4.1. Zmienne losowe dyskretne

Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Rachunek prawdopodobieństwa
Rozdział 4. Zmienne losowe
4.1. Zmienne losowe dyskretne.
Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Zmienne losowe dyskretne
Definicja
Zmienną losową, która skupiona jest na co najwyżej przeliczalnej
liczbie wartości nazywamy zmienną losową dyskretną
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Zmienne losowe dyskretne
Definicja
Zmienną losową, która skupiona jest na co najwyżej przeliczalnej
liczbie wartości nazywamy zmienną losową dyskretną
Przykład 1
Które wśród zmiennych:
X – wygrana Bolka w ruletkę (postawił na czerwone);
Y – liczba punktów Lolka przy strzale w tarczę;
Z – odległość strzału Lolka od środka tarczy;
są zmiennymi losowymi dyskretnymi?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Definicja
Dla zmiennej losowej X , dowolną liczbę rzeczywistą a ∈ R taką, że
PX ({a}) = P (X = a) > 0
nazywamy atomem (rozkładu) zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Przypomnienie
Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę funkcję
prawdopodobieństwa (wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich
B(R)) zadaną
wzorem
PX (A) := P
ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A
= P(X ∈ A) = P X −1 (A)
dla dowolnego borelowskiego zbioru A ∈ B(R)
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej
Niech A = {a1 , a2 , . . .} będzie zbiorem wszystkich atomów
dyskretnej zamiennej losowej X . Wtedy PX (A) = P (X ∈ A) = 1 i
aby podać rozkład zmiennej X wystarczy podać wartości:
PX ({a1 }) = P (X = a1 ) ,
PX ({a2 }) = P (X = a2 ) ,
..
.
Dlaczego?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Własności rozkładu zmiennej losowej dyskretnej
Niech A = {a1 , a2 , . . .} będzie zbiorem wszystkich atomów
(rozkładu) zamiennej losowej dyskretnej X . Wtedy
1
PX ({x}) = P (X = x) > 0 dla x ∈ A;
2
P
x∈A PX ({x})
=
P
x∈A P (X
= x) = 1.
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Przykład 2
Podaj rozkład zmiennej X
równej wygranej Bolka w
ruletkę.
Przykład 3
Podaj rozkład zmiennej Y
równej liczbie punktów
zdobytych przez Lolka w rzucie
do celu.
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Histogram
Przykład 2 c.d.
Narysuj histogram zmiennej X równej wygranej Bolka w ruletkę.
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Dystrybuanta
Przypomnienie
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R → R
daną wzorem
F (a) = PX ((−∞, a]) = P (X ¬ a) .
Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej
Dystrybuanta zmiennej losowej F : R → R dyskretnej X skupionej
na zbiorze wartości (atomów) {x1 , x2 , . . .} jest dana wzorem:
F (a) = P (X ¬ a) =
X
xi ¬a
PX ({xi }) =
X
xi ¬a
P (X = xi ) .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Dystrybuanta
F (a) = P (X ¬ a) =
X
xi ¬a
PX ({xi }) =
X
P (X = xi ) .
xi ¬a
Przykład 4
Spójrz na dystrybuantę zmiennej X równej wygranej Bolka w
ruletkę odnieś to co widzisz do powyższego wzoru.
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja/Rozkład
Własności dystrybuanty zmiennej dyskretnej
Przypomnienie
Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności:
1
jest niemalejąca;
2
F (−∞) = limt→−∞ F (t) = 0,
3
F (∞) = limt→∞ F (t) = 1;
4
jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lims→t + F (s)
Własności dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej
W dodatku, jeśli zmienna losowa jest dyskretna i jest skupiona na
zbiorze atomów {x1 , x2 , . . .}, to jej dystrybuanta F
jest funkcją schodkową (przedziałami stałą);
z punktami nieciągłości w x1 , x2 , . . ..
Definicja
Przykłady rozkładów dyskretnych
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. jednopunktowy
Rozkład jednopunktowy. . .
Przykład 5a
W urnie jest n (n ­ s) kul czarnych (i nie ma żadnych innych kul).
Z urny losujemy s kul. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul
czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Przykład 5b
Magik ma jedną monetę, która ma na obu stronach Orła. Rzuca tą
monetą s razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w
trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. jednopunktowy
Rozkład jednopunktowy. . .
. . . jest skupiony w jednym punkcie, powiedzmy s
PX ({s}) = P(X = s) = 1
jeśli X ma taki rozkład, wówczas
1
s
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwupunktowy
Rozkład dwupunktowy (Bernoulliego). . .
Przykład 6a
W urnie jest N kul (N ­ m), z tego m kul czarnych a pozostałe są
białe (gdzie m/N = p). Z urny losujemy jedną kulę. Niech X
będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej
losowej X .
