Zmienna losowa. Wybrane rozk*ady zmiennej. Przedzia

Zmienna losowa.
Wybrane rozkłady
zmiennej. Przedział
ufności.
Jacek Szanduła
Eksperyment statystyczny. Zdarzenie
elementarne. Przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Eksperyment statystyczny – działanie lub proces
obserwacji prowadzące do pojedynczego wyniku,
którego nie można przewidzieć z pewnością.
Zdarzenie elementarne – pojedynczy, najbardziej
podstawowy wynik eksperymentu statystycznego.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń
elementarnych
–
zbiór
wszystkich
zdarzeń
elementarnych danego eksperymentu.
Jacek Szanduła
2
Przykład przestrzeni zdarzeń elementarnych
Eksperyment statystyczny: rzut kostką
Jest 6 możliwych wyników (zdarzeń elementarnych):
Zdarzenie
elementarne
Jacek Szanduła
Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest
zbiorem złożonym z 6 elementów:
:{ , , , , , }
3
Zmienna losowa

Formalnie:

Funkcja przyporządkowująca wartość rzeczywistą
każdemu zdarzeniu elementarnemu Ei w
przestrzeni zdarzeń Ω:


X: EiΩ → R
Nieformalnie:

Zmienna ilościowa, która reprezentuje możliwy
wynik eksperymentu statystycznego.
Jacek Szanduła
4
Zmienna losowa – przykład 1
Eksperyment: rzut kością.
Możliwe wartości:
1
2
3
Zdarzenie
Wartość rzeczywista
4
elementarne
5
6
Jacek Szanduła
5
Zmienna losowa – przykład 2
Eksperyment: pięciokrotny rzut monetą.
Zmienna losowa – liczba orłów.
Możliwe wartości:
0, 1, 2, 3, 4, 5
2
Zdarzenie elementarne
Jacek Szanduła
Wartość zmiennej
6
Zmienna losowa dyskretna i ciągła

Zmienna losowa dyskretna, zmienna losowa skokowa
 Zbiór możliwych wyników jest przeliczalny


np.: liczba zawartych dziś transakcji: x = 0, 1, 2, …
Zmienna losowa ciągła
 Zbiór możliwych wyników jest nieprzeliczalny

np.: czas spóźnienia na zajęcia: x  [0, 90 min.]
Jacek Szanduła
7
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej dyskretnej – przykład
Eksperyment: trzykrotny rzut monetą.
Zmienne losowa: Liczba orłów (X).
Ω: {OOO, OOR, ORO, ORR, RRR, RRO, ROR, ROO}
p
Wartość zmiennej
xi
Prawdopodobieństwo
pi
0
1/8
0,325
1
3/8
0,250
2
3/8
3
1/8
0,125
0
0
Jacek Szanduła
1
2
xi
3
8
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej ciągłej – przykład
Autobusy jeżdżą co 15 minut. Są punktualne, lecz nie
wiemy kiedy jechał ostatni autobus.
x0
 0 dla
0
dla
x
0

1

f ( x)   a dla
dla 00xx15
15
15
0 dla
x  15
x  15
 0 dla
f (czas)
a = 1/15
0
Jacek Szanduła
5
10
15
czas [minuta]
9
Parametry zmiennych losowych
Dyskretna
E ( X )     xi pi
Wartość oczekiwana
Ciągła
E ( x)   
i
i
V (X )   
2
V ( X )    E ( X 2 )  E ( X )2
2
gdzie:
 x  f ( x)dx

V ( X )   2   ( xi  E ( X ))2 pi
Wariancja

E ( X 2 )   xi2 pi
V (X )   2 

2
(
x

E
(
X
))
f ( x)dx




x 2 f ( x)dx  E ( X ) 2

i
Odchylenie
standardowe
Mediana
Modalna, dominanta
Jacek Szanduła
  V (X )
Me : P( X  Me) 
  V (X )
1
1
1
 P( X  Me)  Me : F ( Me)  P( X  Me)  P( X  Me) 
2
2
2
Mo : P( X  Mo)  max( P( X  x))
x
Mo : f ( Mo)  max( f ( x))
x
10
Rozkład normalny
Zmienna losowa X ma rozkład normalny ze średnią μ i
odchyleniem standardowym σ, co zapisujemy X ~ N(μ, σ),
jeżeli jej funkcja gęstości i dystrybuanta dane są
następującymi wzorami:
1  x 
 1
 

2  
f ( x)  
e
 2
 1
F ( x0 )  
 2
E( X )  
Jacek Szanduła
V (X )   2
x0
e
2
dla   x  
1  x 
 

