Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 24
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
24. Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.
Sprawdzanie monotoniczności ciągu.
I.
Przypomnij sobie:
1. Co to jest ciąg?
Ciągiem nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich
(czyli dziedziną ciągu jest zbiór N+ ) i oznaczamy (an).
Wartości tej funkcji: a1, a2, a3, a4,...,an,... dla kolejnych liczb naturalnych
nazywamy odpowiednio: pierwszym, drugim, trzecim, czwartym,..., n-tym
wyrazem ciągu.
2. W jaki sposób sprawdzamy monotoniczność ciągu?
Monotoniczność ciągu określamy sprawdzając znak różnicy an1  an :
a. gdy dla dowolnego n różnica ta jest dodatnia, to ciąg jest rosnący,
b. gdy dla dowolnego n różnica ta jest nieujemna, to ciąg jest niemalejący,
c. gdy dla dowolnego n różnica ta jest równa zero, to ciąg jest stały,
d. gdy dla dowolnego n różnica ta jest ujemna, to ciąg jest malejący,
e. gdy dla dowolnego n różnica ta jest niedodatnia, to ciąg jest nierosnący.
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Ciąg (an) określony jest wzorem an  3n  7 . Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów:
a2 , a6 , a8 , a10 .
Rozwiązanie:
Najpierw wyznaczmy poszczególne wyrazy:
a2  3  2  7  6  7  1
a6  3  6  7  18  7  11
a8  3  8  7  24  7  17
a10  3 10  7  30  7  23
a a a a
 1  11  17  23 50
1

 12
Ich średnia arytmetyczna to: 2 6 8 10 
4
4
4
2
1
Odpowiedź: Średnia arytmetyczna tych wyrazów wynosi 12 .
2
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 24
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 2.
Oblicz piąty wyraz ciągu (an), którego suma n początkowych wyrazów określona jest wzorem
S n  2n 2  n .
Rozwiązanie:
S n jest sumą n początkowych wyrazów ciągu (an), czyli S5  a1  a2  a3  a4  a5 oraz
S4  a1  a2  a3  a4 . Możemy więc zapisać, że S5  S 4  a5 .
Jednocześnie z treści zadania wiemy, że S5  2  52  5  2  25  5  50  5  45 , a
S4  2  42  4  2 16  4  32  4  28 . Otrzymujemy więc równość 45  28  a5 , z której
wyliczamy poszukiwany piąty wyraz ciągu: a5  45  28 , czyli a5  17 .
Odpowiedź: Piątym wyrazem ciągu (an) jest 17.
Przykład 3.
Zbadaj monotoniczność ciągu an  określonego wzorem an 
n4
.
n4
Rozwiązanie:
Wyznaczamy (n+1)-szy wyraz ciągu an  :
n  1  4  n  1  4  n  3 oraz różnicę:
an1 
n  1  4 n  1  4 n  5
an1  an 

 

n  3 n  4 n  3n  4 n  4n  5 n 2  4n  3n  12  n 2  5n  4n  20





n  4n  5
n  5 n  4 n  5n  4 n  4n  5
n 2  4n  3n  12  n 2  5n  4n  20
8
.


n  4n  5
n  4n  5
Ponieważ n  N  , to liczby n  4 oraz n  5 są dodatnie. Dzieląc dodatnią liczbę 8 przez
iloczyn liczb dodatnich n  4 oraz n  5 otrzymujemy liczbę dodatnią, tzn. an1  an  0
dla każdej naturalnej dodatniej liczby n.
Zatem ciąg an  jest rosnący.
Odpowiedź: Ciąg an  określony wzorem an 
n4
jest ciągiem rosnącym.
n4
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 24
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 4.
W ciągu określonym wzorem an  3n  1 liczba wyrazów mniejszych od 100 jest równa:
A. 31,
B. 32,
C. 33,
D. 34.
Rozwiązanie:
Trzeba sprawdzić jaki warunek musi spełniać n, aby an  100 . Podstawiamy:
3n 1  100
3n  100  1
3n  101 / : 3
101
2
 33
3
3
Oznacza to, że 33 pierwszych wyrazów ciągu jest mniejszych od 100.
n
Prawidłowa odpowiedź to C.
Przykład 5.
Wykres rosnącego ciągu an  przedstawiono na rysunku:
Rozwiązanie:
Wykres C nie jest wykresem ciągu, bo dziedziną są tu nie tylko liczby naturalne dodatnie.
Wykres A przedstawia ciąg rosnący, a wykres D – ciąg, który nie jest monotoniczny. Ciąg
rosnący przedstawiony jest na wykresie B.
Prawidłowa odpowiedź to B.
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 24
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Ciąg an  określony jest wzorem a n 
5n  8
, gdzie n  N  i n  1. Jeżeli an  2 , to n jest
n7
równe:
A. 1,
B. 2,
C. 3,
D. 6.
Zadanie 2. (1 pkt)
Wyrazami ciągu an  są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3.
ciąg ten jest określony wzorem:
A. an  4n  4 ,
B. an  4n  3 ,
C. an  4n ,
D. an  4n  3 .
Zadanie 3. (1 pkt)
1
W ciągu an  określonym wzorem an   n 2  27 liczba wyrazów nieujemnych jest równa:
3
A. 7,
B. 8,
C. 9,
D. 10.
Zadanie 4. (1 pkt)
Suma n początkowych wyrazów ciągu an  jest określona wzorem S n  n 2  3n . Suma
dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A. -30,
B. -20,
C. 70,
D. 130.
C. niemalejący,
D. nierosnący.
Zadanie 5. (1 pkt)
Ciąg an  określony wzorem an 
A. malejący,
B. rosnący,
n7
jest:
3n