Wykład 09
advertisement
Fizyka dla Informatyki Stosowanej Jacek Golak Semestr zimowy 2016/2017 Wykład nr 9 Na poprzednim wykładzie zaczęliśmy zajmować się elektrostatyką. Do tej pory mówiliśmy w zasadzie o ładunkach w próżni ! Najważniejsze elementy ostatniego wykładu to • Własności ładunku elektrycznego • Prawo Coulomba • Zasada superpozycji • Definicja natężenia pola elektrycznego • Wzory na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu ładunków punktowych i ciągłych rozkładów ładunku • Prawo Gaussa Prawo Gaussa: Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą, obejmujący dowolny rozkład ładunku jest niezależny od kształtu tej powierzchni i zależy jedynie od wielkości ładunku położonego wewnątrz powierzchni. Uwaga: Prawo Gaussa jest zawsze spełnione, ale nie zawsze użyteczne ! Aby z prawa Gaussa uzyskać informacje o wektorze natężenia pola elektrycznego, rozkład ładunku musi być odpowiednio symetryczny. Prawa Gaussa można wykorzystać do znalezienia natężenia pola elektrycznego pochodzącego od: • jednorodnie naładowanej powierzchniowo nieskończonej płaszczyzny, • jednorodnie naładowanego objętościowo nieskończenie długiego walca o promieniu R (na zewnątrz i wewnątrz walca), • jednorodnie naładowanej powierzchniowo powierzchni bocznej nieskończonego walca o promieniu R (na zewnątrz i wewnątrz powierzchni walca), • jednorodnie naładowanej liniowo nieskończenie długiej prostoliniowej nici, • jednorodnie naładowanej objętościowo kuli o promieniu R (na zewnątrz i wewnątrz kuli), • jednorodnie naładowanej powierzchniowo sfery o promieniu R (na zewnątrz i wewnątrz sfery), • ładunku punktowego (gdyby prawo Gaussa było znane przed prawem Coulomba ) Prawa Gaussa nie można wykorzystać na przykład do policzenia natężenia pola elektrycznego pochodzącego od jednorodnie naładowanego sześcianu, bo nie istnieje powierzchnia Gaussa, na której spełniony byłby warunek E dS const ? Wracamy do jednorodnie naładowanej objętościowo kuli o promieniu R i całkowitym ładunku Q. (a) Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz kuli. Otaczamy kulę z ładunkiem fikcyjną sferą o promieniu r > R i środku w środku naładowanej kuli. Z symetrii wynika, że w każdym punkcie sfery o promieniu r natężenie pola elektrycznego ma tę samą wartość i jest skierowane wzdłuż promienia. z Ponieważ cały ładunek jest objęty sferą o promieniu r, z prawa Gaussa R dostajemy: P ρ>0 O x r V E y 2 Φ E dS 4 r E 4 kQ S kQ E 2 r (b) Natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli. Fikcyjna sfera ma teraz promieniu r < R i środek w środku naładowanej kuli. Z symetrii wynika, że w każdym punkcie sfery o promieniu r natężenie pola elektrycznego ma tę samą wartość i jest skierowane wzdłuż promienia. Sfera o promieniu r obejmuje tylko część ładunku kuli: O R r ρ E 4 3 2 Φ E dS 4 r E 4 k r 3 S 4 kQ E k r 3 r, 3 R Q 4 3 R 3 Z symetrii zagadnienia i prawa Gaussa wynika, że natężenie pola elektrycznego wewnątrz jednorodnie powierzchniowo naładowanej sfery wynosi zero ! 