Zadania przygotowawcze do II Konkursu Fizycznego

II OTWARTY KONKURS FIZYCZNY SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH
PRZYKŁADOWE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE
Zadanie 1. Rybak płynie łódką w górę rzeki. Przepływając pod mostem gubi zapasowe wiosło, które
wpada do wody. Po godzinie rybak spostrzega brak wiosła. Wraca z powrotem i dogania wiosło
w odległości 6 km poniżej mostu. Jaka jest prędkość rzeki u, jeśli rybak poruszając się zarówno
w górę, jak i w dół rzeki wiosłuje jednakowo?
Zadanie 2. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostoliniowych i wzajemnie prostopadłych
km
km
drogach w kierunku ich przecięcia z prędkościami 50 h i 100 h . W chwili początkowej samochody
znajdowały się odpowiednio w odległościach 100 km i 50 km od skrzyżowania dróg. Wyznacz czas
i położenia samochodów, gdy ich odległość mierzona w linii prostej jest najmniejsza.
Zadanie 3. Ciało spada swobodnie z wierzchołka wieży. W chwili, gdy pokonało ono drogę równą
l metrów, z punktu położonego o h metrów niżej wierzchołka wieży zaczęło spadać również
swobodnie drugie ciało. Oba ciała spadają na ziemię w tej samej chwili. Wykaż, że wysokość wieży
jest równa H =
(l+h)2
4l
metrów.
Zadanie 4. Prosty pręt o długości l = 0,3 m ustawiono pionowo i przestano podtrzymywać. Z jaką
prędkością koniec pręta uderzy w ziemię? Moment bezwładności pręta względem osi do niego
prostopadłej i przechodzącej przez jego środek wyraża się wzorem I =
ml2
.
12
Zadanie 5. Oblicz moment bezwładności kuli o promieniu R i masie m, w środku której wydrążono
kulę o promieniu r. Moment bezwładności pełnej kuli względem osi przechodzącej przez jej środek
2
wyraża się wzorem I = 5 mR2 .
Zadanie 6. Z cienkościennej obręczy o promieniu R i masie m chcemy wykonać wahadło
fizyczne. W tym celu należy dobrać oś obrotu obręczy w pewnej odległości x od jej środka
masy. Połączenie osi z obwodem obręczy będzie zrealizowane przy pomocy sztywnego pręta
o znikomej masie. Załóżmy, że będziemy rozpatrywać tylko takie osie, które są prostopadłe
do płaszczyzny wyznaczonej przez obwód obręczy. Wiedząc, że moment bezwładności
obręczy względem osi przechodzącej przez jej środek wyraża się wzorem I = mR2 , wyznacz
w jakiej odległości od środka masy obręczy należy dobrać oś obrotu, aby okres drgań tak
skonstruowanego wahadła fizycznego był najmniejszy.
oś
x
Zadanie 7. Ciało wykonuje ruch harmoniczny dany równaniem x(t) = 20 cos(2t) [cm]. Znaleźć czas,
po jakim ciało przemieści się z wychylenia x(t1 ) = 10 cm do położenia równowagi.
Zadanie 8. W wierzchołkach trójkąta równobocznego, skonstruowanego z prętów
o zaniedbywalnie małej masie, umieszczono identyczne masy punktowe
m
(patrz rysunek obok). Bok trójkąta ma długość a = 3√3 m. Oblicz okres drgań tak
zbudowanego wahadła fizycznego względem osi przechodzącej przez środek jednego
z boków i prostopadłej do płaszczyzny wyznaczonej przez boki trójkąta. Wzór na okres
drgań wahadła fizycznego ma postać: T =
I
2π√mgd,
a
2
a
2
a
a
gdzie I – moment bezwładności
ciała względem osi obrotu, d - odległość osi obrotu od środka masy. Jak zmieni się
okres drgań wahadła, jeśli przeniesiemy je z powierzchni Ziemi na odległość r od jej
środka taką, że 0 < r < R Z , gdzie R Z - promień Ziemi? Odpowiedź uzasadnij.
m
Zadanie 9. Wózek o masie m znajduje się na szynach zakończonych pętlą o promieniu R. Za wózkiem
zawieszono metalową kulę o masie równej masie wózka na bardzo długiej linie (urządzenie takie
używa się do rozbijania starych murów) o długości l = 5R i odchylono ją od pionu o kąt α tak, że lina
była napięta. Przyjmij, że lina jest nierozciągliwa i jej masa jest zaniedbywanie mała w stosunku do
masy kuli.
