Kinematyka ruchu obrotowego

1
I. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności.
1. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r  5i  7 j działa siła
F  3i  4 j . Wyznacz wektor momentu tej siły.
2. Cząstka o masie 2 kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem r  5i  7 j ma prędkość



v  6i  7 j . Wyznacz wektor momentu pędu w tym punkcie.
3. Wektor położenia cząstki o masie 2 kg ma postać: r  3i  4 j . Wartość wektora prędkości
cząstki wynosi 20 m/s, natomiast wartość momentu pędu wynosi 100 kgm2/s. Wyznacz kąt
pomiędzy kierunkiem wektorów położenia i prędkości.
4. Punkt materialny o masie 2 kg porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 2 m/s -1 po okręgu
promieniu 20 cm. Wyznacz wartość momentu siły dośrodkowej względem środka okręgu.
5. Bryłę sztywną tworzy kula o promieniu R i masie M, na której wierzchołku postawiono
pionowo pręt o długości L i masie m. Posługując się momentami bezwładności 2M/(5R2) kuli
względem osi przechodzącej przez jej środek oraz momentem bezwładności Ml2/12 pręta
względem jego osi środkowej wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem osi
prostopadłej do pręta i przechodzącej przez: punkt a) styku kuli z podstawą; b) styku kuli
z prętem; c) koniec pręta.
6. Pokazać, że moment bezwładności I dowolnego ciała o masie M względem dowolnej osi jest
równy momentowi bezwładności cienkiej obręczy o masie M i promieniu (I/M)1/2.
7. U sufitu wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się
z sufitem: kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi
M. Promienie: kuli, sfery, walca, cienkiej obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość
R. Która z tych brył ma względem osi obrotu największy/najmniejszy moment bezwładności?
8. Bryłę sztywną tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy
o długości L połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok).
Wyznaczyć momenty bezwładności tej bryły względem osi
obrotu A, B i C zaznaczonych na rysunku. Ws-ka: skorzystać
z twierdzenia Steinera. Względem której z tych osi bryła ta ma
najmniejszy/największy moment bezwładności?
9. Cienki, jednorodny pręt o masie m i długości l obraca się wokół prostopadłej do niego osi. Gdy
oś przechodzi przez koniec pręta, to moment bezwładności wynosi ml2/3. Korzystając
z twierdzenia Steinera wyznacz jego moment bezwładności względem osi przechodzącej przez
środek pręta i do niego prostopadłej.
10. Sztywna konstrukcja (patrz rysunek obok) składa się z kwadratu
o boku a połączonego z cienką obręczą o promieniu R. Jednostka
długości materiału kwadratu i obręczy ma gęstość liniową
λ (jednostką λ jest kg/m). Wyznaczyć moment bezwładności
pokazanej obok na rysunku konstrukcji obracającej się względem osi
zaznaczonej linią przerywaną.
1
2
II. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
10. Koło zamachowe wykonuje początkowo 10 obrotów na sekundę. Po przyłożeniu stałego
momentu hamującego koło to zatrzymuje się po 10 s. Jaka jest bezwzględna wartość
przyspieszenia kątowego w tym ruchu?
11. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi będącej jego osią symetrii.
Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia
kinetyczna Ek. Wyznacz jego moment pędu.
12. Ile wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez
poślizgu po poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s?
13. Przypuśćmy, że bryła z zadania 8. była nieruchoma i znajdowała się w płaszczyźnie poziomej,
a następnie, pod wpływem momentów sił ciężkości, zaczęła opadać obracając się wokół stałej
poziomej osi A. Ile wynosi prędkość kątowa tej bryły w momencie, gdy znajduje się
w płaszczyźnie pionowej?
14. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności
I wirujące z prędkością kątową , a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej
powierzchni?
15. Kula i walec o jednakowych promieniach i masach staczają się bez poślizgu po równi pochyłej
z wysokości h. Które z ciał będzie miało większą prędkość u jej końca?
16. Moment siły o wartości 40 N·m nadaje kołu obracającemu się dookoła osi przechodzącej przez
jego środek przyspieszenie kątowe 10 rad/s2. Wyznacz moment bezwładności koła.
17. Koło rozpędowe o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje z
I, 0
prędkością kątową 0. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f.