2 Φ E dS 4 r E 0 E 0 S O r Q wew 0 R 0 W dalszej części wykładu przydatny będzie wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od jednorodnie naładowanej powierzchniowo nieskończonej płaszczyzny. To, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach i można nią obracać wokół dowolnej osi prostopadłej do tej płaszczyzny, prowadzi do wniosku, że natężenie pola elektrycznego musi być prostopadłe do powierzchni. Dla dodatniej gęstości powierzchniowej (σ > 0) wektor natężenia pola elektrycznego jest skierowany od płaszczyzny, a dla ujemnej gęstości powierzchniowej (σ < 0) wektor natężenia pola elektrycznego jest skierowany do płaszczyzny. Jak wybrać zamkniętą powierzchnię Gaussa dla tego problemu ? Bierzemy dowolny graniastosłup o podstawach równoległych do płaszczyzny w taki sposób, by płaszczyzna przecinała go dokładnie w połowie wysokości ! Powierzchnia Gaussa składa się z trzech części: dwóch podstaw graniastosłupa i jego powierzchni bocznej. Dlatego całkowity strumień przez powierzchnię zamkniętą jest sumą trzech składników: E1 S1 S Q S E3 d S3 E3 S E2 1 2 3 S2 1 E1 S1 E1 S1 E S 2 E2 S1 E2 S2 E S d 3 E3 dS3 0 3 0 Ładunek jest rozłożony tylko na płaszczyźnie, więc powierzchnia Gaussa zawiera w swoim wnętrzu ładunek Q= σ S. Korzystając z prawa Gaussa dostajemy: Φ E dS 2 S E 4 k S S E E 2 k ( SI ) 2 0 Wynik jest zupełnie niezależny od wysokości graniastosłupa, więc natężenie pola elektrycznego byłoby po obu stronach płaszczyzny stałym wektorem prostopadłym do płaszczyzny ! O takim polu wektorowym mówimy, że jest jednorodne. Ten wynik (dla nieskończonej płaszczyzny) jest użyteczny także w przypadku, gdy jesteśmy blisko jednorodnie naładowanej płaskiej powierzchni o skończonych rozmiarach z dala od jej brzegów. → kondensator płaski Twierdzenie Gaussa (jedna z wersji ogólnego twierdzenia Stokesa) Oprócz prawa Gaussa istnieje (matematyczne) twierdzenie, które pozwala przy pewnych założeniach zastąpić liczenie strumienia pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą całką objętościową z dywergencji tego pola wektorowego po obszarze objętym powierzchnią: W dS divW dV S Co to jest dywergencja pola wektorowego ? Nie podaję definicji, a tylko zapis we współrzędnych kartezjańskich W Wx ( x, y , z ),Wy ( x, y , z ),Wz ( x, y , z ) Wx Wy Wz div W x y z , , x y z Dywergencja z pola wektorowego czyni funkcję skalarną, która zależy od zmiennych x, y i z. wektorowy operator różniczkowy nabla div W W pole wektorowe: funkcja, która jest wektorem i zależy od zmiennych x, y i z zapis dywergencji w postaci iloczynu skalarnego operatora nabla i pola wektorowego Przykład 1: W x, y , z x y z div W 111 3 x y z Dywergencja jest taka sama w każdym punkcie przestrzeni Linie pola wektorowego W w płaszczyźnie xy uzyskane w programie Mathematica® przy pomocy instrukcji StreamPlot Przykład 2: W 1 x 2 y , 1 x y 2 , 2 z 2 ( 1 x 2 y ) (1 x y 2 ) div W x y (2 z 3 ) 2 x 2 y 6 z 3 z Linie pola wektorowego Ww płaszczyźnie xy uzyskane w programie Mathematica® przy pomocy instrukcji StreamPlot Teraz dla wektora natężenia pola elektrycznego łączymy prawo Gaussa i twierdzenie Gaussa: E dS 4 k ( x, y, z ) dV S E dS div E dV S prawo Gaussa w postaci całkowej, jeśli obszar Ω objęty przez zamkniętą powierzchnię S zawiera objętościowy rozkład ładunku twierdzenie Gaussa ( x, y , z ) div E 4 k ( x, y , z ) ( SI ) 0 prawo Gaussa w postaci różniczkowej Mamy równość całek, ale ponieważ obszar Ω możemy uczynić dowolnie małym, więc równość musi zachodzić dla funkcji podcałkowych ! Ciekawostka: Czy prawo Gaussa w postaci różniczkowej ma sens dla punktowych ładunków ? Rozważmy przypadek jednego ładunku Q, który znajduje się w punkcie r’ : Q E (r ) k 3 (r r ' ) r r' trójwymiarowa funkcja uogólniona (dystrybucja) delta Diraca (r r ' ) div E ( r ) k Q div 3 r r' 3 (r ) Q (r r ' ) 3 k Q 4 ( r r ' ) 4 k ( r ) Ten wynik ma sens: gęstość ładunku jest różna od zera tylko w punkcie r’, a całkowity ładunek wynosi Q : 3 (r )dV Q (r r ' )dV Q R3 R3 Jakie inne własności posiada wektor natężenie pola elektrycznego ? (przydadzą się wiadomości z mechaniki) Gdybyśmy mieli jeden ładunek punktowy, to zachodziłoby: E d r 0, Q dowolny kontur zamkniety dr E gdyż własności matematyczne siły wynikającej z prawa powszechnego ciążenia i siły kulombowskiej są takie same ! Ponieważ kontur jest dowolny, nie jest ważne, czy ładunek znajduje się w początku układu. Ważna jest tylko swoboda wyboru położenia konturu względem ładunku. Co się dzieje, gdy pole pochodzi od układu ładunków ? Q5 dr Q1 Q4 Q2 E Q3 E dr dowolny kontur zamkniety dowolny kontur zamkniety E1 d r dowolny kontur zamkniety E1 E2 ... d r E2 d r ... 0 , dowolny kontur zamkniety ponieważ każda całka po zamkniętym konturze wynosi zero. W takim razie znowu możemy skorzystać z twierdzenia Stokesa, bo znikanie całki po konturze zachodzi dla dowolnie małego konturu i odpowiadającej mu powierzchni. 0 rot E dS rot E 0 E dr kontur zamkniety powierzchnia rozpieta na konturze rotacja Rotacja natężenia pola elektrycznego od statycznego rozkładu ładunków wynosi zero ! Przypominam, jak liczyć rotację: xˆ rot F F x Fx yˆ y Fy zˆ z Fz zapis rotacji we współrzędnych kartezjańskich Po rozpisaniu na składowe xˆ rot F F x Fx yˆ y Fy zˆ z Fz Fz Fy Fy Fx Fx Fz xˆ zˆ yˆ z x y z y x Jakie są konsekwencje znikania rotacji, czyli bezwirowości natężenia pola wektorowego ? Istnienie potencjału ! E grad V ( r ) V ( r ) Dla ładunku rozłożonego w obszarze Ω z gęstością objętościową ρ(x,y,z) mieliśmy: P z Ω r O x dV trójwymiarowy obszar z ładunkiem y ( ) dV E ( r ) k 3 ( r ) r Dla funkcji występującej pod całką występuje następująca zależność: (r ) 1 grad . 3 r r Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że: 1 1 2 2 2 ( x ) ( y ) ( z ) r 1 2 3 oraz, na przykład 1 1 2( x 1 ) x r 2 r 3 W takim razie wzór na natężenie pola elektrycznego możemy zapisać poprzez gradient: ( ) dV E ( r ) grad k r Funkcję skalarną: ( ) dV V ( r ) k r nazywamy potencjałem elektrycznym. . Analogiczne wyrażenia na potencjał uzyskamy dla ciągłych powierzchniowych i liniowych rozkładów ładunku elektrycznego oraz dla układu ładunków punktowych. W szczególności dla pojedynczego ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych: r E kQ 3 r oraz kQ V (r) C, r , gdzie zwykle przyjmujemy C=0, by w nieskończoności potencjał był równy zero. Dla N ładunków q1 , q2 , …, qN rozmieszczonych w przestrzeni, natężenie pola elektrycznego dane jest wzorem: N qi E ( r ) k 3 ( r ri ) i 1 r ri Temu natężeniu pola elektrycznego odpowiada potencjał dany wzorem: N qi V (r ) k i 1 r ri Równanie Poissona i Laplace’a Połączymy różniczkowe prawo Gaussa: div E 4 k i możliwość zapisania natężenia pola elektrycznego przy pomocy potencjału: E grad V (r ) , by dostać równanie na potencjał, div grad V ( r ) 4 k , zwane równaniem Poissona. Zapis przy pomocy operatora nabla: 2 div grad V ( r ) (V ) V ( )V V We współrzędnych kartezjańskich V V V V x x y y z z V V V 2 2 2 x y z 2 2 2 Operator 2 nosi nazwę laplasjanu lub operatora Laplace’a. 2 2 2 x y z 2 bardzo często stosowany zapis 2 2 2 V 4 k ( SI ) 0 2 równanie Poissona W obszarze bez gęstości ładunku równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace’a: 2V 0 Wiemy, że natężenie pola