a) Po zwolnieniu kuli, uderzyła ona w wózek
centralnie i sprężyście. Wykaż, że po
zderzeniu kula zatrzymała się, natomiast
wózek uzyskał prędkość kuli.
b) Oblicz minimalny kąt o jaki odchylono od
pionu kulę, wiedząc, że wózek pokonał pętlę
bez oderwania się od szyn. Przyjmij, że wózek
poruszał się po szynach bez tarcia.
l
R
m
m
Zadanie 10. Żuraw wieżowy podnosi ciało o masie m = 0,5 t ruchem jednostajnie przyspieszonym ze
m
stałym przyspieszeniem a = 5 s2 na wysokość H = 25 m. Obliczyć moc żurawia.
Zadanie 11. Oblicz, ile razy musiałby skrócić się promień Ziemi, aby nasza planeta stała się czarną
dziurą.
Zadanie 12. Sprawdź, czy kulisty obiekt astronomiczny o objętości V = 7234,56 m3 i gęstości
ρ = 1,244 ∗ 1024
kg
m3
jest czarną dziurą.
Zadanie 13. Na dno sfery o promieniu R nasypano garść piasku. Sfera zaczęła obracać się względem
pionowej osi obrotu z prędkością kątową ω. Wykaż, że wysokość na jakiej znajdował się piasek
g
podczas ruchu sfery można obliczyć ze wzoru h = R − 2. W obliczeniach pomiń tarcie piasku
ω
o sferę.
Zadanie 14. Przy równoczesnym wydawaniu dźwięku kamertonu i struny o długości L otrzymuje się
dudnienia o częstotliwości f. Po skróceniu struny o ΔL tony obu źródeł pokrywają się. Wyznacz
częstotliwość drgań kamertonu.
Zadanie 15. Odległość Jowisza od Słońca w peryhelium wynosi 4,95 AU, natomiast w aphelium
5,46 AU. Wiedząc, że największa prędkość orbitalna Jowisza wynosi 13,72
najmniejszą prędkość planety na jej orbicie.
km
,
s
wyznaczyć
m
Zadanie 16. W wodzie na głębokości h1 = 80 m znajduje się kulisty pęcherzyk powietrza o promieniu
r. Na jakiej głębokości pęcherzyk ten będzie miał dwukrotnie większy promień? Przyjmij, że ciśnienie
kg
atmosferyczne jest równe pa = 1000 hPa, a gęstość wody wynosi ρ = 1000 m3 i nie zmienia się
z głębokością. Przyjmij, że temperatura wody jest stała w całej objętości zbiornika.
Zadanie 17. Prawo Poissona określa przebieg przemiany adiabatycznej gazu doskonałego. W zapisie
C
matematycznym przyjmuje ono postać pV κ = const., gdzie κ = Cp − 𝑤𝑦𝑘ł𝑎𝑑𝑛𝑖𝑘 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑦.
V
Izolowany termicznie cylinder podzielono na dwie części za pomocą ruchomego tłoczka. Tłoczek
posiada również izolację termiczną. W stanie początkowym gaz idealny w każdej z części miał
identyczne parametry: V0 , p0 , T0 . Za pomocą cewki indukcyjnej umieszczonej po wewnętrznej stronie
64
podgrzano wolno gaz w prawej części cylindra, tak że jego ciśnienie wzrosło do p0 . Zakładając, że
27
gaz można traktować jako idealny, dla którego wykładnik adiabaty κ = 1,5, znaleźć w funkcji
parametrów stanu początkowego (czyli V0 , p0 , T0 ):
a) końcową objętość gazu w lewej części cylindra;
b) końcową temperaturę gazu w lewej części cylindra;
c) pracę wykonaną przez gaz w lewej części cylindra.
Zadanie 18. Dwa mole gazu doskonałego dwuatomowego ogrzano adiabatycznie w wyniku czego
jego objętość wzrosła dwukrotnie. Ciśnienie początkowe gazu wynosiło p1 = 2,075 ⋅ 105 Pa,
a temperatura T1 = 200 K. Oblicz temperaturę końcową gazu. Wskazówka: (0,5)1,4 ≈ 0,38.