F
Z jaką siłą należy przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby
R
zatrzymać je po upływie czasu t?
T
18. Do obwodu koła rowerowego o masie m przyłożono stałą siłę styczną F i
wprawiono je w ruch obrotowy wokół nieruchomej osi. Koło rowerowe należy rozpatrywać jako
cienkościenną obręcz o momencie bezwładności m R 2 . Ile wynosi energia kinetyczna koła po
upływie czasu t od rozpoczęcia działania siły?
19. Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Wiedząc,
że moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej przez jego
koniec jest równy ml2/3, wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w chwili uderzenia
o ziemię.
20. Ciało obraca się z prędkością kątową 6 rad/s wokół sztywno zamocowanej osi. Jego moment
bezwładności względem osi obrotu wynosi 20 kg m2. Ile wynosi jego energia kinetyczna?
21. Podczas odbicia się skoczka do wody od trampoliny prędkość kątowa jego obrotu wokół środka masy
wzrasta od zera do 6,2 rad/s w czasie 220 ms. Obliczyć wartości: a) średniego przyspieszenia kątowego
skoczka, b) średniego momentu siły, działającego na niego ze strony trampoliny, jeśli moment bezwładności
skoczka względem jego środka masy wynosi 10 kg·m2.
22. Jednorodna sfera o masie M, promieniu R może obracać się bez tarcia
wokół pionowej osi (patrz rysunek obok). Linka o znikomo małej masie
jest owinięta wokół sfery w płaszczyźnie równikowej a następnie
przełożona przez krążek o momencie bezwładności I oraz promieniu r, do
której końca jest podczepiona masa m. Krążek obraca się bez tarcia,
a linka nie ślizga się po nim. Jaka będzie prędkość m, gdy przebędzie
drogę h? Ile wynosi przyspieszenie masy m podczas ruchu?
2
3
III. Zasada zachowania momentu pędu
23. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma
w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się
prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu?
Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
23. Na poziomo wirującym pręcie o masie M, przez środek którego przechodzi prostopadle do
ziemi oś, siedzi małpka o masie m. Pręt ma długość l i wiruje z prędkością kątową ω1. Jaka będzie
prędkość kątowa po przejściu małpki do środka?
24. Cienki drewniany pręt o długości l = 1,5 m i masie m = 10 kg został zawieszony pionowo
i może obracać się wokół nieruchomej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej
chwili w środek pręta uderza kula o masie m1 = 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością v1 = 500 m/s
i po uderzeniu pozostaje w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po
uderzeniu kuli. Dane jest przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
25. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty
bezwładności tarcz wynoszą I1, I2 a ich prędkości kątowe ω1 i ω2. Po upadku tarczy górnej na dolną
obie tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznaczyć:
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu;
b) pracę wykonaną przez siły tarcia.
26. Człowiek stoi na osi obrotowego stolika trzymając pionowo nad głową obracające się wokół
pionowej osi (za którą człowiek trzyma oburącz) z prędkością kątową ω0 koło rowerowe
o momencie bezwładności I0. Wyznaczyć prędkość kątową ω1 ruchu obrotowego stolika po:
a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 180o wokół poziomej osi,
b) zahamowaniu koła przez człowieka, jeżeli moment bezwładności człowieka i stolika wynosi I.
27. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej
przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć
prędkość kątową tarczy ω, gdy człowiek zacznie się poruszać wzdłuż jej brzegu z prędkością
v względem niej.
28. Dziewczynka o masie m stoi na brzegu masywnego okrągłego, nieruchomego stołu (tarczy)
o promieniu R i masie M, który może się obracać wokół pionowej osi bez tarcia. W pewnej chwili
dziewczynka rzuca poziomo kamień o masie m0 w kierunku stycznym do zewnętrznej krawędzi
stołu z prędkością v względem ziemi. Ile wynosi po wyrzuceniu kamienia: a) prędkość kątowa
stołu, b) prędkość liniowa dziewczynki?
29. Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej
wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek
gumy do żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi
prędkość CD bezpośrednio po przyklejeniu się gumy?