2  
2
dx

Me  
Mo  
11
Rozkład normalny – wykresy
1
0,5
f(x) - N(2; 1)
F(x) - N(2; 1)
0
-3
-2
Jacek Szanduła
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
12
Rozkład normalny – prawdopodobieństwa
  3   2   

 
  2   3
P{ –   X     }  0, 683
P{ – 2  X    2 }  0,954
P{ – 3  X    3 }  0,997
Jacek Szanduła
13
Standaryzacja
Transformacja zmiennej losowej na zmienną o zerowej wartości oczekiwanej
i jednostkowej wariancji. Jeżeli E(X) = μ i V(X) = σ2, to:
Zmienna standaryzowana:
Z
X 

1
1
 X   1
E

E
X



E
(
X
)

E
(

)


 
      0



   
1
1 2
 X   1
V

V
X



V
(
X
)

 1

 2

2
2


   
Jeżeli X ~ N(μ, σ), to Z ~ N(0, 1).
Z ma standaryzowany (standardowy) rozkład normalny.
Jacek Szanduła
14
Tablice rozkładu normalnego
Z ~ N(0, 1)
 ( z )  P(0  Z  z )
z
Jacek Szanduła
15
Rozkład normalny – funkcje w MS Excel 2013
P(X<1,7) = ?
ROZKŁ.NORMALNY(1,7;0;1;1)
0,955
?
ROZKŁ.NORMALNY.S(1,7;1)
1,7
P(X<x0) = 0,6  x0 = ?
ROZKŁ.NORMALNY.ODWR(0,6;0;1)
0,6
ROZKŁ.NORMALNY.S.ODWR(0,6)
x0
0,253
Jacek Szanduła
16
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
a)
100 < IQ < 120;
b)
80 < IQ < 120;
c)
IQ < 120
d)
IQ < 85;
e)
IQ > 150;
f)
90 < IQ < 130;
g)
120 < IQ < 130.
Jacek Szanduła
17
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
a)
100 < IQ < 120;
100  IQ  120  100    IQ    120   
IQ  

100  


IQ  


120  

 Z ~ N (0,1)
 100  100 IQ  100 120  100 

P


P(100  IQ  120)

  P  0  Z  1,(3)   0, 408
15
15
15


0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
…
…
…
…
…
…
…
…
1,1
0,364
0,367
0,369
0,371
0,373
…
1,2
0,385
0,387
0,389
0,391
0,393
…
1,3
0,403
0,405
0,407
0,408
0,410
…
1,4
0,419
0,421
0,422
0,424
0,425
…
z
 ( z )  P(0  Z  z )
z = 1,(3)
Jacek Szanduła
18
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
IQ  
b)
80 < IQ < 120;
 Z ~ N (0,1)

 80  100 IQ  100 120  100 
P(80  IQ  120)  P 


  P  1,(3)  Z  1,(3)  
15
15
 15

 2  P  0  Z  1,(3)   2  0, 408  0,816
 (1, (3))  0, 408
- 1,(3)
Jacek Szanduła
1,(3)
- 1,(3)
1,(3)
 (1, (3))  0, 408
1,(3)
19
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
IQ  
c)
IQ < 120

 Z ~ N (0,1)
 IQ  100 120  100 

P ( IQ  120)  P 
  P  Z  1,(3)   P  Z  0  P  0  Z  1,(3)   0,5  0, 408  0,908
15
 15

P  Z  0
1,(3)
Jacek Szanduła
P  Z  0  0,5
 (1, (3))  0, 408
1,(3)
20
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
IQ  
d)
IQ < 85;
 Z ~ N (0,1)

 IQ  100 85  100 
P( IQ  85)  P 

  P  Z  1  P  Z  1  0,5  0,341  0,159
15
15


P  Z  0  0,5  P  0  Z  1  P  Z  1   1  P  Z  1  P  Z  1  0,5   (1)
 (1)
-1
Jacek Szanduła
1
P  Z  1
z
0,00
0,01
0,02
…
…
…
…
…
…
0,9
0,316
0,319
0,321
…
1,0
0,341
0,344
0,346
…
1,1
0,364
0,367
0,369
…
1,2
0,385
0,387
0,389
…
21
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
IQ  
e)
IQ > 150;

 Z ~ N (0,1)
 IQ  100 150  100 

P ( IQ  150)  P 
  P  Z  3,(3)   0, 00043  0
15
 15

Ponad 3σ
3,33
Jacek Szanduła
22
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
f)
90 < IQ < 130;
IQ  

 90  100 IQ  100 130  100 
P(90  IQ  130)  P 



15
15
 15

 Z ~ N (0,1)
 P  0,(6)  Z  2 
  (0, (6))   (2)  0, 249+0, 477=0, 726
-0,(6)
Jacek Szanduła
2
-0,(6) 0,(6)
2
23
Rozkład normalny – przykład
Intelligence quotient (IQ) ~ N(100, 15).
Jakie są prawdopodobieństwa, że dla losowo wybranej osoby:
IQ  
g)
120 < IQ < 130.

