Rozdział 1 Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich

Rozdział 1
Wybrane rozkłady zmiennych losowych
i ich charakterystyki
1.1
Wybrane rozkłady zmiennych losowych typu skokowego
1.1.1
Rozkład równomierny
Rozpatrzmy eksperyment, który może skończyć się jednym z n możliwych wyników ze
zbioru WX = {x1 , x2 , . . . , xn } (wynikiem jest tu liczba rzeczywista), z których każdy
wynik jest jednakowo prawdopodobny. Np. takim eksperymentem może być losowanie
jednej kuli z urny zawierającej n kul oznaczonych różnymi liczbami x1 , x2 , . . . , xn . Niech
zmienna losowa X oznacza liczbę na wylosowanej kuli. Wówczas
P (X = xi ) =
1
,
n
(1.1)
dla każdego xi ∈ WX . Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład równomierny na zbiorze
WX , jeżeli jest on określony wzorem (1.1).
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym wyraża się wzorem
E(X) =
n
∑
xi
i=1
n
1∑
1
=
xi = x̄,
n
n i=1
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
Var(X) =
n
1∑
x2 − (x̄)2 .
n i=1 i
1
1.1.2
Rozkład dwumianowy B(n, p)
Rozpatrzmy eksperyment, który może skończyć się jednym z dwóch możliwych wyników, które to wyniki można interpretować jako sukces, oznaczany przez 1, i porażkę,
oznaczaną przez 0. Niech p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu. Taki eksperyment nazywamy próbą Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Jeżeli eksperyment ten
powtarzamy n razy, tak, że wyniki w poszczególnych krokach są wzajemnie niezależne,
to taki n-elementowy ciąg eksperymentów nazywamy schematem Bernoulliego. Niech X
oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodbieństwen sukcesu p. Wówczas
( )
n k
p (1 − p)n−k ,
k
P (X = k) =
(1.2)
dla k = 0, 1, 2, . . . , n.
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, oznaczany
przez B(n, p), jeżeli jest on określony wzorem (1.2).
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym B(n, p) jest postaci
E(X) = np,
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
Var(X) = np(1 − p).
Fakt 1 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(n, p) oraz (n + 1)p jest
liczbą całkowitą, to zmienna X ma dwie wartości modalne (n + 1)p oraz (n + 1)p − 1;
jeżeli natomiast (n + 1)p nie jest liczbą, to wartość modalna zmiennej losowej X wynosi
[(n + 1)p], gdzie [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą a.
1.1.3
Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) N B(r, p)
Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy N B(r, p) (rozkład Pascala) z parametrami r i p, r ∈ N, p ∈ (0, 1), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
(
)
r+k−1 k
pk = P (X = k) =
p (1 − p)r ,
r−1
dla k = 0, 1, . . . .
Zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r i p można interpretować jako liczbę sukcesów w próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu
2
p, prowadzonych do momentu uzyskania r-tej porażki.
W przypadku, gdy r = 1, rozkład ujemny dwumianowy nazywany jest rozkładem geometrycznym z parametrem p.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie ujemnym dwumianowym N B(r, p)
jest postaci
rp
,
1−p
E(X) =
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
rp
.
(1 − p)2
Var(X) =
1.1.4
Rozkład hipergeometryczny H(N, M, n)
Zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny H(N, M, n) z parametrami N, M, n,
gdzie N, M, n są liczbami naturalnymi oraz M ¬ N i n ¬ N, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
(
M
k
pk = P (X = k) =
)(
)
N −M
n−k
( )
,
N
n
dla k = max{0, n + M − N }, . . . , min{n, M }.
Zmienna losowa X o rozkładzie hipergeometrycznym ma następującą interpretację: jest
ona liczbą elementów mających wyróżnioną cechę A wśród n elementów wylosowanych
bez zwracania ze zbioru N elementów, wśród których przed rozpoczęciem losowania znajdowało się M elementów mających cechę A.
Fakt 2 W przypadku, gdy N jest duże w stosunku do n, to rozkład hipergeometryczny
można przybliżać rozkładem dwumianowym, tzn.
(
M
k
)(
N −M
n−k
( )
N
n
)
( )
n k
p (1 − p)n−k ,
k
≈
gdzie p = M/N.
3
Rozkład Poissona P(λ)
1.1.5
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona P(λ) z parametrem λ, λ > 0, jeżeli jej funkcja
prawdopodobieństwa jest postaci
pk = P (X = k) =
λk −λ
e ,
k!
k = 0, 1, 2, . . . .
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona P(λ) jest postaci
E(X) = λ,
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
Var(X) = λ.
Rozkład Poissona ma zastosowania opisane w poniższym fakcie.
Fakt 3 Dla dużych n rozkład dwumianowy B(n, p) można przybliżać rozkładem Poissona,
tzn.
( )
n k
λk −λ
n−k
p (1 − p)
≈ e ,
k
k!
gdzie λ = np.
Przybliżenie to jest dla celów praktycznych wystarczająco dokładne, gdy n ­ 50, p ¬ 0.1,
np ¬ 10.
1.2
Wybrane rozkłady zmiennych losowych typu ciągłego
1.2.1
Rozkład jednostajny U(a, b) na odcinku [a, b]
Zmienna losowa ma rozkład jednostajny U(a, b) na odcinku [a, b], jeżeli jej funkcja gęstości
wyraża się wzorem


