Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny.
Na pewno umiecie obliczać pole kwadratu, gdy dany jest jego bok ( P=a2).
Pamiętacie również jak należy obliczać objętość sześcianu (V=a3).
Rozpatrzmy problem:
Jak obliczyć długość boku kwadratu, gdy znamy jego pole?
Jak obliczyć długość krawędzi sześcianu, gdy znamy jego objętość?
Szukamy odpowiedzi na pytania:
1. Jaką długość muszę podnieść do drugiej potęgi, aby uzyskać pole
kwadratu?
Jaką długość muszę podnieść do kwadratu (potęgi), aby uzyskać pole
kwadratu( figury)?
2. Jaką długość muszę podnieść do trzeciej potęgi, aby uzyskać objętość
sześcianu?
Jaką długość muszę podnieść do sześcianu( potęgi), aby uzyskać objętość
sześcianu (bryły)?
O ile podnoszenie do kwadratu i do sześcianu bardzo łatwo wyjaśnić
wykorzystując mnożenie odpowiedniej ilości tych samych czynników, o
tyle problem odwrotny jest bardziej skomplikowany. Dlaczego?
Ponieważ szukanie długości boku kwadratu, przy danym polu i szukanie
długości krawędzi przy danej objętości polega na odgadywaniu,
kojarzeniu i poszukiwaniu liczby, która pasowałaby do danego
przykładu.
Przykład 1.
Jakiej długości jest bok kwadratu, którego pole wynosi 81cm2?
P=a2 a- szukany bok kwadratu
Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 81?
Oczywiście jest to 9. Poszukiwanie liczby spełniającej opisane
warunki nazywamy pierwiastkowaniem.
A ponieważ szukamy liczby, która w kwadracie daje 81, więc jest to
pierwiastkowanie kwadratowe. Zapisujemy następująco:
81  9 , ponieważ 92 =81
Czytamy „pierwiastek drugiego stopnia z 81 jest równy 9”. Częściej
używamy opisu: „pierwiastek kwadratowy z 81 jest równy 9”
W przypadku poszukiwania krawędzi sześcianu, gdy dana jest objętość,
odgadujemy podobnie. Tylko szukając brakującej krawędzi poruszamy się
wśród sześcianów liczb.
Przykład 2.
Jaką krawędź ma sześcian, którego objętość wynosi 125cm3?
V=a3 a- krawędź sześcianu
Sześcian jakiej liczby wynosi 125?
Oczywiście jest to 5, ponieważ 53  5  5  5  125
Zapisujemy następująco:
3
125  5
Czytamy „pierwiastek trzeciego stopnia ze 125 jest równy 5”, częściej:
„pierwiastek sześcienny ze 125 jest równy 5”
Czy istnieją pierwiastki innych stopni?
Tak, ponieważ podnosimy liczby nie tylko do kwadratu i sześcianu, ale
również do potęgi czwartej, piątej, szóstej, itd. …
Pamiętaj! Pierwiastki kwadratowe (wszystkie stopnia parzystego)
obliczamy tylko z liczby dodatniej. Dlaczego?
Pierwiastki sześcienne (wszystkie o stopniu nieparzystym) obliczamy z
dowolnej liczby.
Przykłady
1.
2.
3.
4.
5.
4
81  3
100
5
5
7
1 1
1
1

100000 10
 32  2
0 0
Można dokładnie obliczyć pierwiastki kwadratowe z: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,
49, …
A co z wyrażeniami: 2 , 3 , 5 , 7 ,…
Wartości takich pierwiastków możemy tylko przybliżać z mniejszą lub
większą dokładnością.
Należy zapamiętać przybliżone wartości dwóch pierwiastków:
2  1,41
3  1,73
Jak oszacować wartość 40 ?
Najpierw ustalamy dwie liczby mniejszą i większą od 40 , z których można
obliczyć pierwiastek kwadratowy. Są to 36 i 49 , następnie określamy jaka
jest odległość liczby 40 od 36 i od 49. Liczba 40 leży bliżej liczby 36, więc
jej wartość przybliżona, będzie bliższa liczbie 6 niż liczbie 7.
40  6,9 czy 40  6,4 ?
Które przybliżenie 40 jest lepsze,
Pierwiastki, których wartości nie można podać dokładnie są przykładami
liczb niewymiernych.
Zajrzyj na stronę, gdzie możesz znaleźć wartości pierwiastków
kwadratowych i sześciennych: pierwiastki