Zadanie 19. Obliczyć ile razy większą prędkość w danej temperaturze T będą miały cząsteczki wodoru
od atomów helu.
Zadanie 20. Wykaż, że przyrost energii wewnętrznej trójatomowego gazu doskonałego podczas
izobarycznego ogrzewania wyraża się wzorem ∆U = 3p∆V.
Zadanie 21. Wyniki eksperymentów przeprowadzonych w Wielkim Zderzaczu Hadronów (LHC)
Europejskiej Organizacji Badań Jądrowych (CERN) wydają się potwierdzać przewidywania
Modelu Standardowego, że istnieje cząstka nazwana bozonem Higgsa, i że masa tej cząstki wynosi
GeV
ok. 125 c2 (w fizyce cząstek elementarnych masę cząstki podaje się w jednostkach energii
podzielonych przez kwadrat prędkości światła w próżni). Cząstka ta po powstaniu istnieje bardzo
krótko, bo około 10−21 s, a następnie ulega rozpadowi na wiele innych, dobrze znanych cząstek.
Jedną z możliwości (najprostszą) rozpadu bozonu Higgsa jest rozpad na dwa fotony H → γγ.
a) Wyjaśnij dlaczego następuje rozpad na dwa fotony, a nie na jeden. Wskazówka: rozpatrz układ
odniesienia, w którym cząstka się nie porusza.
b) Oblicz długości fal powstających fotonów, w układzie odniesienia, w którym bozon Higgsa
spoczywa. Z jakiego zakresu fal elektromagnetycznych jest długość fal powstałych fotonów?
Zadanie 22. Zgodnie z hipotezą de Broglie’a z elektronem w modelu atomu Bohra stowarzyszona jest
fala materii. Długość danej orbity kołowej elektronu jest całkowitą wielokrotnością długości fali
materii stowarzyszonej z elektronem na tej orbicie.
Wodór w stanie podstawowym oświetlono monochromatyczną wiązką światła ultrafioletowego
o długości fali λ = 97,5 nm. W wyniku pochłonięcia fotonu przez elektron, atom wodoru przeszedł
w stan wzbudzony. Oblicz ilość węzłów fali stojącej stowarzyszonej z elektronem po wzbudzeniu
atomu.
Zadanie 23. Narysuj wykres powiększenia przedmiotu od jego odległości od zwierciadła kulistego
wklęsłego p(x). Na osi OY zaznacz początkową wielkość przedmiotu (p = 1). Na osi OX uwzględnij
następujące przypadki (nie umieszczaj konkretnych wartości liczbowych): 𝑥 < 𝑓, 𝑥 = 𝑓, 𝑓 < 𝑥 < 2𝑓,
𝑥 = 2𝑓, 𝑥 > 2𝑓. Podaj trzy cechy powstałego obrazu w przypadku, gdy 𝑓 < 𝑥 < 2𝑓.
Zadanie 24. Narysuj wykres odległości obrazu przedmiotu od zwierciadła kulistego od odległości tego
przedmiotu od zwierciadła y(x). Na osi OX uwzględnij następujące przypadki (nie umieszczaj
konkretnych wartości liczbowych): x < 𝑓, x = f, f < 𝑥 < 2𝑓, x = 2f, x > 2𝑓.
Zadanie 25. Na rysunku przedstawiono schemat obwodu prądu elektrycznego stałego zawierającego:
baterię o SEM ℰ = 6 V, cztery oporniki o oporach R1 = 2 Ω, R 2 = 3 Ω, R 3 = 6 Ω, R 4 = 4 Ω oraz
2
kondensator o pojemności C = 12 μF. Przyjmij, że opór wewnętrzny baterii wynosi R w = 3 Ω.
Oblicz:
a) natężenie prądu płynącego przez baterię;
b) napięcie na kondensatorze i ładunek zgromadzony na jego okładkach;
c) moce prądów wydzielane na opornikach R1 i R 2 .
d) sumaryczną ilość ciepła wydzielonego w opornikach R1 , R 2 , R 3 i R 4 podczas rozładowywania się
kondensatora po nagłym odłączeniu baterii. Przyjmij, że ciepło nie wydziela się na przewodach.
