Zadania przygotowawcze do Olimpiady Matematycznej, 1 Zad. 1. Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań a3 + 3ab2 + 3ac2 − 6abc = 1 b3 + 3ba2 + 3bc2 − 6abc = 1 c3 + 3ca2 + 3cb2 − 6abc = 1. Zad. 2. Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Wykazać, że równanie x+y+ 1 1 + = 3n, x y nie posiada rozwiązań w dodatnich liczbach wymiernych. Zad. 3. Niech x, y, z będą liczbami dodatnimi takimi, że xyz = 1. Wykazać, że r r r y z x (1 + x)(1 + y)(1 + z) > 2 1 + 3 + 3 + 3 . x y z Zad. 4. Dana jest kwadratowa tablica o parzystej liczbe wierszy. W pewnej komórce wpisana jest liczba (−1), w pozostałych komórkach liczby (+1). Wykonując ruch możemy zmienić zawartość komórki zawierającej (−1) na 0 i jednocześnie pomonożyć zawartość wszystkich sąsiednich komórek przez (−1) (sąsiednimi są komórki mające wspólny bok). Wykazać, że wykonując opisane ruchy nie można uzyskać tabeli zawierającej same zera. Zad. 5. Znajdź wszystkie zbiory X składające się z co najmniej dwóch liczb całkowitych dodatnich, takie, że jeśli m, n ∈ X, to istnieje k ∈ X takie, że n = mk 2 . Zad. 6. Rozstrzygnij, czy istnieje nieskończony ciąg liczb pierwszych p1 , p2 , p3 , ... taki, że |pn+1 − 2pn | = 1 dla wszystkich n ∈ N. Zad. 7. Znajdź trzy różne wielomiany P (x) o współczynnikach całkowitych takie, że P (x2 + 1) = P 2 (x) + 1 dla każdego x ∈ R. Zad. 8. Dane są liczby rzeczywiste a1 , a2 , ..., a59 należące do przedziału h−2, 17i takie, że a1 + a2 + ... + a59 = 0. Pokazać, że a21 + a22 + ... + a259 6 2006. Zad. 9. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie n takie, że 3n + 1 jest podzielne przez n2 . Zad. 10. Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią równą sumie swoich dzielników właściwych i liczby tych dzielników. Wykazać, że połowa liczby n jest kwadratem liczby całkowitej. (mr)