Przykład 6b
Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z
prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą. Niech X będzie
liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj
rozkład zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwupunktowy
Rozkład dwupunktowy (Bernoulliego). . .
. . . jest skupiony na {0, 1},
jest opisywany przez parametr p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1
X ∼ Be(p) gdy
PX ({0}) = P (X = 0) = q = 1 − p,
p
1−p
0
1
PX ({1}) = P (X = 1) = p.
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwumianowy
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Przykład 7a
W urnie jest N kul (N ­ m), z tego m kul czarnych a pozostałe są
białe (gdzie m/N = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem n
razy jedną kulę. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych.
Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Przykład 7b
Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z
prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą n razy. Niech X
będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj
rozkład zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwumianowy
rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Uwagi
W obu powyższych przykładach X oznacza liczbę sukcesów
w schemacie Bernoulliego z n doświadczeniami
i prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1
jaki jest rozkład zmiennej X ?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwumianowy
rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Uwagi
W obu powyższych przykładach X oznacza liczbę sukcesów
w schemacie Bernoulliego z n doświadczeniami
i prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1
jaki jest rozkład zmiennej X ?
X ma rozkład dyskretny skupiony na zbiorze {0, 1, . . . , n}
X ma rozkład dwumianowy,
X ∼ Bin(n, p)
!
PX ({k}) = P(X = k) =
n k
p (1 − p)n−k ,
k
dla k = 0, 1, . . . , n
Definicja
r. dwumianowy
Rozkład dwumianowy
Jeśli X ∼ Bin(n, p), wówczas
najbardziej prawdopodobna wartość
(przynajmniej jeśli (n + 1)p ∈
/ {0, 1, 2, . . . })
to
b(n + 1)pc
Słynne rozkłady dyskretne
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwumianowy
Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, 5
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
b(7 + 1) · 0, 5c = 4
6
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwumianowy
Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, 2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
b(7 + 1) · 0, 2c = 1
6
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwumianowy
Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, 9
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
b(7 + 1) · 0, 9c = 7
6
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona
W urnie jest N kul (N ­ m), z tego m kul czarnych a pozostałe są
białe (gdzie m/N = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem n
razy jedną kulę. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych.
Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z
prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą n razy. Niech X
będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj
rozkład zmiennej losowej X .
X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p). Jak wygląda ten rozkład,
gdy n jest bardzo duże a p bardzo małe, np.
np → λ, gdzie λ–stała i n → ∞?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona
X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz
np ≈ λ, gdzie λ–stała dodatnia i n bardzo duuuuże?
Dla ustalonego k oraz p = pn takiego, że npn → λ, gdy n → ∞
!
P (X = k) =
n k
p (1 − pn )n−k
k n
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona
X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz
np ≈ λ, gdzie λ–stała dodatnia i n bardzo duuuuże?
Dla ustalonego k oraz p = pn takiego, że npn → λ, gdy n → ∞
!
P (X = k) =
=
n k
p (1 − pn )n−k
k n
n!
k!(n − k)!
npn
n
k 1−
npn
n
n−k
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona
X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz
np ≈ λ, gdzie λ–stała dodatnia i n bardzo duuuuże?
Dla ustalonego k oraz p = pn takiego, że npn → λ, gdy n → ∞
!
P (X = k) =
=
n k
p (1 − pn )n−k
k n
n!
k!(n − k)!
npn
n
k 1−
npn
n
n · . . . · (n − k + 1) (npn )k
=
nk
k!
n−k
npn
1−
n
n npn
1−
n
−k
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona
X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz
np ≈ λ, gdzie λ–stała dodatnia i n bardzo duuuuże?
Dla ustalonego k oraz p = pn takiego, że npn → λ, gdy n → ∞
!
P (X = k) =
=
n k
p (1 − pn )n−k
k n
n!
k!(n − k)!
npn
n
k 1−
npn
n
n−k
n · . . . · (n − k + 1) (npn )k
npn
=
1−
k
n
k!
n
k
k
λ
λ
→1·
· e −λ · 1 =
· e −λ .
k!
k!
n npn
1−
n
−k
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona - przykłady c.d.
Przykład 8a
W urnie jest 10000 kul, z tego 1 kula czarna a pozostałe są białe
(tzn. p = m/N = 1/10000). Z urny losujemy kolejno ze
zwracaniem 5000 razy jedną kulę. Niech X będzie liczbą
wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Jakim rozkładem możemy przybliżyć rozkład zmiennej losowej X ?
