28. Największa odległość komety Halleya od Słońca to L = 35,4 RZS

Wydział Inżynierii Środowiska (IŚ); kierunek IŚ. Lista nr 5 do kursu Fizyka, r. ak. 2014/15.
Lista zawiera zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.
Karta przedmiotu:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fis.pdf; zasady zaliczenia:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/zcis.pdf; zasady zaliczenia egzaminu:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/zeis.pdf; tabele wzorów:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/twmis.pdf; ta lista pod
adresem:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/l2is15.pdf. Studentka/student jest zobowiązana(y) do wydrukowania ww. kartę przedmiotu,
tabelę wzorów, list zadań i przynoszenia tabel i list na zajęcia w portfolio. Lista nr 5 ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy
matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących pola grawitacyjnego z wykorzystaniem dotychczas
zbytych kompetencji. Zadania nierozwiązane na zajęciach, lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów. Brakujące a potrzebne
dane należy samodzielnie znaleźć w tablicach fizycznych lub podręczniku RHW: Masa Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc
3,8·108m, masa Księżyca 7·1022 kg, stała grawitacji 7·10-11m3/kg·s2, odległość Ziemia-Słońce RZS = 1,5·1011m, masa Słońca 2·1030 kg.
28. Największa odległość komety Halleya od Słońca to L = 35,4 RZS, a najmniejsza l = 0,59 RZS. Prędkość
komety w odległości L jest równa 910 m/s. Ile wynosi prędkość komety, gdy jest najbliżej Słońca?
29. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi 27 dób. Po spaleniu paliwa jądrowego (5·109 lat)
Słońce zacznie początkowo pęcznieć (do rozmiaru promienia orbity ziemskiej 1,5·1011 m), następnie
zacznie kurczyć się pod wpływem grawitacji. Oszacować promień Słońca, przy którym zacznie się ono
rozpadać, jeśli jego obecny promień 7·108 m. Ile wynosić będzie okres obrotu Słońca, gdy jego promień
osiągnie wartość 1,5·1011 m?
30. Wyznacz na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca punkt(y), w którym(ch) wartość zerową
przyjmuje: a) natężenie pola grawitacyjnego, b) potencjał pola grawitacyjnego.
31. A) Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku
a. Wyznacz natężenie pola grawitacyjnego w środku jednego z boków trójkąta. Jaką pracę wykonają siły
grawitacyjne, a jaką siła zewnętrza przy przesunięciu jednej z kulek do nieskończoności? Ostatnie
zagadnienie rozwiąż w przypadku 4 kul umieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a.
32. Ciała o masach m i M znajdujące się w spoczynku, gdy dzieli je ogromna odległość, zaczynają
spadać na siebie wzdłuż prostej pod wpływem wzajemnej grawitacji. Wyznacz prędkości mas, gdy dzieli
je odległość d.
33. Z powierzchni planety o masie M i promieniu R wystrzelono pionowo do góry pocisk z prędkością
(GM/R)1/2. Na jaką wysokość wzniesie się pocisk?
34. Wyznacz odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego poruszającego się
w płaszczyźnie równikowej naszej planety − satelity. Przyjąć wartość stałe grawitacji 7·10-11 m3/kg·s2,
promień Ziemi 6400 km, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2. Wyznacz energię mechaniczną satelity
o masie 2 ton w polu grawitacyjnym Ziemi. Zagadnienie rozwiązane w notatkach do wykładów.
W. Salejda
Wrocław, 25 II 2015
Zadania do samodzielnego rozwiązania (siłownia umysłowa)
24
1. Ziemia o masie 6·10 kg porusza się po elipsie wokół Słońca o masie 2·1030 kg. Jej najmniejsza i największa
odległość od Słońca wynoszą odpowiednio 1,49·1011 m i 1,51·1011 m. Wyznacz wartości prędkości Ziemi w tych
punktach. Jaki jest potencjał pola grawitacyjnego Słońca w tych punktach?