R1
R2
R3
R4
c
ℰ
Zadanie 26. Dwie kulki o promieniach R1 = 9 cm i R 2 = 6 cm naelektryzowano do potencjałów V1 =
5000 V i V2 = −7500 V. Oblicz potencjał tych kul po ich zetknięciu.
Zadanie 27. Okładki kondensatora naładowanego do napięcia U = 100 V połączono za pomocą
opornika o dużym oporze. W krótkim czasie kondensator rozładował się częściowo. Przez opornik
3
przepłynął ładunek q = 0,005 C i wydzieliło się na nim ciepło Q = J. Oblicz pojemność
8
kondensatora.
Zadanie 28. Jaką różnicę faz będą mieć drgania dwóch punktów znajdujących się w odległości
odpowiednio l1 = 10 m i l2 = 16 m od źródła drgań? Okres drgań wynosi T = 0,04 s, a prędkość
m
rozchodzenia się drgań v = 300 s .
Zadanie 29. Czy fotony 𝛾, powstające w procesie anihilacji pary elektron-pozyton, mogą wytwarzać
pary elektronowo-pozytonowe? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 30. Oblicz liczbę cząstek α emitowanych w czasie t = 1 s przez M = 1 g izotopu uranu 238
92U,
9
dla którego czas połowicznego zaniku wynosi T = 4,51 ∗ 10 lat.
Zadanie 31. Jednorodną, metalową, kwadratową ramkę o boku a
i masie m = 40 g umieszczono w stałym, jednorodnym polu
magnetycznym o wartości indukcji B = 2 mT. W początkowym
położeniu, jak pokazano na rysunku, wektor indukcji pola
magnetycznego ⃗B jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
przez boki ramki. Ramka może obracać się względem osi 𝑂1 𝑂2
przechodzącej przez środki przeciwległych boków i prostopadłej do
⃗ . Następnie podłączono ją do zasilacza prądu stałego, w wyniku
B
czego przez ramkę przepłynął prąd o natężeniu i = 2,5 A.
a) Określ siły, jakie działają na ramkę po włączeniu prądu i zaznacz je na rysunku. Ile wynosi
wypadkowy moment sił działających na ramkę?
π
b) Następnie ramkę wychylono o kąt 2 względem początkowego położenia i puszczono. Uzasadnij, że
ramka będzie wtedy wykonywała oscylacje względem początkowego położenia.
c) Wyznacz zależność 𝜀(𝛼) przyspieszenia kątowego ruchu ramki od kąta o jaki się obróciła po
π
π
wychyleniu jej o kąt . Narysuj wykres 𝜀(𝛼) dla 0 ≤ α ≤ . Moment bezwładności pręta o długości l
2
2
i masie m względem osi do niego prostopadłej i przechodzącej przez jego środek wyraża się wzorem
I=
ml2
12
d) Określ, co należałoby zamontować w przedstawionym układzie, aby ramka mogła obracać się o kąt
2π w sposób ciągły względem osi 𝑂1 𝑂2 , byłaby prostym modelem silnika elektrycznego prądu
stałego.
e) W naszym przypadku ramka zasilana jest ze źródła stałoprądowego. W rzeczywistym silniku jest on
podłączony do źródła o stałej SEM (jest zasilany stałym napięciem). Czy w takim przypadku natężenie
prądu płynącego przez ramkę również będzie stałe? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 32. Na powierzchnię platyny pada w próżni promieniowanie nadfioletowe o długości fali λ =
150 nm. Aby fotoprąd nie płynął, należy przyłożyć napięcie hamujące nie mniejsze niż Uh = 1,8 V.
Oblicz pracę wyjścia elektronu z platyny.
Zadanie 33. W modelu atomu wodoru, podanym przez Bohra, elektron o ładunku e = 1,6 ∗ 10−19 C
porusza się w polu elektrycznym jądra po orbicie kołowej o promieniu R = 5,3 ∗ 10−11 m. Obliczyć
indukcję magnetyczną wytworzoną w środku orbity przez poruszający się elektron. Masa elektronu
wynosi m = 9,1 ∗ 10−31 kg.
Część zamieszczonych zadań pochodzi ze zbiorów:
1) J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski „Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie”, wydanie czwarte zmienione, Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1981;
2) J. Kalisz, M. Massalska, J. Massalski „Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami” cz. I i II, wydanie
dwunaste zmienione, Wydaw. PWN, Warszawa 1987.