Praca sił wewnętrznych

WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
1
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 2
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Praca sił normalnych
Siła normalna przypomnienie (N):
Jest to siła działająca wzdłuż osi pręta, decydując o rozciąganiu bądź ściskaniu elementu.
Innymi słowy, to suma naprężeń normalnych na powierzchni całego przekroju:
N = ∫ σdA
A
Rys. 1. Umowne znakowanie siły normalnej
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
(2.1)
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
2
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Korzystając ze wzoru (2.1) i prawa Hooke’a można napisać zależności dla wycinaka
pręta o długości ds:
ds
Rys. 2. Przyrost długości pręta
N = ∫ σ N dA = σ N ⋅ A
A
σ
∆u ∆
N
εN =
=
↔ εN = N =
u
ds
E
E⋅A
1
1
N
dL N = ⋅ N ⋅ ∆ = ⋅ N ⋅
ds
2
2
E⋅A
Gdzie
E- moduł Younga
A- pole powirzchni
przekroju
Całkowita praca siły normalnej w pręcie o długości l:
l
LN =
1 N2
ds
2 ∫0 E ⋅ A
(2.2)
1 N2
ds
2 E⋅A
(2.3)
Element pracy siły normalnej:
dL N =
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
3
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Praca momentów zginających
Moment zginający przypomnienie: Def
M = ∫ σ ( z ) ⋅ zdA
(2.4)
A
Jest to para sił równo oddalonych od siebie, których wynikiem działania jest ściskanie
części włókien i rozćiąganie pozostałych.:
M>0
rozciąganie dolnych włókien
M<0
rozciąganie górnych włókien
Rys. 3. Umowne znakowanie momentó zginających
W przekroju występują naprężenia stałe (od siły normalnej) i zmienne (od momentu
zginającego)
stałe
naprężenia
normalne
zmienne
naprężenia
od momentu
Rys. 4. Naprężenia stałe i zmienne
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
4
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
h
d
z
h
h
g
Naprężenia występujące od momentu zginającego decydują o ściskaniu części włókien i
rozciąganiu pozostałej części:
σz = σ
Rys. 5. Naprężenia zmienne od momentu zginającego
Górna rzędna naprężenia od momentu σg
Górna rzędna naprężenia od momentu σd
Korzystając ze wzoru (2.4) i zależności geometrycznych (twierdzenie Talesa)
otrzymujemy:
σz
z
z
=
→σ = σd
σ d hd
hd
σd 2
σ
⋅ z dA = d I y
h
hd
A d
M = ∫ σ z zdA = ∫
A
Wobec tego:
Politechnika Poznańska®
σd σ
=
hd
z
M
σ =
⋅z
Iy
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
(2.5)
(2.6)
(2.7)
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
5
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Biegun
chwilowego
obrotu
z
promień
krzywizny
dx=ds
∆
na wysokości z
2
Rys. 6. Nieskończenie mały element, poddany momentowi zginającemu
ρ- promień krzywizny,
dϕ
- połowa kąta zawartego między promieniami krzywizny,
2
ds
ds
ρ=
→ dϕ =
(2.8)
dϕ
ρ
Przyrost długości ds jest symetryczny względem promienia krzywizny, dlatego przyrośt
po jednej stronie wynosi:
∆ dϕ
=
2z
2
∆ = zdϕ
∆
dϕ =
z
(2.9)
Przyrost ds jest odkształceniem liniowym, dlatego korzystając z prawa Hooke’a można
zapisać relacje między przyrostem włókna a naprężeniami.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
6
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
∆
= εz
ds
σ
∆
ε (z) = z =
E
ds
σz
∆=
ds
E
(2.10)
Podstawiając wzór na naprężenie (2.7) i na kąt obrotu (2.9) otrzymujemy:
∆=
M ⋅z
ds
E⋅Iy
∆
z
M
dϕ =
ds
E⋅Iy
dϕ =
(2.11)
Wykorzystując wzór (2.11) i prawo Hooke’a otrzymujemy relację między krzywizną (χ)
a momentem:
dϕ 1
M
= =χ=
ds ρ
E⋅Iy
(2.12)
χ- to odwrotność promienia krzywizny.