P(85  IQ  90)
 85  100 IQ  100 90  100 
 P



15
15
15 

 Z ~ N (0,1)
 P  1  Z  0,(6)  
  (1)   (0, (6))  0,341  0, 249  0, 092
Jacek Szanduła
24
Rozkład chi-kwadrat
Zmienna losowa ma rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody
Χ ~ χ2n, jeżeli jest sumą kwadratów n niezależnych zmiennych
losowych o standaryzowanym rozkładzie normalnym:
X  Z12  Z 22 
 Z n2
Zi ~ N (0,1)
E( X )  n
Jacek Szanduła
V ( X )  2n
Me  n 
2
3
Mo  n  2; dla n  2
25
Rozkład chi-kwadrat – wykresy
1
f(x) ~ χ23
0,5
F(x) ~ χ23
0
0
Jacek Szanduła
1
2
3
4
5
6
7
26
Tablice rozkładu chi-kwadrat
P(X>x0)
x0
Jacek Szanduła
27
Rozkład chi-kwadrat – funkcje w MS Excel 2013
P(  92  12)  ?
ROZKŁ.CHI.PS(12; 9)
0,213
12
P( 92  x0 )  0, 6  x0  ?
ROZKŁ.CHI.ODWR.PS(0,6;9)
0,6
7,36
Jacek Szanduła
28
Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5
stopniami swobody Χ ~ χ25 .
1) Oblicz prawdopodobieństwa:
a) P(X > 1,61),
b) P(X < 11,07).
2) Znajdź wartość x0, jeżeli:
a) P(X > x0) = 0,8,
b) P(X < x0) = 0,9.
Jacek Szanduła
29
Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5
stopniami swobody Χ ~ χ25 .
1) Oblicz prawdopodobieństwa:
a) P(X > 1,61) ≈ 0,9
P(X > 1,61)
1,61
p
n
0,99
…
…
0,95
…
0,9
…
0,8
…
0,5
…
0,2
…
0,1
…
0,05
…
0,02
…
0,01
…
3
0,115
0,352
0,584
1,005
2,366
4,642
6,251
7,815
9,837
11,345
4
0,297
0,711
1,064
1,649
3,357
5,989
7,779
9,488
11,668
13,277
5
0,554
1,145
1,610
2,343
4,351
7,289
9,236
11,070
13,388
15,086
6
0,872
1,635
2,204
3,070
5,348
8,558
10,645
12,592
15,033
16,812
…
…
…
…
…
Jacek Szanduła
…
…
…
…
…
…
30
Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5
stopniami swobody Χ ~ χ25 .
1) Oblicz prawdopodobieństwa:
b) P(X < 11,07)
P(X < 11,07)
P(X > 11,07)
≈ 1 – 0,05 = 0,95
11,07
p
n
0,99
…
…
0,95
…
0,9
…
0,8
…
0,5
…
0,2
…
0,1
…
0,05
…
0,02
…
0,01
…
3
0,115
0,352
0,584
1,005
2,366
4,642
6,251
7,815
9,837
11,345
4
0,297
0,711
1,064
1,649
3,357
5,989
7,779
9,488
11,668
13,277
5
0,554
1,145
1,610
2,343
4,351
7,289
9,236
11,070
13,388
15,086
6
0,872
1,635
2,204
3,070
5,348
8,558
10,645
12,592
15,033
16,812
…
…
…
…
…
Jacek Szanduła
…
…
…
…
…
…
31
Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5
stopniami swobody Χ ~ χ25 .
2) Znajdź wartość x0, jeżeli:
a) P(X > x0) = 0,8,  x0 = 2,343
P(X > x0) = 0,8
x0
p
n
0,99
…
…
0,95
…
0,9
…
0,8
…
0,5
…
0,2
…
0,1
…
0,05
…
0,02
…
0,01
…
3
0,115
0,352
0,584
1,005
2,366
4,642
6,251
7,815
9,837
11,345
4
0,297
0,711
1,064
1,649
3,357
5,989
7,779
9,488
11,668
13,277
5
0,554
1,145
1,610
2,343
4,351
7,289
9,236
11,070
13,388
15,086
6
0,872
1,635
2,204
3,070
5,348
8,558
10,645
12,592
15,033
16,812
…
…
…
…
…
Jacek Szanduła
…
…
…
…
…
…
32
Rozkład chi-kwadrat – przykład
Zmienna X ma rozkład chi-kwadrat z 5
stopniami swobody Χ ~ χ25 .
2) Znajdź wartość x0, jeżeli:
b) P(X < x0) = 0,9.
P(X < x0) = 0,9
P(X > x0) = 0,1
x0 = 9,236
x0
p
n
0,99
…
…
0,95
…
0,9
…
0,8
…
0,5
…
0,2
…
0,1
…
0,05
…
0,02
…
0,01
…
3
0,115
0,352
0,584
1,005
2,366
4,642
6,251
7,815
9,837
11,345
4
0,297
0,711
1,064
1,649
3,357
5,989
7,779
9,488
11,668
13,277
5
0,554
1,145
1,610
2,343
4,351
7,289
9,236
11,070
13,388
15,086
6
0,872
1,635
2,204
3,070
5,348
8,558
10,645
12,592
15,033
16,812
…
…
…
…
…
Jacek Szanduła
…
…
…
…
…
…
33
Rozkład Studenta, rozkład t, rozkład t
Studenta
Gdy Z ~ N(0,1) i χ2n (zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z n
stopniami swobody) są niezależne, to
Tn 
Z

