Skrypt do zajęć wyrównawczych

Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z FIZYKI
DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
dr Janusz Chrzanowski
PUBLIKACJA DYSTRYBUOWANA BEZPŁATNIE
1
SPIS TREŚCI
1. Podstawy rachunku wektorowego ................................................................................................................... 3
2. Kinematyka punktu materialnego ................................................................................................................... 6
3. Dynamika ruchu postępowego ....................................................................................................................... 13
4. Pęd, zasada zachowania pędu ........................................................................................................................ 23
5. Praca i energia. Zasada zachowania energii mechanicznej ......................................................................... 27
6. Dynamika bryły sztywnej ............................................................................................................................... 34
7. Pole grawitacyjne ............................................................................................................................................ 41
8. Drgania............................................................................................................................................................. 50
9.Fale .................................................................................................................................................................... 56
10. Hydrostatyka i hydrodynamika ................................................................................................................... 65
11.Elementy termodynamiki .............................................................................................................................. 72
12.Pole elektryczne .............................................................................................................................................. 77
13.Pojemność elektryczna- kondensatory ......................................................................................................... 79
14. Prąd elektryczny –obwody prądu stałego ................................................................................................... 82
15.Pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem ........................................................................................ 85
16.Wzbudzanie prądów zmiennych, Prawo Faradaya, fale elektromagnetyczne.......................................... 93
17.Fale elektromagnetyczne ............................................................................................................................... 98
18.Elementy fizyki ciała stałego ....................................................................................................................... 100
19.Elementy fizyki jądrowej............................................................................................................................. 108
2
1. Podstawy rachunku wektorowego
Wektor. Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Wektor jest wielkością zdefiniowaną
przez długość (moduł), kierunek działania oraz zwrot. Dwa wektory o tym samym module, kierunku i
zwrocie są sobie równe. Wektor przesunięty równolegle w przestrzeni pozostaje tym samym
wektorem. Przykładem wielkości wektorowej są:
prędkość, przyspieszenie, siła, moment siły, pęd, moment pędu.
Rozkład wektora na składowe. Dowolny wektor możemy zapisać w postaci sumy jego rzutów
zorientowanych na osie układu współrzędnych:
r
r
r
r
A = Ax i + Ay j + Az k ≡ [ Ax , Ay , Az ] ,
r r r
gdzie i , j , k są jednostkowymi wektorami (wersorami) o kierunkach i zwrotach pokrywających się
z kierunkami i zwrotami osi x, y, z (Rys. 1.1).
z
Az
A
k
i
O
j
y
Ay
Ax
x
Rys. 1.1 Rozkład wektora na składowe w trójwymiarowym układzie współrzędnych prostokątnych.
W układzie dwuwymiarowym
r
r
r
A = Ax i + Ay j ≡ [ Ax , Ay ] , y
A
(na
płaszczyźnie)
A
r
i
(1)
przyjmuje
postać:
r
A
y
r
j
wyrażenie
x
x
Rys.1 2. Rozkład wektora na składowe w płaskim układzie współrzędnych prostokątnych.
r
r
Dodawanie i odejmowanie wektorów. Aby graficznie dodać dwa wektory A i B , przesuwamy
r
równolegle jeden z nich, np. wektor B tak, by jego początek pokrył się z końcem drugiego wektora
3
r
r
r
r
( A ). Sumę wektorów A i B tworzy wektor łączący
ł
początek wektora A z końcem
koń
przesuniętego
r
wektora B . Procedurę tą możemy
moż
stosować do większej liczbyy wektorów, a kolejność
kolejno
ich
równoległego przemieszczania jest dowolna. Aby graficznie odjąć
odj dwa wektory mo
możemy wykorzystać
procedurę graficznego dodawania zast
zastępującc wektor odejmowany wektorem przeciwnie do niego
zorientowanym (Rys.3.).
r
A
r
A
r
B
r r
A+ B
r
−B
r r
A− B
r
B
r
B
r r
B+ A
r
A
r
B
r
B
r r
B−A
r
−A
Rys.1.3
1.3. Graficzne dodawanie i odejmowanie wektorów.
Wektory rozłożone
one na składowe dodajemy lub odejmujemy dodając
dodaj c lub odejmując
odejmuj ich odpowiednie
składowe:
(1.3)
v r
A ± B = [ Ax ± Bx , Ay ± B y , Az ± Bz ] .
(1.4)
r
r
Iloczyn skalarny dwóch wektorów. Iloczynem skalarnym wektorów A i B nazywamy skalar
określony przez wyrażenie:
r v r r
A ⋅ B = A B cos ϕ ,
(1.5)
r
A ≡ A = Ax2 + Ay2 + Az2 ,
(1.6)
r
B ≡ B = Bx2 + B y2 + B z2
(1.7)
gdzie
r
r
są długościami wektorów A i B , zorientowanych względem siebie pod kątem
tem ϕ . Iloczyn skalarny
r r
można również obliczyć sumując iloczyny odpowiednich składowych wektorów A i B :
r v
A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z .
(1.8)
4
r
Przykładem iloczynu skalarnego jest praca mechaniczna, zdefiniowana jako iloczyn skalarny siły F
r
i przesunięcia s :
r r
L = F ⋅ s = Fs cosϕ .
(1.9)
Powyższa relacja jest poprawna przy założeniu, że w każdym punkcie drogi wektor siły ma tą samą
długość i jest zorientowany względem przesunięcia pod tym samym kątem. W ogólnym przypadku
r
pracę, którą wykonuje pole siłowe F przemieszczając punkt wzdłuż dowolnej trajektorii z punktu
P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) do punktu P ( x, y , z ) określa wyrażenie:
∫
LP0 →P =
P0 → P
y
z
r r x
F ⋅ ds = Fx dx + Fy dy + Fz dz .
∫
∫
∫
x0
y0
z0
(1.10)
r r r
C = A× B
r
B
ϕ
r
B
ϕ
r
A
(a )
r
A
(b )
Rys.1. 4 Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego (a) i wektorowego (b).
r
r
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Iloczynem wektorowym dwóch wektorów A i B nazywamy
wektor
r r r
C = A× B ,
(1.11)
r
r r
C ≡ C = A B sin ϕ
(1.12)
o długości
r
i orientacji wyznaczonej przez prostą prostopadłą do płaszczyzny, w której leżą wektory A i
r
r
Zwrot wektora C wyznacza reguła śruby prawej (Rys.4.). Iloczyn wektorowy wektorów A i
można także przedstawić w równoważnej postaci:
r
i
r r
A × B = Ax
j
Ay
k
Az = [ A y B z − Az B y , A z B x − Ax B z , Ax B y − A y B x ] .
Bx
By
Bz
r
B.
r
B
(1.13)
5
W odróżnieniu od iloczynu skalarnego, iloczyn wektorowy nie jest przemienny:
r r
r r
A × B = −B × A .
(1.14)
Przykładem iloczynu wektorowego jest rmoment wielkości fizycznej zdefiniowany, jako iloczyn
wektorowy wektora położenia (ramienia) r oraz wektora, od którego wywodzi się nazwa momentu.
Moment siły i moment pędu będą więc miały odpowiednio postać:
= × moment siły
= × moment pędu.
2. Kinematyka punktu materialnego
Zajmiemy się opisem ruchu rozumianym jako zmiany położenia jednych ciał
względem innych, które nazywamy układami odniesienia. Należy zwróć uwagę, że to samo
ciało może poruszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem
innego. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym.
r
Wektor położenia. Wektorem położenia lub wektorem wodzącym r punktu P nazywamy
wektor, którego początek znajduje się w początku układu współrzędnych, natomiast koniec wyznacza
położenie punktu P (Rys. 2.1.) .
P ( x, y , z )
z
r
r (t )
r
v (t )
r
∆r
r
r (t + ∆ t )
r
k
O
r
r j
i
y
x
Rys. 2.1. Wektor położenia we współrzędnych kartezjańskich.
r
Składowymi wektora położenia r są współrzędne x , y , z punktu P :
r
r r
r
r = xi + yj + zk ≡ [ x, y, z ] ,
(2.1)
r
r= r =
(2.2)
a jego długość określa wyrażenie
x2 + y2 + z2 .
r
Gdy punkt P przemieszcza się w przestrzeni, to wektor wodzący r , a zatem i jego składowe są
funkcjami czasu.
6
Prędkość punktu. Prędkością punktu w ruchu postępowym zdefiniowana jest przez pochodną
wektora wodzącego po czasie:
r
r
r
r
r dr
r (t + ∆t ) − r (t )
∆r
,
v=
= lim
= lim
dt ∆t → 0 ∆t ∆t → 0
∆t
(2.3)
r
gdzie ∆r jest zmianą wektora wodzącego w czasie ∆ t . Uwzględniając definicję (2.1), prędkość
punktu możemy zapisać w postaci:
r
v = [v x , v y , v ] ,
r
v = v = v x2 + v y2 + v z2 ,
(2.4)
gdzie
vx =
dx
dy
dz
, v y = , vz =
dt
dt
dt
(2.5)
są składowymi prędkości odpowiednio na kierunku x , y , z .
Przyspieszenie punktu. Przyspieszenie punktu w ruchu postępowym zdefiniowane jest przez
pochodną wektora prędkości po czasie:
r
r
r
r
r dv
v (t + ∆t ) − v (t )
∆v
.
a=
= lim
= lim
dt ∆t → 0 ∆t ∆t → 0
∆t
(2.6)
Uwzględniając relacje (2.4), (2.5), przyspieszenie punktu możemy zapisać w postaci:
r
a = [ ax , a y , a z ] ,
r
a = a = a x2 + a y2 + a z2 ,
(2.7)
gdzie
ax =
dv y d 2 y
dvx d 2 x
da
d 2z
= 2 , ay =
= 2 , vz = z = 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(2.8)
są składowymi wektora przyspieszenia odpowiednio na kierunku x , y , z .
Przykład 1.
Prom kursuje między przystaniami A, B znajdującymi się po przeciwnych stronach rzeki (rys) o
szerokości 60 m . Pod jakim kątem należy skierować prom, aby płynął prostopadle do brzegu z
prędkością 6
m
m
względem rzeki. Prędkość wody w rzece wynosi 3
. Jaka jest prędkość promu
s
s
względem brzegu?
B
Vr
Vp
α
V
A
7
Rys.
r
v p - wektor prędkości promu względem rzeki
r
v r - wektor prędkości prądu rzeki
r
v - wektor prędkości promu względem brzegu
r r
r
v = v p + vr
Z trójkąta wektorów prędkości
vr
1
= sin α =
vp
2
α = 30 0
v
m 3
m
= cos α ⇒ v = v p cos α = 6 ⋅
=3 3
vp
s 2
s
Jak daleko od przystani B prąd rzeki zniósłby prom, gdyby sternik skierował prom prostopadle do
brzegu.
B
C
s
Vr
d
Vp
β
V1
A
r
W tej sytuacji prom płynąłby z wypadkową prędkością v1 skierowaną pod kątem β . Jego ruch
można rozpatrywać jako złożenie dwóch ruchów prostopadłych o prędkościach v p i v r
odpowiednio.
W czasie t , kiedy prom przepłynie szerokość rzeki z prędkością v p prąd rzeki zniesie go na
odległość s = v r t . Ponieważ szerokość rzeki AB = d otrzymujemy d = v p t ⇒ t =
d
vp
i po podstawieniu
s = vr ⋅
d
m 60m
=3 ⋅
= 30m
m
vp
s
6
s
r
Ruch jednostajnie zmienny. W ruchu jednostajnie zmiennym ( a = const ) zależność prędkości oraz
wektora wodzącego od czasu ma postać:
8
r
r
r
r r r
v = v 0 + a (t − t 0 ) ,
(2.10)
r
r
1 r
r = r0 + v 0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 ) 2 ,
2
(2.11)
r
gdzie v 0 = v (t 0 ) i r0 = r (t 0 ) wyznaczają odpowiednio prędkość punktu oraz jego położenie w
początkowym momencie t 0 . Równanie (2.11) zapisane w skalarnej postaci przedstawia zarazem
parametryczny związek między współrzędnymi x , y , z określający tor trajektorii, po której porusza
się punkt. Znajomość obydwu warunków początkowych pozwala na pełne rozwiązanie dowolnego
zagadnienia kinematyki punktu poruszającego się ze stałym przyspieszeniem. W szczególności,
powyższe równania można wykorzystać do opisu każdego przypadku ruchu ciała w jednorodnym polu
r
grawitacyjnym g = const (rzut pionowy, spadek swobodny ciała, rzut poziomy, rzut ukośny).
Równania (2.10 i 2.11)są równaniami wektorowymi , które w aspekcie skalarnym odpowiadają
sześciu równaniom – trzy dla prędkości i trzy dla wektora położenia. Jeżeli jednak ograniczymy się do
ruchu prostoliniowego wzdłuż dowolnej osi (np. osi x) to przybierają one formę:
= ± ,
= ±
2
(2.12)
Opisują one w prosty sposób całą kinematykę punktu materialnego, przy czym znak plus odnosi się do
ruchów jednostajnie przyśpieszonych, natomiast znak minus do jednostajnie opóźnionych. Jeżeli
przyśpieszenie jest równe zero (a=0), równania powyższe upraszczają się opisując ruch jednostajny
(ze stałą prędkością V=V0).
W sytuacji kiedy V0=0 co odpowiada ruchowi jednostajnie
przyspieszonemu bez prędkości początkowej przekształcają się one do postaci:
= ,
=
(2.13)
2
Bardzo często przedstawia się zagadnienia kinematyczne w formie wykresów pokazujących
zależności przyśpieszenia, prędkości i drogi od czasu. Jak widać z powyższych relacji wielkości te
zależą od czasu liniowo, a tylko droga w ruchu przyspieszonym zależy od kwadratu czasu, zatem jej
wykresem musi być gałąź paraboli. Przykłady wykresów pokazujących te relacje prezentowane są
poniżej.
V
3
2
1
V0
4
t
Rys.2.2 Zależność prędkości od czasu dla ruchów jednostajnie zmiennych
9
Jak wynika z powyższego rysunku 1 i 2 opisują ruch jednostajnie przyśpieszony bez
prędkości początkowej, przy czym ruch opisany krzywą 2 odbywa się z większym przyśpieszeniem
(dlaczego?).
Ruch opisany krzywą 3 to ruch jednostajnie przyśpieszony z prędkością początkową V0 i z takim
samym przyśpieszeniem jak ruch opisany krzywą 1. Krzywa 4 odpowiada ruchowi jednostajnie
opóźnionemu, którego prędkość początkowa jest taka sama jak w przypadku 3, natomiast prędkość
końcowa wynosi zero.
Korzystając z wykresów można nie tylko określić rodzaje ruchów, które one przedstawiają, ale także
dokonać prostych kalkulacji. Rozważmy ruch trzech ciał A,B,C, dla których zależności prędkości od
czasu przedstawione są na wykresie poniżej.
V[m/s]
20
C
B
1
0
A
1
2
3
4
t[s]
Rys.2.3 Zależność prędkości od czasu dla trzech różnych ciał A,B,C.
Jak wynika z przedstawionego wykresu analizujemy ruch każdego z ciał przez cztery kolejne sekundy.
Ciało A w pierwszej sekundzie ruchu porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyśpieszeniem a1=10 m/s2, następnie przez kolejne dwie sekundy ruchem jednostajnym z prędkością
V1=10m/s i ponownie przez kolejną sekundę ruchem jednostajnie przyśpieszonym z przyśpieszeniem
takim samym jak poprzednio. Ciało B porusza się cały czas ruchem jednostajnie przyśpieszonym bez
prędkości początkowej z przyśpieszeniem a2=5m/s2. Trzecie z ciał C porusza się ruchem jednostajnie
przyśpieszonym, ale z prędkością początkową V0=10m/s i przyspieszeniem a3=2,5m/s2.
W celu wyznaczenia drogi jaką przebyło w tym czasie każde z ciał musimy korzystać z różnych
odmian równania 2.12. Ciało A w pierwszej sekundzie ruchu porusza się ruchem jednostajnie
przyspieszonym bez prędkości początkowej, a więc = = 5. Droga s2 przebyta przez to ciało
w ciągu kolejnych dwóch sekund (ruch jednostajny) wyraża się relacją = = 20. droga
przebyta w ostatniej sekundzie ruchu wyraża się relacją = + =15m. Zatem całkowita droga
przebyta przez to ciało w ciągu 4 s ruchu wynosi sA=40m.
W celu wyznaczenia drogi przebytej przez drugie z ciał korzystamy z relacji 2.13 otrzymując
" =
= 40, a więc ciało B przebyło taką samą drogę jak ciało A.
10
Ponieważ ruch trzeciego z ciał jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową
drogę przebytą przez to ciało obliczamy z równania: $% = +
przebyło najdłuższą drogę.
& = 60, co oznacza, że to ono
Ruch obrotowy.
W ruchu po okręgu prędkość liniową oraz liniowe przyspieszenie zastępujemy odpowiednio
prędkością kątową oraz przyspieszeniem kątowym:
ω=
dϕ
,
dt
ε=
dω d 2ϕ
= 2 ,
dt
dt
(2.12)
gdzie dϕ jest drogą kątową zakreśloną przez promień wodzący punktu w czasie dt (Rys. 2.2.). W
r
ogólnym przypadku, prędkość kątową określa wektor ω prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
r
v
przez wektor wodzący r i wektor prędkości liniowej v . Związek pomiędzy tymi wektorami ma
postać iloczynu wektorowego:
r r r
v =ω ×r .
(2.13)
r
r
Relacja między przyspieszeniem liniowym a i przyspieszeniem kątowym ε ma postać:
r r r
a =ε ×r .
(2.14)
r
ω
dϕ
ϕ
r
v
r
r
Rys. 2.2. Ilustracja wektora prędkości kątowej.
Równania (2.13), (2.14), proste do udowodnienia dla ruchu po okręgu, pozostają prawdziwe dla
dowolnego ruchu obrotowego, w którym prędkość liniowa, krzywizna trajektorii, orientacja i długość
wektora prędkości kątowej oraz przyspieszenia kątowego ulegają ciągłej zmianie.
W ruchu jednostajnie zmiennym po okręgu, wyrażenia (2.10), (2.11), odniesione do prędkości
kątowej i drogi kątowej, przyjmują odpowiednio postać:
11
ω = ω 0 + ε (t − t 0 ) ,
(2.15)
1
2
ϕ = ϕ 0 + ω 0 (t − t 0 ) + ε (t − t 0 ) 2 ,
(2.16)
gdzie ω 0 = ω (t 0 ) i ϕ 0 = ϕ (t 0 ) wyznaczają odpowiednio prędkość kątową punktu oraz jego położenie
kątowe w początkowym momencie t 0 .
Przyspieszenie styczne i normalne.
r
as
r
an
r
v
R
O
r
a
Rys. 2.3. Rozkład przyspieszenia na przyspieszenie styczne i normalne.
W ruchu prostoliniowym wektor przyspieszenia i prędkości punktu jest styczny do trajektorii. Jeżeli
r
trajektoria nie jest prostoliniowa, to wektor przyspieszenia a tworzy z wektorem prędkości liniowej
r
r
v pewien kąt. Z wektora przyspieszenia wyodrębniamy wówczas tą jego składową a s , która jest
r
związana ze zmianą wartości prędkości (przyspieszenie styczne) i składową a n związaną ze zmianą
kierunku wektora prędkości (przyspieszenie normalne):
r r
r
a = as + an ,
as =
(2.17)
dv
v2
= ω 2 R, a = a s2 + a n2 ,
, an =
dt
R
(2.18)
gdzie R jest chwilowym promieniem lokalnej krzywizny trajektorii. Przyspieszenie normalne jest
zorientowane do środka wpisanego w trajektorię okręgu i nosi nazwę przyspieszenia dośrodkowego.
Przykład 1.
Bęben wirówki obraca się z częstotliwością f 1 = 180 Hz . Po odcięciu zasilania bęben wykonuje
n = 530 obrotów ruchem jednostajnie opóźnionym zmniejszając częstotliwość obrotów do
f 2 = 80 Hz . Obliczyć czas hamowania, w którym następuje opisana redukcja obrotów
i przyśpieszenie kątowe bębna. Obliczyć czas, po którym bęben się zatrzyma.
Rozwiązanie: Ruch bębna odbywa się ze stałym przyspieszeniem kątowym. Zależność prędkości
kątowej ω i drogi kątowej ϕ pokonanej przez bęben od czasy opisują więc równania (2.15), (2.16).
Przyjmując, że w momencie odcięcia zasilania t 0 = 0 , ϕ 0 = 0 , ω 0 = 2πf 1 , znajdziemy:
ω = 2πf 1 + εt ,
1
2
ϕ = 2πf1t + εt 2 ,
12
gdzie ε jest przyspieszeniem kątowym. Oznaczając czas hamowania przez τ , otrzymamy układ
dwóch równań z dwoma niewiadomymi ε i τ :
ω = 2πf 2 = 2πf1 + ετ ,
1
2
ϕ = 2πn = 2πf1τ + ετ 2 .
Rozwiązując powyższy układ równań znajdziemy:
τ=
2n
,
f1 + f 2
ε=
π 2
( f 2 − f1 2 ) .
n
Czas τ c , po którym bęben całkowicie się zatrzyma otrzymamy z warunku zerowania się prędkości
kątowej: ω = 2πf1 + ετ c = 0 , skąd
τ c = −2π
f1
ε
.
Podstawiając dane liczbowe otrzymamy: τ = 4,1 s , ε = −154 rad/s , τ c = 7,2 s
3. Dynamika ruchu postępowego
Zasady dynamiki Newtona. Zasady dynamiki Newtona oraz prawo powszechnego ciążenia w pełni
opisują zagadnienia mechaniki klasycznej. Zasady te w szczególności pozwalają znaleźć wszystkie
parametry opisujące ruch ciała, takie jak położenie prędkość i przyspieszenie ciała w dowolnym
momencie czasu oraz równanie trajektorii, po której ciało się porusza. Z zasad dynamiki formalnie
wynikają również fundamentalne zasady zachowania: zasada zachowania pędu, zasada zachowania
momentu pędu oraz zasada zachowania energii mechanicznej.
Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie układów inercjalnych, tj. takich układów odniesienia,
w których gdy na ciało nie działa siła (lub działające siły się równoważą), to ciało pozostaje w
spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Układ inercjalny w uproszczony
sposób można określić, jako układ, który nie doznaje przyspieszenia. Zasady dynamiki oraz
wynikające z nich zapisy obowiązują w układach inercjalnych.
r
r
Druga zasada dynamiki wiąże siłę F działającą na masę m ze zmianą jej pędu p :
r dpr
F=
,
dt
r
r
p = mv .
(3.1)
Dla względnie małych prędkości, masa m jest stała i druga zasada dynamiki przyjmuje postać:
r
r
r
r dv d 2 r
r
a
=
= 2 ,
F = ma ,
dt
dt
(3.2)
r r r
gdzie r , v i a jest odpowiednio wektorem wodzącym, prędkością i przyspieszeniem ciała.
r
Trzecia zasada dynamiki głosi, że jeżeli ciało j-te działa na ciało i-te z siłą Fij , to ciało i-te działa na
ciało j-te z siłą o tej samej wielkości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie:
r
r
Fij = − F ji .
(3.3)
r
Z zasady tej wynika, że Fii = 0 tj., że ciało samo z sobą nie może oddziaływać.
13
r
Fij
r
F ji
j
i
Rys. 3.1. Ilustracja do trzeciej zasady dynamiki w przypadku obiektów i oraz j wzajemnie się przyciągających.
Równanie ruchu Newtona jest prostą konsekwencją drugiej zasady dynamiki i przedstawia, dla
zadanej siły działającej na ciało, różniczkową zależność promienia wodzącego od czasu:
r
r
d 2r
F =m 2 .
dt
(3.4)
Dwukrotne całkowanie tego równania prowadzi do znalezienia zależności prędkości oraz wektora
wodzącego od czasu i umożliwia określenie trajektorii, po której porusza się ciało. Jednoznaczne
rozwiązanie tego równania wymaga znajomości dwóch warunków początkowych określających
r
prędkość i położenie ciała w dowolnych momentach czasu. Dla szczególnego przypadku a = const ,
rozwiązanie tego równania określają relacje (2.10) i (2.11).
Analiza zasad dynamiki , w których podstawowym pojęciem jest siła jest dobrą okazją do
przypomnienia podstawowych oddziaływań jakie występują w przyrodzie:
Typ oddziaływań
Źródło
Grawitacyjne
Słabe
Elektromagnetyczne
Jądrowe
Masa
Wszystkie cząstki elementarne
Ładunek elektryczny
Hadrony (protony,neutrony,mezony)
Względne
natężenie
~ 10-38
~ 10-15
~ 10-2
1
Zasięg
Długi
Krótki (10-18m)
Długi
Krótki (10-15m)
Należy zauważyć, że nie ma wśród nich siły tarcia, która jest efektem oddziaływań
elektromagnetycznych pomiędzy cząsteczkami stykających się powierzchni. Ponieważ jednak siła
tarcia jest bardzo istotna w zagadnieniach technicznych, warto zwrócić uwagę na szczególne sytuacje
w których występuje.
F
F2
T
F1
Q
Rys.3.2 Siła tarcia w przypadku działania na ciało dodatkowej siły F.
F
W tym przypadku korzystając z definicji siły tarcia
, musimy zwrócić uwagę na fakt, że
siła nacisku
, a więc siła tarcia istotnie różni się od sytuacji, gdy na ciało nie działa
dodatkowa siła.
Innym ciekawym przykładem występowania siły tarcia jest rozkład sił na równi pochyłej - rysunek
poniżej.
14
T
Fs
Fn
α
Q
Rys.3.3 Rozkład sił na równi pochyłej.
Obecnie rozkładamy siłę ciężkości Q na dwie składowe; jedna wzdłuż równi- Fs, druga prostopadła do
równi Fn. Stąd siła tarcia
( = )* = )+,-.
Przykład 1.
Z jakim przyspieszeniem musi poruszać się równia na kółkach, aby znajdujący się na niej ciężarek o
masie m = 2 kg był względem niej w spoczynku? Współczynnik tarcia ciężarka o równię µ = 0,3 , kąt
nachylenia równi α = 30° . Przyspieszenie ziemskie g = 9,81m/s 2 .
m
r
a
α
Rozwiązanie: Ciężarek porusza się wzdłuż równi pod wpływem sił:
- składowej x -owej ciężaru Px = mg sin α ,
- składowej x -owej siły inercji Q x = − ma cos α ,
- zorientowanej przeciwnie do kierunku ruchu siły tarcia T, której wartość
wyznacza iloczyn wypadkowego nacisku ciężarka na równię i współczynnika
tarcia:
T = ( Py + Q ) µ = (mg cos α + ma sin α ) µ .
Qx
r
r
Q = − ma
r
a
α
Px
Qy
Py
x
α
α
r
r
P = mg
Przy dostatecznie małym przyspieszeniu równi, Px + Q x > 0 i ciężarek pozostanie w spoczynku, gdy
Px + Q x < T :
mg sin α − ma cos α < (mg cos α + ma sin α ) µ ,
skąd wynika pierwszy warunek
15
a>g
sin α − f cos α
.
cos α + f sin α
Przy dostatecznie dużym przyspieszeniu równi, Px + Q x < 0 i ciężarek pozostanie w spoczynku, gdy
− ( Px + Q ) < T :
−( mg sin α − ma cos α ) < ( mg cos α + ma sin α ) f ,
skąd wynika drugi warunek:
a<g
sin α + f cos α
.
cos α − f sin α
Obydwa warunki można ująć w jednej postaci:
g
sinα − fcosα
sinα + fcosα
.
<a<g
cos α + fsin α
cos α − fsinα
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: 2,32 m/s 2 < a < 10,41 m/s 2 .
Przykład 2.
Z górki o wysokości 15m nachylonej do poziomu pod kątem α = 15 o zjeżdża dziecko na sankach.
Zakładając, że współczynnik tarcia sanek o śnieg jest stały i wynosi µ = 0,1 wyznaczyć prędkość, jaką
uzyskają sanki u podnóża górki.
A
Rys.
m
Fs
B
α
α
Fn
Q
Na odcinku AB (zjazd z górki) sanki poruszają się ruchem jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości
początkowej. Zatem droga i prędkość końcowa wyrażają się równaniami:
at 2
l=
2
(1)
v = at
(2)
Przyśpieszenie zgodnie z II zasadą dynamiki wyznaczymy korzystając z rozkładu sił (rys.)
a=
Fs − T
m
(3)
16
gdzie:
Fs
= sin α ⇒ Fs = mg sin α
Q
(4)
natomiast:
T = µFn ,
Fn
= cos α ⇒ Fn = mg cos α i T = µmg cos α
Q
(5)
podstawiając za siłę zsuwającą E (3) i tarcia T (4) do równania (2) otrzymujemy:
a=
mg (sin α − µ cos α )
m
Wyznaczając czas z pierwszego równania t =
(6)
2l
i podstawiając do drugiego otrzymujemy
a
v = 2la , a po uwzględnieniu równania
równani (6)
v = 2 gl (sin α − µ cos α )
Ponieważ
h
h
= tgα ⇒ l =
= hctgα
l
tgα
i ostatecznie
v = 2hgctgα (sin α − µ cos α )
i po podstawieniu wartości v ≈ 11
m
.
s
Przykład 3.
Na równi pochyłej o kącie nachylenia α poruszającej się poziomo bez tarciaa z przyspieszeniem a
znajduje się klocek o masie m . Klocek porusza się względem równi z przyspieszeniem a1 w górę
równi. Współczynnik tarcia klocka o równię wynosi f . Znaleźć przyspieszenie a1 i nacisk klocka na
równię. Przyspieszenie ziemskie g .
Rozwiązanie :
Px = m ⋅ g sin α
Py = m ⋅ g cos α
r
Pb = m ⋅ a
Fbx = m ⋅ a cos α
Fby = m ⋅ a sin α
17
Zapiszmy II zasadę dynamiki Newtona uwzględniając powstałą w wyniku ruchu jednostajnie
r
zmiennego równi siłę bezwładności) Fb
r
r r r
r
Fb + P + Q + Ft = m ⋅ a1
Powyższe równanie wektorowe jest równoważne dwóm równaniom skalarnym wzdłuż osi x:
Fbx − Px − Ft = m ⋅ a1
oraz y : Q − Py − Fby = 0
x) m ⋅ a cos α − m ⋅ g sin α − fQ = m ⋅ a1
y) Q − m ⋅ g cos α − m ⋅ a sin α = 0
Z równań znajdziemy reakcję na nacisk Q (tzn. wartość nacisku klocka na równię) i przyspieszenie
a1 klocka względem równi
Q = m( g cosα + a sin α )
a1 = a(cosα − f sin α ) − g (sin α + f cosα )
Przykład 4.
Dwa klocki o masach m1 i m2 znajdujące się na poziomej płaszczyźnie są połączone linką. Na klocek
o masie m1 (rysunek 1) zaczyna działać siła F skierowana pod kątem . do poziomu. Wyznaczyć
przyśpieszenie z jakim będzie poruszał się układ oraz siłę naprężenia linki, wiedząc, że współczynniki
tarcia klocków o podstawę wynoszą ).
F2
N
N
F1
T1
T2
Q2
F
Q1
Na rysunku zaznaczone są wszystkie istotne siły działające na obydwa klocki. Siła F została
rozłożona na dwie wzajemnie prostopadłe składowe F1 (wzdłuż płaszczyzny), oraz F2.
Przyśpieszenie pierwszego klocka wyznaczamy zgodnie z zasadami dynamiki z równania:
− ( − 0
=
Zwracamy uwagę na fakt, że jest to zapis skalarny, w którym występują tylko siły działające zgodnie
z kierunkiem ruchu. Z rozkładu siły otrzymujemy:
= ,-.
18
Siła tarcia pomiędzy podstawą, a pierwszym klockiem:
( = )1 = )23 − 4 = )2 + − 56.4
Z rozkładu sił musimy zauważyć wpływ składowej F2 na siłę nacisku. Przez bezpośrednie
podstawienie do równania na przyśpieszenie otrzymujemy:
,-. − )2 + − 56.4 − 0
=
Następnie analizujemy siły działające na drugi klocek i wyznaczamy jego przyśpieszenie z równania:
0 − (
=
Obecnie siła nacisku jest równa ciężarowi ciała:
( = )1 = )3 = ) +
Co po wprowadzeniu do relacji na przyśpieszenie daje:
0 − ) +
=
Ponieważ obydwa klocki poruszają się z tym samym przyśpieszeniem, możemy porównać prawe
strony odpowiednich równań otrzymując:
,-. − )2 + − 56.4 − 0 0 − ) +
=
,
a stąd bezpośrednio wyznaczamy siłę naprężenia linki:
2,-. + )56.4
0=
+ Podstawiając tą relację do równania na przyśpieszenie jednego z klocków po prostych
przekształceniach algebraicznych otrzymujemy :
2,-. + )56.4 − )+2 + 4
=
+ Środek masy.
mi
m2
z
r
r1
m1
r
RS
O
x
r
Fi 0
r
ri
r
r2
r
rn −1
S
y
m n −1
r
rn
mn
Rys. 3.4. Swobodny układ n punktów materialnych. Środek masy oznaczono przez S .
Przedstawiony na Rys. 3.4 układ n punktów materialnych o masach mi może poruszać się pod
r
r
wpływem sił wzajemnego oddziaływania Fij oraz sił zewnętrznych Fi 0 . Rozwiązanie układu równań
ruchu Newtona dla tego przypadku nie jest na ogół możliwe. Możemy natomiast określić ruch środka
masy tego układu zdefiniowanego przez wektor:
19
n
r
RS =
r
∑m r
i i
i =1
M =
,
M
n
(3.5)
∑m ,
i
i =1
r
R S = [ X S , YS , Z S ] ,
r
ri = [ x i , y i , z ] .
(3.6)
Definicja ta jest równoważna trzem zapisom skalarnym:
n
n
∑m x
∑m y
i i
XS =
i =1
i
,
M
XS =
n
∑m z
i
i =1
i i
XS =
,
M
i =1
M
(3.7)
.
r
Środek masy porusza się jak punkt o masie M pod wpływem siły wypadkowej Fw równej sumie
r
wszystkich sił Fi działających na układ - redukującej się na mocy trzeciej zasady dynamiki do sumy
r
sił zewnętrznych Fi 0 :
M
r
d 2 RS
dt
2
r
=F,
r
F=
n
∑
r
Fi =
i =1
n
r
∑F
i0
.
(3.8)
i =1
M
S
r
RS
z
O
r
r
dm
y
x
Rys. 3.5. Ilustracja do definicji środka masy bryły o skończonych rozmiarach.
Dla bryły o skończonych gabarytach, definicję środka masy (3.5) zastępuje definicja całkowa
r
1
RS =
M
r
∫ r dm .
(3.9)
M
W celu kompleksowego spojrzenia na zasady dynamiki Newtona rozważmy kilka problemów
związanych z ich zastosowaniem.
20
Przykład 1.
Ze wzgórza o wysokości h = 20 m wystrzelono pod kątem ϕ = 35o pocisk, którego początkowa
prędkość wynosiła v 0 = 200 m/s . Obliczyć maksymalną wysokość H , na jaką wzniesie się pocisk,
czas lotu tl oraz jego zasięg S .
r
v0
y
r
v
r
r
ϕ
H
r
g
h
r
j
S
r
i
x
Przyjmując, że strzał został oddany w momencie t 0 = 0 , znajdziemy położenie początkowe pocisku
r
r
r0 = [0, h] oraz jego początkową prędkość v0 = [v0 cos ϕ , v0 sin ϕ ] . Pocisk porusza się pod wpływem
r
r
r
stałego przyspieszenia ziemskiego g = [0, − g ] , więc jego prędkość v oraz położenie r będą określone
przez równania (2.10), (2.11). Uwzględniając warunki początkowe znajdziemy:
r r
r
v = v 0 + gt ,
r
r
1r
r = r0 + v0 t + gt 2 ,
2
lub po rozpisaniu na składowe:
[v x , v ] = [v0 cos ϕ , v0 sin ϕ ] + [0, − g ] t ,
[ x, y ] = [0, h] + [v0 cos ϕ , v0 sin ϕ ] t +
1
[0, − g ]t 2 .
2
Wektory są sobie równe, jeżeli ich składowe są sobie równe. Porównując odpowiednie składowe
wektora prędkości i położenia otrzymamy:
v x = v 0 cos ϕ ,
x = v 0 t cos ϕ ,
v y = v0 sin ϕ − gt ,
y = h + v 0 t sin ϕ −
1 2
gt .
2
W najwyższym położeniu pocisku składowa prędkości v y = 0 , skąd czas, po którym zostanie
osiągnięta ta wysokość wyniesie t H = v 0 sin ϕ / g . Maksymalne wzniesienie pocisku będzie więc
wynosiło:
H = y (t H ) = h +
(v0 sin ϕ ) 2
.
2g
Czas lotu pocisku t l określa warunek y = 0 , który sprowadza się do równania kwadratowego:
(−
1
g )tl2 + (v0 sin ϕ )tl + h = 0 .
2
21
Dodatnim rozwiązaniem tego równania jest poszukiwany czas
tl =
v0 sin ϕ
v sin ϕ 2 2h
.
+ ( 0
) +
g
g
g
Zasięg lotu wyznacza równanie:
S = x (tl ) = v0 tl cos ϕ .
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: H = 691 m , t l = 23,6 s , S = 3860 m .
Przykład 2.
Trzy ciężarki o masach m1 = 5 kg , m2 = 3 kg i m3 = 10 kg zawieszone są tak, jak na rysunku. Z jakim
przyspieszeniem poruszają się te masy oraz jakie jest naprężenie lin? Masy bloczków i lin pominąć.
Przyspieszenie ziemskie g = 9,81m/s 2 .
r
2N
+
r
2N
r
a1
m1
r
N
m3
m2
r
N
r
m1 g
r
a2
r
a3
r
m2 g
r
m3 g
Rozwiązanie: Definiujemy kierunek „dodatni”, zorientowany zgodnie z kierunkiem ruchu ciężarka
m1 . Bloczki mają zaniedbywalne masy, więc naprężenie liny po obu stronach ruchomego bloczka jest
takie samo i wynosi N , natomiast naprężenie liny przerzuconej przez bloczek nieruchomy jest
dwukrotnie większe. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, ruch każdego z ciężarków o masach m1 , m 2 i
m3 będzie w układzie związanym z nieruchomym bloczkiem opisany odpowiednio równaniem:
2 N − m1 g = m1 a1 ,
N − m2 g = m2 a2 ,
N − m3 g = − m3 a 3 .
Przedstawiony układ trzech równań zawiera cztery niewiadome. Brakujące równanie otrzymamy
porównując wartości przyspieszenia masy m 2 i m3 względem ruchomego bloczka, który porusza się
w „ujemnym” kierunku z przyspieszeniem o wartości a1 . Wartość przyspieszenia masy m 2 względem
ruchomego bloczka wynosi a 2 + a1 (przeciwne ruchy - wartości przyspieszeń się sumują), natomiast
masa m3 porusza się względem ruchomego bloczka z przyspieszeniem o wartości a 3 − a1 (zgodne
ruchy - wartości przyspieszeń się odejmują). Ponieważ obydwie wartości względnych przyspieszeń
mas m 2 i m3 względem ruchomego bloczka są takie same, więc brakujące równanie ma postać:
22
a 2 + a1 = a 3 − a1 .
Rozwiązując powyższy układ czterech równań otrzymamy:
a1 =
N=
4m2 m3 − m1 (m2 + m3 )
g,
4m2 m3 + m1 (m2 + m)
1
4m1m2 m3
m1 ( g + a1 ) =
g,
2
4m2 m3 + m1 (m2 + m)
a2 =
N − m2 g 4m3 (m1 − m2 ) − m1 (m2 + m)
=
g’
m2
4m2 m3 + m1 (m2 + m3 )
a3 =
m3 g − N 4m2 (m3 − m1 ) + m1 * (m2 + m)
g.
=
m3
4m2 m3 + m1 (m2 + m)
Uwzględniając dane liczbowe znajdziemy:
N = 31,82 N .
a1 = 2,92 m/s 2 ,
a 2 = 0,80 m/s 2 ,
a3 = 6,63 m/s 2 ,
4. Pęd, zasada zachowania pędu
Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego prędkości wektorowej.
= (4.1)
Zapamiętamy, że wektor pędu ma taki sam zwrot i kierunek jak wektor prędkości ciała.Rozważamy
układ izolowany (rys 4.1) - wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zero
r
F
∑ z =0
natomiast poszczególne elementy układu (dla przejrzystości ograniczyliśmy się na rysunku do trzech
r
r
ciał) oddziaływają zgodnie z zasadami dynamiki
Fij = − F ji
1
F13
F31
3
F12
F3
F32
F21
F23
2
Rys.4.1 Ilustracja do zasady zachowania pędu
23
Obliczamy zmiany pędu poszczególnych elementów układu
r
r
∆p1 r
= F12 + F13
∆t
r
r
r
∆p 2
= F21 + F23
∆t
r
r
r
∆p3
= F31 + F32
∆t
Zmiana pędu całego układu wynosi:
r
r
r
r
∆ p1
∆p2
∆p3
∆p
=
+
+
∆t
∆t
∆t
∆t
r
r
r
r
r
r
∆p r
= F12 + F13 + F21 + F23 + F31 + F32 = 0
∆t
Otrzymany rezultat oznacza, że chociaż pędy poszczególnych elementów układu ulegają zmianie to
pęd układu rozumiany jako suma wektorowa pędów poszczególnych elementów pozostaje stały.
Zasada zachowania pędu.
Jeżeli wypadkowa siła działająca na układ n punktów materialnych jest równa zeru, to całkowity pęd
układu, zdefiniowany jako wektorowa suma pędów poszczególnych punktów, pozostaje wielkością
stałą:
r
F=
n
∑
i =1
r
Fi =
n
∑
r
Fi 0 = 0 ,
r
P=
i =1
n
r
∑p
i
= const .
(4.2)
i =1
r
Wypadkowa siła równa jest sumie sił zewnętrznych Fi 0 , ponieważ siły wzajemnego oddziaływania
znoszą się na mocy trzeciej zasady dynamiki. Zasada ta obowiązuje więc w szczególności w układzie
izolowanym, tj. układzie, w którym nie ma oddziaływań zewnętrznych lub w układzie, w którym
r
oddziaływania zewnętrzne istnieją, ale się równoważą. Gdy F ≠ 0 , zasada zachowania pędu może
obowiązywać także selektywnie na wybranym kierunku pod warunkiem, że na tym kierunku
działające siły się znoszą lub nie występują. Wektorowy zapis zasady zachowania pędu równoważny
jest trzem zapisom skalarnym:
Px =
n
∑p
i =1
ix
= const , Py =
n
∑p
i =1
iy
= const , Pz =
n
∑p
iz
= const .
(4.3)
i =1
Równania (4.2), (4.3) obowiązują również dla ciał o skończonych rozmiarach, jeżeli pędy punktów
materialnych zastąpimy pędami środków mas tych ciał.
Ponieważ zasada zachowania pędu jest jedną z trzech podstawowych zasad obowiązujących
w przyrodzie przeanalizujmy kila przykładowych problemów w których ona jawnie występuje.
Przykład 1.
Kula o masie m1 = 0,5 kg , poruszająca się z prędkością v1 = 3 m/s , zderza się sprężyście ze
spoczywającą kulą o masie m2 = 0,3 kg . Po zderzeniu kula o masie m2 porusza się pod kątem
β = 65o względem pierwotnego kierunku przemieszczania się kuli o masie m1 . Znaleźć prędkości u1
i u 2 obydwu kul po zderzeniu oraz kąt α , o który odchyli się trajektoria kuli o masie m1 .
24
m1
m1
y
m2
v1
u1
α
x
β
m2
u2
Rozwiązanie: Zderzenia kul są sprężyste, więc nie ma strat energii kinetycznej i energia kinetyczna
układu przed zderzeniem kul jest taka sama jak po zderzeniu:
1
1
1
m1v12 = m1u12 + m2 u 22 .
2
2
2
Ponieważ nie ma oddziaływań zewnętrznych, więc sumaryczny pęd układu przed zderzeniem i po
zderzeniu także pozostaje stały. Zasada zachowania pędu (4.2) odniesiona do kierunków x i y
przyjmie odpowiednio postać:
m1v1 = m1u1 cos α + m 2 u 2 cos β ,
0 = m1u1 sin α − m 2 u 2 sin β .
Wprowadzając parametr κ = m 2 / m1 , otrzymamy układ trzech równań z trzema poszukiwanymi
wielkościami u1 , u 2 , α :
u12 = v12 − κu 22 ,
u1 cos α = v1 − κu 2 cos β ,
u1 sin α = κu 2 sin β .
Pierwsze z równań pozostawiamy bez zmian. Pozostałe dwa równania podnosimy stronami do
kwadratu i dodajemy otrzymując w wyniku układ dwóch równań postaci:
u12 = v12 − κu 22 ,
u12 = v12 − 2κv1u 2 cos β + κ 2 u 22 .
Odejmując otrzymane równania stronami, znajdujemy równanie, którego rozwiązaniem jest
poszukiwana wartość u 2 :
u2 =
2v1 cos β
.
1+ κ
Znajomość u 2 pozwala już w prosty sposób obliczyć dwie pozostałe niewiadome:
u1 = v12 − κu22 =
sin α = κ
(1 + κ ) 2 − 4κ cos 2 β
1+κ
κ sin(2β )
v1 ,
u2
sin β =
.
u1
(1 + κ ) 2 − 4κ cos 2 β
25
Podstawiając wartości liczbowe otrzymamy: u1 = 2,73 m/s , u 2 = 1,58 m/s , α = 18,35 o .
Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu.
r
Jeżeli wypadkowy moment sił M działający na układ punktów materialnych jest równy zeru, to
r
całkowity moment pędu (kręt) układu L pozostaje wielkością stałą:
r
M =
n
∑
r
Mi = 0,
r
L=
i =1
r
n
r
∑L
i
= const ,
(4.4)
i =1
s
gdzie M i oraz Li jest momentem siły i momentem pędu i-tego punktu:
r
r r
M i = ri × Fi ,
r r r
Li = ri × pi .
(4.5)
Jeżeli w układzie punktów swobodnych spełnione są dwa warunki:
•
•
r
układ jest izolowany, tj. Fi 0 = 0 dla każdego i ,
r
siły wzajemnego oddziaływania Fij są siłami centralnymi, czyli takimi siłami, których kierunek
działania pokrywa się z kierunkiem prostej przechodzącej przez obydwa punkty i oraz j (Rys.
4.2),
r
r
to wypadkowy moment siły M jest równy zeru, a wypadkowy moment pędu L jest wielkością stałą.
r r
ri − r j || Fij
mi
r
ri
r
Fij
r r
ri − r j
O
r
F ji
r
rj
mj
Rys. 4.2. Ilustracja sił centralny
Przykładem sił centralnych są siły wynikające z prawa powszechnego ciążenia oraz prawa Coulomba.
Przykład 1.
r
Na punkt materialny o masie m = 1 kg działa siła F = [1,2,−3] N . W momencie t 0 = 5 s położenie
r
punktu oraz jego prędkość określone były odpowiednio przez wektory r0 = [1,−2,4] m oraz
r
r
r
v0 = [ −1,2,4] m/s . Obliczyć moment siły M oraz moment pędu L punktu względem początku układu
współrzędnych w momencie t = 20 s .
Rozwiązanie: Punkt porusza się pod wpływem stałej siły, więc jego prędkość oraz położenie opisują
odpowiednio równania (2.10) oraz (2.11):
r r r
v = v0 + a (t − t 0 ) ,
r
r F
a= ,
m
26
r
r
1r
r = r0 + v0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 ) 2 ,
2
Zgodnie z definicją momentu siły
r r r 
r
r
r
r
1r

