Liczby doskona³e referat

Liczby doskonałe
Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e:
Jeśli wziąć dowolnie duŜo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a kaŜda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i
dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnoŜona przez liczbę dwa razy większą od
ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.
Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.
Pierwsza liczba doskonała to 6 :
D={1,2,3,6}
6=1+2+3
Druga liczba doskonała to 28 :
D28={1,2,4,7,14,28}
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Te dwie liczby znane były w staroŜytności. Kabaliści utrzymywali, Ŝe nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a
KsięŜycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy.
Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On teŜ zauwaŜył, Ŝe jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba
postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.
W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: naleŜy obliczać sumy kolejnych
potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... JeŜeli któraś z otrzymanych sum okaŜe się liczbą pierwszą, naleŜy pomnoŜyć ją przez
ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą
Okazuje się, Ŝe w ten sposób moŜna otrzymać kaŜdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, kaŜda liczba doskonała
parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą. Nietrudno pokazać, Ŝe przy tym załoŜeniu równieŜ p jest
liczbą pierwszą – tak więc liczby doskonałe parzyste są bezpośrednio związane z liczbami pierwszymi Mersenne'a
Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później
liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z
odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie
znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa.
.
Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, nie ma teŜ dowodu, Ŝe liczby takie nie istnieją. Euler
udowodnił, Ŝe kaŜda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4l+1.
Wiadomo teŜ, Ŝe jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (dane z roku 1990).
Bibliografia :
http://www.math.edu.pl/index.php?id=liczby-doskonale
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_doskona%C5%82e
Autor :
Marcin Wawrzyk