elektrycznego można zapisać przy pomocy potencjału elektrycznego: E grad V (r ) Związek między potencjałem elektrycznym i natężeniem pola elektrycznego można zapisać także w innej, równoważnej postaci jako całkę po dowolnej drodze od OS (wybranego punktu odniesienia, zwykle nieskończoności) do punktu P: P(r ) V (r ) E dl OS Ten wzór jest wygodny, gdy będziemy liczyć minimalną (bez nadawania energii kinetycznej) pracę sił zewnętrznych potrzebną do przeniesienia ładunku q w statycznym polu elektrycznym wytworzonym przez inne nieruchome ładunki. B Q5 dr q E Q1 Q4 Q2 Q3 A B zew B F d l qE d l ( q) E d l B WAzew B A A A A ( q) E d l E d l q V ( B ) V ( A) OS OS B WAzew B WAzew q V ( B ) V ( A) V ( B ) V ( A) B q Mamy więc ważny związek między pracą sił zewnętrznych, a różnicą potencjałów: Różnica potencjałów między punktami A i B jest równa pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku z punktu A do punktu B. Jeśli punkt odniesienia (OS) wybierzemy w nieskończoności, to praca potrzebna, by ładunek przesunąć z nieskończoności do jakiegoś punktu P, jest równa: zew P ( r ) W q V ( r ) V ( ) qV ( r ) E pot ( r ), co potraktujemy jako przepis na energię potencjalną, Epot ! Energia układu ładunków punktowych q2 r12 q1 rij ri rj odległość między dwoma ładunkami Chcemy zbudować układ ładunków punktowych, z zadanymi odległościami między ładunkami. Policzymy pracę potrzebną na utworzenie takiego układu, który powstaje przez kolejne dokładanie ładunków. Na początek do pierwszego ładunku przesuwamy z nieskończoności drugi ładunek. k q1 W12 q2 r12 Teraz do istniejącego układu dwóch ładunków dodajemy z nieskończoności trzeci ładunek, wykonując pracę: k q1 k q2 W123 q3 r13 r23 q2 r23 r12 q1 r13 q3 Gdybyśmy do tak zbudowanego układu chcieli dosunąć czwarty ładunek, to musielibyśmy wykonać pracę: k q1 k q2 k q3 W1234 q4 r14 r24 r34 I tak dalej … Zatrzymajmy się przy trzech ładunkach. Energia takiego układu to suma prac W1+2 oraz W12+3 k q1 k q2 k q1 q3 E123 q2 r12 r13 r23 Powyższe wyrażenie możemy przekształcić do równoważnej postaci: k q1 k q3 k q1 k q2 k k q2 k q3 q2 q3 , E123 q1 2 r12 r13 r23 r23 r12 r13 gdzie każdy nawias okrągły podaje wyrażenie na potencjał wytwarzany przez dwa ładunki w miejscu, gdzie znajduje się trzeci z ładunków. 1 E123 q1V1 q2V2 q3V3 2 Ten wynik można łatwo uogólnić dla układu N ładunków. Otrzymamy wtedy: E12... N 1 N qnVn 2 n 1 Dlatego dla układu N ładunków, z których każdy oddziałuje z (N-1) ładunkami, ale nie oddziałuje ze swym własnym polem elektrycznym, otrzymujemy następujące wyrażenie na energię: E12... N qi q j 1 N N k 2 i 1 j i ri rj Z definicji potencjału: E12... N N qi q j qj 1 N N 1 N k qi k 2 i 1 j i ri rj 2 i 1 j i ri rj N N qj 1 N 1 N qi k qi V j ( ri ) 2 i 1 j i ri rj 2 i 1 j i 1 N qi Vodczuwany ( ri ) 2 i 1 przez qi Dla dowolnego ciągłego rozkładu ładunku (r ) 1 E ( r ) V ( r ) dV 2 całka po obszarze, w którym znajduje się rozkład ładunku Jeśli do poprzedniego wzoru wprowadzimy wyrażenie na potencjał, to otrzymamy całkę sześciokrotną: 1 (r ' ) (r ) E k dV dV ' 2 ' r r' Możemy także w równaniu 1 E V ( r ) ( r ) dV 2 wyrazić gęstość ładunku z równania Poissona: 1 1 E V ( r ) V ( r ) dV 2 4 k Korzystając z twierdzeń analizy wektorowej dostajemy jeszcze inny wzór: 1 1 E 2 4 k 2 E dV R3 całka po obszarze, w którym nie znika natężenie pola elektrycznego: najbezpieczniej całkować po całej przestrzeni Gęstość