M = r × F =  r0 + v0 (t − t0 ) + a (t − t 0 )  × ma = [ r0 + v0 (t − t 0 )] × ma .
2


Po podstawieniu danych liczbowych znajdziemy zależność momentu siły od czasu:
r
r
r
i
j
k
r
M (t ) = − t + 6 2t − 12 4t − 16 = [−14t + 68, t + 2,−4t + 24] mN .
1
−3
2
r
r
Dla t = 20 s , M (20) = [−212,22,−56] m ⋅ N , M (20) ≈ 220 m ⋅ N .
Moment pędu definiuje iloczyn
r r
r 
r
r r
1r

L = r × mv = r0 + v0 (t − t0 ) + a (t − t0 0 × m[v0 + a (t − t0 )] =
2


r r
r
r
1
= m(r0 × v0 ) + m(t − t 0 )( 0 r × a ) + m(t − t0 ) 2 (r × a ) .
2
Podstawiając dane liczbowe otrzymamy:
r
r
r r
r r
i
j k
i
j
k
r
1
L (t ) = 1 − 2 4 + (t − 5) 1 − 2 4 + (t − 5) 2
2
−1 2 4
1 2 −3
r r r
i
j k
−1 2 4 =
1 2 −3
2
1
1

 kg m
= [−7t 2 + 68t − 181, t 2 + 2t − 30 , − 2t 2 + 24t − 7]0
.
2
2
s


r
1
2
Dla t = 20 s , L (20) = [−1621, 569 , − 390]
kg m 2 r
kg m 2
, L ( 20) ≈ 1762
.
s
s
5. Praca i energia. Zasada zachowania
zach
energii mechanicznej
Praca wykonana przez stałą siłę
sił
r
W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a ciało porusza się pod kątem
działania siły. Wtedy
7 = ∙ = ,-.
do kierunku
(5.1)
(Iloczyn
yn dwóch wektorów daje liczbę).
Zastanówmy się czy kąt α może być różny od zera? Odpowiedź jest twierdząca, bo stała siła nie musi
mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu ciała. Oczywiście muszą działać jeszcze inne siły (np.
27
ciężar, tarcie). Gdyby działała
ała tylko jedna to i tak ciało nie musiałoby poruszać się w kierunku jej
działania np. rzut ukośny (tylko grawitacja).
Wzór Fr cosα określa jedynie pracę wykonaną przy przemieszczaniu punktu przez jedną siłę. Pracę
wykonaną przez inne należy obliczyć oddzielnie i potem je zsumować. Zwróćmy uwagę, że gdy α = 0
otrzymujemy pierwszy wzór Fr.. Gdy α = 90° to z równania wynika, że W = 0.
Praca wykonana przez siłę zmienną
zmienn
Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x),
), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy
pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x1 do położenia x2. Jak skorzystać ze
wzoru W = Fr cosα czyli co podstawić za F, skoro wartość jej zmienia się (rysunki poniżej)?
F1
Fi
F2
X1
X2
Rys.5.1 Praca wykonana przez siłę zmienną
Zaczynamy od przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków ∆xi
(rysunek powyżej). Wewnątrz takiego przedziału przyjmujemy (a jest to przybliżenie), że siła jest
stała (prawie) i możemy teraz policzyć pracę na tym odcinku ∆xi: ∆Wi = Fi∆xi, gdzie Fi jest wartością
siły na tym odcinku. Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest
równoważne liczeniu sumy powierzchni prostokątów o szerokości ∆xi i wysokości Fi. Następnie
możemy zsumować prace na kolejnych
kolejnyc odcinkach (zsumować pola prostokątów) i otrzymać pracę
całkowitą.
n
∑ F ∆x
W=
i
i
(5.2)
i =1
Żeby poprawić to przybliżenie dzielimy przedział (x
( 1, x2) na więcej (mniejszych) odcinków dążąc w
granicy do
.
W rezultacie
=
7 = lim ? @ ∆@ = A 24B
∆=→
@
=`
(5.3)
To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzywą (w zadanym
przedziale - granicach).
28
r
W polu sił konserwatywnych energia potencjalna określona jest z dokładnością do stałej V ( r0 ) , którą
r
dla zdefiniowanego położenia r0 przyjmujemy zwykle, jako równą zeru. Energią potencjalną
w punkcie P jest wówczas pracą, którą wykonuje pole konserwatywne przemieszczając punkt
materialny po dowolnej drodze z punktu P do punktu P0 . W polu siły konserwatywnej całkowita
energia mechaniczna układu, równa sumie energii kinetycznej i energii potencjalnej punktu w polu tej
siły, jest w dowolnym miejscu trajektorii stała:
E = T + V = const .
(5.4)
Przykładem sił zachowawczych są siły grawitacji oraz siły sprężyste. Zasada zachowania energii
mechanicznej wyrażona równaniem (4.9) obowiązuje również w odniesieniu do układu punktów
materialnych, jeżeli przez T i V wyrazimy odpowiednio sumę energii kinetycznych i potencjalnych
wszystkich punktów układu.
Siły niezachowawcze lub niekonserwatywne, to takie siły, których praca zależy od kształtu drogi, po
której przemieszczane jest ciało. Przykładem sił niezachowawczych są siły tarcia oraz siły oporu.
Praca sił niekonserwatywnych ulega dyssypacji (rozproszeniu), a całkowita energia mechaniczna
izolowanego układu maleje.
Zachowanie całkowitej energii. W ogólnym przypadku, poza siłami konserwatywnymi na układ
mogą dodatkowo działać siły zewnętrzne oraz siły niezachowawcze w postaci sił tarcia i oporów.
Wypadkowa siła działająca na układ przyjmie wówczas postać:
r
r r r
Fw = Fc + Fz + Ft ,
(5.5)
Zmiana energii wewnętrznej jest więc równoważna pracy sił tarcia i oporów i nie jest ujęta w zmianie
energii mechanicznej układu. Pracę tą w całości znajdujemy w postaci energii rozproszonej
w układzie.
Przykład 1.
Wykazać, że podczas swobodnego spadku energia kinetyczna ciała w najniższym punkcie toru jest
dokładnie równa jego energii potencjalnej w chwili początkowej.
Rozwiązanie.
W celu pełnego zrozumienia problemu posłużmy się rysunkiem, na którym dane ciało znajduje się
w chwili początkowej w punkcie A na wysokości h nad powierzchnią. Względem niej posiada ono
energię potencjalną EA=mgh.
A
h
B
Puszczone swobodnie ciało (zaniedbujemy opory ruchu) porusza się ruchem jednostajnie
przyśpieszonym i uderza w powierzchnię w punkcie B, w którym posiada energię kinetyczną:
29
2
Ponieważ jest to ruch jednostajnie przyśpieszony (z przyśpieszeniem ziemskim g), bez prędkości
początkowej korzystamy z relacji:
+ ℎ=
, = +
2
D" =
Wyznaczamy z pierwszego z
równań czas trwania ruchu
G
H
= F , który po podstawieniu do
drugiego z równań pozwala wyznaczyć prędkość ciała w punkcie B, = I2+ℎ.
Uwzględniając powyższą zależność w równaniu na energię kinetyczną punkcie B, otrzymujemy:
D" = JI2+ℎK = +ℎ,
2
Co oznacza, że jest ona dokładnie równa energii potencjalnej w punkcie A.
W powyższym przykładzie analizowaliśmy dwa skrajne punkty toru, jednak możemy wybrać dowolny
punkt C, w którym spadające swobodnie ciało posiada zarówno energię kinetyczną:
M
DL =
2
VC- prędkość ciała w punkcie C, jak również energię potencjalną:
DN = +O
W efekcie całkowita energia swobodnie spadającego ciała w punkcie C wynosi:
M
DM = DL + DN =
+ +O
2
i jest dokładnie równa energii w punkcie A i energii w punkcie B.
A
h
C
H
B
Przykład 2.
Wyznaczyć prędkość środka masy jednorodnej kuli u podnóża równi o wysokości h, zakładając że
staczała się bez tarcia i bez poślizgu.
Przeanalizujemy dwa warianty rozwiązań powyższego problemu, po pierwsze żeby pokazać
znaczenie wyboru układu odniesienia, a po żeby drugie przybliżyć twierdzenie Steinera.
Rozważmy zagadnienie względem środka masy kuli, który uczestniczy jednocześnie w dwóch
rodzajach ruchu; postępowym i obrotowym. Odpowiada mu więc energia kinetyczna związana z tymi
dwoma formami ruchu. W punkcie A na szczycie równi (rys) kulka posiada energię potencjalną, która
względem podstawy wynosi:
DP = +ℎ
30
A
O
h
S
B
Podczas staczania się bez tarcia i bez poślizgu energia potencjalna kulki zamienia się w energię
kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego. Tak, że w punkcie B wynosi ona:
Q R
D" =
+
2
2
Q = S jest momentem bezwładności kulki względem osi obrotu przechodzącej przez środek
masy. W rozważanym przypadku gdzie nie ma poślizgu prędkość liniowa i kątowa są
2
5 T U
7
D" =
+
=
2
2
10
Korzystając z zasady zachowania energii DP = D" otrzymujemy:
7
+ℎ =
10
I w rezultacie : = F
XHG
.
Ten sam wynik możemy uzyskać analizując zachowanie kulki względem rzeczywistej-chwilowej osi
obrotu, którą wyznacza punkt styczności kulki z podłożem- punkt S. Względem niego kulka
wykonuje wyłącznie ruch obrotowy i jej energia kinetyczna w punkcie B jest wyłącznie energią
kinetyczną związaną z ruchem obrotowym:
QR
D" =
2
Jednak tym razem moment bezwładności musi być liczony nie względem osi przechodzącej przez
środek masy jak poprzednio, ale względem osi rzeczywistej odległej od osi związanej ze środkiem
masy o promień kulki – r. W celu wyznaczenia I, korzystamy z twierdzenia Steinera:
X
Q = Q + = S .
Podstawiając tą relację do równania na energię kinetyczną w punkcie B otrzymujemy:
Y X
X
D" = T Z U S = ,
a więc dokładnie taką samą wartość jak poprzednio i w rezultacie wartość prędkości również musi być
analogiczna.
Przykład.3
Z okna znajdującego się na wysokości h nad powierzchnią rzucamy piłkę nadając jej prędkość V0
skierowaną pod kątem . do poziomu (rys.). Z jaką prędkością uderzy piłka w powierzchnię ziemi?
31
A
V0
.
B
h
V
Pozornie wydawać się może, że zadanie jest trudne i wymaga dokładnej analizy związanej z rzutem
ukośnym. Jednak ponieważ nie interesuje nas kierunek i zwrot prędkości końcowej, a jedynie jej
wartość korzystamy z zasady zachowania energii:
DP = D"
+ℎ +
=
2
2
Skąd bezpośrednio otrzymujemy:
= F + 2+ℎ
Przykład.4.
Kulka o masie m i gęstości [ znajduje się na wysokości h nad powierzchnią cieczy o gęstości
[ > [ .
Puszczona swobodnie zanurza się na głębokość H. Zaniedbując siły lepkości wyznaczyć ciepło jakie
wydziela się podczas zderzenia kulki z powierzchnią cieczy.
A
h
B
H
C
Rozwiązanie.
Posłużymy się zasadą zachowania energii. W punkcie A rysunek powyżej kulka posiada względem
powierzchni wody energię potencjalną:
DP = +ℎ.
32
Puszczona swobodnie porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym i w punkcie B uzyskuje
energię kinetyczną:
"
D" =
2
Zgodnie z zasadą zachowania energii EA=EB co pozwala nam wyznaczyć prędkość jaką ciało uzyska
przy zetknięciu z powierzchnią cieczy:
" = I2+ℎ
Prędkość ta jest prędkością początkową podczas ruchu kulki w cieczy. Ponieważ z warunków
początkowych wynika, że gęstość cieczy jest większa od gęstości kulki jej ruch w cieczy (na odcinku
BC) będzie ruchem jednostajnie opóźnionym, przy czym prędkość końcowa w punkcie C jest równa
zeru.
Fw
Q
Rozważmy teraz siły działające na kulkę poruszającą się w cieczy (rysunek powyżej). Przy
zaniedbaniu oporów cieczy (lepkość) na kulkę działa siła ciężkości Q i siła wyporu Fw.
3 = + = [ +, ] = [ + , tutaj V oznacza objętość kulki
Zatem wypadkowa siła działająca na kulkę wynosi :
] − 3 = [ + − [ + = +2[ − [ 4
Pod jej wpływem kulka porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym z przyśpieszeniem:
+2[ − [ 4 +2[ − [ 4
= =
=
[
[
Wykorzystujemy teraz równania na ruch jednostajnie opóźniony:
= − , = −
2
Pamiętając, że V0=VB, oraz, że prędkość końcowa V=0, zapisujemy powyższe równania w postaci:
" = ,
= " −
.
2
Z pierwszego równania wyznaczamy teraz czas
"
=
Co po podstawieniu do drugiego z równań daje relację:
" " "
=
−
= ,
2 2
Podstawiając wyznaczone wcześniej wartości a, oraz VB otrzymujemy:
2+ℎ
2ℎ[
=
=
.
+2[ − [ 4 2[ − [ 4
[
Jest to głębokość na jaką zanurzyłaby się kulka gdyby nie było żadnych strat energii. Jednak zderzenie
z powierzchnią cieczy nie jest doskonale sprężyste (część energii zamienia się na ciepło) i dlatego
>O.
33
Z drugiej strony jest to równanie, które pozwala nam wyznaczyć wysokość h , z jakiej spadła kulka
o danej gęstości, jeżeli wiemy, że zanurzyła się w danej cieczy na głębokość s.
2[ − [ 4
ℎ=
2[
Stąd w naszym przypadku, kulka, która zanurzyła się na głębokość H, bez strat energii powinna spaść
z wysokości h1<h:
O2[ − [ 4
ℎ =
2[
Natomiast energia potencjalna kulki odpowiadająca różnicy wysokości ∆ℎ = ℎ − ℎ jest liczbowo
równa ciepłu jakie wydzieliło się podczas zderzenia kulki z powierzchnią cieczy;
O2[ − [ 4
∆D = 2ℎ − ℎ 4+ = + ^ℎ −
_
2[
6. Dynamika bryły sztywnej
Moment siły, moment pędu i moment bezwładności.
Aby spowodować ruch postępowy konieczne jest przyłożenie do ciała siły. Aby wprawić bryłę w ruch
obrotowy wokół osi lub punktu niezbędne jest przyłożenie momentu siły:
r r r
M =r×F ,
M = rF sin ϕ = rF⊥ .
(6.1)
Warunkiem koniecznym wprowadzenia bryły sztywnej w ruch obrotowy jest istnienie w płaszczyźnie
r
obrotu niezerowej składowej F⊥ siły F (Rys. 6.1.).
r
F⊥
O
r
F
r
r
ϕ
r
F||
r
Rys. 6.1. Ilustracja do definicji momentu siły. Moment siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r
r
i F .
r
Prędkość ruchu obrotowego scharakteryzowana jest wektorem prędkości kątowej ω . Wektor ten,
podobnie jak każdy inny wektor, ma trzy przestrzenne składowe, co oznacza, że dowolny ruch
obrotowy można rozłożyć na trzy niezależne obroty wokół osi x , y , z :
r
ω = [ω x , ω y , ω z ] .
(6.2)
34
O
z
r
L
dm
r
v
r
ω = [ω x , ω y , ω z ]
r
r
y
S
x
O
Rys. 6.2. Ilustracja prędkości kątowej i momentu pędu bryły w ruchu obrotowym wokół osi.
Moment pędu bryły obracającej się wokół osi wynosi:
r
v
L = Iω .
(6.3)
W powyższym wyrażeniu I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu określonym
przez wyrażenie:
∫
I = r 2 dm ,
(6.4)
m
gdzie m oznacza masę bryły, a dm jest elementem masy oddalonym od osi obrotu o r . Momenty
bezwładności dla niektórych brył podano na Rys. 5.3.
b
r
a
h
r
I=
2
mr 2
5
I=
1
m(a 2 + b 2 )
12
I=
h
3
mr 2
10
2R
2r
h
l
r
I=
1 2
mr
2
I=
1
m(r 2 + R 2 )
2
I=
1
ml 2
12
Rys. 6.3. Momenty bezwładności niektórych brył obliczone względem osi przechodzących przez ich środki mas (linie
przerywane).
35
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. Dla ruchu obrotowego, druga zasada dynamiki
przyjmuje postać:
r
r
dL d ( Iω) r
=
=M.
dt
dt
(6.5)
Jeżeli bryła nie zmienia geometrii, to przyłożenie momentu siły wprawia bryłę w ruch obrotowy
jednostajnie przyspieszony. Jeżeli na bryłę sztywną nie działa żaden moment siły, to bryła się nie
r
obraca lub obraca się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową ω , co oznacza między innymi,
że podczas obrotu oś obrotu nie zmienia swojej orientacji w przestrzeni. Jeżeli na bryłę nie działa
r
moment siły, a bryła może w trakcie obrotu zmieniać geometrię, to iloczyn Iω = const .
Energia kinetyczna ruchu obrotowego. Energia kinetyczna ruchu obrotowego wokół ustalonej
osi wynosi:
1
T = Iω 2 .
2
(6.6)
Twierdzenie Steinera. Twierdzenie to pozwala obliczyć moment bezwładności I bryły względem
określonej osi O , jeżeli znamy moment bezwładności ciała I S względem osi do niej równoległej
i przechodzącej przez środek masy S bryły:
I O = I S + md 2 ,
(6.7)
gdzie d jest odległością między osiami, a m jest masą bryły (Rys.4.4).
S
d
m
O
S
Rys. 6.4. Ilustracja do twierdzenia Steinera.
Równowaga statyczna układu. Warunki statycznej równowagi układu mechanicznego wynikają
z zasad Newtona. Warunkiem koniecznym równowagi statycznej jest równoważenie się wszystkich sił
r
Fi działających na układ z uwzględnieniem sił zewnętrznych i sił reakcji:
n
r
∑F
i
= 0,
i = 1,2,..., n .
(6.8)
i =1
36
Jeżeli warunek ten nie będzie spełniony, układ dozna przemieszczenia z pewnym przyspieszeniem.
Z równania (5.8) wynika, że równowaga wszystkich sił musi zachodzić na każdym kierunku
przestrzennym x , y , z :
n
∑F
ix
n
∑F
= 0,
iy
i =1
= 0,
i =1
n
∑F
iz
= 0.
(6.9)
i =1
Warunek (6.8) nie zawsze jednoznacznie wyznacza równowagę statyczną układu. Czasami siły
równoważą się, ale tworzą wypadkową parę sił, która mogłaby nadać układowi pewien ruch obrotowy.
Warunkiem przeciwdziałającym takiemu ruchowi jest równoważenie się wszystkich momentów sił
r
Mi:
n
∑
r
Mi = 0,
i = 1,2,..., n .
(6.10)
i =1
Warunek (5.10) równoważny jest trzem zapisom skalarnym:
n
∑M
i =1
ix
= 0,
n
∑M
iy
n
∑M
=0,
i =1
iz
=0.
(6.11)
i =1
W statyce, wybór punktu przestrzeni lub osi, względem której sumujemy momenty sił, nie ma
znaczenia. Zwykle punkt lub oś, względem której sumujemy momenty, dobieramy tak, aby uprościć
rachunki.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to by układ był w równowadze statycznej jest więc
równoważenie się wszystkich sił oraz wszystkich momentów sił działających na układ.
Przykład 1.
Przez podwieszony do sufitu bloczek o masie m = 0,2 kg przerzucono nierozciągliwą nić, na końcach
której zawieszono odważniki o masach m1 = 2 kg i m 2 = 5 kg . Obliczyć przyspieszenie odważników,
naciągi nici z obu stron bloczka oraz naprężenie pomiędzy bloczkiem i sufitem.
m
m1
m2
Rozwiązanie: Zadanie można rozwiązać dwoma sposobami: stosując wprost do poszczególnych
elementów układu drugą zasadę dynamiki lub wykorzystując do układu, jako całości, zasadę
zachowania energii mechanicznej.
37
m
r
N1
r
a
m
r
N2
h
r
m1 g
0
h
r
−a
m1
r
m2 g
m2
Na masę m1 działają dwie siły: siła ciężkości o wartości m1 g oraz przeciwnie do niej skierowana
siła naciągu nici o wartości N 1 > m1 g . Odważnik o masie m1 będzie się więc poruszał do góry z
przyspieszeniem a wynikającym z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego:
F1 = N 1 − m1 g = m1 a .
Ciężar drugiego odważnika m 2 g jest większy od naciągu N 2 doczepionej do niego nici. Nić jest
nierozciągliwa, więc wartość przyspieszenia a , z jakim opada ten odważnik jest taka sama jak dla
pierwszego odważnika, a jego ruch opisuje równanie:
F2 = m 2 g − N 2 = m 2 a .
Bloczek obraca się ruchem obrotowym jednostajnie przyspieszonym pod wpływem wypadkowego,
niezerowego momentu siły M wynikającego z istnienia różnych wartości naciągów obydwu końców
nici. Ruch bloczka odbywa się zgodnie z drugą zasadą dynamiki, która w odniesieniu do ruchu
obrotowego ma postać:
M = ( N 2 − N 1 ) R = Iε ,
gdzie R jest promieniem bloczka, I = 0.5mR 2 - jego momentem bezwładności, a ε - przyspieszeniem
kątowym, związanym z przyspieszeniem liniowym a za pośrednictwem relacji ε = a / R .
Uwzględniając powyższe uwagi zapisujemy ostatnie równanie w postaci:
1
N 2 − N1 = ma .
2
Ruch poszczególnych elementów układu opisany został za pośrednictwem trzech równań z trzema
niewiadomymi: a , N 1 , N 2 . Po prostych przekształceniach otrzymamy:
a=
m 2 − m1
g,
1
m1 + m 2 + m
2
1
m1
2
N1 = m1 ( g + a) = m1
g,
1
m1 + m2 + m
2
2m2 +
38
1
m
2
N 2 = m2 ( g − a) = m2
g.
1
m1 + m2 + m
2
2m1 +
Naprężenie zawiesia pomiędzy bloczkiem, a sufitem wyznacza równanie:
N = N 1 + N 2 + mg =
3
1
(m1 + m2 )m + m 2
2
2
g.
1
m1 + m2 + m
2
4m1m2 +
Podstawiając dane liczbowe znajdziemy: a = 4.15 m/s 2 , N 1 = 27.92 N , N 2 = 28.30 N , N = 58.20 N
Przykład 2.
Jednorodna, sztywna belka o długości L = 1.5 m i ciężarze Q = 400 N wisi na dwóch linach
zaczepionych do jej końców. Dwa pozostałe końce lin podczepione są do wspólnego zawiesia.
Długość każdej z lin wynosi l = 1.4 m . Obliczyć naprężenia lin zakładając, że ich ciężar jest
nieporównywalnie mniejszy od ciężaru belki.
Rozwiązanie:
l
y
r
j
r
N1 y
r
i
x
l
r
N1
r
N2
r
N 1x
r
N 2x
L/2
L/2
r
N2y
r
Q
r
r
r
Na układ działają naprężenia nici N1 , N 2 oraz ciężar belki Q . Warunek równowagi (5.8) przyjmie
więc postać:
r r
r
Q + N1 + N 2 = 0 .
Warunek ten równoważny jest dwóm zapisom skalarnym (5.9):
0 + N 1x − N 2 x = 0 ,
− Q + N1 y + N 2 y = 0 .
Z pierwszego równania wynika, że N 1x = N 2 x ≡ N x . Z symetrii zadania oraz z drugiego równania
wynika natomiast, że N1 y = N 2 y ≡ N y = Q / 2 . Naprężenia lin muszą więc być takie same:
N 1 = N 2 = N . Z podobieństwa odpowiednich trójkątów (rysunek) wynika ponadto proporcja:
39
Ny
N
=
l 2 − ( L / 2) 2
l
.
Podstawiając w powyższym równaniu N y = Q / 2 znajdziemy:
N=
Ql
4l 2 − L2
.
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: N 1 = N 2 = N = 236,85 N .
Przykład 3.
Jednorodna, metalowa belka o długości L = 5 m i masie m = 100 kg spoczywa na dwóch podporach.
Punkty podparcia belki znajdują się: jeden na jednym jej końcu, a drugi w odległości l = 1.5 m od jej
drugiego końca. Obliczyć reakcje podpór. Przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s 2 .
Rozwiązanie:
z
r
k
x
r
j y
r
i
r
F2
r
F1
S
r
r
Q = mg
r
r
r
Na układ działają siły: ciężar belki Q oraz reakcje podpór F1 i F2 . Warunek równowagi sił (5.8) ma
postać:
r r r
Q + F1 + F2 = 0 .
Ponieważ brak jest składowych sił wzdłuż osi x oraz z , więc równanie to możemy zapisać w postaci
jednego równania skalarnego odniesionego do kierunku y :
− Q + F1 + F2 = 0
Jest to równanie z dwoma niewiadomymi F1 i F2 . Warunek ten jak widać nie wystarcza do
znalezienia reakcji podpór. Aby znaleźć drugie równanie korzystamy z warunku (5.10) równoważenia
się wszystkich momentów sił działających na układ:
r
r
r
M Q + M F1 + M F2 = 0
40
r
F1
r
F2
r
F1
r
r1
S
r
r1
r
r2
r
F2
r
r
Q = mg
ϕ1
ϕ2
r
r2
Jeżeli przyjmiemy, że punkt, względem którego liczymy momenty sił znajduje się w środku ciężkości
r
r
r
belki S , to moment siły Q będzie równy zero, a momenty sił F1 i F2 będą odpowiednio równe:
r
r
r r
L r
M F1 = r1 × F1 = r1 F1 sin ϕ1 k = − F1k ,
2
r
r
r
r r
L
M F2 = r2 × F2 = r2 F2 sin ϕ 2 k = ( − l ) k ,
2
( ϕ1 = 270o , r1 =
( ϕ 2 = 90 o , r2 =
L
),
2
L
− l ).
2
Warunek równoważenia się momentów sił przyjmie więc postać:
−
L
L 
F1 +  − l  F2 = 0 .
2
2

