Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:51 AM
Page 1
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH
OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010
(êród∏o: CKE)
1. WARTOÂå BEZWZGL¢DNA LICZBY
WartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
x
dla x H 0
x = ) - x dla x < 0
Liczba x jest to odleg∏oÊç na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególnoÊci:
x H0
-x = x
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
x+y G x + y
x-y G x + y
x$y = x $ y
x
x
Ponadto, jeÊli y ! 0, to y = y
Dla dowolnych liczb a oraz r H 0 mamy warunki równowa˝ne:
x-a Gr+a-rGxGa+r
x - a H r + x G a - r lub x H a + r
2. POT¢GI I PIERWASTKI
Niech n b´dzie liczbà ca∏kowità dodatnià. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tà pot´g´:
n
a = a $ ... $ a
\
n razy
n
Pierwiastkiem arytmetycznym n a stopnia n z liczby a H 0 nazywamy liczb´ b H 0 takà, ˝e b = a.
2
W szczególnoÊci, dla dowolnej liczby a zachodzi równoÊç: a = a .
Je˝eli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to a oznacza liczb´ b < 0 takà, ˝e b = a.
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejà.
n
n
Niech m, n b´dà liczbami ca∏kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
-n
0
a = 1n oraz a = 1
– dla a ! 0:
a
m
m
– dla a H 0: a n = n a
m
– dla a > 0: a n = 1 m
n
a
Niech r, s b´dà dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeÊli a > 0 i b > 0, to zachodzà równoÊci:
r
r
r
s
r
r
s
r + s
r
r $ s
r
r
a
a
a = ar - s
a $a =a
ba l = a
d n = r
_a $ bi = a $ b
s
b
a
b
Je˝eli wyk∏adniki r, s sà liczbami ca∏kowitymi, to powy˝sze wzory obowiàzujà dla wszystkich liczb a ! 0 i b ! 0.
3. LOGARYTMY
Niech a > 0 i a ! 1. Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wyk∏adnik b pot´gi, do której nale˝y podnieÊç
podstaw´ a, aby otrzymaç liczb´ c:
log c
b
log a c = b + a = c
Równowa˝nie: a a = c
Dla dowolnych liczb x > 0, y > 0 oraz r zachodzà wzory:
r
log a _ x $ y i = log a x + log a y
log a x = r $ log a x
log a xy = log a x - log a y
Wzór na zamian´ podstawy logarytmu:
log a c
Je˝eli a > 0, a ! 1, b > 0, b ! 1 oraz c > 0, to log b c =
log a b
log x oraz lg x oznacza log 10 x.
4. SILNIA. WSPÓ¸CZYNNIK DWUMIANOWY
Silnià liczby ca∏kowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb ca∏kowitych od 1 do n w∏àcznie:
n! = 1 $ 2 $ ... $ n
Ponadto przyjmujemy umow´, ˝e 0! = 1
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej n H 0 zachodzi zwiàzek: _ n + 1i ! = n! $ _ n + 1i
n
Dla liczb ca∏kowitych n, k spe∏niajàcych warunki 0 G k G n definiujemy wspó∏czynnik dwumianowy d k n (symbol Newtona):
n
n
!
dkn =
k! _ n - k i !