przestrzenna energii (ilość energii w jednostce objętości) pola elektrycznego dana jest więc wzorem: 1 1 2 1 2 w E ( SI ) 0 E 2 4 k 2 Uwaga: Ta ostatnia postać wzoru na energię, 1 1 E 2 4 k 2 2 1 3 E dV ( SI ) 2 0 3 E dV , R R jest wygodna na przykład, gdy rozważamy falę elektromagnetyczną. W tym przypadku istnieje pole elektryczne bez ładunków elektrycznych. Nie jest to oczywiście problem elektrostatyczny ! Dla jednego przypadku pokażemy równoważność różnych sposobów liczenia energii elektrostatycznej. Będzie to jednorodnie naładowana objętościowo kula o promieniu R i całkowitym ładunku Q. r' Q O R dq ' r dq II sposób: Liczę energię, korzystając z wzoru na natężenie pola elektrycznego. Całka jest liczona osobno w dwóch obszarach ! E2 O r Q R E1 III sposób: Buduję kulę z cienkich warstewek sferycznych o promieniu r i grubości dr. Energia własna takiej warstewki jest zaniedbywalna ! r q dq Jak można zobrazować pole wektorowe ? Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia pola elektrycznego jest wyrysowanie linii pola. Są to linie o tej własności, że wektor natężenia pola elektrycznego jest styczny do linii pola w każdym jej punkcie. Im większa gęstość linii, tym większa wartość natężenia pola elektrycznego. Linie pola dla ładunków pojedynczych. Linie pola dla dwóch ładunków o przeciwnych znakach i tej samej wartości bezwzględnej. (Układ taki nazywamy dipolem elektrycznym.) Linie pola dla dwóch takich samych ładunków dodatnich. Dla dwóch równych ujemnych ładunków zwrot wszystkich linii byłby przeciwny. Linie pola dla dwóch ładunków przeciwnego znaku o nierównej wartości bezwzględnej. Lewy ładunek jest dodatni, bo linie pola z niego wychodzą ! Oprócz linii pola elektrycznego wygodnie jest używać także linii lub powierzchni stałych wartości potencjału elektrycznego, czyli linii lub powierzchni ekwipotencjalnych, gdzie spełnione jest równanie: Ponieważ zachodzi V(x,y,z) const E grad V więc linie pola elektrycznego są prostopadłe do linii lub powierzchni . ekwipotencjalnych. (Podobna dyskusja była na wykładzie przy okazji sił zachowawczych.) Najprostszy przykład to linie pola i linie stałego potencjału dla pojedynczego ładunku punktowego: Polecam notebook ze strony Wolfram Demonstrations Project: http://users.uj.edu.pl/~golak/F16-17/ ElectricFieldLinesDueToACollectionOfPointCharges-author.nb Teraz do próżni wprowadzimy przewodniki. Idealny przewodnik to substancja, która ma nieskończony zapas swobodnych ładunków. (Wiele metali ma własności „prawie idealnych” przewodników.) Taka prosta definicja prowadzido wielu ciekawych wniosków: 1. Wewnątrz przewodnika E 0 . Interesuje nas sytuacja, która zapanuje, gdy skończy się przepływ swobodnych ładunków pod wpływem pola zewnętrznego. Ładunki swobodne ustawiają się w taki sposób, by w przewodniku pole zewnętrzne i pole przesuniętych ładunków swobodnych dawało znikające pole wypadkowe. E0 - - - - ++ Ei E0 Ei 0 + + + + + + + 2. Gęstość ładunku wewnątrz przewodnika jest równa zero. 3. Nieskompensowany ładunek może znajdować się tylko na powierzchni przewodnika. Potencjał w przewodniku jest stały 4. E 0 div E 4 k 0 0 V ( B ) V ( A) E d l 0 B A 5. W pobliżu powierzchni przewodnika natężenie pola elektrycznego jest prostopadłe do powierzchni E 0 6. Ładunek umieszczony na zewnątrz nienaładowanego przewodnika jest przyciągany przez przewodnik. - - - q -- ++ E 0 - ++ + + + + + 7. Co się dzieje, jeśli w „ciele” przewodnika znajduje się wnęka? E0 - - - -- - E 0 E 0 ++ ++ + + + + + We wnęce bez ładunków nie ma pola, a na ściankach wnęki nie występuje ładunek powierzchniowy. (Ekranowanie !) 