Powyższe równanie jest drugim - brakującym równaniem pozwalającym na obliczenie reakcji podpór.
Po prostych przekształceniach otrzymamy:
F1 =
L − 2l
mg ,
2( L − l )
F2 =
L
mg .
2( L − l )
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: F1 = 285,7 N , F2 = 714,3 N . Można sprawdzić, że rezultat
ten pozostanie bez zmian, jeżeli momenty sił będą liczone względem innego, dowolnie wybranego
punktu odniesienia.
7. Pole grawitacyjne
Prawo powszechnego ciążenia. Dwie masy punktowe M i m przyciągają się wzajemnie siłą
proporcjonalną do tych mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości, przy czym
kierunek działania sił pokrywa się z kierunkiem prostej przechodzącej przez obydwa punkty. W
zapisie wektorowym i skalarnym prawo to ma postać:
r
r
Mm r
F = −G 2 ,
r r
−11
F =G
Mm
,
r2
(7.1)
gdzie G = 6,67 ⋅ 10 Nm /kg jest stałą grawitacji. Powyższy zapis jest także prawdziwy dla mas
kulistych. Równanie (7.1) obowiązuje również dla mas o nieregularnych kształtach pod warunkiem, że
wymiary takich ciał są nieporównywalnie mniejsze od dzielącej ich odległości r , utożsamianej
w przypadku obiektów o skończonych gabarytach z odległością między środkami mas tych ciał.
2
2
41
r
r
F
r
−F
m
M
Rys. 7.1. Ilustracja do prawa powszechnego ciążenia.
Natężenie pola grawitacyjnego. Jest to siłowy parametr charakteryzujący pole grawitacyjne
towarzyszące masie M i zdefiniowane, jako siła oddziaływania tego pola na umieszczoną w nim
jednostkową masę próbną:
r
r
F
M r
γ = = −G 2 .
m
r r
r
(7.2)
r
Linie sił pola grawitacyjnego, to z definicji krzywe, do których wektor γ jest styczny w każdym ich
punkcie.
Ciężar ciała i przyspieszenie ziemskie. Ciężarem ciała o masie m nazywamy siłę, z jaką Ziemia
lub inne ciało niebieskie przyciąga tą masę na swojej powierzchni. Siła ta określona jest przez prawo
powszechnego ciążenia (7.1) i w przypadku Ziemi wynosi:
F = F (r = R Z ) = G
MZm
RZ
2
g =G
= mg ,
MZ
RZ
2
,
(7.3)
2
gdzie M Z jest masą Ziemi, RZ - jej promieniem, a g = 9.81m/s - przyspieszeniem ziemskim.
Praca sił pola grawitacyjnego.
r r
F (rA )
r
rA
m
A
M
r r
F ( rB )
r
rB
B
Rys. 7.2. Praca pola grawitacyjnego nie zależy od drogi przemieszczanego ciała.
Pole grawitacyjne jest polem zachowawczym. Praca sił pola grawitacyjnego wytworzonego przez
masę M i przemieszczającego masę próbną m między dwoma punktami A i B tego pola nie zależy
od kształtu drogi i wyraża się wzorem:
L A→ B = GMm(
1 1
− ),
rB rA
(7.4)
42
gdzie rA i rB oznaczają odległości punktów A i B od źródła pola. Powyższy wzór obowiązuje w
przypadku pola o symetrii sferycznej. Dla jednorodnego pola grawitacyjnego, przy powierzchni
Ziemi, praca ta zależy tylko od różnicy wysokości przemieszczanego przez to pole ciała:
L A → B = − mg ( h B − h A ) ,
(7.5)
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.
Energia potencjalna pola grawitacyjnego. Praca sił pola grawitacyjnego jest określona
jednoznacznie, natomiast energia potencjalna pola określona jest z dokładnością do dowolnej stałej. W
przypadku pola grawitacyjnego o symetrii sferycznej przyjmujemy zwykle, że energia potencjalna
znika w nieskończoności. Przy takim założeniu energia potencjalna pola grawitacyjnego zależy tylko
od odległości r od źródła pola i wynosi:
V (r ) = −G
Mm
.
r
(7.6)
Porównując wyrażenia (6.4) i (6.6) widzimy, że energia potencjalna jest pracą, którą wykonuje pole
grawitacyjne przemieszczając (po dowolnej drodze) umieszczoną w nim masę m od punktu
wyznaczonego przez odległość r do nieskończoności. Dla jednorodnego pola grawitacyjnego przy
powierzchni Ziemi:
V = mgh ,
(7.7)
gdzie h jest wysokością nad pewnym określonym poziomem, dla którego przyjęto V = 0 .
Zasada zachowania energii w polu grawitacyjnym. Pole grawitacyjne jest polem
zachowawczym, więc całkowita energia mechaniczna ciała o masie m umieszczonego w dowolnym
punkcie tego pola odległego o r od jego źródła jest stała:
E =T +V =
1
Mm
mv 2 − G
= const .
2
r
(7.8)
Dla jednorodnego pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi zasada ta ma postać:
E =T +V =
1
mv 2 + mgh = const .
2
(7.9)
Pierwsza prędkość kosmiczna. Jest to najmniejsza prędkość, jaką należy nadać ciału względem
przyciągającego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało się po zamkniętej orbicie i stało się
satelitą ciała niebieskiego. Dla planety o kształcie kuli, orbita ta jest orbitą kołową o promieniu
równym promieniowi planety. Dla Ziemi, pierwsza prędkość kosmiczna wyrażona jest wzorem:
v1 =
GM Z
km
= gRZ = 7.91
.
Rz
s
(7.10)
Druga prędkość kosmiczna. Jest to tzw. prędkość ucieczki, tj. prędkość, jaką należy nadać ciału,
aby opuściło ono na zawsze pole grawitacyjne ciała niebieskiego i poruszało się dalej ruchem
swobodnym z całkowitą energią równą zeru. Dla Ziemi, druga prędkość kosmiczna wynosi:
43
v2 =
2GM Z
km
= 2 gRZ = 11.2
s
Rz
(7.11)
Trzecia prędkość kosmiczna, to prędkość potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego
( v 3 = 16 .7 km/s).
Czwartą prędkość kosmiczną należy nadać ciału by opuściło Galaktykę ( v 4 = 130 km/s).
Pierwsze prawo Keplera. Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po
elipsie, w której jednym z ognisk jest Słońce.
y
c
b
0
f1
x
f2
a
x2 y2
+
=1
a2 b2
Rys. 7.3. Parametry elipsy: a - duża półoś, b - mała półoś. f 1 , f 2 -ogniska elipsy.
W matematyce elipsę opisujemy podając jej dużą i małą półoś (Rys 7.3.). Spłaszczenie elipsy
określa mimośród e = c / a . Parametr ten jest względnie duży dla Merkurego ( e = 0.21 ) i Plutona
( e = 0.25 ) natomiast dla pozostałych planet nie przekracza wartości e = 0 .1 (dla Ziemi e = 0.02 ).
Drugie prawo Keplera. Prawo to jest konsekwencją zasady zachowania momentu pędu i głosi,
r
że prędkość polowa planety v P , tj. powierzchnia zakreślana w jednostce czasu przez jej promień
r
wodzący r (poprowadzony od Słońca) jest stała:
r
r
L
1 r r
vP =
= ( r × v ) = const ,
2m 2
(7.12)
44
r
r
gdzie L jest momentem pędu planety o masie m i prędkości liniowej v . Z prawa tego wynika,
że w perihelium prędkość planety jest większa od prędkości w aphelium.
r
1 r r
v P = ( r × v ) = const
2
r
v
r
L
r
r
m
r
F
S
Ph
Aph
f2
f1
Rys. 7.4. Ilustracja drugiego prawa Keplera.
Trzecie prawo Keplera. Stosunek sześcianu dużej półosi orbity do kwadratu okresu obiegu
planety dookoła Słońca jest stały dla wszystkich planet Układu Słonecznego:
a3
= const .
T2
(7.13)
Przykład 1.
Okres obiegu dookoła Słońca jest więc dłuższy dla planet bardziej od Słońca odległych.
Satelita o masie m = 1000 kg okrążał Ziemię po orbicie kołowej w odległości h1 = 900 km od
powierzchni Ziemi. Satelita ten został przeniesiony na orbitę eliptyczną, na której jego odległość od
powierzchni Ziemi w perigeum pozostała taka sama, a w apogeum była równa h2 = 18000 km .
Obliczyć:
1. okres obiegu T1 oraz prędkość v1 satelity krążącego wokół Ziemi po pierwotnej orbicie kołowej,
2. okres obiegu T2 oraz prędkości satelity w perigeum v p i apogeum v a po przeniesieniu na orbitę
eliptyczną,
3. ilość energii niezbędnej do przeniesienia satelity z orbity kołowej na orbitę eliptyczną.
Promień Ziemi R Z = 6370 km , przyspieszenie ziemskie g = 9.81 m/s 2 .
Rozwiązanie:
RZ
P
h1
A
h2
45
1. Na satelitę poruszającego się wokół Ziemi działa tylko siła grawitacyjnego przyciągania, która jest
siłą dośrodkową:
FG = FDS ,
G
MZm
mv12
=
.
( RZ + h1 ) 2 RZ + h1
W równaniu tym występuje nieznana wartość stałej grawitacji G oraz masy Ziemi M Z . Iloczyn
obydwu tych wielkości znajdziemy wychodząc z definicji przyspieszenia ziemskiego g , tj.
przyspieszenia, jakiego doznaje każde ciało przy powierzchni Ziemi:
G
MZm
R Z2
GM Z = gRZ2 .
= mg ,
Uwzględniając powyższe relację otrzymamy:
v1 = RZ (
g
2π ( RZ + h1 ) 2π ( RZ + h1 ) 3 / 2
)1/ 2 , T1 =
=
.
RZ + h1
v1
RZ g 1/ 2
Po podstawieniu danych liczbowych znajdziemy: v1 = 7400 m/s , T1 = 6170 s .
2. Okres obiegu satelity po orbicie eliptycznej obliczymy z trzeciego prawa Keplera odniesionego do
ruchu satelity po orbitach okołoziemskich. Dla rozważanej orbity kołowej i eliptycznej prawo to
przyjmie postać:
a13
( RZ + h1 )3
T12
=
=
,
a23 [(2 RZ + h1 + h2 ) / 2]3 T22
gdzie a1 i a 2 są dużymi półosiami odpowiednio pierwotnej orbity kołowej, równej promieniowi tej
orbity, oraz orbity eliptycznej. Uwzględniając obliczony w punkcie pierwszym okres T1 otrzymamy:
T2 =
π (2 RZ + h1 + h2 )3 / 2
RZ
(2 g )1/ 2
.
Związek między prędkością satelity w perigeum i apogeum otrzymamy z drugiego prawa Keplera.
W obydwu punktach orbity eliptycznej wektor wodzący satelity (o początku w środku masy Ziemi)
jest prostopadły do wektora prędkości i skalarny zapis równania (6,12) przyjmuje postać:
( RZ + h1 )v p = ( RZ + h2 )va .
Jest to równanie o dwóch niewiadomych. Brakujące równanie otrzymamy z zasady zachowania
energii. Ruch satelity odbywa się w polu zachowawczym, więc całkowita energia mechaniczna
satelity w dowolnym punkcie orbity eliptycznej jest taka sama. Porównując całkowitą energię (6.8)
w perigeum i apogeum orbity eliptycznej otrzymamy:
MZm
MZm
1
1
, GM Z = gRZ2 .
mv 2p − G
= mv a2 − G
2
R Z + h1 2
R Z + h2
Rozwiązując otrzymany układ równań znajdziemy:
46
1/ 2


2g ( RZ + h2 )
v p = RZ 
 ,
(
2
R
+
h
+
h
)(
R
+
h
)
1
2
1 
Z
Z

1/ 2


2 g ( RZ + h1 )
va = RZ 
 .
 (2RZ + h1 + h2 )(RZ + h2 ) 
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: T2 = 19806 s , v p = 9184 m/s , v a = 2740m/s .
3. Całkowita energia mechaniczna satelity na orbicie kołowej wynosi:
E1 =
MZm
R Z2
1
1
.
mv12 − G
= − mg
2
R Z + h1
2
R Z + h1
Całkowitą energia na orbicie eliptycznej jest równa całkowitej energii mechanicznej w dowolnym
punkcie orbity. Przyjmując, że punktem tym jest perigeum znajdziemy:
E2 =
MZm
R Z2
1
.
mv 2p − G
= − mg
2
R Z + h1
2 R Z + h1 + h2
Ilość energii niezbędnej do przeniesienia satelity z orbity kołowej na orbitę eliptyczną
∆E = E2 − E1 = mg
RZ2 (h2 − h1 )
.
2(2 RZ + h1 + h2 )( RZ + h1 )
Podstawiając dane liczbowe otrzymamy ∆E = 14,8 GJ .
Przykład 2.
Promień Ziemi wynosi R = 6,37 ⋅ 10 m . Przyjmując przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni
6
Ziemi g = 9,81
m
kg
oraz zakładając, że jej średnia gęstość ρ = 5,4 ⋅ 10 3 3 wyznaczyć wartość stałej
2
s
m
grawitacji.
Stosujemy prawo powszechnego ciążenia do ciała o masie m znajdującego się na powierzchni Ziemi.
F =G
Mm
R2
(1)
gdzie: M oznacza masę Ziemi, a R jej promień.
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki
gR 2
Mm
G 2 = mg stąd G =
M
R
(2)
Zakładając, że Ziemia jest kulą i korzystając z definicji gęstości
ρ=
M
M
=
V
4 / 3πR 3
(3)
wyznaczamy masę Ziemi
47
M =
4 3
πR ρ
3
(4)
co po podstawieniu do równania (2) pozwala zapisać G w postaci:
G=
3g
4πρR
a po podstawieniu wartości G = 6,81 ⋅ 10
−11
Tablicowa wartość G = 6,67 ⋅ 10
−11
(5)
N ⋅ m2
kg 2
N ⋅ m2
jest nieco mniejsza a niedokładność wynika z przyjęcia
kg 2
stałej gęstości Ziemi.
Przykład.3
Dwie gwiazdy o masach m i 2m odpowiednio krążą wokół wspólnego środka masy pod wpływem
przyciągania grawitacyjnego. Wiedząc, że odległość między ich środkami wynosi l wyznaczyć
prędkość kątową (stała grawitacji - G ).
2m
m
r1
r2
l
Gwiazdy przyciągają się siłą grawitacji
F =G
( 2 m) m
2m 2
=
G
l2
l2
Obie gwiazdy obracają się wokół wspólnego środka masy S wyznaczonego z warunku:
1
r
=
l
1
⋅
r
=
m
⋅
r
2 m
/ 1 / 2
3
⇒

2
r1 + r2 = l
r2 = l
3
i w przypadku gwiazdy o masie mniejszej
2
Fr = mω 2 r2 = 2 mω 2 r1 = mω 2 l
3
(siła grawitacji jest tutaj siłą dośrodkową), natomiast dla gwiazdy o masie 2m
48
Fr = 2 mω 2 r1 =
2
m ω 2l
3
Porównując siłę grawitacji z siłą dośrodkową otrzymujemy
2/ m 2/ 2/
2
G 2 = m
/ω l
l
3
3Gm = ω 2l 3
a stąd:
ω=
3Gm
l3
Warto przy okazji przeanalizować interesujący przykład dotyczący analizy ruchu ciała w polu siły.
y
Vy
V0
Q
V0x
β
V0x
H
V0y
α
V0x
z
x
Rys.7.5. Rzut ukośny
Rozważamy tak zwany rzut
ut ukośny, w którym ciału nadajemy prędkość V0, skierowaną pod kątem do
poziomu. Zaniedbujemy siłę oporu powietrza, zakładając, że na ciało działa jedynie skierowana
pionowo w dół siła ciężkości Q. Wygodnie jest wprowadzić układ odniesienia, związany ze środkiem
masy ciała, taki że jedna z osi jest równoległa, a druga prostopadła do kierunku działającej siły.
Następnie rozkładamy wektor prędkości początkowej na dwie składowe V0x, i V0y. Rozpatrujemy
ruch ciała jako złożenie dwóch niezależnych ruchów: jednostajny wzdłuż osi x, oraz jednostajnie
opóźniony wzdłuż osi y. Równania ruchu przyjmują postać:
Eliminując z powyższych relacji czas znajdujemy równanie toru, następnie zasięg rzuturzutu z i wysokość
maksymalną H. Zauważmy jak zmieniają się obie składowe prędkości w różnych punktach toru.
49
8. Drgania
Ruchem drgającym okresowym nazywamy taki ruch, w którym układ po upływie pewnego czasu,
nazywanego okresem drgania, wraca do stanu wyjściowego.
Drganie harmoniczne proste. W ujęciu geometrycznym drganie harmoniczne proste to ruch, jaki
wykonuje rzut punktu poruszającego się po okręgu na średnicę tego okręgu (Rys. 8.1).
P′
A0
− A0
ϕ
0
P
x(t )
A0
x
Rys. 8.1. Ilustracja do definicji geometrycznej drgania harmonicznego prostego.
Drganie harmoniczne proste jest drganiem o stałej w czasie amplitudzie. Równanie opisujące drganie
harmoniczne proste przedstawia zależność wychylenia x (t ) drgającego punktu P z położenia
równowagi 0 w funkcji czasu t (Rys. 8.2):
x (t ) = A 0 cos( ω 0 t + ϕ 0 ) ,
(8.1)
gdzie:
• A0 - amplituda drgania (maksymalne wychylenie z położenia równowagi),
• ω 0 = 2π / T0 = 2π / f 0 - częstość kołowa drgania,
• T0 - okres drgania,
•
f 0 = 1 / T0 - częstotliwość drgania,
• ϕ (t ) = ω 0 t + ϕ 0 - faza drgania,
• ϕ 0 = ϕ (t = 0 ) - faza początkowa drgania.
x (t )
A0
0
T0
t
− A0
Rys. 8.2. Zależność wychylenia drgającego punktu z położenia równowagi od czasu w drganiu harmonicznym prostym.
50
W ujęciu matematycznym drganie harmoniczne proste to ruch opisany równaniem:
d 2x
2
+ ω0 x = 0 .
2
dt
(8.2)
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja (8.1). Z równania (8.2) wynika fizyczna definicja drgania
harmonicznego prostego: jest to taki ruch, który wykonuje punkt materialny o masie m pod wpływem
siły sprężystej (elastycznej) Fs , proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie do tego wychylenia
skierowanej:
Fs = − kx ,
2
k = mω 0 ,
(8.3)
gdzie k jest dodatnim współczynnikiem sprężystości określającym częstość kołową oraz okres drgań
własnych układu:
k
,
m
ω0 =
T0 = 2π
m
.
k
(8.4)
Energia drgania harmonicznego prostego. Siły sprężyste są siłami zachowawczymi. Energia
kinetyczna i potencjalna drgającego układu zmieniają się w czasie, natomiast całkowita energia
mechaniczna pozostaje wielkością stałą:
E kin =
1
1
2
2
mv 2 = mA 0 ω 0 sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) ,
2
2
8.5)
E pot =
1 2 1
2
2
kx = mA 0 ω 0 cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) ,
2
2
(8.6)
1
2
2
mA0 ω 0 = const .
2
(8.7)
E c = E kin + E pot =
Wahadło fizyczne i wahadło matematyczne. Przy pomijalnych stratach energii związanych z
tarciem i oporami środowiska, wahadło fizyczne i wahadło matematyczne jest przykładem ciała
wykonującego drganie harmoniczne proste (Rys. 8.3).
O
O
α
(a)
α
r
l
r
l
S
S
r
r
Q = mg
r
r
Q = mg
(b)
Rys. 8.3. Wahadło fizyczne (a) i wahadło matematyczne (b). O – punkt zawieszenia, S - środek masy.
51
Dla małych wychyleń α , umownie przyjętych dla α ≤ 14 o , okres drgań wahadła fizycznego określa
wzór:
T0 = 2π
Io
,
D
D = mgl ,
(8.8)
gdzie I o jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu przechodzącej przez punkt O , a D
– momentem kierującym. Dla wahadła matematycznego ( I o = ml 2 ) otrzymamy:
T0 = 2π
l
.
g
(8.9)
m siły sprężystej Fs = − kx przedstawionej w równaniu (8.3) oraz siły tłumiącej, która przy względnie
małych prędkościach jest proporcjonalna do prędkości ciała i przeciwnie do tej prędkości skierowana:
dx
.
Ft = −b
dt
Przykład 1
Klocek sześcienny o boku l = 30 cm pływa zanurzony do 2/3 w wodzie. Pokazać, że całkowicie
zanurzony, a następnie swobodnie puszczony klocek zacznie wykonywać drgania harmoniczne.
Wyznaczyć: częstość i okres drgań, wypadkową siłę działająca na klocek w dowolnym momencie
czasu oraz całkowitą energię drgań. W zadaniu pominąć zjawiska związane z lepkością wody. Gęstość
wody ρ w = 1 g/cm 3 , przyspieszenie ziemskie g = 9,81 m/s 2 .
Rozwiązanie:
r
W0
r
Wx
x
0
x
r r
Q = W0
r r
Q < Wx
r
Gdy klocek pływa swobodnie zanurzony do 2/3 w wodzie, siła wyporu W0 równoważy ciężar klocka
r
Q:
W0 = Q ,
2 3
l ρw g = l 3ρk g .
3
Równanie to pozwala wyznaczyć nieznaną gęstość klocka: ρ k = 2 ρ w / 3 . Gdy klocek zostanie
zanurzony na dodatkową głębokość x w stosunku do poziomu równowagi x = 0 , działająca na klocek
siła wyporu będzie większa od jego ciężaru i powstanie wypadkowa siła o wartości
52
2

F = W x − Q =  l + x l 2 ρ w g − l 3 ρ k g = l 2 ρ w g x .
3

Siła ta jest proporcjonalna do przyrostu zanurzenia x i jest zorientowana do niego przeciwnie:
k = l 2ρwg > 0 .
F = − kx ,
Porównując otrzymane wyrażenie z równaniem (7.3) widzimy, że działająca na klocek siła ma
formalną postać siły sprężystej. Swobodnie puszczony klocek zacznie więc wykonywać drgania
harmoniczne, a przyrost zanurzenia x w funkcji czasu będzie opisany równaniem (7.1):
x (t ) = A0 cos(ω0t + ϕ 0 ) ,
1
A0 = l , ϕ 0 = π ,
3
gdzie częstość kołowa oraz okres drgań klocka odpowiednio wynoszą
k
ω0 =  
m
1/ 2
 l2ρ g 
=  3 w 
 l ρk 
1/ 2
 3g 
= 
 2l 
1/ 2
 2l 
, T0 = 2π  
 3g 
1/ 2
.
Wartość amplitudy A0 oraz fazy początkowej ϕ 0 wynika z przyjętego założenia, że w umownym
momencie t = 0 , przyrost zanurzenia klocka wynosił x (t = 0) = − L / 3 .
Poszukiwaną, wypadkową siłę działająca na klocek w dowolnym momencie czasu opisuje funkcja:
 3g 1/ 2