Zachodzà równoÊci:
n _ n - 1i_ n - 2 i $ ... $ _ n - k + 1i
n
n
n
n
n
dkn =
dk n = dn - kn
d0 n = 1
dnn = 1
1 $ 2 $ 3 $ ... $ k
1
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:52 AM
Page 2
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
n
n - 1
n n
n n-1
n n-k k
n
n n
b + ... + d k n a
b + ... + d n - 1 n ab
+ dnn b
_ a + b i = d 0 n a + d1 n a
6. WZORY SKRÓCONEGO MNO˚ENIA
Dla dowolnych liczb a, b:
_ a + b i = a + 2ab + b
2
2
_ a + b i = a + 3a b + 3ab + b
3
2
3
2
2
3
_ a - b i = a - 2ab + b
_ a - b i = a - 3a b + 3ab - b
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:
2
2
a - b = _ a - b ib a
n
n
3
2
n - 1
+a
n - 2
b + ... + a
n - k
b
k - 1
3
2
2
+ ... + ab
n - 2
+b
3
n - 1
l
W szczególnoÊci:
a - b = _ a - b i_ a + b i
a + b = _ a + b ib a - ab + b l
a - b = _ a - b ib a + ab + b l
a - 1 = _ a - 1i _ a + 1i
a + 1 = _ a + 1i b a - a + 1 l
a - 1 = _ a - 1i b a + a + 1 l
2
2
3
2
3
3
a - 1 = _ a - 1ib1 + a + ... + a
n
n - 1
2
2
2
3
3
3
2
2
2
l
7. CIÑGI
■ Ciàg arytmetyczny
Wzór na n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego ` a n j o pierwszym wyrazie a1 i ró˝nicy r:
a n = a1 + _ n - 1i r
Wzór na sum´ S n = a1 + a2 + ... + a n poczàtkowych n wyrazów ciàgu arytmetycznego:
2a + _ n - 1i r
a + an
Sn = 1
$n= 1
$n
2
2
Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu arytmetycznego zachodzi zwiàzek:
a
+ an + 1
an = n - 1
dla n H 2
2
■ Ciàg geometryczny
Wzór na n-ty wyraz ciàgu geometrycznego ` a n j o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:
n -1
a n = a1 $ q
dla n H 2
Wzór na sum´ S n = a1 + a2 + ... + a n poczàtkowych n wyrazów ciàgu geometrycznego:
Z
n
1-q
]]
S n = [ a1 $ 1 - q dla q ! 1
] n $ a1
dla q = 1
\
Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu geometrycznego zachodzi zwiàzek:
2
a n = a n - 1 $ a n + 1 dla n H 2
■ Procent sk∏adany
Je˝eli kapita∏ poczàtkowy K z∏o˝ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapita∏
koƒcowy K n wyra˝a si´ wzorem:
n
p
K n = K $ e1 +
o
100
8. FUNKCJA KWADRATOWA
Postaç ogólna funkcji kwadratowej: f _ x i = ax + bx + c, a ! 0, x ! R.
Wzór ka˝dej funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci kanonicznej:
2
2
f _ x i = a _ x - p i + q, gdzie p = - b , q = - Δ , Δ = b - 4ac
4a
2a
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzcho∏ku w punkcie o wspó∏rz´dnych _ p, q i. Ramiona paraboli skierowane
sà do góry, gdy a > 0, do do∏u, gdy a < 0.
2
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f _ x i = ax + bx + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczy2
2
2
wistych rozwiàzaƒ równania ax + bx + c = 0), zale˝y od wyró˝nika Δ = b - 4ac:
– je˝eli Δ < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiàzaƒ rzeczywistych),
– je˝eli Δ = 0, to funkcja kwadratowa ma dok∏adnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dok∏adnie jedno rozwiàzanie rzeczywiste): x1 = x 2 = - b
2a
– je˝eli Δ > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa ró˝ne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiàzania rzeczywiste):
-b - Δ
-b + Δ
x1 =
, x2 =
2a
2a
JeÊli Δ H 0, to wzór funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci iloczynowej:
f _ x i = a ` x - x1 j` x - x 2 j
2
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:52 AM
Page 3
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
Wzory Viete’a
Je˝eli Δ H 0, to
x1 + x 2 = -ab
x1 $ x 2 = ac
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
■ Odcinek
D∏ugoÊç odcinka o koƒcach w punktach A = ` x A , y A j, B = ` x B , y B j dana jest wzorem:
AB = ` x B - x A j + ` y B - y A j
2
Y
B = (xB, yB)
2
Jx +x y +y N
B
BO
, A
Wspó∏rz´dne Êrodka odcinka AB: KK A
2
2 O
P
L
■ Wektory
A = (xA, yA)
0
X
Wspó∏rz´dne wektora AB:
AB = 8 x B - x A , y B - y A B
Je˝eli u = 8 u1 , u2 B, v = 8 v 1 , v 2 B sà wektorami, zaÊ a jest liczbà, to
u + v = 8 u1 + v 1 , u2 + v 2 B
a $ u = 8 a $ u1 , a $ u2 B
■ Prosta
Równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0,
2
2
gdzie A + B ! 0 (tj. wspó∏czynniki A, B nie sà równoczeÊnie równe 0).
Je˝eli A = 0, to prosta jest równoleg∏a do osi OX; je˝eli B = 0, to prosta jest równoleg∏a do osi
OY; je˝eli C = 0, to prosta przechodzi przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych.
α
Je˝eli prosta nie jest równoleg∏a do osi OY , to ma ona równanie kierunkowe:
y = ax + b
Liczba a to wspó∏czynnik kierunkowy prostej: a = tg a
Wspó∏czynnik b wyznacza na osi OY punkt, w którym dana prosta jà przecina.