Element pracy momentu zginającego, który działa na obrocie wynosi:
dLM =
1
1
1 M2
M
⋅ Mdϕ = ⋅ M ⋅
ds =
ds
2
2
2 E⋅Iy
E ⋅Iy
(2.13)
Całkowita praca momentu w pręcie o długości l:
l
LM =
Politechnika Poznańska®
1 M2
ds
2 ∫0 E ⋅ I y
(2.14)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
7
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Praca sił poprzecznych
Siła poprzeczna przypomnienie
Siła poprzeczna jest sumą wszystkich naprężeń stycznych w przekroju
Indeks pierwszy określa płaszczyznę na jakiej działa siła
Indeks drugi określa kierunek dodatniej osi naprężeń stycznych
Txz = ∫ τ xz dA
A
τ xz =
(2.15)
Txz ⋅ S y ( z )
I y ⋅ b( z )
W powyższym siła działa na płaszczyźnie x o kierunku z.
System znakowania siły poprzecznej
T>0
kręci odciętą
częścią w prawo
T<0
kręci odciętą
częścią w lewo
Rys. 7. System znakowania siły poprzecznej
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
8
h
d
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
b(z)
Rys. 8. Rysunek poglądowy działania siły poprzecznej
Wynikiem działania sił stycznych jest deformacja przedstawiona na rysunku (w
zdecydowanej przesadzie)
γ xz
ds
Rys. 9. Rezultaty działania siły poprzecznej na elemencie: a) γ- kąt odkształcenia
postaciowego, b) ∆- wynik działania sił stycznych
∆t = γ xz ds
γ xz =
τ xz
G
(2.16)
We wzorze (2.16) G jest modułem odkształcenia postaciowego Kirchhoffa.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
9
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
G=
E
2 ⋅ (1 + ν )
(2.17
E- moduł Younga, ν- współczynnik Poissona
Równanie pracy jest przedstawione wyłącznie dla poletka dA, w którym występują
elementy siły poprzecznej. Jeżeli chciałoby się otrzymać całkowitą pracę, należałoby
zsumować wszystkie poletka dA- czyli scałkować.
dT = τdA
1
dLT = dT∆ T
2
(2.18)
Przyrost pracy elementu siły poprzecznej przypadającej na poletko dA leżące na włóknie
b(z) dla elementarnego wycinka pręta o długości ds.
1
d 3 LT = τ xz dA ⋅ γ xz ds
2
1 Txz ⋅ S y ( z ) 1 Txz ⋅ S y ( z )
d 3 LT =
⋅ ⋅
dAds
2 I y ⋅ b( z ) G I y ⋅ b( z )
d 3 LT =
(2.19)
1 T 2 A S 2 ( z)
⋅ ⋅
dAds
2 GA I y ⋅ b 2 ( z )
Przyrost pracy całej siły poprzecznej w przekroju dla wycinka ds:
1  T 2  A
S 2 ( z ) 
dLT = 
⋅
⋅
dA 
2  GA  I y ∫A ⋅ b 2 ( z ) 
(2.20)
Wprowadzamy upraszczający zapis na ścinanie:
κ=
dLT =
Politechnika Poznańska®
A
S 2 ( z)
⋅∫ 2
dA
I y ⋅ b ( z)
1
Tκ
1
⋅T ⋅
ds = ⋅ T ⋅ γ śr ds
2
GA
2
(2.21)
(2.22)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
10
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Wzór (2.23) w nawiązaniu do poprzednich (praca N i praca M) można przez analogię
zinterpretować jako pracę siły poprzecznej na uśrednionym przemieszczeniu wwołanym
odkształceniem postaciowym (γśrds)
γ śr =
1
1 κT
τ śr = ⋅
G
G A
(2.23)
Całkowita praca na długości pręta z uwzględnieniem współczynnika ścinania wynosi:
l
1 T2
LT = ∫
⋅ κds
2 0 GA
(2.24
Podsumowanie
Rodzaje występujących sił w przekroju
Fuogólniona siła,
∆uogólnione przemieszczenie
d∆ N
 N ( s)
ε ⋅ ds



F ( s ) = M ( s ) → δ (ds ) = ∆ =  χ ( s ) ⋅ ds ⇒ dϕ
T ( s )
γ ( s ) ⋅ ds
d∆

 śr
 T
(2.25)
Wszystkie współczynniki charakteryzują się bardzo podobną strukturą- siła/ sztywność
(na rozciąganie, zginanie, ścinanie)
N
EA
M
χ=
EI
Tκ
γ śr =
GA
ε=
(2.26)
Wzór na całkowitą pracę sił wewnętrznych jest sumą prac tych wszystkich sił w pręcie:
l
l
l
1 M2
1 N2
1 T 2κ
L= ∫
⋅ ds + ∫
⋅ ds + ∫
⋅ ds
2 0 EI
2 0 EA
2 0 GA
Politechnika Poznańska®
(2.27)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
11