1
3
F = −kx = − ρ w gl cos  t + π  = 88,29 cos (7,0 ⋅ t ) .
3
 2l 

Całkowitą energię drgań klocka przedstawia równanie (7.7):
1
1
2
2
Ec = mA0 ω0 = ρ w gl 4 .
2
6
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: ω 0 = 7,0 rad/s , T0 = 0,90 s , E c = 13,2 J .
Przykład.2
Dwie sprężyny o stałych sprężystości k1 = 130 N/m i k 2 = 70 N/m połączone są z blokiem o masie
m = 0,2 kg . Przy napiętych sprężynach blok przesunięto z położenia równowagi o x 0 = 15 cm i w
chwili t = 0 swobodnie puszczono. Za pomocą przyrządu pomiarowego stwierdzono, że amplituda
drgań zmalała do połowy w ciągu czasu równego n = 75 pierwszym okresom drgania. Obliczyć:
1. stałą sprężystości sprężyny, częstość kołową i okres drgań swobodnych (nietłumionych),
2. częstość kołową i okres drgań tłumionych oraz współczynnik tłumienia,
3. wypadkową siłę działająca na blok w dowolnym momencie czasu,
53
m
Rozwiązanie:
k1
k2
x
x
0
r
F1
r
F2
1. W dowolnym położeniu bloku, zmiana długości x każdej sprężyny jest taka sama, a obydwie siły
działające na blok są zorientowane zgodnie i w przeciwnym kierunku do jego wychylenia x z
położenia równowagi. Ruch bloku odbywa się więc pod wpływem wypadkowej siły
F = F1 + F2 = − k1 x − k 2 x = −( k1 + k 2 ) x .
Siła F jest również siłą sprężystą, a stała sprężystości sprężyny k = k 1 + k 2 . Częstość kołową ω 0 i
okres drgań swobodnych T0 wyznacza relacja (7.4) :
k
ω0 =  
m
1/ 2
 k + k2 
= 1

 m 
1/ 2
,
 m
T0 = 2π 
 k1 + k 2



1/ 2
.
Po podstawieniu danych liczbowych znajdziemy: k = 200 N/m , ω 0 = 31,623 s −1 T0 = 0,199 s .
2. Zależność czasową amplitudy A określa wyrażenie:
A(t ) = A0 e − βt ,
gdzie β jest współczynnikiem tłumienia środowiska. Z warunków zadania wynika, że
A(t = nT ) =
x0
= x0 e −βnT ,
2
nβ T = ln 2 ,
gdzie T jest okresem drgania tłumionego. Równanie to - wraz z relacją (7.11) na częstość kołową ω
drgania tłumionego
ω=
2π
2
= ω0 − β 2
T
umożliwia wyznaczenie poszukiwanych wielkości ω , T , β :
1/ 2


k +k
ω = 2πn 2 1 22 2  ,
 (ln 2 + 4π n )m 
54
T=
2π
ω
1/ 2
=
1  (ln2 2 + 4π 2n2 )m 

 ,
n
k1 + k2

1/ 2

k1 + k2
 .
2
2 2
 (ln 2 + 4π n )m 

β = ln 2
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: ω = 31,623 s −1 , T = 0,199 s , β = 0,0465 s −1 . W przypadku
słabego tłumienia, zdefiniowanego przez warunek β T << 1 , ω ≈ ω 0 , T ≈ T0 . W omawianym zadaniu
βT = 0,009 << 1 i obliczone wartości ω i T są w obrębie stosowanej dokładności obliczeń takie same,
jak odpowiednie wartości ω 0 i T0 dla drgania nietłumionego.
3. Siłę działającą na blok określa równanie:
F (t ) = − kx (t ) = −( k1 + k 2 ) x0 e − βt cos(ωt + ϕ ) .
Z warunków zadania wynika, że w chwili t = 0 wychylenie bloku x (t = 0 ) = x 0 , więc faza początkowa
ϕ = 0 . Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy:
F (t ) = −30e −0 , 0465 t cos(31,623 t ) .
Przykład 3.
Wyprowadzić wzór na okres drgań wahadła matematycznego, korzystając z definicji siły harmonicznej.
S
α l
B
O
N x
F
hi
Q P
r
α
r
Q = mg
r
A
W położeniu równowagi trwałej (punkt O ) siła ciężkości jest zrównoważona przez siłę
naprężenia nici N. Jeżeli teraz wychylimy masę m z położenia równowagi o kąt . ciężar ciała nie
ulegnie zmianie, ale jest to pozycja wymuszona(nietrwała). Rozkład sił pokazany jest na rysunku
poniżej; ciężar ciała rozkładamy na dwie składowe wzdłuż nici siła P, która jest równoważona przez
siłę naprężenia nici N1 Usunięcie siły zewnętrznej wymuszającej powoduje ruch masy m w kierunku
położenia równowagi.
Siłę F możemy wyznaczyć z prostej relacji trygonometrycznej:
= 356..
Z drugiej strony:
56. = .
`
55
Gdzie x jest wychyleniem natomiast l długością wahadła. Uwzględniając powyższą relację możemy
zapisać siłę F jako:
= −+ .
`
Jest więc ona typową siłą harmoniczną (znak minus wynika z faktu, że siła ma przeciwny zwrot do
wychylenia) i możemy skorzystać z równania definiującego siłę harmoniczną:
= −m = −R .
Porównując uzyskane wyrażenie na siłę F z równaniem siły harmonicznej otrzymujemy relację:
−+ == −R .
`
Skąd możemy wyznaczyć częstość drgań wahadła matematycznego:
+
R=F ,
`
lub okres drgań:
`
( = 2no .
+
Jak wynika z powyższego równania okres drgań wahadła matematycznego zależy jedynie od jego
długości, oraz przyśpieszenia grawitacyjnego w danym punkcie. Trzeba jednak podkreślić, że
uzyskane równanie jest równaniem przybliżonym, słusznym jedynie dla niewielkich kątów wychyleń
(do kilkunastu stopni). Wynika to z milczącego założenia, że wychylenie x jest równe odcinkowi, a nie
łukowi AO- rysunek. Jednak dla małych kątów jest to przybliżenie wystarczająco dobre (cięciwa jest
równa łukowi, na którym jest oparta).
9.Fale
Fala jest rozchodzącym się w przestrzeni ruchem drgającym. Gdy dowolny punkt środowiska - źródło
ruchu falowego - zostanie wytrącony z położenia równowagi i zacznie wykonywać ruch drgający, to
wskutek istnienia sprężystości lub sztywności postaci środowiska, drganie to rozchodzi się we wszystkich
możliwych kierunkach doprowadzając do powstania ruchu drgającego dowolnego, innego punktu tego
środowiska. W ciałach wykazujących sprężystość postaci, tj. w ciałach stałych, cieczach i gazach
możliwe jest rozchodzenie się fal podłużnych, w których drgania cząsteczek środowiska zachodzą na
kierunku propagacji fali. W ciałach stałych, które wykazują także sztywność postaci, mogą rozchodzić się
fale poprzeczne, w których drgania cząsteczek środowiska zachodzą na kierunku prostopadłym do
kierunku propagacji fali. Ruch falowy ma unikalną zdolność transportu energii bez transportu masy.
Fala harmoniczna płaska.
r
v
A0
x( z, t )
x( z, t)
0
λ
z
z
− A0
Rys. 9.1. Ilustracja do opisu fali harmonicznej płaskiej.
56
Jest to fala o określonym kierunku propagacji i stałej amplitudzie, wygenerowana przez drganie
harmoniczne proste. Równanie opisujące tą falę przedstawia zależność wychylenia dowolnego punktu
środowiska z położenia równowagi od położenia i czasu:
  z

x( z, t ) = A0 cosω 0  t −  + ϕ 0  ,
  v

(9.1)
gdzie:
• x( z, t ) - wychylenie drgającego punktu z środowiska z położenia równowagi w momencie t . Czas t
jest całkowitym czasem drgania źródła ruchu falowego, zlokalizowanego tutaj w położeniu z = 0 ,
• A0 - amplituda fali równa amplitudzie drgania harmonicznego prostego,
• ω 0 = 2π / T0 = 2πf 0 - częstość kołowa fali równa częstości kołowej drgania harmonicznego prostego
o okresie T0 i częstotliwości f 0 ,
• v - prędkość fazowa fali,
 z
• ϕ = ω0  t −  + ϕ 0 - faza fali,
 v
• ϕ 0 - faza początkowa fali.
Prędkość fazowa fali. Jest to prędkość rozprzestrzeniania się fazy fali, tj. prędkość, z jaką musiałby
poruszać się obserwator by natrafić na tą samą fazę fali i rejestrować niezmienne wychylenie x
drgających cząsteczek środowiska z położenia równowagi. Prędkość fazową fali określa warunek:


z
v
ϕ = ω 0  t −  + ϕ 0 = const ,
z którego, po zróżniczkowaniu, wynika naturalny wniosek, że v =
(9.2)
dz
. Prędkość rozchodzenia się fali
dt
sprężystej określa wzór Newtona:
v=
M
ρ
,
(9.3)
gdzie M jest modułem ściśliwości (fala podłużna) lub modułem sztywności (fala poprzeczna), a ρ jest
gęstością środowiska.
Długość fali. Długością fali określamy dystans pokonany przez czoło fali w czasie jednego pełnego
okresu: λ = vT0 . Równoważna definicja określa długość fali, jako odległość między dwoma drgającymi
punktami środowiska różniącymi się w fazie o 2π :
jeżeli ϕ ( z 1 , t ) − ϕ ( z 2 , t ) = 2π , to z 2 − z1 = λ .
(9.4)
Zasada superpozycji. Zasada superpozycji głosi, że jeżeli do jakiegoś punktu środowiska dociera kilka
ciągów fal, to punkt ten doznaje wychylenia będącego sumą wychyleń pochodzących od poszczególnych
ciągów fal.
57
Interferencja fal.
S
1
z1
P
z
S
2
2
Rys. 9.2.
9.2 Ilustracja do interferencji fal harmonicznych kolistych.
Interferencja to zjawisko nakładania się fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania
amplitudy
mplitudy fali wypadkowej w zależności od różnicy faz. Interferencja zachodzi dla
wszystkich rodzajów fal, we wszystkich ośrodkach, w których mogą rozchodzić się dane fale.
W ośrodkach nieliniowych oprócz interferencji zachodzą też inne zjawiska wywołane
nakładaniem się fal, w ośrodkach liniowych fale ulegając interferencji spełniają zasadę
superpozycji.. Warunkiem uzyskania efektów interferencyjnych jest spójność interferujących
ze sobą fal. Fale nazywamy spójnymi, jeżeli różnica ich faz nie zmienia się w czasie
. W wyniku interferencji dwóch fal o różnych amplitudach i fazach ale o
jednakowych częstościach:
p = q r @2stL= tuv 4 = q r @2swu 4 = q r @s r u
p = q r @2stL= tuv 4 = q r @2swu 4 = q r @s r u
Powstaje fala wypadkowa o amplitudzie A przesunięta w fazie o
(9.5)
:
p = p + p = r @s 2q r u + q r u 4 = qr @2swu44
(9.6)
Korzystając z własności funkcji zespolonych można wykazać, że spełniają one następujące relacje:
q = q + q + 2q q ,-2x − x 4
+x =
(9.7)
q 56x + q 56x
q ,-x + q ,-x
58
co pokazuje poniższy rysunek. Występujący w pierwszym z powyższych równań czynnik
2q q ,-2x − x 4
nazywamy wyrazem interferencyjnym, który podkreśla istotę stałości faz.
A
A2
A1
x
Rys.9.3. Interferencja dwóch fal o jednakowych częstościach, ale różnych fazach i amplitudach. Wyprowadzone
powyżej relacje wynikają także z relacji geometrycznych.
geometrycznych
W prostszej wersji trygonometrycznej ograniczamy się do nakładania się dwóch fal harmonicznych
o tych samych amplitudach A0 i tych samych częstościach kołowych ω0 . Przy początkowych fazach
równych zeru, fale te opisują równania:
  z 
x1 = A0 cosω 0  t − 1  ,
v 
 
  z 
x2 = A0 cosω0  t − 2  ,
v 
 
(9.8)
gdzie z1 i z 2 są odległościami miejsca interferencji P od źródeł ruchu falowego S1 i S 2 (Rys. 7.6.). Falę
wypadkową powstałą w wyniku nałożenia się obydwu ciągów fal opisuje równanie:
  z + z 2 
x = x1 + x2 = A cos ω 0  t − 1
 ,
2v 
 
A = 2 A0 cos
π ( z 2 − z1 )
,
λ
(9.9)
(9.10)
gdzie A jest niezależną od czasu amplitudą fali wypadkowej. Wielkość tej amplitudy zależy tylko od
różnicy dróg przebytych przez obydwa ciągi fal. Maksymalną wartość amplitudy A = 2 A0 (maksymalne
wzmocnienie) rejestrujemy, gdy
z 2 − z1 = n λ ,
n = 0,1,2,3,... ,
(9.11)
co odpowiada sytuacji, w której ciągi fal spotykają się w zgodnych fazach. Amplituda drgania
wypadkowego równa jest zeru (wygaszenie), gdy spełniony jest warunek:
z 2 − z 1 = ( 2 n + 1)
λ
2
,
n = 0,1,2,3,... ,
(9.12)
opisujący przypadek nakładania się ciągów fal o przeciwnych fazach.
59
Fala stojąca.
2 A0
A(z )
z
0
λ/2
− A(z )
3λ / 2
λ
2λ
− 2 A0
Rys. 9.4. Strzałki i węzły fali stojącej.
Fala stojąca jest szczególnym przypadkiem nakładania się dwóch ciągów fal, które mają te same
amplitudy i częstości, lecz rozchodzą się w przeciwnych kierunkach. Przy początkowych fazach równych
zeru, fale te opisują równania:
  z 
x1 = A0 cos ω 0  t −  ,
  v 
 
x 2 = A0 cos ω 0  t +
 
z 
 .
v  
(9.13)
Superpozycja obydwu ciągów fal prowadzi do powstania fali stojącej opisanej równaniem:
x = x1 + x 2 = A cos(ω 0 t ) ,
A = 2 A0 cos
2π z
λ
.
(9.14)
(9.15)
Rozwiązanie to nie zawiera członu falowego i opisuje drganie harmoniczne proste o częstości ω 0
i zmieniającej się przestrzennie amplitudzie A . Maksymalne wartości amplitud A = 2 A0 powstają w
strzałkach określonych przez warunek:
z=n
λ
2
n = 0,1,2,3,... .
,
(9.16)
Amplitudy są równe zeru w węzłach fali stojącej spełniających warunek:
z = ( 2 n + 1)
λ
4
,
n = 0,1,2,3,... .
(9.17)
Fali stojącej nie towarzyszy transport energii.
Dyfrakcja
Dyfrakcja (ugięcie fali) to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na przeszkodach
oraz szczelinach. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód i szczelin , ale wyraźnie jest
obserwowane dla przeszkód i szczelin o rozmiarach porównywalnych z długością fali.
60
P
X1
x
Z1
α
d
O
X2
Z2
Rys. 9.5. Dyfrakcja fali na dwóch szczelinach
(9.18)
Tutaj d odległość pomiędzy szczelinami ,
- długość fali.
Efekt Dopplera
Ciekawe zjawisko obserwujemy w sytuacji, gdy obserwator porusza się względem źródła emitującego
fale. Wówczas częstotliwość sygnału emitowanego przez źródło jest inna od częstotliwości
rejestrowanej przez obserwatora. Dla fal rozprzestrzeniających się w ośrodku, takich jak na przykład
fale dźwiękowe, efekt zależy od prędkości obserwatora oraz źródła względem ośrodka, w którym te
fale się rozchodzą. W przypadku fal rozchodzących się bez udziału ośrodka materialnego, jak na
przykład światło w próżni (w ogólności fale elektromagnetyczne), znaczenie ma jedynie różnica
prędkości źródła oraz obserwatora.
Rozważmy prostą sytuację przedstawioną na rysunku 5 gdzie zarówno źródło Z jak obserwator O
poruszają się wzdłuż prostej w tym samym kierunku. Oznaczmy prędkość obserwatora przez V,
prędkość źródła u,, natomiast prędkość emitowanego zaburzenia w danym ośrodku jako c.
c
Z1
u
Z2
O1
V
O2
Rys.5 Efekt Dopplera
61
Załóżmy, że pierwszy sygnał zostaje wysłany gdy źródło znajduje się w pozycji Z1 i dociera do
obserwatora w pozycji O1. Wysłany sygnał przebywa więc odcinek Z1O1 w określonym czasie t1.
Drugi sygnał zostaje wysłany po czasie odpowiadającym okresowi dla źródła T1, w którym przebędzie
ono drogę Z1Z2. Zostanie on odebrany przez poruszającego się obserwatora w punkcie O2. Czas
pomiędzy odebraniem przez obserwatora dwóch kolejnych sygnałów jest oczywiście mierzonym przez
niego okresem T2. W tym czasie przebywa on drogę O1O2. Natomiast drugi sygnał przebywa drogę
Z2O2 w pewnym czasie t2. Z rysunku wynika bezpośrednio relacja:
Z1O2=Z1O1+O1O2=Z1Z2+Z2O2
(9.19)
Gdzie poszczególne odcinki są równe odpowiednio:
Z1O1=ct1, O1O2=VT2, Z1Z2=uT1,
Z2O2=ct2
(9.20)
Z drugiej strony przedział czasowy pomiędzy emisją przez źródło pierwszego sygnału i odbiorem
przez obserwatora drugiego jest równy:
T1+t2=T2+t1
(9.21)
Wyznaczając różnicę t2-t1 z ostatniego równania i podstawiając wraz z relacjami 35 do równania 34
otrzymujemy:
c(T2-T1)= VT2- uT1
(9.22)
Skąd bezpośrednio możemy wyznaczyć okres mierzony przez obserwatora w funkcji okresu źródła
oraz obu prędkości:
,−y
(9.23)
( = (
,−
Lub przechodząc do częstotliwości:
,−
z = z , − y
(9.24)
Korzystając z ostatniej relacji można rozważyć szereg różnych sytuacji związanych z ruchem źródła
i obserwatora, zakładając również spoczynek jednego z obiektów. Jest oczywiste, że w przypadku
ruchu źródła lub obserwatora z prędkością skierowaną pod pewnym kątem do kierunku propagacji fali
do równania wchodzi odpowiednia składowa prędkości ,-x.
V
x
,-x
c
Rys.6 Efekt Dopplera w przypadku gdy kierunek ruchu obserwatora nie jest zgony z kierunkiem propagacji fali.
62
Reasumując można stwierdzić, że jeżeli w wyniku ruchu źródła, lub obserwatora zmniejsza się
odległość między nimi obserwator rejestruje wyższą częstotliwość sygnału , natomiast częstotliwość
rejestrowanego sygnału się zmniejsza jeżeli obserwator i źródło oddalają się od siebie.
Należy zwrócić uwagę na fakt, że inne są zmiany częstotliwości w sytuacji gdy obserwator jest
nieruchomy, a źródło zbliża (oddala) się od niego z prędkością u, niż w przypadku nieruchomego
źródła i zbliżającego (oddalającego) się od niego obserwatora z ta samą prędkością V=u;
z
,
,−y
≠ z
,−y
,
(9.25)
Interesujący jest przypadek w którym źródło porusza się z prędkością większą od prędkości fali y > ,.
W tej sytuacji źródło wyprzedza wyemitowany przez siebie sygnał i powstaje tak zwana fala
uderzeniowa.
Zjawisko Dopplera występuje również w przypadku fal elektromagnetycznych w sytuacji, kiedy
źródło fali porusza się względem obserwatora. Analiza zjawiska jest bardzo podobna jak w przypadku
fal mechanicznych z tym, że dla źródeł poruszających się z dużymi prędkościami klasyczna
transformacja Galileusza powinna być zastąpiona relatywistyczną transformacją Lorentza. W ten
sposób czas w układzie związanym ze źródłem poruszającym się z prędkością u jest zmniejszony o
czynnik relatywistyczny F
t|
%
i konsekwencji równanie 20 przekształca się w :
√1 − y
=
z
z
,−y
(9.26)
W odróżnieniu do fal mechanicznych efekt Dopplera występuje obecnie również w przypadku gdy
~
kierunek ruchu jest prostopadły do kierunku propagacji fal Tx = U co potwierdza eksperyment tzw.
wiązek molekularnych. W próżni nie mogą powstawać fale uderzeniowe ze względu na fakt, że żaden
materialny obiekt nie może się poruszać z prędkością większą od prędkości fal elektromagnetycznych
w próżni. Sytuacja jednak ulega zmianie w ośrodku materialnym w którym prędkość fal
elektromagnetycznych może być mniejsza od prędkości poruszających się w tym ośrodku cząstek
materialnych np. elektronów i wówczas obserwujemy szereg zjawisk związanych z tak zwanym
promieniowaniem Czerenkowa.
Przykład 1.
Dwa ciągi fal spójnych o tej samej amplitudzie A0 = 5 mm i tej samej częstotliwości f = 1500 Hz
przemieszczają się w jednym kierunku z tą samą prędkością fazową v = 335 m/s . Faza początkowa
jednego ciągu fal wynosi ϕ 01 = 0 , a drugiego ϕ 02 ≡ ϕ 0 = π / 3 . Wyprowadzić równanie opisujące falę
wypadkową. Z jaką amplitudą będą drgały cząsteczki środowiska w miejscu interferencji oraz jaka
będzie odległość dzieląca dwa sąsiadujące bezpośrednio punkty drgające z maksymalną amplitudą?
Zadanie rozwiązać także w sytuacji, gdy fale przemieszczają się w przeciwnych kierunkach.
Rozwiązanie: Każda z fal opisana jest równaniem (7.13). W przypadku fal poruszających się w tym
samym kierunku równania te mają postać:

 z 
x1 ( z , t ) = A0 cos 2πf  t −  ,
 v 


 z π
x2 ( z , t ) = A0 cos 2πf  t −  +  .
 v 3

63
Wykorzystując znany, trygonometryczny wzór:
1
α −β
α+β
cos
cosα + cos β = cos
2
2
2
oraz stosując zasadę superpozycji, otrzymamy równanie fali wypadkowej:
π  
 z π
x( z , t ) = x1 + x2 = 2 A0 cos  cos 2πf  t −  +  .
6
  
 v 6
Cząsteczki środowiska będą drgały z amplitudą A = 2 A0 cos(π / 6) = A0 = 5 mm , a odległość dzieląca
dwa sąsiadujące bezpośrednio punkty drgające z maksymalną amplitudą będzie równa długości fali
λ = v / f = 22,3 cm .
W przypadku, gdy jedna z fal, np. pierwsza, porusza się w kierunku przeciwnym, jej równanie
falowe będzie miało postać:

 z 
x1 ( z , t ) = A0 cos 2πf  t +  ,
 v 

a fala wypadkowa będzie opisana równaniem:
z π
π


x ( z , t ) = x1 + x 2 = 2 A0 cos 2πf −  cos 2πft +  .
v
6
6



Równanie to przedstawia falę stojącą o przestrzennie zmieniającej się amplitudzie
z π