Równanie kierunkowe prostej o wspó∏czynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P = ` x 0 , y0 j:
Y
b
y = ax + b
0
X
y = a ` x - x0 j + y0
Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = ` x A , y A j, B = ` x B , y B j:
` y - y A j` x B - x A j - ` y B - y A j` x - x A j = 0
■ Prosta i punkt
Odleg∏oÊç punktu P = ` x 0 , y0 j od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:
Ax0 + By0 + C
2
2
A +B
■ Para prostych
Dwie proste o równaniach kierunkowych y = a1 x + b1, y = a2 x + b2 spe∏niajà jeden z nast´pujàcych warunków:
– sà równoleg∏e, gdy a1 = a2
– sà prostopad∏e, gdy a1 a2 = -1
a1 - a2
– tworzà kàt ostry { i tg { =
1 + a1 a2
Dwie proste o równaniach ogólnych: A1 x + B1 y + C 1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 = 0
– sà równoleg∏e, gdy A1 B2 - A2 B1 = 0
– sà prostopad∏e, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0
A B - A2 B1
– tworzà kàt ostry { i tg { = 1 2
A1 A2 + B1 B2
■ Trójkàt
Pole trójkàta ABC o wierzcho∏kach A = ` x A , y A j, B = ` x B, y B j, C = ` x C , y C j, jest dane wzorem:
PDABC = 1 ` x B - x A j` y C - y A j - ` y B - y A j` x C - x A j
2
Jx +x +x y +y +y N
B
C
B
C O
, A
Ârodek ci´˝koÊci trójkàta ABC, czyli punkt przeci´cia jego Êrodkowych, ma wspó∏rz´dne: KK A
O
3
3
L
P
■ Przekszta∏cenia geometryczne
– przesuni´cie o wektor u = 7 a, b A przekszta∏ca punkt A = _ x, y i na punkt A' = _ x + a, y + b i
– symetria wyglàdem osi OX przekszta∏ca punkt A = _ x, y i na punkt A' = _ x, - y i
– symetria wzgl´dem osi OY przekszta∏ca punkt A = _ x, y i na punkt A' = _ - x, y i
– symetria wzgl´dem punktu _ a, b i przekszta∏ca punkt A = _ x, y i na punkt A' = _ 2a - x, 2b - y i
– jednok∏adnoÊç o Êrodku w punkcie _ 0, 0 i i skali s ! 0 przekszta∏ca punkt A = _ x, y i na punkt A' = _ sx, sy i
■ Równanie okr´gu
Równanie okr´gu o Êrodku w punkcie S = _ a, b i i promieniu r > 0:
_ x - a i + _ y - b i = r lub x + y - 2ax - 2by + c = 0, gdy r = a + b - c > 0
2
2
2
2
2
2
2
2
3
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:52 AM
Page 4
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
10. PLANIMETRIA
■ Cechy przystawania trójkàtów
To, ˝e dwa trójkàty ABC i DEF sà przystajàce
C
F
_ DABC / DDEF i, mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej
z nast´pujàcych cech przystawania trójkàtów:
– cecha przystawania „bok – bok – bok”:
odpowiadajàce sobie boki obu trójkàtów majà te same
A
B
D
E
d∏ugoÊci: AB = DE , AC = DF , BC = EF .
– cecha przystawania „bok – kàt – bok”:
dwa boki jednego trójkàta sà równe odpowiadajàcym im bokom drugiego trójkàta oraz kàt zawarty mi´dzy tymi bokami jednego trójkàta ma takà samà miar´ jak odpowiadajàcy mu kàt drugiego trójkàta, np. AB = DE , AC = DF , ]BAC = ]EDF
– cecha przystawania „kàt – bok – kàt”:
jeden bok jednego trójkàta ma t´ samà d∏ugoÊç, co odpowiadajàcy mu bok drugiego trójkàta oraz miary odpowiadajàcych sobie kàtów obu trójkàtów, przyleg∏ych do boku, sà równe, np. AB = DE , ]BAC = ]EDF , ]ABC = ]DEF
■ Cechy podobieƒstwa trójkàtów
C
To, ˝e dwa trójkàty ABC i DEF sà podobne _ DABC~DDEF i,
F
mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej z nast´pujàcych
cech podobieƒstwa trójkàtów:
– cecha podobieƒstwa „bok – bok – bok”:
d∏ugoÊci boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do
A
B
D
E
odpowiednich d∏ugoÊci boków drugiego trójkàta, np.