3
4
42. Wiedząc, że masa Księżyca jest około 81 razy mniejszy od masy Ziemi oraz, że odległość
Ziemi od Księżyca d = 384 000 km, znaleźć punkt P na linii łączącej środki obu ciał niebieskich,
w którym równoważy się siła przyciągania grawitacyjnego Księżyca i Ziemi. Jaki jest potencjał
ziemskiego pola grawitacyjnego w tych punktach?
43. Cztery punktowe identyczne masy M umieszczono w narożach kwadratu o boku a. Wyznaczyć:
a) wektor natężenie i potencjał pola grawitacyjnego w środku kwadratu oraz w środku jednego
z boków, c) energię potencjalną układu. Jaką pracę wykonają siły zewnętrzne, gdy ciała te
przeniesiemy do nieskończoności?
44. Znaleźć prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity
są kołowe. Przyjąć, że masa Ziemi M Z  5,96 1024 kg , odległość między Ziemią a Księżycem
r  3,84 108 m , stała grawitacji G  6,67 1011 m3 /kg  s 2 , odległość Ziemi od Słońca 150 mld
metrów, masa Słońca 2·1030 kg. Ile wynosi energia mechaniczna Ziemi na orbicie okołosłonecznej?
45. Satelita o masie 50 kg krąży wokół planety. Czas obiegu satelity wokół orbity wynosi 6 h.
Planeta przyciąga satelitę siłą 80 N. Ile wynosi promień orbity a ile masa planety?
46. Satelita krąży wokół Ziemi na wysokości h  2R , gdzie R  promień Ziemi. Znajdź prędkość
satelity na orbicie mając dane R  6370 km oraz przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
47. Sztuczny satelita krąży ze stałą prędkością kątową dookoła Ziemi po orbicie kołowej
o promieniu r. Obliczyć okres obiegu satelity. Obliczenia numeryczne wykonać dla r  7938 km ,
promień Ziemi R  6370 km , przyjąć g = 10 m/s2.
48. Wyznaczyć odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego  tj.
poruszającego się w płaszczyźnie równikowej naszej planety  satelity. Przyjąć stałą grawitacji
G  6,67 1011 m3 /kg  s 2 , promień Ziemi R = 6370 km, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
49. Znaleźć masę Ziemi, jeżeli wiadomo, że sztuczny satelita obiega Ziemię na wysokości
h  1000 km w czasie T  106 min . Promień Ziemi R = 6370 km, stała grawitacji
G  6,67 1011 m3 /kg  s 2 .
50. Z jaką prędkością v należy wyrzucić ciało pionowo w górę (przyspieszenie ziemskie wynosi g =
10 m/s2), aby wzniosło się na wysokość h  R (promień Ziemi R  6370 km )?
51. Gwiazda neutronowa ma masę Słońca (2·1030 kg) i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie
pola grawitacyjnego na powierzchni tej gwiazdy, b) ile czasu zajmuje spadek swobodny
z wysokości 1 m?
52. Wyobraź sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce skurczy się do białego karła o
średnicy kuli ziemskiej. Przyjmując niezmienniczość masy Słońca obliczyć jego okres obrotu
wokół własnej osi. Obecny okres obrotu Słońca wynosi 27 dób.
53. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi 27 dób. Po czasie potrzebnym na spalenie
paliwa jądrowego (5·109 lat) Słońce zacznie początkowo pęcznieć (promień Słońca osiągnie
wówczas wartość równą promieniowi orbity ziemskiej 1,5·1011 m), następnie zacznie kurczyć się
pod wpływem grawitacji (zjawisko kolapsu grawitacyjnego). Oszacować promień Słońca, przy
którym zacznie się ono rozpadać. Masa Słońca 2·1030 kg, jego obecny promień 7·108 m. Ile
wynosić będzie okres obrotu Słońca, gdy jego promień osiągnie wartość 1,5·1011 m.
54. Soho  stacja kosmiczna obserwująca non-stop Słońce; bardzo ciekawe dane na webstronie
Solar and Heliosferic Observatory Homepage pod adresem http://sohowww.nascom.nasa.gov/ 
umieszczona jest w punkcie, gdzie równoważą się siły grawitacji Słońca i Ziemi. W jakiej
odległości od Ziemi znajduje się Soho?
Włodzimierz Salejda & Jan Szatkowski
Wrocław, 26 XI 2008
4