Wykład09

MECHANIKA 2
Wykład Nr 9
Dynamika układu punktów materialnych
Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych
Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór
punktów w sensie geometrycznym, którym
przypisane są pewne masy.
Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją
żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy
punktów.
Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią
jakiekolwiek ograniczenia ruchów.
Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych
Układ
nieswobodny
Więzy ograniczające
swobodę ruchów
poszczególnych
punktów
Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów
materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego
więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu
dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie
ruchu.
Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych
Siły działające na układ
(rys. 1) dzielimy na:
 zewnętrzne,
 wewnętrzne.
Siłami wewnętrznymi nazywamy
wzajemne oddziaływania poszczególnych
punktów układu na siebie.
Siłami zewnętrznymi nazywamy siły
pochodzące od działania innych ciał,
nie wchodzących w skład badanego
układu.
Uwaga!
Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla
jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu.
Na przykład siła ciężkości jest dla punktu
materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie
Rys. 1
ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z
Ziemi i danego punktu.
Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił
zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma
postać:
(1)
gdzie:
mi – masa punktu

a i – wektor przyspieszenia masy mi

Fi – wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na punkt


Wik  – Wki – siła wewnętrzna oddziaływania masy mk na masę mi,
przy czym k = 1,...,n.
Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w
równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich
(2)
Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych
W przypadku występowania więzów ograniczających ruch
układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych
na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji
więzów.
Równania (1) możemy zapisać w postaci
(3)
przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta
odniesieniu do układu punktów materialnych.
w
Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych
Siły
działające
na
poszczególne
punkty
materialne
poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z
„pomyślanymi” siłami bezwładności.

– mi ai
Wektory
nazywamy siłami bezwładności lub siłami
d'Alemberta punktów materialnych o masach mi
Ruch środka masy układu punktów materialnych
Współrzędne środka masy układu punktów materialnych:
a) w postaci wektorowej
gdzie
(4)
n
m   mi – masa całkowita
k 1
b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim)
(5)
gdzie
xS , y S , zS – współrzędne środka masy układu punktów materialnych
Ruch środka masy układu punktów materialnych
Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy
(6)
gdzie wektor
przedstawia pęd masy punktu mi
– wektor pędu ogólnego układu punktów
materialnych.
Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej
masy układu, skupionej w jego środku masy.
Ruch środka masy układu punktów materialnych
Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy
(7)
lub
(8)
Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile
bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego
układu.
Wstawiając wzór
n



mi ai  Fi   Wik
k 1
otrzymujemy
do równania (8)
(9)
Ruch środka masy układu punktów materialnych
Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu,


występujących tzw. dwójkami zerowymi Wik  – Wki , jest równy zeru,
czyli
(10)
a więc
(11)
Zasada ruchu środka masy układu
punktów materialnych
Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak
samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i
na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.
Ruch środka masy układu punktów materialnych
Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych,
przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy
też opisać analitycznie
(12)
Zasada pędu układu punktów materialnych
Uwzględniając wzory
możemy napisać:
oraz
(13)
lub też zgodnie z oznaczeniem pędu:
(14)
Pęd układu punktów materialnych wynosi:
(15)
Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu
punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił
zewnętrznych, działających na dany układ.
Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy
zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do
kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów
materialnych.
Wzór
możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań
analitycznych
(16)
Zasada pędu układu punktów materialnych
Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w
pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił
wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu
ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami
gdyż
Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów
materialnych
d n 
d  
pi  p  F w przedziale czasu
Całkując równanie

dt i 1
dt
od t1 do t 2 , otrzymamy
(17)
lub
(18)


Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor Fi dt  d i

przedstawia elementarny impuls siły Fi w czasie dt
a więc równanie
(19)
Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów
materialnych
możemy przedstawić również w postaci:
(20)
Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych
w określonym przedziale czasu jest równy sumie
impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ.
Kręt ogólny układu punktów materialnych
Kręty (momenty wektorów pędów) poszczególnych punktów
materialnych układu względem bieguna O wynoszą:
Kręt ogólny układu punktów materialnych
Krętem ogólnym układu punktów
przyjętego
bieguna
nazywamy
materialnych względem
sumę
wektorów
krętów
poszczególnych punktów materialnych.
ZASADA KRĘTU
Pochodna wektora krętu ogólnego układu po czasie względem
dowolnego bieguna jest równa wektorowi momentu głównego sił
zewnętrznych, działających na ten układ względem tego samego
bieguna.
Kręt ogólny układu punktów materialnych
Postać analityczna tej zasady w układzie współrzędnych x, y, z:
(21)
W przypadku gdy suma momentów sił zewnętrznych działających na układ
jest równa zeru, czyli
kręt ogólny jest wektorem stałym
natomiast
Jest to tzw. zasada zachowania krętu układu punktów materialnych.
Warto podkreślić, że ani siły wewnętrzne, ani ich momenty nie mogą
zmienić krętu ogólnego układu.
Kręt ogólny układu punktów materialnych
  - kręt układu, umieszczonego w początku A ruchomego układu
rA  p
odniesienia ξ, η, ζ względem punktu A
n


 
mi ρi    ρi  – kręt obrotu układu ξ, η, ζ względem punktu A
i 1
n



ρi  mi v wi
– kręt ruchu względnego układu punktów materialnych
i 1
n
n
 
 


mi ρi  v A  m ρS  v A  ρS  m v A – kręt całej masy
i 1
i 1
układu, skupionej
w środku masy, poruszającej się z prędkością środka układu ruchomego,
względem tego środka.



ρi  mi v A 

Kręt ogólny układu punktów materialnych
Omówimy tu dwa charakterystyczne przypadki:
a) Środek układu ruchomego pokrywa się ze środkiem masy układu
punktów materialnych; układ ruchomy wykonuje ruch postępowy.
 
rS  p
– moment względem bieguna stałego O pędu ogólnego,
skupionego w środku masy układu (tu założono w środku
układu ruchomego);


 ρi  mi v wi
n
i 1
– kręt ogólny względem środka masy układu w
wyniku ruchu względnego punktów materialnych.
Kręt ogólny układu punktów materialnych
b) Środek układu ruchomego jest ustalony i pokrywa się ze środkiem


O
,
x
,
y
,
z
układu stałego
czyli rA  0 oraz v A  0
wówczas wzór
sprowadza się do postaci
I w tym przypadku kręt ogólny jest sumą dwu krętów:
- ruchu obrotowego układ ruchomego
- ruchu względnego układu punktów materialnych.
Kręt ogólny układu punktów materialnych
Zakładając w szczególnym przypadku, że punkty materialne połączone

są sztywno z układem ruchomym, czyli v wi  0 otrzymamy
Jest to kręt ciała sztywnego.
Ruch układu o zmiennej masie
Druga zasada dynamiki Newtona dla układu
materialnych – zasada pędu:
Ruch układu o zmiennej masie
Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną
masa dm , określimy elementarną zmianę wektora pędu układu

vb
przy czym

mv S – wektor pędu układu przed oderwaniem się masy dm



m – dm v S – dv S   dmv b – pęd układu po oderwaniu się masy
dm
Ruch układu o zmiennej masie
Uwzględniając wzór
napiszemy, po pominięciu iloczynu różniczek,
gdzie
nazywamy siłą reakcji cząstki oddzielającej się.
Ruch układu o zmiennej masie
W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas
dm j , równanie
napiszemy w ogólniejszej postaci
(22)
gdzie
zaś
– wektor prędkości względnej oddzielającej się
lub dołączającej się masy dm j
Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego,
charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.