AB = AC = BC
DE
DF
EF
– cecha podobieƒstwa „bok – kàt – bok”:
d∏ugoÊci dwóch boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do odpowiednich d∏ugoÊci dwóch boków drugiego trójkàta i kàty
AB
AC
=
, ]BAC = ]EDF
mi´dzy tymi parami boków sà przystajàce, np.
DE
DF
– cecha podobieƒstwa „kàt – kàt – kàt”:
dwa kàty jednego trójkàta sà przystajàce do odpowiednich dwóch kàtów drugiego trójkàta (wi´c te˝ i trzecie kàty obu trójkàtów sà przystajàce): ]BAC = ]EDF , ]ABC = ]DEF , ]ACB = ]DFE
Przyjmujemy oznaczenia w trójkàcie ABC:
C
a, b, c – d∏ugoÊci boków, le˝àcych odpowiednio naprzeciwko wierzcho∏ków A, B, C
c
2p = a + b + c – obwód trójkàta
b
a
a, b, c – miary kàtów przy wierzcho∏kach A, B, C
h a, h b, h c – wysokoÊci opuszczone z wierzcho∏ków A, B, C
b
a
R, r – promienie okr´gów opisanego i wpisanego
c
A
B
■ Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
2
2
2
W trójkàcie ABC kàt c jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a + b = c .
■ Zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym
Za∏ó˝my, ˝e kàt c jest prosty. Wówczas:
2
h c = AD $ DB
h c = ab
a = c $ sin a = c $ cos b
c
1
R= 1 c
r= a+b-c =p-c
a = b $ tg a = b $
2
2
tg b
■ Twierdzenie sinusów
a = b = c = 2R
sin a sin b sin c
■ Twierdzenie cosinusów
2
2
2
2
2
2
C
c
b
hc
b
a
c
A
2
2
2
D
a = b + c - 2bc cos a
b = a + c - 2ac cos b
c = a + b - 2ab cos c
■ Trójkàt równoboczny
a – d∏ugoÊç boku, h – wysokoÊç trójkàta
2
a 3
a 3
h=
PD =
4
2
■ Wzory na pole trójkàta
PDABC = 1 $ a $ h a = 1 $ b $ h b = 1 $ c $ h c
PDABC = 1 a $ b $ sin c
2
2
2
2
2 sin b $ sin c
2
PDABC = 1 a
PDABC = abc = rp = p _ p - a i_ p - b i_ p - c i
= 2R $ sin a $ sin b $ sin c
4R
2
sin a
■ Twierdzenie Talesa
OA
OB
=
.
Je˝eli proste równoleg∏e AA' i BB' przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie O, to
OA'
OB'
B
B
O
4
A
A'
A'
B'
O
A
a
B'
B
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:52 AM
Page 5
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
■ Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Je˝eli proste AA' i BB' przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie O oraz
OA
OA'
=
OB
OB'
, to proste AA' i BB' sà równoleg∏e.
■ Czworokàty
b
D
Trapez
Czworokàt, który ma co najmniej jednà par´ boków równoleg∏ych. Wzór na pole trapezu:
P= a+b $h
2
C
h
E
A
B
a
C
D
h
A
a
Równoleg∏obok
Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych.
Wzory na pole równoleg∏oboku:
P = ah = a $ b $ sin a = 1 $ AC $ BD $ sin {
2
b
{
B
a
C
D
Romb
Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych jednakowej d∏ugoÊci.
Wzory na pole rombu:
2
P = ah = a $ sin a = 1 $ AC $ BD
2
h
a
A
a
B
D
C
A
Deltoid
Czworokàt, który ma oÊ symetrii, zawierajàcà jednà z przekàtnych. Wzór na pole deltoidu:
P = 1 $ AC $ BD
2
B
r
Ko∏o
2
Wzór na pole ko∏a o promieniu r: P = rr
Obwód ko∏a o promieniu r: Obw. = 2rr
O
Wycinek ko∏a
Wzór na pole wycinka ko∏a o promieniu r i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach:
2
P = rr $ a
360c
D∏ugoÊç ∏uku wycinka ko∏a o promieniu r i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach:
l = 2rr a
360c
a
A
r
O a
B
■ Kàty w okr´gu
Miara kàta wpisanego w okràg jest równa po∏owie miary kàta Êrodkowego, opartego na tym samym ∏uku.