1
2. Energia mechaniczna planety A o masie m na orbicie eliptycznej o nieznanej półosi wielkiej a wokół gwiazdy o
masie M >> m wyraża się wzorem Em = –GMm/(2a). Znając m, M, czas T obiegu A wokół gwiazdy, wyznacz Em.
3. Układ podwójny tworzą gwiazdy o masach 3·1030 kg każda, które krążą wokół środka masy po orbitach o promieniach 1011 m. Wyznacz ich prędkości kątowe i liniowe.
4. Dwie identyczne kulki znajdują się na tej samej wysokości. Jedna z nich leży na płaskim poziomym, nieprzewodzącym ciepła stole, a druga wisi na nieprzewodzącej nici. Obu kulkom dostarczmy tej samej ilości ciepła Q.
Która z kul będzie miała wyższą temperaturę?
5. Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało pionowo do góry z prędkością v0. Na jaką wysokość wzniesie się to
ciało? Jaką powinno mieć najmniejszą prędkość początkową, aby nie spadło nigdy na Ziemię?
6. Ziemia obiega wokół Słońca po elipsie. Wektor momentu pędu Ziemi nie zależy od czas. Dlaczego?
7. Oszacować prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity są kołowe.
Przyjąć: masę Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc 3,8·108m, stałą grawitacji 7·10-11m3/kg·s2, odległość
Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masę Słońca 2·1030 kg.
8. Satelita o masie 50 kg okrąża planetę w 6 h. Planeta przyciąga satelitę siłą 80 N. Ile wynosi promień orbity a ile
masa planety?
9.
Gwiazda neutronowa ma masę Słońca i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie pola grawitacyjnego na
powierzchni tej gwiazdy, b) ile czasu zajmuje spadek swobodny z wysokości 1 m?
10. SOHO, to kosmiczna obserwatorium monitorujące non-stop Słońce (patrz Solar and Heliosferic Observatory
Homepage http://sohowww.nascom.nasa.gov/) umieszczone w punkcie, gdzie równoważą się siły grawitacji Słońca
i Ziemi. W jakiej odległości od Słońca orbituje SOHO?
11. Oszacować promienie RCz.D Ziemi, Słońca i kuli o masie 55 kg, przy których stałyby się czarnymi dziurami? Ile
ważyłoby ciało znajdujące się w odległości 2·RCz.D od takich obiektów?
12. Wyznacz prędkości ucieczki dla: a) Słońca, b) białego karła (jedna z gwiazd układu potrójnego Syriusza) o
masie Słońca i promieniu 107 m, c) gwiazdy neutronowej o masie Słońca i promieniu 104 m.
13. Obliczyć i porównać ze sobą siły oddziaływań grawitacyjnych: a) Ziemi i Księżyca; b) Słońca i Księżyca; c)
Ziemi i Słońca. Masy: MZ = 6·1024 kg, MK = 7,4·1022 kg, MS = 2·1030 kg; odległości: d Z−K = 3,8·108m, d
11
−11
3
Z−S
=
2
1,5·10 m; stała grawitacji G = 6,67 · 10 m /(s kg).
14. A) Zakładając, że orbita Ziemi jest kołowa obliczyć jej prędkość orbitalną. B) Wyznaczyć energię
mechaniczną Ziemi w polu grawit. Słońca. C) Obliczyć energię mechaniczną Księżyca w polu grawit. Ziemi.
15. Pokazać, że sztuczny satelita okrąża kulistą planetę po orbicie kołowej nisko leżącej nad powierzchnią planety
w czasie T = [Gρ/(3π)]1/2, gdzie ρ — średnia gęstość masy planety.
16. Satelita znajduje się na kołowej orbicie okołoziemskiej. Jak zależy od promienia r orbity: A) Okres obiegu; B)
Energia kinetyczna satelity; C) Jego moment pędu i prędkość w ruchu po orbicie.