Przykład 8b
Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z
prawdopodobieństwem p = 1/10000. Magik rzuca monetą 5000
razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie
eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X . Jakim
rozkładem możemy przybliżyć rozkład zmiennej losowej X ?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona
Zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0
ozn. X ∼ Po(λ),
gdy jest skupiona na zbiorze {0, 1, 2, . . . } i
PX ({k}) = P(X = k) = e −λ
λk
k!
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona - inne przykłady
Przykład 8c
Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków,
po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było
ogromne to części jest niezmiernie dużo),
jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona - inne przykłady
Przykład 8c
Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków,
po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było
ogromne to części jest niezmiernie dużo),
jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta?
Przykład 8d
Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów,
którzy przyszli w ciągu dnia do banku;
jaki rozkład ma ta liczba?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona - inne przykłady
Przykład 8c
Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków,
po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było
ogromne to części jest niezmiernie dużo),
jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta?
Przykład 8d
Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów,
którzy przyszli w ciągu dnia do banku;
jaki rozkład ma ta liczba?
ogólnie: mamy dużą liczbę obiektów,
każdy z nich ma małą szansę, że coś ciekawego się z nim stanie,
każdy obiekt jest niezależny,
pytamy: z iloma obiektami coś ciekawego się stało?
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona λ = 0, 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona λ = 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. Poissona
Rozkład Poissona λ = 7
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. geometryczny
Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1. . .
Przykład 9a
W urnie jest N kul (N ­ m), z tego m kul czarnych a pozostałe są
białe (gdzie m/N = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem
jedną kulę, tak długo aż wyciągniemy kulę czarną. Niech X będzie
liczbą wyciągniętych kul. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Przykład 9b
Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z
prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą tak długo aż uzyska
Orła. Niech X będzie liczbą rzutów, które Magik wykonał w
trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. geometryczny
Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1. . .
Uwagi
W obu powyższych przykładach X oznacza liczbę prób
Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1,
wykonanych do uzyskania pierwszego sukcesu.
jaki jest rozkład zmiennej X ?
Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1, (ozn. geom(p))
jest skupiony na zbiorze {1, 2, 3, . . . }
PX ({k}) = P(X = k) = (1 − p)k−1 p,
dla k = 1, 2, 3 . . .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. geometryczny
Rozkład geometryczny p = 0, 9
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. geometryczny
Rozkład geometryczny p = 0, 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. geometryczny
Rozkład geometryczny p = 0, 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwum. ujemny
Rozkład ujemny dwumianowy
Przykład 10a
W urnie jest N kul (N ­ m), z tego m kul czarnych a pozostałe są
białe (gdzie m/N = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem
jedną kulę, tak długo aż po raz r –ty wyciągniemy kulę czarną.
Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul. Podaj rozkład zmiennej
losowej X .
Przykład 10b
Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z
prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą tak długo aż po raz
r –ty uzyska Orła. Niech X będzie liczbą rzutów, które Magik
wykonał trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwum. ujemny
Rozkład ujemny dwumianowy
Rozważamy schemat Bernoulliego
z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p < 1;
czekamy na r -ty sukces.
Ile wykonaliśmy prób?
Zmienna o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami
r ∈ {1, 2, . . . } oraz 0 ¬ p < 1
jest skupiona na zbiorze {r , r + 1, r + 2, . . . },
!
PX ({k}) = P(X = k) =
k −1
(1 − p)k−r p r , dla k = r , r + 1, . . .
r −1
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. dwum. ujemny
Rozkład ujemny dwumianowy
Rozważamy schemat Bernoulliego
z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p < 1;
czekamy na r -ty sukces.
Ile wykonaliśmy prób?
Uwaga
W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny
dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej
liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na
r –tą porażkę. Istnieje prosta zależność między tym rozkładem a
tym zdefiniowanym powyżej. My definiujemy tak, aby łatwiej było
Państwu zauważyć związek między rozkładem geometrycznym a
ujemnym dwumianowym.
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. hipergeom.
Rozkład hipergeometryczny
Przykład 11a
W urnie jest N kul (N ­ m), z tego m kul czarnych a pozostałe są
białe. Z urny losujemy jednocześnie (kolejno bez zwracana) n kul
(n ¬ m, n ¬ N − m). Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul
czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X .
Definicja
Słynne rozkłady dyskretne
r. hipergeom.
Rozkład hipergeometryczny
Mamy N elementów,
spośród których m elementów jest specjalnych;
losujemy n (n ¬ m, N − m) różnych elementów
tzn. losowanie jest bez zwracania / jednocześnie;
jaki rozkład ma liczba wylosowanych specjalnych elementów?
Zmienna losowa o rozkładzie hipergeometrycznym z
parametrami: N, m, n
jest skupiona na zbiorze {0, 1, . . . , n}
PX ({k}) = P(X = k) =
m N−m
k
n−k
N
n
dla k = 0, 1, . . . , n