A( z ) = 2 A0 cos 2πf −  .
v 6

Maksymalne wartości amplitudy wynoszą 2 A0 , a ich położenie z wyznacza warunek:
2πf
z π
6n + 1
− = nπ , n = 0,1,2,3,... , skąd z n =
λ.
v 6
12
Odległość dzieląca dwa sąsiadujące bezpośrednio punkty drgające z maksymalną amplitudą będzie
równa z n +1 − z n = λ / 2 = 11,2 cm .
Przykład.2.
Metalowa struna o długości l i średnicy S, zamocowana sztywno na jednym z końców, z drugiej strony
obciążona ciężarem Q została pobudzona do drgań przy pomocy generatora o częstości .
W rezultacie powstaje na niej fala stojąca składająca się z trzech połówek fali (rysunek). Wyznaczyć
gęstość metalu z którego wykonana jest struna.
λ
/
2
λ
3
λ
/
2
Q
64
Rozwiązanie:
Korzystamy z równania pozwalającego wyznaczyć prędkość fali w ośrodku sprężystym:
F
V =
µ
tutaj
m
l
µ=
oznacza gęstość struny przypadającej na jednostkową długość i jest związane z gęstością poprzez
relację:
ρ=
ρ=
µ
m
m
=
V l⋅S
⇒ µ = ρ ⋅S
S
Ponieważ zgodnie z treścią zadania na strunie mieści się n=3 połówek fali
l=n
λ
2
2l
λ=
n
możemy z tej relacji wyznaczyć długość fali, która następnie pozwala na wyznaczenie prędkości:
λ = VT =
V
ν
⇒ V = λν
Porównując obydwie relacje na prędkość fali
2l
ν =
n
F
ρ ⋅S
Po podniesieniu stronami do kwadratu
F
4l 2ν 2
=
2
ρ⋅S
n
Wyznaczamy gęstość metalu z którego wykonana jest struna.
ρ=
Fn 2
4l 2ν 2 S
10. Hydrostatyka i hydrodynamika
Ciśnienie hydrostatyczne. Jest to ciśnienie wywołane ciężarem cieczy. Ciśnienie to zależy
tylko od wysokości słupa cieczy, tj. od głębokości, na której jest mierzone oraz od gęstości cieczy. Na
głębokości h , ciśnienie hydrostatyczne cieczy o gęstości ρ określa wyrażenie:
p = ρ gh ,
g = 9.81
m
s2
.
(10.1)
Obok ciśnienia hydrostatycznego na ciecz może działać dodatkowo ciśnienie statyczne, czyli ciśnienie
wywierane na ciecz z zewnątrz. Jeżeli na powierzchnię swobodną cieczy działa ciśnienie statyczne p 0
65
którym często jest ciśnienie atmosferyczne, to panujące na głębokości h całkowite ciśnienie jest sumą
ciśnienia statycznego i hydrostatycznego:
p = p 0 + ρgh .
(10.2)
Ciśnienie w pewnym punkcie cieczy zależy tylko od głębokości tego punktu pod powierzchnią cieczy
natomiast nie zależy od poziomych rozmiarów cieczy ani od kształtu naczynia, w którym ciecz się
znajduje (tzw. paradoks hydrostatyczny).
Prawo Pascala. Z równania (10.2) wynika, że zwiększenie na ciecz statycznego ciśnienia
zewnętrznego p 0 o ∆p 0 powoduje zmianę całkowitego ciśnienia p cieczy o ∆p = ∆p 0 . Ta zmiana
ciśnienia nie zależy od głębokości h i jest taka sama w każdym punkcie cieczy. Z powyższego
rozumowania wynika prawo Pascala, które głosi, że ciśnienie wywierane na ciecz rozchodzi się
jednakowo we wszystkich kierunkach i ma w całej swojej objętości tą samą wartość, równą
wywieranemu na ciecz ciśnieniu. Ciśnienie to skierowane jest zawsze prostopadle do ścian naczynia
i powierzchni zanurzonych w cieczy ciał bez względu na ich kształt.
Prawo Archimedesa. Na ciało częściowo lub całkowicie zanurzone w cieczy działa siła wyporu
skierowana ku górze i równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało:
W = m c g = ρ Vc g ,
10.3)
gdzie mc jest masą wypartej cieczy o objętości Vc i gęstości ρ , a g - przyspieszeniem ziemskim.
r
r
W = −Q
S
F
r
p (h )
Rys. 10.1. Ilustracja do prawa Archimedesa. S i F oznaczają odpowiednio środek ciężkości ciała i środek
wyporu.
Siła wyporu, działająca na zanurzone w cieczy ciało, jest konsekwencją równania (10.1), z którego
wynika, że dolne części ciała – głębiej zanurzone, doznają ze strony cieczy większego ciśnienia niż
górne części ciała, co powoduje powstanie wypadkowej, skierowanej ku górze siły wyporu (Rys.
10.1).
66
Hydrodynamika.
S 1 , p1
r
v1
h
S 2 , p2
r
v2
h1
h2
0
Rys. 10.2. Ilustracja do równania ciągłości i równania Bernoulliego.
Równanie ciągłości. Objętość cieczy nieściśliwej przepływającej w jednostce czasu przez dowolny
przekrój poprzeczny strugi jest wielkością stałą:
Sv = const
,
(10.4)
gdzie S jest polem przekroju poprzecznego strugi, a v - prędkością przepływającej cieczy w tym
przekroju (Rys.10.2.). Z równania ciągłości wynika, że w strudze o zmiennym przekroju, dowolny
segment przemieszczającej się cieczy zmienia w czasie przepływu swoją prędkość, a zatem i energię
kinetyczną. Zmiana energii kinetycznej odbywa się kosztem pracy wykonanej przez siły wynikające z
różnicy ciśnień panujących na różnych przekrojach strugi.
Równanie Bernoulliego. Równanie to opisuje zależność między ciśnieniem, a prędkością
stacjonarnego przepływu cieczy idealnej (nielepkiej i nieściśliwej) w strudze, w obecności pola
grawitacyjnego:
p + ρgh +
1 2
ρv = const ,
2
(10.5)
gdzie:
• p - ciśnienie cieczy,
• v - prędkość cieczy,
• ρ - gęstość cieczy,
• h - wysokość względem poziomu odniesienia,
• g - przyspieszenie ziemskie.
Prawo Stokesa. Prawo to określa siłę oporu działającą na kulę o promieniu r , poruszającą się z
prędkością v w cieczy o współczynniku lepkości η :
F = 6π η r v .
(10.6)
Równanie to spełnione jest dla względnie małych prędkości v , przy których ruch cieczy względem
kuli jest laminarny.
Jednostki ciśnienia.
•
•
•
N
,
m2
1 bar: 1bar = 100000 Pa ,
1 milibar: 1 mbar = 100 Pa = 1 hPa ,
1 pascal: 1Pa = 1
67
•
1 hektopascal: 1 hPa = 100 Pa = 1 mbar ,
kG
= 98100 Pa ,
• 1 atmosfera techniczna: 1 at = 1
cm 2
• 1 atmosfera fizyczna: 1 atm = 101325 Pa . Jest to ciśnienie wywierane przez słup rtęci o wysokości
760 mm .
Przykład 1.
Areometr, którego masa M = 60 g , obciążono kawałkami metalu o masie m = 5 g . Po obciążeniu
areometr zanurzył się w wodzie tak, że wskazywał gęstość ρ 2 = 950 kg/m 3 . Obliczyć gęstość metalu
ρ m . Gęstość wody ρ1 = 1000 kg/m 3 .
Rozwiązanie: Oznaczmy przez V objętość zanurzonej w wodzie części areometru w przypadku, gdy
nie jest on obciążony kawałkami metalu. Zgodnie z prawem Archimedesa (8.3), ciężar areometru jest
zrównoważony wyporem wody, co pozwala obliczyć objętość V :
Mg = ρ1 Vg ,
V =
M
ρ1
.
Rozważmy sytuację, w której areometr bez dodatkowego obciążenia znalazłby się w cieczy o gęstości
ρ 2 < ρ1 . Objętość zanurzonej części areometru wzrosłaby wówczas w porównaniu z objętością V o
pewną dodatkową objętość ∆V tak, by skala areometru pokazywała gęstość cieczy ρ 2 . Dodatkowa
objętość ∆V określona jest także przez prawo Archimedesa:
M

Mg = ρ 2 (V + ∆V ) g = ρ 2  + ∆V  g ,
 ρ1

∆V = M
ρ1 − ρ 2
ρ1 ρ 2
.
Areometr zanurzony w wodzie i obciążony kawałkami metalu pokazuje gęstość ρ 2 , co oznacza, że
objętość jego zanurzonej części wynosi V + ∆V . Oznaczając dodatkowo przez Vm objętość
zajmowaną przez podwieszony metal możemy prawo Archimedesa zapisać w postaci:
M
ρ − ρ2 m 
g.
( M + m) g = ρ1 (V + ∆V + Vm ) g = ρ1  + M 1
+
ρ1 ρ 2
ρ m 
 ρ1
Równanie to pozwala obliczyć nieznaną gęstość metalu ρ m :
ρm =
mρ1 ρ 2
mρ 2 − M ( ρ1 − ρ 2 )
.
Podstawiając ujednolicone w jednym systemie jednostek dane liczbowe otrzymamy ρ m = 2714 kg/m 3 .
Przykład 2.
Przez poziomą rurę o różnych przekrojach przepływa woda. Obliczyć, jaka masa wody przepływa
przez dowolny przekrój rury w czasie 1 s , jeżeli w rurkach manometrycznych wmontowanych w rurę
w miejscach o przekrojach S1 = 10 cm 2 i S 2 = 20 cm 2 , różnica poziomów wody wynosi ∆h = 20 cm .
Gęstość wody ρ = 1 g/cm 3 , przyspieszenie ziemskie g = 9,81 m/s 2 .
68
Rozwiązanie:
∆h
S2
S1
r
v1
r
v2
Równanie Bernoulliego (8.5) dla przepływu poziomego ( h = const ) ma postać:
p1 +
1 2
1
ρv1 = p 2 + ρv22 ,
2
2
gdzie p1 , v1 oraz p 2 , v 2 oznaczają ciśnienie i prędkość wody odpowiednio w przekrojach S1 i S 2 .
Różnica ciśnień wody w obydwu przekrojach równa jest ciśnieniu wywieranemu przez słup wody o
wysokości równej różnicy poziomów w rurkach manometrycznych i wynosi:
p 2 − p1 = ∆h ⋅ ρ ⋅ q .
Obydwa równania prowadzą do relacji:
∆h ⋅ ρ ⋅ q =
1
ρ (v12 − v22 ) ,
2
która z równaniem ciągłości (8.4)
v1 ⋅ S1 = v 2 ⋅ S 2
tworzy układ dwóch równań wyznaczający prędkości przepływu
przekształceniach znajdziemy w szczególności:
v1 = S
2
 2 ∆ hg

 S 2 − S 2
1
 2




v1
i
v 2 . Po prostych
1/ 2
.
Masa wody, która przepływa przez dowolny przekrój rury w jednostce czasu wynosi:
 2∆hg
Ω = v1 S1 ρ = S1 S 2  2
2
 S 2 − S1




1/ 2
ρ.
Po ujednoliceniu jednostek otrzymamy Ω = 2,287 kg/s .
Przykład 3.
Cylindryczny zbiornik o średnicy D wypełniony jest wodą do wysokości h0 = 1,8 m . W dnie
zbiornika znajduje się otwór spustowy o średnicy d , która jest n = 40 - krotnie mniejsza od średnicy
zbiornika. Jak długo będzie trwało opróżnianie zbiornika do połowy jego zawartości? Po jakim czasie
opróżniony zostanie cały zbiornik? Przyspieszenie ziemskie g = 9.81 m/s 2 .
69
D
h0
h
v
h=0
d
V
Rozwiązanie: Aby rozwiązać zadanie, należy określić prędkość v opadania poziomu cieczy
w zbiorniku podczas jego opróżniania. Zależność tą znajdziemy wykorzystując równanie ciągłości
(8.4) oraz równanie Bernoulliego (8.5), które zastosowane do poziomów h i h = 0 przyjmą
odpowiednio postać:
2
2
D
d 
π  v =π  V
2
2
p + ρgh +
V = n 2v ,
,
1 2
1
ρv = p + ρV 2 ,
2
2
gdzie p jest ciśnieniem atmosferycznym – takim samym na wysokości h i h = 0 , a V jest prędkością
wody wypływającej z otworu spustowego. Eliminując z powyższego układu równań V , otrzymamy
poszukiwaną zależność:
 2g 
v= 4

 n −1
1/ 2
h.
Elementarna zmiana dh poziomu wody w zbiorniku wiąże się z prędkością opadania tego poziomu v
za pośrednictwem relacji:
 2g 
− dh = vdt =  4

 n −1
1/ 2
h dt ,
( dh < 0) .
Separując zmienne h i t oraz całkując otrzymane równanie po czasie znajdziemy:
∫
dh
h
=−
2g
dt ,
n4 − 1
∫
2 h = −t
2g
+ 2 h0 .
n4 − 1
Stała całkowania jest równa 2 h0 , co wynika z założenia, że w umownym momencie t = 0 poziom
cieczy był równy h0 . Równanie to określa czas t , po którym poziom wody w zbiorniku spadnie do
wartości h . Dla n 4 >> 1 otrzymamy:
70
1/ 2
2
2(n4 − 1)
t=
( h0 − h ) ≈   n2 ( h0 − h ) .
g
g
Przyjmując h = h0 / 2 , znajdziemy czas T1 / 2 , po którym zbiornik zostanie opróżniony do połowy:
1/ 2
h 
T1/ 2 = ( 2 − 1) n  0  .
g
2
Przyjmując h = 0 , znajdziemy czas T , po którym zbiornik zostanie opróżniony całkowicie:
h
T = 2 n  0
 g
2



