Bolesławieckie matematyczne (2)

zadania
Bolesławieckie
konkursy
matematyczne (2)
W numerze 3/2004 opublikowany
został zestaw zadań
z „Bolesławieckiego konkursu
matematycznego”. Teraz
podajemy zadania z kolejnych
etapów – powiatowego
i międzypowiatowego – tego
konkursu. Zachęcamy do ich
wykorzystania na własnym terenie.
n
JERZY JANOWICZ
ZADANIA
Szkoła podstawowa – etap powiatowy
1. Trzy różne cyfry można wpisać do pustych pól diagramu na sześć różnych sposobów. Jakie to powinny być cyfry, aby
w każdym z tych sześciu przypadków
otrzymać pięciocyfrową liczbę podzielną
przez 12?
1
2
2. W pewnych dwóch liczbach trzycyfrowych żadna z cyfr nie jest zerem. Cyfry
setek obu tych liczb dają w sumie 10, również cyfry dziesiątek dają w sumie 10
i cyfry jedności – także. Znajdź te dwie
46
110
liczby wiedząc, że jedna jest 5 razy większa od drugiej.
3. Pani Joanna i pani Ewa mają tyle samo
lat. Córka pani Joanny jest dwukrotnie od
niej młodsza, a córka pani Ewy – jest od
niej trzykrotnie młodsza. Różnica wieku
między córkami tych pań jest równa 9 lat.
Ile lat mają panie Joanna i Ewa?
4. Największy prostokąt zawarty w pewnym trapezie ma pole 777 cm2 i jeden
z boków pokrywający się z krótszą podstawą. Najmniejszy prostokąt zawierający ten trapez ma pole 888 cm2 i jeden
z boków pokrywający się z dłuższą podstawą trapezu. Oblicz pole trapezu.
5. Z prostokątnej kartki papieru o polu
300 cm2 Wojtek wyciął w dwóch przeciwległych narożach jednakowe prostokąty.
Otrzymaną w ten sposób figurę odpowiednio pozaginał, skleił taśmą „na styk”
i otrzymał model sześcianu. Oblicz objętość tego sześcianu.
Szkoła podstawowa
– etap międzypowiatowy
1. Suma dwóch liczb dwucyfrowych jest
równa 100. Ilu cyfr nieparzystych użyto do
zapisu tych dwóch składników? Podaj
wszystkie możliwości ilości cyfr nieparzystych.
matematyka
zadania
2. Pan Wojciech przeczytał książkę w ciągu tygodnia, czytając każdego następnego dnia dwukrotnie więcej stron, niż poprzedniego. W piątym dniu przeczytał
o 98 stron więcej, niż w drugim dniu.
a) Ile stron liczy książka?
b) W którym dniu pan Wojciech mógł
powiedzieć, że przeczytał już połowę
książki?
3. Za pomocą wiadra, garnka i kubka
można napełnić basen na trzy następujące sposoby, wlewając do niego:
o 6 wiader, 5 garnków i 4 kubki wody;
o 7 wiader, 2 garnki i 4 kubki wody;
o 6 wiader, 4 garnki i 10 kubków wody.
Ile kubków wody trzeba, aby napełnić wiadro?
4. Asia porównywała dwa plany swojej
miejscowości. Jeden z nich był sporządzony w skali 1 : 5000, a drugi 1 : 20 000. Na
pierwszym odległość mierzona w linii prostej między budką telefoniczną koło jej
szkoły a przystankiem autobusowym przy
jej domu jest o 4,5 cm większa, niż na drugim planie. Jaka jest rzeczywista odległość
w linii prostej między tymi miejscami?
5. Wojtek okleił całe prostopadłościenne
pudełko jednakowymi kwadratowymi naklejkami tak, że nie nachodziły na siebie,
ale cała powierzchnia była pokryta. Na
jedną ścianę potrzebował 24, na drugą 12
naklejek. Ze 100 naklejek, którymi dysponował, zostało mu jeszcze kilkanaście. Ile?
ROZWIĄZANIA
Szkoła podstawowa – etap powiatowy
1. Zauważmy, że wystarczy sprawdzić
podzielność przez 3 i 4. Ponieważ NWD
(3, 4) = 1, więc podzielność przez 12 wynika z jednoczesnej podzielności przez 3 i 4.
2/2005
Ustalmy warunki podzielności przez 4.