17. Na ciało znajdujące się wewnątrz jednorodnej planety w odległości r od jej środka, przy czym mniejszej od
promienia planety R, której masa wynosi M, działa siła grawitacji pochodząca od masy kuli o promieniu r.
Pokazać, że przyspieszenie grawitacyjne aD na dnie wydrążonego w Ziemi pionowego szybu o głębokości D
wynosi aD = g(1 − D/RZ), gdzie R–promień Ziemi.
18. Zagadnienie egzaminacyjne. Jakie wielkości fizyczne (skalarne i wektorowe) charakteryzują to pole? Opisz
znaczenie zastosowanych w tekście odpowiedzi pojęć, symboli, wielkości fizycznych.
A) Planeta Mars o promieniu RM = 3400 km ma masę M = 6,4·1023 kg i nie posiada praktycznie atmosfery na
powierzchni tej planety ciśnienie wynosi ≈ 800 Pa, co stanowi 8·10-3 ziemskiego ciśnienia atmosferycznego.
A1) Wyznacz natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni Marsa przyjmując G = 7·10-11 N·m2/kg2.
A2) Na jaką wysokość wzniesie się ciało wyrzucone pionowo do góry z powierzchni Marsa z prędkością 30 m/s?
2
A3) Jednym z naturalnych księżyców Marsa jest Fobos, który orbituje wokół Marsa po orbicie o promieniu 9400
km. W jakim czasie Fobos obiega Marsa?
A4) Oblicz pierwszą i drugą prędkość kosmiczną dla Marsa.
A5) Oblicz średnią odległość Marsa od Słońca o masie MS = 2,0·1030 kg, wiedząc, że średnia prędkość orbitalna
Marsa to 24 km/s.
A6) Doba na Marsie trwa 24 h. Oblicz przyspieszenie odśrodkowe na równiku Marsa.
A7) Ciało o małej masie spoczywające na wysokości H = RM/33 spadło swobodnie na powierzchnię Marsa.
Uzasadnij, że prędkość z jaką uderzyło o powierzchnię Marsa należy wyznaczyć ze wzoru
GM (17 ⋅ R M ) .
A8) Wyjaśnij dlaczego płaszczyzna orbity Marsa wokół Słońca nie zmienia swojego położenia w przestrzeni.
A9) Wyobraź sobie, że znajdujesz się na pokładzie stacji planetarnej zbudowanej przez ziemian
stojącej nieruchomo na powierzchni Marsa i mierzysz siłę FA działającą na sprężynę ze strony ciała o
znanej objętości V i gęstości masy ρ zanurzonego w wodzie o gęstości ρw (patrz rysunek obok). Podaj
wzór na obliczenie wartości FA. Czy warunek pływania ciał w wodzie na marsjańskiej stacji jest taki
sam, jak na powierzchni Ziemi, gdzie ma postać ρw ≥ ρ?
A10) Wyprowadź wzory na liniową prędkość i odległość od środka Marsa jego stacjonarnego satelity
przyjmując za dane: M – masę Marsa, czas T trwania doby marsjańskiej, stałą grawitacji G.
A11) Wyobraź sobie, że na pokładzie stacji planetarnej zbudowanej przez ziemian na Marsie spoczywają na
powierzchni stołu trzy identyczne jednorodne kulki o masach m, które są położone na
odcinku o długości 2D, przy czym środkową dzieli od pozostałych odległość D. Jaką
pracę wykonają siły oddziaływań grawitacyjnych tych kulek przy przesunięciu jednej
ze skrajnych kulek do nieskończoności?
A12) Mars Reconnaissance Orbiter to amerykańska naukowo-telekomunikacyjna
sonda kosmiczna (patrz fotografia po prawej stronie), wystrzelona przez NASA w
kierunku Marsa 12.08.2005r, która weszła na orbitę planety 10.03.2006. Sonda ta
okrąża Mars w czasie 114 minut po orbicie kołowej na wysokości 300 km nad powierzchnią Marsa, którego
promień R = 3400 km. Wyznacz na tej podstawie masę Marsa.