1/ 2
.
Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: T1 / 2 = 284 s , T = 969 s . Należy zwrócić uwagę, że przy
zaniedbaniu zjawisk związanych z lepkością, prędkość i czas opróżniania zbiornika nie zależą od
gęstości cieczy.
Przykład 4.
Na granicy podziału dwóch niemieszających się cieczy o gęstościach ρ 1 i ρ 2 pływa kulka tak, ze
stosunek objętości zanurzonych w cieczach części kulki wynosi V1 V 2 = n . Znaleźć gęstość kulki.
F1
F2
Q
Zgodnie z warunkiem równowagi
F1, F2 oznaczają siły wyporu, które powinny być na rysunku zaczepione w jednym punkcie. Dla
przejrzystości zaczepione są w różnych punktach, żeby zaznaczyć, która z cieczy jest źródłem danej
siły wyporu.
Q = F1 + F2
m ⋅ g = F1 + F2
ρ ⋅ V ⋅ g = ρ1 ⋅ V1 ⋅ g + ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ g
ρ (V1 + V2 ) = ρ1 ⋅ V1 + ρ 2 ⋅ V2
ρ (n + 1) = ρ1 ⋅ n + ρ 2
/: V2
71
ρ=
n ⋅ ρ1 + ρ 2
n +1
Przykład 5
W dnie cylindrycznego naczynia o średnicy D znajduje się mały okrągły otwór o średnicy d . Znaleźć
prędkości v obniżania się poziomu wody w naczyniu od wysokości h tego poziomu. Przyspieszenie
ziemskie g .
Oznaczmy powierzchnię naczynia przez S1 , powierzchnię otworu przez S 2 , prędkość
wyciekającej z naczynia wody przez v1 . Zapiszmy równanie Bernoullie’go i równanie ciągłości strugi
p0 +
ρ ⋅ v2
2
+ ρ ⋅ g ⋅ h = p0 +
ρ ⋅ v12
⇒ v 2 + 2 gh = v12
2
S1 ⋅ v = S 2 ⋅ v1 ⇒ v1 =
S1 ⋅ v
S2
Podstawiając za prędkość wypływającej wody przekształcamy równanie Bernoullie’go
Bernoul
S12 ⋅ v 2
− v 2 = 2 gh
2
S2
i wyznaczamy prędkość z jaką obniża się poziom wody w naczyniu:
v2 =
S 2 gh
2 gh ⋅ S 22
⇒v= 2
2
2
S1 − S 2
S12 − S 22
v=
d 2 2 gh
D4 − d 4
11.Elementy termodynamiki
Ciepło i temperatura
Wszystkie ciała , które bezpośrednio obserwujemy składają się z olbrzymiej
brzymiej liczby cząsteczek, są to
więc ciała makroskopowe. Cząsteczki te poruszają się ruchem bezładnym,(termicznym) który
decyduje o stanie wewnętrznym każdego ciała makroskopowego. Jednak ze względu na ogromną
liczbę cząsteczek (100g wody zawiera ponad 1024czasteczek), o stanie makroskopowym układu
decydują nie parametry mikroskopowe pojedynczej cząsteczki, ale ich średnie statystyczne.
Przykładowo podstawowy parametr makroskopowy jakim jest temperatura bezwzględna T jest
wprost proporcjonalny do średniej
iej energii kinetycznej cząsteczek
(~⟨DL ⟩
(11.1)
Zgodnie z termodynamiką fenomenologiczną temperatura zera bezwzględnego - 0K, odpowiada
sytuacji gdy zanika wszelki ruch cząsteczek. Inne parametry makroskopowe istotne w termodynamice
termodynamic
to ciśnienie p =
F
m
, oraz gęstość ρ = .
S
V
Żeby zrozumieć pojęcie ciepła rozważmy układ dwóch ciał, z których pierwsze ma temperaturę
niższą od drugiego (rys.11.1). Oznacza to, że średnia energia kinetyczna , a więc i prędkość cząsteczek
pierwszego ciała jest mniejsza niż cząsteczek drugiego.
72
T1
T2
T1<T2
Q
T1<T<T2
Rys.11.1Ciepło jako forma wymiany energii
Jeżeli teraz zetkniemy oba ciała (kontakt termodynamiczny) to początkowo na styku ciał, a potem
w całej ich objętości wystąpi zderzanie się cząsteczek o wyższej energii z cząsteczkami o energii
niższej. W rezultacie ustali się stan równowagi termodynamicznej w której cząsteczki obu ciał będą
miały tą samą średnią energię kinetyczną i oba ciała uzyskają taką samą temperaturę końcową.
Mówimy ,ze nastąpił przepływ ciepła od ciała o temperaturze wyższej do ciała o temperaturze niższej.
Zatem ciepłem nazywamy przekazywanie energii chaotycznego ruchu molekuł w wyniku ich
wzajemnych zderzeń, oznacza ono sposób zmian energii, nie zaś jedną z jej form.
Gaz doskonały:
• objętość cząsteczek gazu jest o wiele mniejsza niż objętość zajmowana przez gaz, co pozwala
traktować je jako punkty materialne
• zasięg sił działających między dwoma cząstkami jest o wiele mniejszy niż średnia odległość
międzycząsteczkowa, co pozwala zaniedbać ich oddziaływania na odległość.
W wyprowadzeniu prawa gazów doskonałych będziemy traktować cząsteczki gazu jako N małych,
twardych kulek zamkniętych w sześcianie okrawędzi a. Kulki są twarde tzn. będą zderzały się
sprężyście ze ściankami naczynia. Rozważmy jedną cząsteczkę, która zderza się z prawą ścianką
naczynia (rysunek 11.2).
z
y
x
1 v
2
3
a
Rys.11.2 Ilustracja do równania stanu
73
W wyniku sprężystego zderzenia ze ścianką zmiana pędu cząsteczki wzdłuż osi x będzie równa:
∆
= − 2−4 = 2
(11.2)
Ponieważ wzdłuż każdej osi porusza się średnio 1/3 N cząsteczek ( nie ma wyróżnionego kierunku), to
zmiana pędu wszystkich cząsteczek poruszających się wzdłuż osi x wyniesie:
2
∆
= 0
3
∆
= ∆ ,
Zgodnie z zasadami dynamiki:
(11.3)
(11.4)
gdzie
oznacza czas po którym wszystkie cząsteczki poruszające się w kierunku osi x zderzą się
z wybraną ścianką. Łatwo zauważyć, że ten czas będziee równy czasowi po którym ostatnia
z cząsteczek poruszająca się w tym kierunku zderzy się z prawą ścianką. Jako ostatnia zderzy się
cząsteczka oznaczona numerem 2, która ma do pokonania drogę 2a.
Ponieważ porusza się ona z prędkością v, to :
2
(11.5)
∆ =
Uwzględniając powyższą relację w równaniu (10.4) otrzymujemy po elementarnych przekształceniach
;
=
20
⟨D ⟩
3 L
(11.6)
Jest to podstawowe równanie teorii kinetyczno molekularnej.
Pamiętając o relacji pomiędzy temperaturą bezwzględną, a średnią energią kinetyczną cząsteczek,
możemy przekształcić ostatnie równanie do postaci:
= ,-6.
(
(11.7)
znanej
nanej jako równanie stanu gazu doskonałego.
doskonałego
W celu pozbycia się występującej w nim stałej bierzemy jeden mol gazu doskonałego
doskonał
w warunkach
normalnych:
• ciśnienie: p0 = 101325 Pa = 1 atm ,
• temperatura: T0 = 273,15 K = 0°C
w których gaz doskonały zajmuje objętość V0=22,4 dm3
Podstawienie tych wartości bezpośrednio do równania (11.7) pozwala wyznaczyć wartość tak zwanej
uniwersalnej stałej gazowej:
Clapeyrona:
, oraz przejść do równania znanego jako równanie
= 6„(
(11.8)
Tutaj n oznacza liczbę moli gazu doskonałego.
74
Równanie Van der Waalsa
Równanie Clapeyrona (11.8)
.8) dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy
większych gęstościach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla
gazu oraz że zasięg sił międzycząsteczkowych może być większy niż odległości międzycząsteczkowe.
J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzględnia te czynniki.
czyn
Jeżeli
cząsteczki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostępna dla cząsteczek
ste
jest mniejsza
od objętości naczynia. Jeżeli oznaczymy przez b objętość pojedynczej cząsteczki, to objętość
zajmowana przez N cząsteczek wypełniających naczynie wyniesie Nb. Daje to zmodyfikowane
równanie stanu gazu:
6m(
(11.9)
=
− 0…
gdzie k jest stałą Boltzmana k = 1.38·10-23 J/K.
Działanie sił wzajemnego oddziaływania pomiędzy cząsteczkami powoduje dalszą korektę do
ciśnienia gazu podanego powyższa relacją. Siły te są proporcjonalne do gęstości gazu, a więc również
do koncentracji n=N/V. Jeżeli zauważymy, że ciśnienie jest również wprost proporcjonalne do
gęstości to wywołana oddziaływaniem cząsteczkowym zmiana ciśnienia musi być wprost
proporcjonalna
cjonalna do kwadratu koncentracji. Pozwala to zapisać zmodyfikowane równanie stanu
w formie znanej jako równanie Van der Waalsa:
(11.10)
Tutaj a,b to stałe odpowiednio uwzględniające zarówno siły przyciągania jak odpychania.
Energia wewnętrzna
Energia wewnętrzna
jest najważniejszym parametrem charakteryzującym stan układu
makroskopowego. Wielkość ta oznaczamy prze U i definiujemy jako sumę wszystkich energii
wszystkich cząsteczek układu.
(11.11)
W termodynamice koncentrujemy się na dwóch składnikach energii wewnętrznej:
• energii kinetycznej cząsteczek wynikającej z ich chaotycznego ruchu
• energii potencjalnej cząsteczek wynikającej z ich wzajemnego oddziaływania
Energia wewnętrzna układu jest funkcją stanu- zależy od opisujących układ parametrów
para
makroskopowych. W celu wyznaczenia energii wewnętrznej gazu doskonałego posługujemy się
zasadą ekwipartycji energii: średnia energia kinetyczna na każdy stopień swobody jest taka sama dla
wszystkich cząsteczek i wynosi ½ kT.
kT
Średnia energia kinetyczna
zna ruchu postępowego cząsteczki jednoatomowej (posiadającej trzy stopnie
swobody) wynosi:
. Natomiast cząsteczka dwuatomowa kształcie hantli (rys) ma pięć
stopni swobody wynikających z ruchu postępowego wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych,
a także dwóch dodatkowych będących efektem ruchu obrotowego wzdłuż osi dla których posiada
niezerowy moment bezwładności :odpowiednio I1, I2.
75
z
I3
I
I2
R
y
x
Rys.11.3
11.3 Stopnie swobody cząsteczki dwuatomowej.
Gdy dwa układy (ciała) o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą to ciepło ∆Q przepływa
z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Zgodnie z zasadą zachowania energii, ciepło pobrane przez
układ musi być równe wzrostowi energii wewnętrznej układu plus pracy wykonanej przez układ nad
otoczeniem zewnętrznym czyli:
(11.12)
Jest to proste sformułowanie pierwszej zasady termodynamiki.
Przykład 1.
Do kalorymetru o masie m1, ciepło właściwe c1, zawierającego m2 wody o temperaturze t1, wrzucono
kostkę lodu o masie m3 i temperaturze t2<0. W rezultacie po stopieniu lodu temperatura układu
wynosiła tk. Wiedząc, że ciepło właściwe wody wynosi c2 , a lodu c3 wyznaczyć ciepło topnienia lodu
- L.
Pamiętamy, że lód jest substancją krystaliczną, a więc topi się w określonej temperaturze zwanej
temperaturą topnienia, która dla lodu wynosi 00C.
W celu lepszego zrozumienia poszczególne etapy przebiegającego procesu termodynamicznego
wygodnie jest przedstawić na wykresie.
t
Q4+Q5
t1
tk
t0
Q1
Q2
Q3
Q
t
Rys.11.4 Schemat do bilansu cieplnego z przejściem fazowym.
76
Jak wynika z treści ciepło jest pobierane przez lód na:
• Ogrzanie do temperatury topnienia - 3 = , ∆ = , 2 − 4
• Stopienie w stałej temperaturze topnienia - 3 = • Ogrzanie wody, która powstała po stopieniu lodu od temperatury 00C do temperatury
końcowej tk.-3 = , 2L − 4
Ciepło oddawane jest przez wodę znajdującą się w chwili początkowej w kalorymetrze - 3† =
, 2 − L 4
Oraz przez sam kalorymetr - 3S = , 2 − L 4.
Zgodnie z zasada zachowania energii, ciepło pobrane musi być równe ciepłu oddanemu co
w rozważanej sytuacji daje: 3 + 3 + 3 = 3† + 3S .
Podstawiając odpowiednie równania za poszczególne ciepła otrzymujemy:
, 2 − 4 + + , 2L − 4 = , 2 − L 4 + , 2 − L 4.
Jest to równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą-L, tak że po prostych przekształceniach
otrzymujemy:
, 2 − L 4 + , 2 − L 4 − , 2 − 4 − , 2L − 4
=
12.Pole elektryczne
Kwantyzacja ładunku
Ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C. Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
Zachowanie ładunku
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin. Wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym jest stały.
Prawo Coulomba
Ładunek elektryczny jest nieodłączną własnością niektórych cząstek elementarnych takich jak
elektron czy proton. Ponieważ te cząstki są podstawowymi składnikami atomów każde ciało posiada
ogromny ładunek elektryczny. Jednak ze względu na fakt, że ładunki protonu i elektronu zwane
ładunkami elementarnymi są równe co do wartości, ale mają przeciwne znaki wypadkowy ładunek
elektryczny nawet na poziomie atomu jest równy zero. Jeżeli jednak wytworzy się w ciele nadmiar
ładunków jednego znaku ( na poziomie atomowym jest to zjawisko jonizacji) to ciało takie wykazuje
własności elektryczne. Należy pamiętać że rozpatrując oddziaływania elektryczne pomiędzy ciałami
bierzemy pod uwagę nie całkowity ładunek elektryczny zawarty w każdym z ciał, ale jedynie ładunek
nadmiarowy. Oddziaływanie nieruchomych ładunków punktowych zostało opisane eksperymentalnie
w 1785 roku przez Coulomba. Stwierdził on, że siła opisująca oddziaływanie dwóch nieruchomych,
punktowych ładunków jest wprost proporcjonalne do każdego z tych ładunków i odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi (rys 12.1).
77
z
n
q0
r
q
y
x
Rys. 12.1Oddziaływanie dwóch ładunków punktowych.
1 ˆˆ
=
4n‡ Tutaj
‡ = 0.885 ∙ 10t
(12.16)
,
oznacza przenikalność elektryczną próżni.
Siła ta jest siłą centralną, jeżeli więc wprowadzimy wektor jednostkowy:
r
r r
n=
r
(12.17)
to możemy przepisać prawo Coulomba w aspekcie wektorowym:
1 ˆˆ =
4n‡ (12.18)
Okazało się, że znacznie wygodniej można opisywać oddziaływania pomiędzy ładunkami
wprowadzając pojęcie pola elektrycznego. Każdy ładunek zmienia bowiem własności otaczającej go
przestrzeni co przejawia się w tym, że na każdy inny ładunek znajdujący się w tej przestrzeni działa
siła natury elektrycznej. Istotny jest fakt, że chociaż pole elektryczne możemy badać umieszczając w
nim dodatkowy ładunek (tzw. ładunek próbny, który zawsze jest dodatni), to pole istnieje bez względu
na obecność tego dodatkowego ładunku. Podstawową wielkością opisującą pole elektryczne jest
r
natężenie pola elektrycznego E zdefiniowane jako siła działająca na jednostkowy ładunek
umieszczony w danym punkcie pola.
→
(12.21)
D = Š
ˆ
Zatem natężenie pola elektrycznego jest funkcją wektorową, która opisuje pole elektryczne w sposób
jednoznaczny; każdemu punktowi pola przyporządkowany jest jeden i tylko jeden wektor natężenia
pola
Ładunek próbny na podstawie umowy jest zawsze dodatni. Kierunek D jest taki sam jak (na
ładunek dodatni)
W celu wyznaczenia wypadkowego natężenia pola elektrycznego pochodzącego od rozkładu
ładunków korzystamy z zasady superpozycji(rys.12.2)
78
r r
E (r ) =
∑
r r
E i (r ) =
i
1
4πε 0
q1
z
∑
i
r r
(r − ri ' )
qi r r 3
r − ri '
(12.24)
q2
qi
q3
r
ri '
r
r1'
r r
r − ri '
r
r2
r
r3
P
r
r
y
x
Rys.12.2 Zasada superpozycji
Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw. linii sił. Linie nie tylko pokazują
kierunek E ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni). Jeżeli liczbę linii
przechodzących przez powierzchnię ∆S oznaczymy ∆φ to wówczas
v r
∆φ = E∆S cos α
r
(12.26)
r
gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni ∆S i wektorem E .
13.Pojemność elektryczna- kondensatory
Pojemność elektryczna C, C =
q
,
U
jest liczbowo równa ładunkowi q, który przeniesiony na
przewodnik podnosi jego potencjał o 1V.
Jednostką pojemności elektrycznej jest
farrad
C
zdefiniowany poprzez relację: 1F = . Przewodniki odosobnione mają niewielką pojemność
V
elektryczną; na przykład przewodząca kula o promieniu równym promieniowi Ziemi miałaby
pojemność rzędu kilkuset µF . Jednak w wielu praktycznych zagadnieniach z elektroniki potrzebujemy
elementów zdolnych do wytwarzania i magazynowania znacznych wartości energii elektrycznej, a
więc charakteryzujących się znaczną pojemnością elektryczną. Dlatego też kondensatory, które
posiadają takie własności są zasadniczym elementem w większości praktycznych obwodów.
Kondensatorem nazywamy przyrząd, który składa się z dwóch lub więcej przewodników (okładek)
oddzielonych warstwą dielektryka. W celu wyeliminowania wpływu pól zewnętrznych okładkom
kondensatora nadaje się taki kształt, że pole wytworzone przez ładunek znajdujący się na okładkach
79
jest prawie całkowicie zawarte wewnątrz kondensatora. Najczęściej stosuje się kondensatory płaskie,
cylindryczne (okładkami są dwa współosiowe cylindry), lub sferyczne ( rolę okładek pełnią dwie
współśrodkowe powierzchnie kuliste).
+
+ +
+
+
+
+
+
E
- -
- -
-
-
-
d
-
Rys.13.1. Wyznaczanie pojemności kondensatora płaskiego przy pomocy prawa Gaussa.
otrzymujemy wzór na pojemność próżniowego kondensatora płaskiego:
C 0= ε 0
(13.4)
S
d
Jeżeli pomiędzy okładkami kondensatora umieścimy dielektryk obserwujemy wówczas wyraźny
wzrost pojemności. Stosunek pojemności kondensatora wypełnionego dielektrykiem C, do pojemności
tego kondensatora w sytuacji gdy pomiędzy okładkami znajduje się próżnia C0 wyznacza stałą
dielektryczną substancji wypełniającej kondensator: ε r =
C
. Stała dielektryczna dla różnych
C0
substancji przyjmuje wartości z bardzo szerokiego zakresu od 1,00054 dla powietrza, co sprawia, że
jest ono praktycznie nieodróżnialne od próżni, do wartości kilkudziesięciu tysięcy w przypadku
specyficznych ferroelektryków. Bardzo istotne dla danego kondensatora jest także tak zwane napięcie
przebicia. Jest to maksymalna wartość napięcia jaką można przyłożyć pomiędzy okładkami
kondensatora bez obawy uszkodzenia dielektryka. W obwodach elektrycznych kondensatory możemy
łączyć równolegle lub szeregowo. Oczywiście możliwe jest także łączenie mieszane.
W przypadku baterii kondensatorów połączonych równolegle (Rys. 13.2) różnica potencjałów na
każdym kondensatorze jest taka sama, natomiast na okładkach różnych kondensatorów mogą się
gromadzić różne ładunki elektryczne.
++ + +
+ +++++
----
-----
Rys.13.2. Układ kondensatorów połączonych równolegle.
Zatem możemy obliczyć ładunek zgromadzony na okładkach każdego z kondensatorów.
q 1 = C 1U ,
q 2 = C 2U , q i = C i U
(13.5)
80
Zgodnie z zasadą zachowania ładunku całkowity ładunek q jaki wypłynął ze źródła w procesie
ładowania musi być równy sumie ładunków zgromadzonych na okładkach poszczególnych
kondensatorów.
q=
∑q
i
= U ∑ Ci
i
(13.6)
i
stąd całkowita pojemność układu
C=
q
= ∑ Ci
U
i
(13.7)
W przypadku układu kondensatorów połączonych szeregowo obserwujemy jedynie rozdział
ładunków, tak że wypadkowy ładunek na każdej parze okładek połączonych przewodnikiem musi być
równy zeru (Rys.13.3) (okładki objęte zakreskowanym prostokątem).
++ + + +
-------
+++++ +
-----Rys.13.3 Układ kondensatorów połączonych szeregowo.
Oznacza to, że w przypadku kondensatorów połączonych szeregowo na każdym z nich musi się
zgromadzić taki sam ładunek q jaki wypłynął ze źródła. Ponieważ przy połączeniu szeregowym
spadek napięcia na obwodzie musi być równy sumie spadków napięć na poszczególnych elementach
U = ∑U i ,
(13.8)
i
gdzie spadek napięcia na kondensatorze o pojemności Ci wyraża się relacją: U i =
q
. W rezultacie
Ci
otrzymujemy
U = q∑
i
1
,
Ci
(13.9)
co w połączeniu z definicją pojemności daje pojemność zastępczą układu w postaci:
1
1
=∑ .
C
i Ci
(13.10)
Jeżeli w obwodzie ładowania kondensatora (Rys.13.4) umieścimy mikroamperomierz to pokaże on
przepływ prądu malejący wykładniczo w czasie. Jak pokazuje eksperyment czas ładowania
kondensatora zależy od jego pojemności oraz od wartości oporu zewnętrznego przez który to
81
ładowanie zachodzi. Wynika to bezpośrednio z zastosowania II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu;
siła elektromotoryczna źródła jest równa sumie spadków napięć na kondensatorze oraz oporności
zewnętrznej; co zapisujemy w postaci równania:
U=
(13.11)
q
+ IR .
C
14. Prąd elektryczny –obwody prądu stałego
Przepływ prądu elektrycznego w metalach
polega na uporządkowanym ruchu elektronów
swobodnych. Należy jednak pamiętać, że ze względów historycznych, przyjmujemy za umowny
kierunek prądu kierunek w jakim poruszałyby się ładunki dodatnie, a więc kierunek przeciwny do
rzeczywistego. Prąd elektryczny jest wywołany różnicą potencjałów-napięciem na końcach
przewodnika. Podstawową wielkością opisującą prąd elektryczny jest natężenie prądu zdefiniowane
jako stosunek ładunku ∆ˆ do czasu w jakim przepłynął on przez daną powierzchnię:
Q=
∆ˆ
∆
(14.1)
Podstawową jednostką natężenia prądu elektrycznego jest Amper, zdefiniowany jako:
A=C/s. Nie jest to precyzyjna definicja ze względu na bardzo małą wartość podstawowego nośnika
jakim jest ładunek elektronu - ładunek elementarny e=1.6 *10-19C. Dlatego precyzyjna definicja
ampera oparta jest na zjawisku wzajemnego oddziaływania przewodników z prądem.
Doświadczenie pokazuje, że przyłożenie takiego samego napięcia do dwóch przewodników o takich
samych wymiarach, ale wykonanych z różnych materiałów, np. miedzi i żelaza powoduje przepływ
prądów o różnych natężeniach, Jest to efektem właściwości przewodników zwanej oporem
elektrycznym R zdefiniowanym jako stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu
płynącego przez przewodnik:
‹
(14.2)
=„
Q
Jednostką oporu elektrycznego jest 1Ohm ŒΩ Ž. Opór elektryczny przewodnika zależy od jego rodzajuopór właściwy [ , długości- l, przekroju poprzecznego – S oraz temperatury.
`
$
„ = „ 21 + .Δ4
„=[
(14.3)
Rt – opór w temperaturze t, . - współczynnik proporcjonalności, charakterystyczny dla danego
przewodnika.
Podkreślamy, że opór elektryczny nie zależy ani od napięcia , ani od natężenia, jak można by
wnioskować z równaniSzeregowe łączenie oporników.
R
R2
A1
V1
R3
A
V2
A3
V3
V
A
Rys. 14.1 Szeregowe łączenie oporników.
82
Zwracamy uwagę, że amperomierz łączymy zawsze szeregowo, natomiast woltomierz równolegle.
Przy szeregowym połączeniu elementów przez każdy płynie taki sam prąd. Wskazania amperomierzy
A1, A2, A3 pokazujących prądy (I1, I2, I3 ) płynące przez odpowiednie oporniki są dokładnie takie same
i równe prądowi I wypływającemu ze źródła ( pierwsze prawo Kirchhoffa)- amperomierz A.
Q = Q = Q = Q
(14.4)
Natomiast nie są sobie równe spadki napięć na poszczególnych opornikach. Wskazania woltomierzy
V1,V2,V3 (U1,U2,U3) mogą być zupełnie różne. Jednak zawsze suma spadków napięć na
poszczególnych elementach obwodu (w tym przypadku opornikach) musi być równa spadkowi
napięcia na całym obwodzie U- wskazanie woltomierza V.
‹ = ‹ + ‹ + ‹
(14.5)
Zgodnie z prawem Ohma stosunek spadku napięcia na danym fragmencie obwodu do natężenia prądu
płynącego w tym fragmencie jest nazywany oporem elektrycznym. Stąd wartość oporu elektrycznego
pierwszego opornika obliczymy z relacji:
‹
„ =
(14.6)
Q
Analogicznie opory drugiego i trzeciego są równe:
‹
„ =
,
Q
„ =
‹
Q
(14.7)
W celu wyznaczenia oporu całego obwodu R należy podzielić spadek napięcia na całym obwodzie Uwskazanie woltomierza V, przez prąd I wypływający ze źródła.
„=
‹
Q
(14.8)
Obliczając spadki napięć na poszczególnych elementach (równania
) i korzystając z relacji ()
otrzymujemy, że przy połączeniu szeregowym opór całkowity (wypadkowy) jest równy sumie oporów
poszczególnych oporników:
„ = „ + „ + „ ,
(14.9)
lub ogólnie:
„ = ? „@
@
(14.10)
83
Równoległe łączenie oporników.
V1
A1
R1
A2
R2
A3
R3
V
A
Rys.14.2 Równoległe połączenie oporników.
Przy połączeniu równoległym oporników spadek napięcia na każdym z nich jest taki sam i równy
spadkowi napięć na całym obwodzie:
‹ = ‹ = ‹ = ‹
(14.11)
Natomiast wypływający ze źródła prąd I rozgałęzia się w węźle na prądy płynące przez trzy oporniki
I1,I2, I3 zgodnie z prawem Kirchhoffa:
Q = Q + Q + Q
(14.12)
Opór opornika Ri obliczamy zgodnie z prawem Ohma:
„@ =
‹@
Q@
Q@ =
‹@
„@
„=
‹
Q
Stąd
Natomiast opór całego obwodu
(14.6)
(14.13)
(14.14)
84
Skąd
Q=
‹
„
(14.15)
Wprowadzając do równania 14.12 relacje 14.13 i 14.15 otrzymujemy:
‹ ‹ ‹ ‹
=
+
+
„ „ „@ „
(14.16)
Co po wykorzystaniu relacji 14.11 pozwala zapisać:
1
1
1
1
=
+ +
„ „ „@ „
Lub ogólnie
1
1
=?
„
„@
(14.17)
(14.18)
15.Pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem
Zjawiska magnetyczne , podobnie jak zjawiska elektryczne znane już były w starożytności. Jednakże
przez wiele stuleci rozpatrywane były całkowicie oddzielnie. Dopiero doświadczenie Oersteda w 1820
roku pozwoliło je połączyć w kompleksową całość stanowiąc podstawę elektromagnetyzmu.
Rys.15.1 Schemat doświadczenia Oersteda.
85
Nad igłą magnetyczną pokazującą kierunek północ- południe ustawiamy miedziany przewodnik.
Ponieważ miedź nie wykazuje własności magnetycznych nie obserwujemy żadnych zakłóceń
w położeniu igły. Jeżeli jednak przez p[przewodnik przepuścimy prąd elektryczny igła magnetyczna
wychyla się:
• kierunek wychylenia zależy od kierunku płynącego prądu
• wartość wychylenia zależy od natężenia prądu płynącego przez przewodnik
Oznacza to, że wokół przewodnika z prądem wytwarza się pole magnetyczne.
Odkrycie dokonane przez Oersteda stało się sygnałem do wzmożonej aktywności wśród fizyków.
W ciągu kilku następnych lat Ampere i Faraday opracowali teorię oddziaływań magnetycznych i ich
wzajemnych relacji z prądami. Zasługą Oersteda było nie tylko wykazanie faktu, że prąd elektryczny
oddziaływuje na igłę magnetyczną, ale także to, że efekt ten ma osobliwe właściwości kierunkowe.
Po raz pierwszy bowiem fizycy spotkali się z oddziaływaniem, które w żaden sposób nie dało się
zamknąć w dotychczasowych standardach fizyki. Żeby wyjaśnić różnicę pomiędzy klasycznymi
oddziaływaniami grawitacyjnymi, czy kulombowskimi, a nowymi jakościowo oddziaływaniami w
teorii magnetyzmu rozważmy prosty eksperyment. Miedzianą ramkę, która podobnie jak huśtawka
może obracać się wokół poziomej osi, umieszczamy w zewnętrznym polu magnetycznym,
wytworzonym przez magnes podkowiasty (rys 14.1).
Rys.15.2 Oddziaływanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem- siła elektrodynamiczna.
Ponieważ miedź nie wykazuje żadnych właściwości magnetycznych w chwili początkowej nie
obserwujemy żadnego oddziaływania. Jednak kiedy przez ramkę przepuścimy prąd elektryczny
wychyla się ona wyraźnie w jedną lub drugą stronę. Oddziaływanie to nazywamy siłą
elektrodynamiczną.. Jej wartość zależy od natężenia I płynącego prądu, długości przewodnika l
mieszczącego się w polu magnetycznym oraz od jakości magnesu. Żeby uwzględnić ostatnią
r
zależność wprowadzamy pojęcie wektora indukcji magnetycznej B który odpowiada funkcji natężenia
r
E dla pola elektrycznego. Zwrot wektora indukcji magnetycznej przyjmujemy umownie od bieguna
86
północnego do południowego. W ten sposób dla rozpatrywanej sytuacji otrzymujemy: F=IBl, skąd po
prostym przekształceniu możemy ustalić wymiar jednostki indukcji magnetycznej jaką jest 1 tesla
mianowicie: T =
N
. Zgodnie z doświadczeniem kierunek i zwrot siły elektrodynamicznej zależą od
Am
kierunku płynącego prądu, oraz od kierunku pola magnetycznego. W ogólnej sytuacji siła
elektrodynamiczna wyraża się wzorem:
r r
r
(15.1)
F = I (l × B ) ,
skąd po prostych przekształceniach możemy znaleźć siłę działającą na pojedynczy ładunek
poruszający się w polu magnetycznym (siła Lorentza) jako:
r
r r
F = q (V × B )
(15.2)
Zwróćmy uwagę, że siła ta podobnie jak siła elektrodynamiczna nie jest siłą centralną (działającą
wzdłuż prostej łączącej środki mas), nie zależy od kwadratu odległości pomiędzy oddziaływującymi
ciałami natomiast zależy od prędkości poruszających się ładunków. Jako nowa jakość, która pojawiła
się w fizyce, siła ta przyczyniła się do powstania nowych teorii, wykraczających znacznie poza obszar
fizyki klasycznej zdeterminowanej przez mechanikę Newtona. Precyzyjny pomiar siły działającej na
ładunki elektryczne poruszające się z określoną prędkością pozwala na wyznaczenie wektora indukcji
magnetycznej w dowolnym punkcie pola. Wieloletnie eksperymenty doprowadziły do równania
pozwalającego obliczyć indukcję magnetyczną wytworzoną przez dowolny rozkład prądów. Jest to
równanie Biota-Savarta będące magnetycznym odpowiednikiem prawa Coulomba. W celu
przybliżenia istoty równania rozważmy przewodnik o dowolnym kształcie, przez który płynie prąd o
natężeniu I. Żeby wyznaczyć indukcję magnetyczną w dowolnym punkcie P dzielimy przewodnik na
elementy dl (rys.14.2).
dl
I
ϑ
p
r
dB
Rys.15.3. Schemat do równania Biota-Savarta
Wkład do indukcji magnetycznej ze strony takiego elementu zgodnie z równaniem BiotaSavarta wyraża się następująco:
r
r µ0 I dl × rr
dB =
4π r 3
(15.3)
87
tutaj
µ 0 = 4π *10−7 Tm A jest uniwersalną stałą zwaną przenikalnością magnetyczną próżni.
Wykorzystując własności iloczynu wektorowego możemy przepisać równanie Biota-Savarta w
postaci:
dB =
µ 0 I dl sinϑ
4π r 2
(15.4)
.Całkowitą indukcję magnetyczną w danym punkcie P znajdziemy całkując powyższe równanie po
całej długości przewodnika.
r
r
B = ∫ dB .
(15.5)
C
Powyższa całka jest całką wektorową co oczywiście komplikuje znacznie obliczenia w przypadku
przewodników o dowolnych kształtach. Jednak dla typowych sytuacji to znaczy przewodników
prostoliniowych czy solenoidów wyznaczenie indukcji magnetycznej w oparciu o równanie BiotaSavarta jest stosunkowo proste. W ten sposób możemy pokazać, ze indukcja magnetyczna
w dowolnym punkcie P wokół przewodnika prostoliniowego (rys. 14.3) wyraża się relacją:
(15.6)
I
B = µ0
2π r




Rys.15.4. Pole magnetyczne wokół prostoliniowego przewodnika z prądem.
Gdzie I natężenie prądu płynącego przez przewodnik, r odległość wybranego punktu od
przewodnika. Zwrot wektora indukcji ustalamy na podstawie reguły śruby prawoskrętnej: jeżeli ruch
postępowy śruby pokazuje kierunek płynącego prądu (w głąb karki) to ruch obrotowy pokazuje zwrot
linii pola. Zwróćmy uwagę, że w każdym punkcie wektor indukcji jest styczny do linii sił pola.
88
Rys.15.5 Pole magnetyczne wokół solenoidu.
Podobnie wewnątrz solenoidu o n zwojach i długości l przez który płynie prąd o natężeniu I wartość
indukcji wyznaczamy ze związku :
B = µ0
(15.7)
nI
l
Linie sił pola magnetycznego wytworzonego przez solenoid z prądem są analogiczne do linii sił
wytworzonych przez magnes sztabkowy. Znając kierunek prądu płynącego przez solenoid możemy
wyznaczyć położenie biegunów magnetycznych korzystając z reguły: jeżeli patrzymy w głąb
solenoidu i prąd płynie dla nas zgodnie ze wskazówkami zegara to przed sobą mamy biegun
południowy.
Oddziaływanie przewodników z prądem
Rozważmy dwa ustawione równolegle, długie przewodniki przez które płyną prądy
I1,I2 w tym samym kierunku - rysunek poniżej. Każdy z przewodników wytwarza wokół
siebie pole magnetyczne, którego linie sił mają kształt współśrodkowych okręgów, a zwrot
zgodny z regułą śruby prawoskrętnej. W ten sposób linie sił pola magnetycznego
wytworzonego przez przewodnik I1 obejmują przewodnik I2, a zwrot wektora indukcji B1
pokazuje rysunek 15.6