Miary kàtów wpisanych w okràg, opartych na tym samym ∏uku, sà równe.
O
2a
■ Twierdzenie o kàcie mi´dzy stycznà i ci´ciwà
B
O
A
C
C
Dany jest okràg o Êrodku w punkcie O i jego ci´ciwa
AB. Prosta AC jest styczna do tego okr´gu w punkcie A.
Wtedy ]AOB = 2 $ ]CAB , przy czym wybieramy ten
z kàtów Êrodkowych AOB, który jest oparty na ∏uku
znajdujàcym si´ wewnàtrz kàta CAB.
A
■ Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane sà: prosta przecinajàca okràg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego
okr´gu w punkcie C. Je˝eli proste te przecinajà si´ w punkcie P, to PA $ PB = PC
C
A
B
2
C
c
b
B
B
A
B
O
a
a
P
■ Okràg opisany na czworokàcie
Na czworokàcie mo˝na opisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwleg∏ych
kàtów wewn´trznych sà równe 180c:
a + c = b + d = 180c
D d
a
A
c
■ Okràg wpisany w czworokàt
W czworokàt wypuk∏y mo˝na wpisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy d∏ugoÊci jego przeciwleg∏ych boków sà równe:
a+c=b+d
5
C
D
r
b
d
B
A
a
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:52 AM
Page 6
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
11. STEREOMETRIA
■ Twierdzenie o trzech prostych prostopad∏ych
Prosta k przebija p∏aszczyzn´ w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokàtnym prostej k na
t´ p∏aszczyzn´. Prosta m le˝y na tej p∏aszczyênie i przechodzi przez punkt P. Wówczas prosta m jest prostopad∏a do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopad∏a do prostej l.
Oznaczenia
P – pole powierzchni ca∏kowitej
Pb – pole powierzchni bocznej
Pp – pole powierzchni podstawy
V – obj´toÊç
H
G
E
■ Prostopad∏oÊcian
P = 2 _ ab + bc + ac i
V = abc
gdzie a, b, c sà d∏ugoÊciami
kraw´dzi prostopad∏oÊcianu
F
c
D
A
C
a
B
I
J
■ Walec
Pb = 2rrh
P = 2rr _ r + h i
h
2
V = rr h
gdzie r jest promieniem
podstawy, h wysokoÊcià walca
r
O
■ Graniastos∏up prosty
Pb = 2p $ h
V = Pp $ h
gdzie 2p jest obwodem podstawy graniastos∏upa
■ Sto˝ek
Pb = rrl
P = rr _ r + l i
2
V = 1 rr h
3
gdzie r jest promieniem
podstawy, h wysokoÊcià, l
d∏ugoÊcià tworzàcej sto˝ka
D
l
h
O
r
O
r
C
A
m
P
S
H
h
E
l
b
G
F
k
B
S
h
E
D
A
■ Kula
■ Ostros∏up
V = 1 Pp $ h
3
gdzie h jest wysokoÊcià
ostros∏upa
2
P = 4rr
3
V = 4 rr
3
gdzie r jest promieniem kuli
C
B
Y
12. TRYGONOMETRIA
■ Definicje funkcji trygonometrycznych
y
sin a = r
cos a = xr
2
2
gdzie r = x + y > 0 jest promieniem wodzàcym punktu M
■ Wykresy funkcji trygonometrycznych
Y
–r
– –1 r
2
M =(x, y)
r
y
tg a = x , gdy x ! 0
α
–1 r
2
0
–1
r
–3 r
2
2r
X
– 1– r
2
–r
y = sin x
1
0
–1
1
3
–
r
2
1
–
r
2
r
2r
X
–r
1
––
r 0
2
–1
1
–
r
2
r
3
–
r
2
sin a dla a ! r + kr, k – ca∏kowite
tg a = cos
a
2
■ Niektóre wartoÊci funkcji trygonometrycznych
2
sin a + cos a = 1
0c
30c
45c
60c
90c
0
r
6
r
4
r
3
r
2
sin a
0
1
2
2
2
3
2
1
cos a
1
3
2
2
2
1
2
0
tg a
0
3
3
1
a
6
2r
y = tg x
y = cos x
■ Zwiàzki mi´dzy funkcjami tego samego kàta
2
X
Y
Y
1
M'
0
3
nie istnieje
X
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:53 AM
Page 7
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
■ Funkcje sumy i ró˝nicy kàtów
Dla dowolnych kàtów a, b zachodzà równoÊci:
sin _ a + b i = sin a cos b + cos a sin b
sin _ a - b i = sin a cos b - cos a sin b
cos _ a + b i = cos a cos b - sin a sin b
cos _ a - b i = cos a cos b + sin a sin b
Ponadto mamy równoÊci:
tg a + tg b
tg a - tg b
tg _ a + b i =
tg _ a - b i =
1 - tg a $ tg b
1 + tg a $ tg b
które zachodzà zawsze, gdy sà okreÊlone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
■ Funkcje podwojonego kàta
2
sin 2a = 2 sin a cos a
2
2
2
cos 2a = cos a - sin a = 2 cos a - 1 = 1 - 2 sin a
13. KOMBINATORYKA
■ Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, na które z n ró˝nych elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy si´ z k niekoniecznie ró˝nych wyrazów, jest
k
równa n .
