pierwiastki konstruujemy wielomian
6
5
4
3
2
5x − 20x − 12x + 5x − 2x − 3x + 4.
ników tego wielomianu wynosi 5.
mian
w(x)
w(−x) = −x7 +
Liczba zmian znaku w ci¡gu wspóªczyn-
Z reguªy Kartezjusza wynika wi¦c, »e wielo-
ma 5 lub 3 lub 1 zero ujemne.
4