8. Jeśli we wnęce w „ciele” przewodnika znajduje się ładunek elektryczny, to pole w dalszym ciągu nie występuje w samym przewodniku, ale będzie niezerowe we wnęce, a także na zewnątrz przewodnika. E 0 + + + + - -- - E 0 - E 0q --- - + + + + ++ - E 0 + + + + + + + + E 0 + + + Ciekawostka: Jeśli wewnątrz nienaładowanego przewodnika w kształcie kuli będzie dowolna, nieregularna wnęka, a w tej wnęce ładunek, to pole na zewnątrz kuli będzie takie, jakby pochodziło od ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli, niezależnie od kształtu wnęki i położenia ładunku we wnęce ! 9. Zastosujemy teraz prawo Gaussa do małego fragmentu powierzchni przewodnika z ładunkiem elektrycznym. Tuż przy powierzchni przewodnika na zewnątrz przewodnika natężenie pola elektrycznego jest prostopadłe do powierzchni przewodnika, a wewnątrz przewodnika E 0. Zamkniętą powierzchnię Gaussa stanowi teraz „lokalny” graniastosłup o podstawach prostopadłych do powierzchni przewodnika. Teraz σ może być różne w różnych punktach powierzchni. Φ E dS S E1 4 k S E1 E1 4 k ( SI ) 0 S E1 E2=0 Q= ΔS ΔS1 ΔS1 Pole elektryczne w pobliżu naładowanego przewodnika ma największe natężenie w miejscach o dużej gęstości ładunku ! 10. Nie jest łatwo wyznaczyć gęstość ładunku na powierzchni przewodnika. Wynik dla elipsoidy x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c podano w książce: W. R. Smythe, Static and dynamic electricity, Hemisphere, New York, 1989 [Griffiths]: Q 4 a bc x y z 4 4 4 b c a 2 2 2 1 / 2 , gdzie Q jest całkowitym ładunkiem elipsoidy. W oparciu o ten wzór można pokazać, że najwięcej ładunku gromadzi się na „ostrzach” i w ich pobliżu natężenie pola elektrycznego jest największe. a : b : c 1 : 3 : 5 ( P1 ) : ( P2 ) : ( P3 ) 1 : 3 : 5 P1 (a,0,0) P2 (0, b,0) P3 (0,0, c) W pobliżu tego punktu pole musi być najsilniejsze obrazki elipsoidy z Wikipedii Kondensator Układ dwóch przewodników o przeciwnych ładunkach, +Q i –Q. Q Q V V Ponieważ potencjał elektryczny jest stały dla każdego z przewodników, można jednoznacznie określić różnicę potencjałów między nimi: () U V V V E dl () Czynnik proporcjonalności: Q C , U nazywamy pojemnością układu. Jednostką pojemności jest farad: C F , V czyli kulomb przez wolt. Pojemność zależy od geometrii układu. Mówimy o kondensatorach płaskich, sferycznych, cylindrycznych, … Naładowany kondensator jest magazynem energii elektrostatycznej Jaką pracę należy wykonać, by naładować kondensator ? Jest to praca związana z przenoszeniem ładunku, powiedzmy ujemnego z okładki dodatniej na okładkę ujemną. Trzeba pokonywać odpychanie ze strony już częściowo naładowanej okładki ujemnej ! dq 0 q q Q 2 q q Q dW U ( q) dq dq W dq C C 2C 0 różnica potencjałów przy częściowym naładowaniu kondensatora do ładunku q Kondensator płaski to układ dwóch płaskich i równoległych do siebie przewodników (tzw. okładek) o tej samej powierzchni S, odległych o d. Na przewodnikach znajduje się ładunek całkowity ±Q, rozłożony równomiernie. Zaniedbując efekty brzegowe, liczymy pole między okładkami tak, jakby pochodziło od nieskończonych płaszczyzn, wykorzystując prawo Gaussa. Musimy teraz pamiętać, że natężenie pola elektrycznego jest sumą natężenia od okładki dodatniej i okładki ujemnej ! W obszarze poza okładkami te pola się znoszą, zaś w obszarze między okładkami natężenie pola elektrycznego jest w każdym punkcie takim samym wektorem o długości E 4 k ( SI ) Gęstość powierzchniowa ładunku wynosi: Q 0 S 0 S +Q Q S -Q Ê d Różnica potencjałów między okładkami wynosi: () Qd Q U V V V E dl E d S 0 C () 0 S C d Teraz rozważymy układ dwóch współśrodkowych przewodzących sfer naładowanych odpowiednio ładunkami +Q i –Q, czyli kondensator kulisty E +Q r1 r2 Pole elektryczne w obszarze -Q r r1 r r2 jest takie, jakby pochodziło od punktowego ładunku znajdującego się we wspólnym środku obu sfer. Q Q E k 2 ( SI ) 2 r 4 0 r Różnicę potencjałów między okładkami policzymy, wybierając trajektorię . wzdłuż promienia. () U V V V E dl () Q dr Q dr Q 1 1 2 2 4 0 r2 r 4 0 r1 r 4 0 r2 r1 r1 r2 Q 1 1 Q r2 r1 Q 4 0 r1 r2 4 0 r1 r2 C 4 0 r1 r2 C r2 r1 Niekiedy rozważana jest pojemność pojedynczego przewodnika. Oznacza to wtedy, że drugi przewodnik, z ujemnym ładunkiem, jest wyimaginowana sfera o nieskończonym promieniu, otaczająca dany przewodnik. Taka sfera nie daje wkładu do pola elektrycznego. W przypadku przewodnika o kształcie kuli mielibyśmy Ckula 4 0 r1 r2 lim 4 0 r1 r2 r1 r2 Traktując Ziemię jak przewodzącą kulę o promieniu r1 = 6400 km, dostalibyśmy CZiemi 712 10 F 712 F 6 To powinno nam uzmysłowić, jak olbrzymią pojemnością jest jeden farad ! Przewodząca kula o pojemności jednego farada miałaby promień r 9 109 m Łączenie kondensatorów Połączenie równoległe V1 +Q1 +Q2 C1 V2 +Q3 C2 -Q1 +Q4 C3 -Q2 -Q3 C4 -Q4 Jakim pojedynczym kondensatorem można zastąpić układ pokazany na rysunku ? Pojemność takiego zastępczego kondensatora nazywamy pojemnością zastępczą. V1 +Q C V2 -Q Różnica potencjału U = V1 – V2 jest taka sama na każdym kondensatorze. Zastępczy kondensator też musi być podłączony do tej samej różnicy potencjałów. Całkowity ładunek na jego okładce musi być sumą ładunków na poszczególnych kondensatorach: N N i 1 i 1 Q U C U Ci U Ci N C Ci i 1 Oznacza to, że przy równoległym łączeniu kondensatorów pojemność zastępcza jest sumą pojemności poszczególnych kondensatorów ! Połączenie szeregowe C1 +Q U C2 -Q U1 +Q C3 -Q +Q U2 C4 -Q U3 +Q -Q U4 +Q U C -Q Ładunki na okładkach kondensatorów połączonych szeregowo są jednakowe. Ładunek Q musi być też ładunkiem na okładce zastępczego kondensatora. Całkowita różnica potencjałów jest równa sumie różnic potencjałów między okładkami poszczególnych kondensatorów. N N Q N Q 1 U U i Q C i 1 i 1 Ci i 1 Ci 1 N 1 C i 1 Ci Odwrotność pojemności zastępczej jest równa sumie odwrotności poszczególnych pojemności. Wracamy do równań Poissona i Laplace’a bardzo często stosowany zapis operatora Laplace’a 2 2 2 x y z 2 2 2 2 V 4 k ( SI ) 0 2 równanie Poissona W obszarze bez gęstości ładunku równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace’a: 2V 0 Po co nam te równania, skoro natężenie pola elektrycznego lub potencjał elektryczny możemy liczyć z zasady superpozycji, znając rozkład ładunku ? Odpowiedź: Bo musimy sobie radzić z przewodnikami. W zagadnieniach związanych z przewodnikami rozkład gęstości ładunku często nie jest znany z góry ! Przewodniki są obszarami stałego potencjału, więc wygodniej jest używać równań cząstkowych z określonymi warunkami brzegowymi. Z braku czasu podam tylko jeden prosty przypadek tzw. twierdzenia o jednoznaczności i analityczne rozwiązanie równania Laplace’a w dwóch