Metoda symboliczna (liczb zespolonych)

Metoda symboliczna... 1/7
Metoda symboliczna
(liczb zespolonych)
Postacie liczb zespolonych
a = z cos ϕ ,
b
( ±π )
a
z * = z e − jϕ
z = a 2 + b2 , ϕ = acrtg
z = z e jϕ ,
z = a + jb,
b = z sin ϕ , z * = a − jb,
Wzór Eulera
e jϕ = cos ϕ + j ⋅ sin ϕ
Niektóre działania na liczbach zespolonych
z 1 + z 2 = ( a1 + a2 ) + j ( b1 + b2 )
z 1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2 e j(ϕ1 +ϕ2 ) = ( a1 ⋅ a2 − b1 ⋅ b2 ) + j ( a1 ⋅ b2 + a2 ⋅ b1 )
z1
z2
=
z1
z2
e
j(ϕ1 −ϕ 2 )
=
z 1 z *2
z 2 z *2
=
( a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 ) − j ( a1 ⋅ b2 − a2 ⋅ b1 )
2013
z2
2
K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna... 2/7
Pierwiastkowanie liczby zespolonej
z1 = n z = n z ⋅ e
Pierwiastek kwadratowy:
z 1,2 = z =
z ⋅e
j
ϕ
2
ϕ + k ⋅360o
j
n
+ k ⋅180o
, k = 0,1
Pierwiastek sześcienny z „1”
z 1,2,3 = z =
3
3
z ⋅e
2013
j
ϕ
3
+ k ⋅120o
, k = 0,1, 2
K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna... 3/7
Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodów
sin (ωt + ϕ ) ⇒ e (
j ωt +ϕ )
= cos (ωt + ϕ ) + j ⋅ sin (ωt + ϕ ) (wzór Eulera)
Przekształcenie odwrotne:
sin (ωt + ϕ ) = Imag e (
j ωt +ϕ )
Przekształcenie równań do postaci symbolicznej
na przykładzie obwodu RLC
Chcemy wyznaczyć napięcie u(t) zasilające obwód RLC, czyli jego Um oraz φ .
Dany jest prąd i(t) oraz wartości elementów R,L,C:
i (t ) = I m sin ωt
uR (t ) + uL (t ) + uC (t ) = u (t )
π 1
π


R I m sin ωt + ω L I m sin  ωt +  +
I m sin  ωt −  = U m sin (ωt + ϕ )
2  ωC
2


Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:
R I me
j ωt
R I m e j ωt
j
π
2
π

j ωt + 
2


π
j ωt − 
1
j ωt +ϕ
+ ω L I me
+
I m e  2  = U me ( )
ωC
π
π
j
−j
1
jω t 2
jω t
I m e e 2 = U m e jω t e jϕ
+ ω L I me e +
ωC
e = j, e
−j
π
2
= − j, upraszczamy e jωt oraz dzielimy przez 2 :
1
I = Ue jϕ
ωC
1 


jϕ
I  R + j ωL −
  = Ue = U , I ⋅ Z = U
ωC  

Z
R I + jω L I − j
2013
K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna... 4/7
Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej
Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prądów zmiennych:
∑i = 0, i = I sin (ωt + ϕ ) ⇒ I = I e , i =
∑ 2 ⋅ Imag  I ⋅ e  = 0,
2 ⋅ ∑  Re ( I ) ⋅ sin ωt + Im ( I ) ⋅ cos ωt  = 0,
∑ Re ( I ) = 0, ∑ Im ( I ) = 0, ∑ I = 0 + j0.
jϕ n
n
n
mn
n
n
n
n
2 ⋅ Imag  I n ⋅ e jωt 
N
jω t
n
N
n
n
N
n
N
n
N
n
N
Podobne wyprowadzenie moŜna przeprowadzić dla drugiego prawa Kirchhoffa
otrzymując:
∑U
m
= 0.
M
Tak więc prawa Kirchhoffa obowiązują dla zapisu symbolicznego.
Połączenie równoległe elementów
1

U
U
1
+
+ jωC ⋅ U =  +
+ jωC  U = Y ⋅ U
R jω L
 R jω L

1
1
1
 1

Y = − j
− ωC  = G + jB, G = , B = ωC −
= BC − BL .
ωL
R  ωL
R

I = IR + IL + IC =
2013
K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna... 5/7
WyraŜenie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej
Y=
1
Z
Na przykład, dla gałęzi szeregowej mamy impedancję
Z = R + j⋅ X
Wtedy admitancja obwodu wynosi:
Y=
1
1
R − j⋅ X
R
X
=
⋅
= 2
− j⋅ 2
= G + j⋅ B
2
R + j⋅ X R + j⋅ X R − j⋅ X R + X
R + X2
Czyli, konduktancja gałęzi szeregowej wynosi:
G=
R
−X
,
a
jej
susceptancja:
B
=
R2 + X 2
R2 + X 2
przy czym zachodzi: B = BC − BL .
Moce przy zapisie symbolicznym
Rozpatrzmy gałąź szeregową RL. PoniewaŜ ma ona charakter indukcyjny, kąt φ
jest dodatni i leŜy w pierwszej ćwiartce (patrz wykresy na następnej stronie).
Moce moŜna wyrazić jako:
P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = R ⋅ I , gdzie I = I jest wartością skuteczną prądu,
2
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ = X ⋅ I , a U = U jest wartością skuteczną napięcia.
2
S=U ⋅I = Z ⋅I
2
Wprowadzamy moc pozorną zespoloną (definicja):
S = P + jQ
Dla gałęzi szeregowej RL jest wtedy:
S = R ⋅ I + j⋅ X ⋅ I = Z ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ I * = U ⋅ I *
2
2
2
Wzór ten moŜna uogólnić na inne obwody.
2013
K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna... 6/7
Wykresy trójkątowe (wskazowe) dla gałęzi RL przy zapisie symbolicznym.
2013
K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna... 7/7
Kondensator rzeczywisty
Układ zastępczy kondensatora rzeczywistego i jego wykres wektorowy
Kondensator rzeczywisty charakteryzuje pewien prąd Icz (czynny) płynący w dielektryku
(izolatorze). Ma on oczywiście charakter rezystancyjny i jest w fazie z napięciem. Kąt δ
pokazany na rysunku nazywany jest kątem stratności i odgrywa waŜną rolę w układach
izolacyjnych, świadcząc o ich jakości. JeŜeli przyjmiemy płaski model budowy kondensatora,
moŜna podać wzór przybliŜony:
l
ε ⋅S
, C=
, stąd:
γ ⋅S
l
1
γ ← konduktywność el. izolatora,
tgδ =
=
RωC ωε ← przenikalność dielektr. izolatora.
R=
Ze wzoru tego wynika fakt, Ŝe tg δ rośnie dla małych częstotliwości, czyli jego pomiar
będzie najdokładniejszy przy zastosowaniu bardzo niskiej częstotliwości.
Cewka rzeczywista
Układ zastępczy cewki rzeczywistej i jego wykres wektorowy
Dobroć cewki:
QL =
ωL
R
2013
K.M.Gawrylczyk