1 , gdy x ∈ [a, b],
b
−
a
f (x) =
 0,
gdy x ∈
/ [a, b].
4
Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na odcinku [a, b] wyraża się wzorem


0,



gdy x ¬ a
x
−
a
F (x) =

b − a , gdy a < x ¬ b,



1,
gdy x > b.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym U(a, b) na odcinku
[a, b] jest postaci
E(X) = (a + b)/2,
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
Var(X) = (b − a)2 /12.
1.2.2
Rozkład wykładniczy E(λ)
Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy E(λ) z parametrem λ, jeżeli jej funkcja gęstości
wyraża się wzorem

 1 exp{− x }, gdy x > 0,
λ
f (x) =  λ
0,
gdy x ¬ 0.
Dystrybuanta rozkładu E(λ) wyraża się wzorem

 1 − exp{− x },
λ
F (x) =
 0,
gdy x > 0,
gdy x ¬ 0.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym E(λ) jest postaci
E(X) = λ,
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
Var(X) = λ2 .
1.2.3
Rozkład normalny N (µ, σ 2 )
Zmienna losowa ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ) z parametrami µ ∈ R i σ ∈ (0, ∞), jeżeli
jej funkcja gęstości wyraża się wzorem
[
]
1
(x − µ)2
f (x) = √
exp −
.
2σ 2
2πσ
Rozkład normalny N (0, 1) nazywamy standardowym rozkładem normalnym.
Nie istnieje jawna postać dystrybuanty rozkładu normalnego.
5
Fakt 4 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), to zmienna losowa
Y =
X −µ
σ
ma rozkład N (0, 1) (standardowy rozkład normalny). Powyższe przekształcenie zmiennej
losowej X nazywamy standaryzacją zmiennej losowej.
Z powyższego faktu wynika, że wartość dystrybuanty dowolnego rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), można wyrazić przez odpowiednią wartość dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego N (0, 1). Dokładnie opisuje to poniższy wniosek.
Wniosek 1 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), to
P (X ¬ x) = P
(
)
(
)
x−µ
X −µ
x−µ
¬
=Φ
,
σ
σ
σ
gdzie Φ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej o standardowym rozkładzie normalnym.
Dla dodatnich wartości argumentów x (gdzie x jest dane z dokładnością do dwóch
miejsc po przecinku), wartości dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego są stablicowane.
Stąd, że gęstość standardowego rozkładu normalnego jest funkcją parzystą, jej wykres
jest symetryczny względem osi Y , mamy, że dla ujemnych wartości argumentów x wartość
dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego jest równa
Φ(x) = 1 − Φ(−x),
gdzie Φ(−x) możemy już odczytać z tablic wartości dystrybuanty standardowego rozkładu
normalnego.
Przykład 1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N (1, 4). Wówczas
P (X ¬ 2) = P
(
)
( )
1
X −1
2−1
¬
=Φ
= 0, 6915,
2
2
2
gdzie Φ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej o standardowym rozkładzie normalnym
i wartość Φ
( )
1
2
została odczytana z tablic wartości dystrybuanty rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (µ, σ 2 ) jest postaci
E(X) = µ,
natomiast wariancja tej zmiennej jest postaci
Var(X) = σ 2 .
6