19. Zagadnienie egzaminacyjne. W sierpniu 2012 r. na powierzchni Marsa wylądował amerykański łazik Curiosity.
A) W celu wyznaczenia wartości gM natężenia pola grawitacyjnego na powierzchni Marsa, z pokładu Curiosity
wystrzelono pionowo w górę kulkę o masie 0,03 kg z prędkością o wartości 12,4 m/s, której całkowity czas lotu
wyniósł 6,7 s. Pokaż, że dysponując danymi z zadania można oszacować wartość przyspieszenie gM.
B) Wyznacz maksymalną wysokość wzniesienia się kulki
ponad powierzchnię Marsa. Ws-ka: Czas wznoszenia jest
równy czasowi spadania kulki.
C) Tabela zawiera podstawowe dane astronomiczne
dotyczące Marsa. Korzystając z danych w tabeli oszacuj:
C1) Czas trwania roku marsjańskiego. Jako jednostkę
miary przyjmij rok ziemski, w dobrym przybliżeniu równy
π⋅107 s (błąd względny tego przybliżenia 0,5%).
C2) Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Marsa.
C3) Prędkość ucieczki, tj. wartość II prędkości kosmicznej
Marsa.
C4) Wartość ciśnienia atmosferycznego p na powierzchni Marsa wiedząc, że jeden mol CO2 (główny składnik
marsjańskiej atmosfery przy ciśnieniu p na Marsie i temperaturze 210 K zajmuje objętość 2,2 m3. Ws-ka:
Potraktuj CO2 jako gaz idealny.
19. Zagadnienie egzaminacyjne.Opisz sens fizyczny praw Keplera i dwa spośród nich (nie dotyczące torów planet)
udowodnij. Wyjaśnij, dlaczego wartość prędkości Marsa na orbicie okołosłonecznej w rzeczywistości nie jest stała.
A) Zakładając, że orbita Marsa jest okręgiem o promieniu
G = 6,7 ⋅ 10−11 m3/kg/s2 wyznacz:
3
227, 9 ⋅ 109 m, znając masę Słońca 2 ⋅ 1030 kg,
B1) Czas trwania „jednego roku marsjańskiego”, tj. jednego obiegu Słońca przez tę planetę.
B2) Wartość wektora natężenia pola grawitacyjnego na powierzchni Marsa, którego masa jest równa 6, 4 ⋅ 10 23 kg.
B3) Całkowitą energię mechaniczną Marsa w polu grawitacyjnym Słońca.
B4) Pierwszą i drugą prędkość kosmiczną dla tej planety, jeśli jej średnica wynosi 6780 km.
B5) Czas trwania jednej doby marsjańskiej wyrażony w godzinach i minutach, jeśli prędkość punktów na równiku
wynosi 241 m/s.
B6) Po upływie czasu t położenia Ziemi i Marsa na orbicie okołosłonecznej zajmują cyklicznie w przestrzeni
położenia leżące na prostej przechodzącej przez planety i Słońce. Oblicz wartość t w latach ziemskich.
B7) Wyznacz odległość d od środka Marsa i prędkość liniową V umieszczonego na orbicie wokół Marsa satelity
geostacjonarnego.
B8) Poszukiwacze planet pozasłonecznych twierdzą, że na chwilę obecną odkryli ponad 1400 takich obiektów
krążących wokół gwiazdy (lub gwiazd) innej niż Słońce. Jedna z takich planet kulistych ma promień R i
przyspieszenie swobodnego spadku na biegunie tej planety jest o ∆g większe od przyspieszenia swobodnego
spadku na jej równiku. Uzasadnij, że okres obrotu tej planety wokół własnej osi wyraża się wzorem
T = 2π
R
.
∆g
W. Salejda
Wrocław, 25 lutego 2015
4