2
n
n
ma rozkład Studenta z n stopniami swobody
E (Tn )  0 dla n  1
Me  0
Jacek Szanduła
V (Tn ) 
n
dla n  2
n2
Mo  0
34
Rozkład Studenta – wykresy
1,0
f(z) ~ N(0, 1)
0,5
f(x) ~ T(3)
F(x) ~ T(3)
0,0
-3
Jacek Szanduła
-2
-1
0
1
2
3
35
Tablice rozkładu t Studenta
Dwustronne
Jednostronne
P(Tn  t )  
P(| Tn | t )  

2
t
Jacek Szanduła
t
t
36
Rozkład t Studenta – funkcje w MS Excel 2013
P(T24>1) = ?
ROZKŁ.T.PS(x;stopnie_swobody)
ROZKŁ.T.PS(1;24)
0,16
1
P(|X|>1) = ? 0,32
ROZKŁ.T.DS(x;stopnie_swobody)
ROZKŁ.T.DS(1;24)
-1
1
P(|T24|>t0) = 0,6  t0 = ?
ROZKŁ.T.ODWR.DS(prawdopodobieństwo;stopnie_swobody)
ROZKŁ.T.ODWR.DS(0,6;24)
- 0,53
Jacek Szanduła
0,53
37
Rozkład t Studenta – funkcje w MS Excel 2013
ROZKŁ.T
ROZKŁ.T.DS
ROZKŁ.T.PS
ROZKŁ.T.ODWR
ROZKŁ.T.ODWR.DS
Jacek Szanduła
38
Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody.
1) Znajdź prawdopodobieństwo: P(-2,12 < T16 < 1,746).
2) Jakie są wartości tα, jeżeli:
a) P(T16 < tα) = 0,75,
b) P(| T16 | > tα) = 0,9.
Jacek Szanduła
39
Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody.
1) Znajdź prawdopodobieństwo: P(-2,12 < T16 < 1,746).
-2,12
1,746
P(2,12  T16  1, 746)  1   P(T16  2,12)  P(T16  1,746)   1  P(T16  2,12)  P(T16  1, 746)
 1  0, 025  0, 05  0,925
0,475
0,45
0,4
0,25
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,0005
0,95
0,9
0,8
0,5
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,001
14
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
15
0,064
0,128
0,258
0,691
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
4,073
16
0,064
0,128
0,258
0,690
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
4,015
17
0,064
0,128
0,257
0,689
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,965
18
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
α
n
Jacek Szanduła
40
Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody.
2) Jakie są wartości tα, jeżeli:
a) P(T16 < tα) = 0,75,
tα
P(T16  t )  1  P(T16  t )
0,75  1  P(T16  t )  P(T16  t )  0, 25  t  0,69
0,475
0,45
0,4
0,25
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,0005
0,95
0,9
0,8
0,5
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,001
14
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
15
0,064
0,128
0,258
0,691
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
4,073
16
0,064
0,128
0,258
0,690
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
4,015
17
0,064
0,128
0,257
0,689
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,965
18
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
α
n
Jacek Szanduła
41
Rozkład t Studenta – przykład
Zmienna T16 ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody.
2) Jakie są wartości tα, jeżeli:
b) P(| T16 | > tα) = 0,9.  t  0,128
tα
0,475
0,45
0,4
0,25
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,0005
0,95
0,9
0,8
0,5
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,001
14
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
15
0,064
0,128
0,258
0,691
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
4,073
16
0,064
0,128
0,258
0,690
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
4,015
17
0,064
0,128
0,257
0,689
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,965
18
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
α
n
Jacek Szanduła
42