Skoro liczba ma być podzielna przez 4 przy
każdej kolejności wpisania szukanych cyfr,
wszystkie one muszą być parzyste, ponadto – ponieważ dwucyfrowa końcówka ma
być podzielna przez 4 – każde dwie, w dowolnej kolejności, muszą tworzyć liczbę
podzielną przez 4. Wśród nich nie może
być 2, bo dwucyfrowa wielokrotność czwórki mająca cyfrę jedności 2, ma cyfrę dziesiątek nieparzystą. Z takich samych powodów odpada 6. Pozostają: 0, 4, 8. Zauważmy, że bez względu na kolejność, suma
cyfr pięciocyfrowej liczby otrzymanej po
uzupełnieniu diagramu cyframi 0, 4, 8 jest
równa 15, czyli cała liczba jest podzielna
przez 3. W pola diagramu należy wpisać
cyfry: 0, 4, 8.
2. Ustalmy sumę tych liczb. Analizując
sposób dodawania pisemnego mamy:
cyfrą jedności wyniku jest 0 i 1 jest przeniesiona do rzędu dziesiątek; cyfry dziesiątek i 1 z przeniesienia dają 11, więc cyfrą
dziesiątek wyniku jest 1 itd. Suma liczb
opisanych w zadaniu jest równa 1110. Ponieważ jedna z tych liczb ma być 5 razy
większa od drugiej, więc należy 1110 podzielić przez 6 i wówczas jedna część stanowić będzie pierwszą liczbę, a 5 pozostałych – drugą. Tymi liczbami są 185 i 925.
Należy jeszcze sprawdzić, czy otrzymana
para liczb spełnia wszystkie warunki z zadania, czyli w szczególności – warunek
dotyczący sumy cyfr. Mamy: 1 + 9 = 8 + 2 =
= 5 + 5 = 10. Tak więc rzeczywiście tymi liczbami są 185 i 925.
3. Obliczmy, jaką częścią wieku pań jest
różnica wieku ich córek. Ponieważ wiek
jednej córki to 1 wieku pań, zaś wiek dru2
1
giej córki – to
wieku pań, więc różnica
3
111
47
zadania
wieku córek to 1 - 1 = 1 część wieku pań.
2 3 6
Wiek obu pań to: 6 · 9 = 54 lata.
4. Część trapezu (dwa trójkąty), które „wystają” spod małego prostokąta jest dokładnie taka sama, jak część dużego prostokąta (dwa trójkąty) nie pokrywająca trapezu.
Różnica pól prostokątów, to dwie „nadwyżki” dużego do małego prostokąta. Tak
więc trapez ma pole większe od małego
prostokąta o
0,5 · (888 - 777) cm2 = 55,5 cm2 .
Pole trapezu jest równe
(777 + 55,5) cm2 = 832,5 cm2.
5. Po wycięciu prostokątów otrzymana
figura ma być siatką sześcianu, więc kształt
jej musi być taki, jak na rysunku, a pole
tej siatki jest równe sumie pól obu wyciętych prostokątów.
Skoro pole siatki jest równe sumie pól obu
wyciętych prostokątów, więc pole jednej
ściany jest równe (150 : 6) cm2 = 25 cm2.
Stąd krawędź sześcianu ma długość 5 cm.
Objętość sześcianu jest równa 53 cm3 =
= 125 cm3.
Szkoła podstawowa
– etap międzypowiatowy
1. Łatwo odszukać cztery możliwości:
o 0 cyfr nieparzystych: 40 + 60 = 100
o 1 cyfra nieparzysta: 16 + 84 = 100
o 2 cyfry nieparzyste: 30 + 70 = 100
o 3 cyfry nieparzyste: 39 + 61 = 100.
48
112
Gdyby obie liczby były zapisane samymi
cyframi nieparzystymi, to po dodaniu cyfr
jedności otrzymalibyśmy w rzędzie jedności cyfrę 0 oraz przeniesienie 1 do rzędu
dziesiątek. W tym rzędzie mamy dwie
cyfry nieparzyste, więc po dodaniu 1 otrzymamy liczbę nieparzystą, a nie 10. Tak
więc ta ewentualność zajść nie może. Do
zapisu obu składników użyć można 1, 2
lub 3 cyfr nieparzystych albo samych cyfr
parzystych.
2. Niech n oznacza liczbę stron przeczytanych pierwszego dnia. Wtedy:
2n – liczba stron przeczytanych drugiego
dnia
4n – liczba stron przeczytanych trzeciego
dnia
8n – liczba stron przeczytanych czwartego dnia
16n – liczba stron przeczytanych piątego
dnia.
Mamy: 16 n - 2 n = 98, czyli 14 n = 98,
a stąd n = 7.