wymiarach. Równania Poissona i Laplace’a są rozwiązywane przy użyciu bardzo wyrafinowanych narzędzi matematycznych (np. z użyciem własności funkcji zmiennej zespolonej , szeregów Fouriera, funkcji specjalnych) i różnorodnych metod numerycznych (poczynając od prostych iteracji, poprzez skomplikowane metody relaksacyjne itd.) Twierdzenie: W obszarze Ω szukamy funkcji V(x,y,z) spełniającej równanie Laplace’a Funkcjia V(x,y,z) została zadana na powierzchni S Rozwiązanie równania Laplace’a w pewnym obszarze Ω jest określone jednoznacznie, jeśli podana jest wartość funkcji V na powierzchni S będącej brzegiem obszaru Ω. Zaczniemy od przykładu (podstawowego) dla metody obrazów Ładunek w pobliżu nieskończonego płaskiego przewodzącego obszaru o potencjale V=0. Q V ? V 0 Aby znaleźć natężenie pola elektrycznego ponad płaszczyzną, zauważamy, że warunek zerowania się potencjału na płaskiej powierzchni uziemionego przewodnika można uzyskać przez wprowadzenie ładunku –Q, położonego symetrycznie względem powierzchni przewodnika, czyli jakby obrazu zwierciadlanego dla ładunku +Q. Teraz sytuacja wygląda dużo prościej, bo można liczyć natężenie pola elektrycznego dodając natężenia pochodzące od dwóch ładunków. Oczywiście można też sumować potencjały pochodzące od dwóch ładunków. Q V 0 Q Przykład analityczny podamy dla obszaru Ω w postaci prostokąta. Warunki brzegowe są następujące: na pionowych bokach potencjał wynosi zero. Na dolnym boku opisany jest funkcją ψ1(x), a na górnym funkcją ψ2(x) . y b V 0 V 2 ( x) V ? V 0 V 0 2 O a V 1( x) x Szereg Fouriera ! w praktyce suma do nmax n y n (b y ) V ( x, y ) [ An sinh ] , Bn sinh a a n 1 2 n x 1 ( x ) sin An dx , a n b 0 a sinh a a 2 n x 2 ( x ) sin Bn dx a n b 0 a sinh a a Wartości liczbowe a2 b 1 1 ( x ) x (a x ) 2 ( x ) x 3 (a x ) Sprawdzenie zbieżności : Wartość bezwzględna różnicy wyników dla nmax=16 i nmax=17 Polecam notebooki: http://users.uj.edu.pl/~golak/F16-17/laplace_prostokat_wersja_ostateczna.nb http://users.uj.edu.pl/~golak/F1617/laplace_Laplace_obszar_metoda_Jacobiego.nb Najprostszy schemat numeryczny Zaczynamy od aproksymacji pochodnych funkcji jednej zmiennej na siatce o stałym kroku xi i x f ( xi x ) f ( xi ) f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ( x) x x f ( xi ) f ( xi x ) f ( xi ) f ( xi 1 ) f ' ( x) x x Ten ostatni wzór x x jest poza siatką, f xi f xi ale może służyć 2 2 f ' ( x) jako punkt wyjścia dla x drugiej pochodnej Teraz przechodzimy do funkcji dwóch zmiennych i operatora Laplace’a (w dwóch wymiarach, na płaszczyźnie) V V ( x, y ) 2 2 2 2 2 x y V ( xi , y j ) V xi 1 , y j 2V xi , y j V xi 1 , y j x 2 V xi , y j 1 2V xi , y j V xi , y j 1 y 2 y x, V 0 1 V xi , y j V xi 1 , y j V xi 1 , y j 4 V xi , y j 1 V xi , y j 1 Wartość V w danym punkcie jest średnią arytmetyczną wartości w sąsiednich punktach siatki ! W ten sposób dostajemy prosty schemat iteracyjny. Schemat iteracyjny w metodzie Jacobiego: 1 Vnowy xi , y j Vstary xi 1 , y j Vstary xi 1 , y j 4 Vstary xi , y j 1 Vstary xi , y j 1 Iterujemy, dopóki funkcja V przestaje się zmieniać w sposób znaczący w zadanych punktach siatki. Uwaga: w kolejnych iteracjach wartości V w punktach na brzegu obszaru Ω, są zawsze zgodne z warunkami brzegowymi. Zmianie ulegają tylko wartości wewnątrz obszaru Ω, gdzie szukamy V. Przykład: Wyspy niezerowego potencjału w płaskim obszarze prostokątnym. Na brzegach prostokąta potencjał wynosi zero.