■ Wariacje bez powtórzeƒ
Liczba sposobów, na które z n ró˝nych elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy si´ z k (1 G k G n) ró˝nych wyrazów, jest
równa
n!
n $ _ n - 1i $ ... $ _ n - k + 1i =
_n - ki!
■ Permutacje
Liczba sposobów, na które n H 1 ró˝nych elementów mo˝na ustawiç w ciàg, jest równa n! .
■ Kombinacje
n
Liczba sposobów, na które spoÊród n ró˝nych elementów mo˝na wybraç k (0 G k G n) elementów, jest równa d k n.
14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIE¡STWA
■ W∏asnoÊci prawdopodobieƒstwa
0 G P _ A i G 1 dla ka˝dego zdarzenia A 1 Ω
P _Ωi = 1
Ω – zdarzenie pewne
P _Qi = 0
Q – zdarzenie niemo˝liwe (pusty podzbiór Ω)
P _ A i G P _ B i, gdy A 1 B 1 Ω
P _ A' i = 1 - P _ A i, gdzie A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A
P _ A , B i = P _ A i + P _ B i - P _ A + B i, dla dowolnych zdarzeƒ A, B 1 Ω
P _ A , B i G P _ A i + P _ B i, dla dowolnych zdarzeƒ A, B 1 Ω
■ Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieƒstwa
Niech Ω b´dzie skoƒczonym zbiorem wszystkich zdarzeƒ elementarnych. Je˝eli wszystkie zdarzenia jednoelementowe sà jednaA
kowo prawdopodobne, to prawdopodobieƒstwo zdarzenia A 1 Ω jest równe P _ A i =
, gdzie A oznacza liczb´ elementów
Ω
zbioru A, zaÊ Ω – liczb´ elementów zbioru Ω.
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
■ Ârednia arytmetyczna
Ârednia arytmetyczna n liczb a1, a2, …, a n jest równa:
a + a2 + ... + a n
a= 1
n
■ Ârednia wa˝ona
Ârednia wa˝ona n liczb a1, a2, …, a n, którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi w1, w 2, …, w n jest równa:
w1 $ a1 + w 2 $ a2 + ... + w n $ a n
w1 + w 2 + ... + w n
■ Ârednia geometryczna
Ârednia geometryczna n nieujemnych liczb a1, a2, …, a n jest równa: n a1 $ a2 $ ... $ a n
■ Mediana
Medianà uporzàdkowanego w kolejnoÊci niemalejàcej zbioru n danych liczbowych a1 G a2 G a3 G ... G a n jest:
– dla n nieparzystych: a n + 1 (Êrodkowy wyraz ciàgu)
2
– dla n parzystych: 1 c a n + a n + 1 m (Êrednia arytmetyczna Êrodkowych wyrazów ciàgu)
2 2
2
■ Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancjà n danych liczbowych a1, a2, …, a n o Êredniej arytmetycznej a jest liczba:
2
2
2
` a1 - a j + ` a2 - a j + ... + ` a n - a j
a + a2 + ... + a n
2
v =
= 1
- _ai
n
n
Odchylenie standardowe v jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
2
2
2
2
7
Q4-LMD-MP11-tabela-bezGW
10/11/11
11:53 AM
Page 8
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM
16. TABLICA WARTOÂCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
8
a 7cA
sin a
cos b
tg a
b 7cA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
a 7cA
sin a
cos b
tg a
b 7cA
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
—
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Download

tablice - Operon