Mamy ponadto:
32n – liczba stron przeczytanych szóstego
dnia
64n – liczba stron przeczytanych siódmego dnia.
Tak więc liczba stron w książce jest równa: 7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 + 448 = 889.
Książka ma 889 stron. Zauważmy, że
7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 = 441, co jest
mniejsze niż połowa liczby stron w książce. Tak więc liczba przeczytanych stron
przekroczyła połowę ostatniego dnia.
3. Z dwóch pierwszych sposobów wynika,
że jedno wiadro zastępuje 3 garnki. Z
pierwszego i trzeciego sposobu widać, że
jeden garnek zastępuje 6 kubków. Skoro
w jednym garnku mieści się 6 kubków, a w
jednym wiadrze 3 garnki, więc w jednym
wiadrze mieści się 3 · 6 = 18 kubków wody.
matematyka
zadania
4. Odległości na pierwszym planie są czterokrotnie większe, niż na drugim. Tak więc
odległość na pierwszym planie jest z jednej
strony równa czterem odległościom na drugim planie, a z drugiej jest ona o 4,5 cm
większa od odległości na drugim planie.
Stąd wynika, że trzy odległości na drugim
planie są równe 4,5 cm, czyli jedna jest równa 1,5 cm. Drugi plan jest w skali 1 : 20000,
czyli rzeczywista odległość między tymi
punktami jest równa 20 000 · 1,5 cm =
= 30 000 cm = 300 m.
5. Ponieważ na jedną ścianę zużyto 12
naklejek, a na drugą 24, więc ściany te nie
mogą być równoległe. Muszą więc mieć
wspólną krawędź. Ustalmy jej długość.
Przyjmijmy, że bok kwadratowej naklejki
na długość równą jednej jednostce. Wtedy długość wspólnej krawędzi tych ścian
może być równa:
o 1 jednostka. Wtedy wymiary trzeciej
ściany sąsiadującej z tymi dwiema są równe 12 i 24, a pole powierzchni całego prostopadłościanu jest równe
2(1 · 12 + 1 · 24 + 12 · 24) = 648.
2 jednostki. Wtedy wymiary trzeciej
ściany sąsiadującej z tymi dwiema są równe 6 i 12, a pole powierzchni całego prostopadłościanu jest równe
2(2 · 6 + 2 · 12 + 6 · 12) = 216.
3 jednostki. Wtedy wymiary trzeciej
ściany sąsiadującej z tymi dwiema są równe 4 i 8, a pole powierzchni całego prostopadłościanu jest równe
2(3 · 4 + 3 · 8 + 4 · 8) = 136.
o
4 jednostki. Wtedy wymiary trzeciej
ściany sąsiadującej z tymi dwiema są równe 3 i 6, a pole powierzchni całego prostopadłościanu jest równe
2(4 · 3 + 4 · 6 + 3 · 6) = 108.
o
6 jednostek. Wtedy wymiary trzeciej
ściany sąsiadującej z tymi dwiema są równe 2 i 4, a pole powierzchni całego prostopadłościanu jest równe
2(6 · 2 + 6 · 4 + 2 · 4) = 88.
o
12 jednostek. Wtedy wymiary trzeciej
ściany sąsiadującej z tymi dwiema są równe 1 i 2, a pole powierzchni całego prostopadłościanu jest równe
2(12 · 1 + 12 · 2 + 1 · 2) = 76.
o
Tylko w przedostatnim przypadku wystarcza 100 naklejek i jeszcze kilkanaście (dokładnie 100 - 88 = 12) zostaje. Wojtkowi
q
zostało 12 naklejek.
o
JERZY JANOWICZ
nauczyciel w samorządowym Gimnazjum nr 3
w Bolesławcu, doradca metodyczny
Problem dwóch króli
Na ile sposobów można rozstawić dwa nie atakujące się króle (nie rozróżniamy ich koloru) na
szachownicy o wymiarach n × m?
Można to zrobić najpierw licząc, ile jest wszystkich rozstawień dwóch króli, a potem odejmując
ilość rozstawień niepoprawnych. Warto przy tym zacząć od niewielkiej szachownicy, np. 4 × 4,
a potem uogólnić swoje spostrzeżenia. Otrzymamy wtedy następujący wynik:
nm nm + 1
- 5m - 2n - 1 - 4n - 1 - 3n - 1 - 2m - 1 - 1,
2
gdzie pierwszy człon oznacza liczbę wszystkich ustawień, a postać pozostałej części wzoru wynika
ze sposobu zliczania ustawień zakazanych.
Paweł Janic, uczeń liceum
2/2005
113
49