I2
F12
I1
r
F21

Rys.15.6 Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem.
89
Stosując równanie 15.1 możemy wyznaczyć wartość , także kierunek i zwrot siły F21 z jaką pierwszy
przewodnik oddziaływuje na drugi. Analogiczne rozważanie możemy przeprowadzić odnośnie pola
magnetycznego wytworzonego przez przewodnik I2 i jego oddziaływania na pierwszy z
przewodników. Siła elektrodynamiczna F12 z jaką to pole oddziaływuje na przewodnik I1 ma
kierunek i zwrot jak na rysunku. Oznacza to, ze rozważane przewodniki przyciągają się wzajemnie.
Takie same rozważania możemy powtórzyć dla dowolnych kierunków w jakich płyną prądy w obu
przewodnikach, a w rezultacie otrzymać formułę, która mówi, że jeżeli prądy w obu przewodnikach
płyną w tym samym kierunku przewodniki przyciągają się, natomiast jeżeli prądy płyną w kierunkach
przeciwnych przewodniki odpychają się wzajemnie.
I1
I2
F12
F21
I1
I2
F12
F21
Rys.15.7 Wzajemne oddziaływanie przewodników z prądem.
We wszystkich powyższych równaniach opisujących indukcję magnetyczną wokół przewodników
z prądem występuje przenikalność magnetyczna próżni. Wynika to z przyjętej konwencji definiującej
indukcję magnetyczną na podstawie pomiaru siły działającej na jednostkowy ładunek lub jednostkowy
przewodnik z prądem. W tej sytuacji indukcja magnetyczna zależy także od ośrodka w którym to pole
występuje. W celu wyeliminowania wpływu ośrodka wprowadza się czasami pojęcie natężenia pola
r
r
r
magnetycznego H związanego z wektorem indukcji następującą relacją: B = µ 0 H . Jego jednostką
jest
A
, a odnosi się ono wyłącznie do pola spowodowanego przez prądy płynące przez przewodnik.
m
Wprowadzenie ferromagnetycznego rdzenia do solenoidu powoduje znaczne zwiększenie indukcji
magnetycznej i stanowi podstawę do określenia względnej przenikalności magnetycznej substancji µ r :
µr =
B
gdzie B0 oznacza wartość indukcji bez rdzenia , natomiast B jest indukcją magnetyczną tego
B0
samego solenoidu z rdzeniem ferromagnetycznym. W celu wyeksponowania wkładu do indukcji ze
strony rdzenia zapiszmy ostatnią relację w postaci:
B = µ r B0 + B0 − B0
(15.8)
a następnie po elementarnych przekształceniach otrzymujemy:
B = ( µ r − 1) B 0 + B 0 .
(15.9)
Struktura tego równania pozwala traktować pierwszy składnik po prawej stronie jako właśnie szukany
wkład do indukcji ze strony substancji wypełniającej solenoid. Często wprowadza się pojęcie
90
podatności magnetycznej κ = µ r − 1 , co pozwala zapisać ostatnią relację w postaci: B = B0 + κB0 .Ze
względu na ;podatność magnetyczną wszystkie substancje dzielimy na diamagnetyki (κ < 0) ,
paramagnetyki (κ > 0) i ferromagnetyki (κ >> 1) .
Jeżeli przez solenoid z rdzeniem przepuścimy prąd elektryczny to poprzez zmiany natężenia tego prądu
spowodujemy zmiany natężenia pola magnetycznego H. Następnie mierząc wartość indukcji magnetycznej B
odpowiadającej każdej wartości natężenia pola możemy ustalić wartość
µ r (H ) =
(15.10)
B
.
µ0 H
dla każdej pary B i H. W ten sposób jesteśmy w stanie wykreślić krzywą namagnesowania, która dla
typowego ferromagnetyka ma kształt jak na (rys. 4).
µr
103
102
10
1
H
Rys.15.8. Krzywa namagnesowania dla typowego ferromagnetyka
Wynika stąd, że w ten sposób zdefiniowana względna przenikalność magnetyczna nie jest dla
ferromagnetyka wielkością stałą, ale zmienia się wraz ze zmianą natężenia pola magnetycznego H.
Początkowo rośnie wraz ze wzrostem pola osiągając maksimum, a następnie maleje przy dalszym
wzroście pola dążąc do jedności
w obszarze nasycenia , które odpowiada całkowitemu
uporządkowaniu domen w próbce. Dla pewnych ferromagnetyków względna przenikalność
magnetyczna może dla odpowiednich wartości pola H osiągać wartości rzędu 106. Przenikalność
magnetyczna mierzona w stałym polu magnetycznym nosząca nazwę przenikalności statycznej może
różnić się bardzo wyraźnie od przenikalności magnetycznej tej samej substancji, ale mierzonej w polu
zmiennym- przenikalność dynamiczna. Wynika to z obecności prądów wirowych, lepkości
magnetycznej, a także pewnych efektów rezonansowych jakie występują w obecności zmiennych pól.
Dlatego wprowadza się tak zwaną przenikalność magnetyczną początkową
B
.
H →0 µ H
0
µ r0 = lim
µ r0 , zdefiniowaną jako
(15.11)
i równą nachyleniu krzywej namagnesowania w punkcie H=0, lub ze względów praktycznych
przenikalność różniczkową.
µ rr =
1 dB
.
µ 0 dH
(15.12)
91
Właściwości magnetyczne substancji.
Już na początku XIX stulecia, pod wpływem odkrycia Oersteda i własnych prac Ampere zasugerował,
że pola magnetyczne wokół magnesów trwałych są wynikiem prądów płynących wewnątrz tych ciał.
Przypuszczenia genialnego fizyka okazały się generalnie słuszne, chociaż żeby wniknąć w istotę
magnetyzmu fizycy musieli poznać strukturę atomu. Pełny obraz zjawisk magnetycznych oddaje
dopiero teoria kwantowa, która wprowadza fundamentalne pojęcie spinu elektronu, natomiast w
ramach teorii klasycznej jesteśmy w stanie podać wyłącznie przybliżony opis zjawiska. Zgodnie z
teorią klasyczną elektron poruszający się wokół jądra możemy traktować jako zamknięty obwód z
prądem, a jak wiemy każdy prąd wytwarza wokół siebie pole magnetyczne. Ponieważ elektron
porusza się w przybliżeniu po orbicie kołowej odpowiadające mu pole magnetyczne jest zbliżone do
pola wytworzonego wokół przewodnika o takim kształcie (solenoid o jednym zwoju). Oznacza to, że
takie elementarne pole magnetyczne wytworzone przez pojedynczy elektron posiada dwa bieguny
magnetyczne, co wyjaśnia brak w przyrodzie monopoli magnetycznych. Moment magnetyczny dla
obwodu z prądem zdefiniowany jest przez równanie:
r
r
M = ISn
(15.13)
r
gdzie I natężenie prądu, S pole powierzchni, natomiast n oznacza jednostkowy wektor prostopadły do
powierzchni. Jego zwrot jest związany z kierunkiem prądu w obwodzie regułą śruby prawoskrętnej.
Przyjmując, że promień orbity po której porusza się elektron wynosi r, natomiast odpowiadające mu
natężenie prądu: I =
e
, e- ładunek elementarny, T- okres , możemy wyznaczyć odpowiadający mu
T
moment magnetyczny:
r e
r
M = πrr 2 n
T
(15.14)
. Skąd po prostych przekształceniach otrzymujemy:
r
(15.15)
e r
M =
Lo
2m
r
gdzie m oznacza masę elektronu, natomiast L o orbitalny moment pędu. Każdy elektron obok
r
orbitalnego momentu pędu posiada także spinowy moment pędu L s i odpowiadający mu spinowy
r
r r
r
moment magnetyczny M s , zatem wypadkowy moment magnetyczny elektronu M = M o + M s.
Zatem dla atomu posiadającego Z elektronów na orbitach wypadkowy moment magnetyczny jest
sumą
r
Ma =
Z
r
r
M
+
M
∑ oi ∑ os
Z
i
(15.16)
i
Wartość wypadkowego momentu magnetycznego dla atomów, które mają całkowicie ,zapełnione
podpowłoki elektronowe jest równa zeru w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego. Gazy
składające się z takich atomów czy cząsteczek nazywamy diamagnetykami. Do nich zaliczamy
jednoatomowe gazy szlachetne, niektóre gazy o cząsteczkach dwuatomowych takie jak chlor czy
wodór, oraz pary pierwiastków z tego szeregu metali. W obecności zewnętrznego pola magnetycznego
atomy substancji diamagnetycznych wytwarzają własne , bardzo słabe pole magnetyczne, które jest
przeciwnie skierowane do pola zewnętrznego.
Substancje zbudowane z atomów, których podpowłoki elektronowe nie są całkowicie zapełnione
zwane są paramagnetykami. Ich atomy posiadają własny, niezerowy moment magnetyczny. Gdy nie
występuje pole zewnętrzne kierunki tych momentów są ustawione zupełnie przypadkowo, co sprawia ,
że substancje paramagnetyczne nie wykazują na zewnątrz żadnych własności magnetycznych.
Zewnętrzne pole magnetyczne
stara się uporządkować orientację atomowych momentów
magnetycznych paramagnetyka, czemu przeszkadza chaotyczny ruch cieplny. W rezultacie w
przypadku substancji paramagnetycznych średni moment magnetyczny jaki uzyskują atomy jest
92
nieznaczny, ale zawsze zgodny z kierunkiem zewnętrznego pola. Dla bardzo silnych pól, gdy
MB >> kT , gdzie M – średni moment atomowy, B -indukcja pola zewnętrznego, k- stała Boltzmana,
T- temperatura bezwzględna, lub w przypadku bardzo niskich temperatur wszystkie momenty
magnetyczne atomów paramagnetyka są zorientowane równolegle do pola ( nasycenie magnetyczne).
Dla słabych pól zewnętrznych MB << kT namagnesowanie µ ,( µ = NM , N liczba atomów w
jednostce objętości) jest wprost proporcjonalne do indukcji pola zewnętrznego i odwrotnie
proporcjonalne do temperatury bezwzględnej, co wyraża prawo Curie dla paramagnetyków:
B
NM 2
zależy wyłącznie od rodzaju paramagnetyka.
µ = α , tutaj α =
T
2k
W ferromagnetykach oddziaływanie wymienne pomiędzy atomami znajdującymi się w najbliższych
siebie węzłach sieci krystalicznej jest silniejsze od oddziaływania magnetycznego. Jednak jest to
oddziaływanie krótkozasięgowe, ograniczające się do najbliższych sąsiadów podczas gdy
oddziaływania natury magnetycznej mają znacznie większy zasięg. W rezultacie konkurencyjnego
działania obu tych oddziaływań następuje równoległe uporządkowanie momentów magnetycznych
atomów w niewielkich obszarach ferromagnetyka., zwanych domenami. Każdy ferromagnetyk składa
się z ogromnej ilości domen, których momenty magnetyczne zorientowane są w sposób chaotyczny i
w rezultacie wypadkowy moment magnetyczny ferromagnetyka jest równy zeru. W zewnętrznym polu
magnetycznym mogą występować dwa efekty; obrót momentów magnetycznych domen wymuszony
przez pole zewnętrzne, oraz rozbudowa domen, których moment są skierowane równolegle do pola
zewnętrznego kosztem sąsiadów. Wyłączenie pola zewnętrznego powoduje powrót momentów
magnetycznych domen do pierwotnych kierunków, natomiast efekt drugi nie jest całkowicie
odwracalny. Jest to przyczyną występowania histerezy magnetycznej. W wysokich temperaturach gdy
energia drgań atomów jest znacznie większa od energii oddziaływań ferromagnetyk traci swoje
domeny i staje się parramagnetykiem
16.Wzbudzanie prądów zmiennych, Prawo Faradaya, fale
elektromagnetyczne.
Fakt, że wokół z przewodnika z prądem wytwarza się pole magnetyczne oraz szeroko spotykana w
przyrodzie symetria sugerują, że możliwe jest zjawisko odwrotne mianowicie otrzymanie prądów
elektrycznych przy pomocy pola magnetycznego. Jako pierwszy efekt ten uzyskał w 1831 roku
Faraday, który odkrył, że w zamkniętym obwodzie pod wpływem zmiennego pola magnetycznego
powstaje prąd elektryczny zwany prądem indukcyjnym.
Rys. 16.1.Wzbudzanie prądów zmiennych prawo Faradaya
93
Eksperyment Faradaya pokazał, że wartość indukowanej w obwodzie siły elektromotorycznej
indukcji
nie zależy od sposobu w jaki dokonujemy zmian pola , a jedynie od szybkości zmian
pola magnetycznego przenikającego przez obwód.
‡=−
’“
’
(16.1)
W powyższym równaniu zmiany pola magnetycznego opisane są poprzez zmiany strumienia
strumi
magnetycznego ‘. Znak minus po prawej stronie równania wynika z reguły Lenza, która jest
konsekwencją zasady zachowania energii.
Rys.16.2 Sprawdzanie reguły Lenza -oddalanie
oddalanie bieguna południowego do solenoidu.
solenoidu
Jeżeli oddalamy
lamy biegun południowy magnesu sztabkowego od solenoidu przenika przez niego
zmienny strumień magnetyczny (malejący), który powoduje powstanie w nim prądu indukcyjnego.
Wokół przewodnika z prądem, w tym przypadku solenoidu wytwarza się pole magnetyczne, które
kt
zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wszelkim zmianom pola zewnętrznego (oddalanie magnesu
biegunem południowym). Prąd indukcyjny popłynie więc w takim kierunku, żeby od strony magnesu
powstał biegun północny (bieguny różnoimienne przyciągają się wzajemnie).
mnie). Jest to konsekwencją
zasady zachowania energii, gdyż zmiana położenia magnesu wymaga dodatkowej energii, którą
uzyskuje prąd indukcyjny.
Rys.16.3 Sprawdzanie reguły Lenza - zbliżanie bieguna południowego do solenoidu.
solenoidu
94
W sytuacji przedstawionej na rysunku 16.3 prąd popłynie w takim kierunku, żeby naprzeciw magnesu
powstał biegun południowy.
W celu wzbudzenia prądów indukcyjnych zamiast zbliżać i oddalać magnes możemy
pozostawić go w spoczynku, a zbliżać i oddalać solenoid. Zamiast magnesu możemy użyć
elektromagnesu, modyfikując doświadczenie w ten sposób, że zamiast poruszania elektromagnesem
lub zwojnicą możemy zmieniać wartość natężenia prądu płynącego przez elektromagnes np. poprzez
włączenie i wyłączanie obwodu, lub zasilając go bezpośrednio ze źródła prądu zmiennego.
Rys. 16.4 Indukcja wzajemna – wzbudzanie prądów indukcyjnych przy pomocy elektromagnesu.
Jeżeli dwie zwojnice umieścimy na wspólnym rdzeniu z ferromagnetyka i jedną z nich podłączymy do
źródła prądu zmiennego to w drugiej również indukuje się prąd zmienny. Urządzenie tego typu
nazywamy transformatorem
Rys.16.5 Dwa solenoidy na wspólnym rdzeniu – transformator.
Ponieważ zmiany strumienia pola magnetycznego w czasie są w obu zwojnicach takie same to
bezpośrednio z prawa indukcji Faradaya wynika relacja:
6
= .
6
(16.2)
V1,V2- napięcia w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym transformatora, natomiast n1, n2 – liczby zwojów
w tych uzwojeniach.
95
Zjawisko samoindukcji. Indukcyjność zwojnicy.
Interesujący eksperyment pokazujący rolę zwojnicy w obwodzie możemy przeprowadzić przy
użyciu neonówki – lampy próżniowej, która przewodzi prąd tylko wówczas jeżeli przyłożone do niej
napięcie jest wyższe niż charakterystyczne dla danej lampy napięcie zapłonu. Bierzemy neonówkę,
której napięcie zapłonu jest rzędu kilkudziesięciu volt i podłączamy ją do źródła prądu stałego,
którego siła elektromotoryczna jest rzędu kilku volt. Rys(). Zamykamy obwód i zgodnie z
oczekiwaniem nie obserwujemy żadnego efektu.
N
Rys.16.6 Neonówka podłączona bezpośrednio do źródła prądu.
Jeżeli teraz do tego samego obwodu włączymy równolegle do neonówki zwojnicę rys() obserwujemy
w momencie wyłączania obwodu krótkotrwały, ale wyraźny błysk neonówki.
N
Rys.16.7 Neonówka w obwodzie ze zwojnicą – zjawisko samoindukcji
Oznacza on, że na neonówce pojawiło się nagle napięcie znacznie przekraczające napięcie uzyskiwane
ze źródła. Odpowiedzialne za ten efekt jest zmienne pole magnetyczne, które przenika przez zwojnicę
w momencie wyłączania prądu ( malejący gwałtownie do zera prąd wytwarza wokół siebie zmienne
pole magnetyczne). Pole to przenika przez zwojnicę wytwarzając w niej (zgodnie z prawem Faradaya)
prąd indukcyjny. Ten z kolei wytwarza wokół siebie pole magnetyczne, które zgodnie z regułą Lenza
„przeszkadza” przyczynie, która go wywołała, czyli w tym przypadku zmniejszaniu się natężenia
prądu pierwotnego. W rezultacie siła elektromotoryczna samoindukcji zwojnicy wzmacniając
zanikający do zera prąd ze źródła osiągnie tak dużą wartość, że spowoduje krótkotrwały błysk
neonówki. Powstająca siła elektromotoryczna samoindukcji zależy od szybkości zmian w czasie prądu
płynącego przez zwojnicę, a także od parametrów charakteryzujących samą zwojnicę; takich jak
liczba zwoi, obecność i rodzaj rdzenia, wymiary zwojnicy. Wszystkie te parametry uwzględnione są
poprzez wprowadzenie indukcyjności cewki L jako współczynnika proporcjonalności :
96
‡” = −
ΔQ
Δ
(16.3)
Prądy indukcyjne są prądami zmiennymi zasadniczo różnymi od prądów stałych. Używane w praktyce
są prądami sinusoidalnie zmiennymi:
Q = Q sin 2R + x4
(16.4)
I0 – amplituda natężenia, R − częstość, x − faza początkowa.
Podobnie zmienia się napięcie w obwodzie prądu zmiennego
I0
I=const.
0
−Q
t
Rys.16.8 Porównanie prądów stałych – linia niebieska i zmiennych – krzywa czerwona.
Jak wynika z powyższego wykresu natężenie prądu zmiennego zmienia nie tylko swoją wartość, ale
także kierunek.
Podobnie zmienia się napięcie w obwodzie prądu zmiennego, przy czym obie wielkości mogą być
zgodne w fazie- rys.16.9 , lub być ( i tak bywa najczęściej) przesunięte w fazie – rys.16.10.
U
I
t
Rys.16.9 Napięcie i natężenie zgodne w fazie.
97
U
I
t
Rys.16.10. Napięcie i natężenie przesunięte w fazie.
Przesunięcie w fazie pomiędzy napięciem i natężeniem w przypadku obwodów prądu
zmiennego jest spowodowane występowaniem w obwodzie pojemności i indukcyjności, które
powodują pojawienie się tak zwanych oporów biernych; to znaczy oporu indukcyjnego:
š” = R,
oraz oporu pojemnościowego:
šM =
1
R›
(16.5)
(16.6)
Spowodowane przez nie przesunięcie fazowe wyraża się relacją:
+x =
š” − šM
.
„
(16.7)
17.Fale elektromagnetyczne
Cała elektrodynamika klasyczna opisana jest przy pomocy równań Maxwella, z których
jednoznacznie wynika, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w przestrzeni w postaci drgań
wzajemnie prostopadłych do siebie jak również kierunku propagacji pól elektrycznego
i magnetycznego
Fale elektromagnetyczne są więc falami poprzecznymi.
98
Rys.
17.1Fala elektromagnetyczna- drgania pola elektrycznego i magnetycznego wzajemnie
wzajemnie prostopadłe do siebie i do
kierunku propagacji.
Fale elektromagnetyczne mogą mieć różne częstotliwości, więc także różne długości; od
wielometrowych fal radiowych, do bardzo krótkich fal związanych z promieniowaniem jądrowym,
czy rentgenowskim.
Rys.17.2 Spektrum fal elektromagnetycznych.
elektromag
Bardzo wąski fragment tego spektrum zajmuje promieniowanie widzialne czyli światło.
Do określania orientacji fali elektromagnetycznej bierze się kierunek drgań pola elektrycznego.
Nazywany jest on kierunkiem polaryzacji. Jeżeli drgania pola elektrycznego są w jednym kierunku to
taką falę nazywamy spolaryzowaną liniowo (światło może być jeszcze spolaryzowane kołowo lub
eliptycznie), jeśli drgania są w różnych kierunkach to niespolaryzowaną.
Najogólniejszym stanem całkowitej polaryzacji światłaa jest polaryzacja eliptyczna, którą możemy
przedstawić jako sumę dwóch spójnych spolaryzowanych liniowo fal świetlnych, w których drgania
pola elektrycznego zachodzą w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Drgania pól
elektrycznych tych fal w dowolnym
nym punkcie przestrzeni można zapisać w formie:
D= = D= 562R4,
Dœ = Dœ 562R + 4
(17.1)
Gdzie Ex0, Ey0 oznaczają amplitudy drgań rozchodzących się odpowiednio wzdłuż osi x i y,
jest częstością fal, natomiast
jest stałą w czasie różnicą faz. Przyjmując, że światło rozchodzi się
prostopadle do płaszczyzny rysunku w kierunku obserwatora (polaryzacja
(polaryzacja prawoskrętna) możemY
99
przedstawić orientację przestrzenną elipsy zakreślanej przez
elektrycznego .
koniec
ec wektora wypadkowego pola
Ex0
E
Ey
Ey0
0
Ex
Rys.15.4. Polaryzacja eliptyczna.
Dzieląc powyższe równania przez odpowiednie amplitudy, a następnie podnosząc do kwadratu
i dodając stronami otrzymujemy równanie elipsy w postaci:
Dœ
D= Dœ
D=
+
−
2
,- = 56 
D= Dœ
D=
Dœ
(17.2)
Elipsa ta jest wpisana w prostokąt o bokach równych podwojonym amplitudom drgań. Gdy różnica
faz jest całkowitą wielokrotnością
, elipsa przekształca się w prostą i polaryzacja eliptyczna staję
się polaryzacją liniową. Natomiast w sytuacji gdy różnica faz jest równa nieparzystej wielokrotności
polaryzacja eliptyczna przekształca się w polaryzację kołową.
18.Elementy fizyki ciała
ła stałego
Struktury krystaliczne
Kiedy pierwiastek lub związek chemiczny, będący w stanie gazowym lub ciekłym, zostanie
dostatecznie ochłodzony to kondensuje czyli przechodzi do stanu stałego.
Większość związków ma strukturę krystaliczną. Atomy ułożone są w powtarzający się regularny wzór
zwany siecią krystaliczną. Np. ziarna soli kuchennej tworzą sześciany oparte na powtarzającym się
elementarnym sześcianie pokazanym na rysunku poniżej. Pozycje atomów Na i Cl są zaznaczone
odpowiednio małymi i dużymi kulami.
kul
100
Rys.18.1 Model kryształu NaCl
Wiele ciał stałych nie przypomina kryształów ale jest zbudowana z bardzo wielu malutkich
kryształków; mówimy, że mają strukturę polikrystaliczną. Wreszcie w przyrodzie występują ciała
niekrystaliczne tzn. takie, w których uporządkowanie atomowe nie rozciąga się na duże odległości.
Rodzaje kryształów (rodzaje wiązań)
Ze względu na typy wiązań kryształy dzielimy na:
•
•
•
•
•
Kryształy cząsteczkowe (molekularne);
Kryształy o wiązaniach wodorowych;
Kryształy jonowe;
Kryształy atomowe (kowalentne);
Kryształy metaliczne.
Kryształy cząsteczkowe
Składają się ze stabilnych cząsteczek, które zachowują wiele swoich cech indywidualnych nawet
przy zbliżaniu ich do siebie.
• Siły wiążące cząsteczki są słabym przyciąganiem van der Waalsa, takim jakie istnieje pomiędzy
cząsteczkami w fazie gazowej. Fizycznym mechanizmem odpowiedzialnym za to przyciąganie
jest oddziaływanie pomiędzy dipolami elektrycznymi (cząsteczki zachowują się jak dipole
elektryczne).
• Ciała cząsteczkowe tworzy wiele związków organicznych a w stanie stałym gazy szlachetne
i zwykłe gazy, takie jak tlen, azot, wodór.
• Energia wiązania jest słaba - rzędu 10-2 eV tj. 10-21 J.
Dla porównania energia termiczna cząsteczki (wpływająca na rozerwanie wiązania)
w temperaturze pokojowej (300 K) wynosi
3
k B T ≈ 6 ⋅ 10 − 21 J .
2
Widać, że zestalenie może mieć miejsce dopiero w niskich i bardzo niskich temperaturach, gdzie
efekty rozrywające wiązanie, wynikające z ruchu termicznego, są bardzo małe. Np. temperatura
topnienia stałego wodoru wynosi 14 K (tj. -259 °C).
101
•
Te kryształy są podatne na odkształcenia (słabe wiązanie) oraz ze względu na brak elektronów
swobodnych są bardzo złymi przewodnikami ciepła i elektryczności.
Kryształy o wiązaniach wodorowych
W pewnych warunkach atomy wodoru mogą tworzyć silne wiązania z atomami pierwiastków
elektroujemnych takich jak np. tlen czy azot. Te wiązania zwane wodorowymi odgrywają ważną
rolę min. w kryształach ferroelektrycznych i w cząsteczkach kwasu DNA
(dezoksyrybonukleinowego).
Kryształy jonowe
Np. chlorek sodu. Takie kryształy składają się z trójwymiarowego naprzemiennego ułożenia
dodatnich i ujemnych jonów, o energii niższej niż energia odosobnionego jonu.
• Energia wiązania wynika z wypadkowego przyciągania elektrostatycznego. Ta energia jest
większa od energii zużytej na przeniesienie elektronów (utworzenie jonów).
Wiązanie jonowe nie ma wyróżnionego kierunku (sferycznie symetryczne zamknięte powłoki). Jony
są ułożone jak gęsto upakowane kulki.
• Nie ma swobodnych elektronów (które mogłyby przenosić ładunek lub energię) więc kryształy
jonowe są złymi przewodnikami elektryczności i ciepła.
• Ze względu na duże siły wiążące kryształy jonowe są zazwyczaj twarde i mają wysoką
temperaturę topnienia.
Kryształy atomowe (kowalentne)
Np. german, krzem składają się z atomów połączonych ze sobą parami wspólnych elektronów
walencyjnych.
• Wiązania mają kierunek i wyznaczają ułożenie atomów w strukturze krystalicznej.
• Są niepodatne na odkształcenia i posiadają wysoką temperaturę topnienia.
• Brak elektronów swobodnych, więc ciała atomowe nie są dobrymi przewodnikami elektryczności
i ciepła. Czasami jak w przypadku wymienionych Ge oraz Si są one półprzewodnikami.
Ciała metaliczne
Wiązanie metaliczne można sobie wyobrazić jako graniczny przypadek wiązania kowalentnego,
w którym elektrony walencyjne są wspólne dla wszystkich jonów w krysztale a nie tylko dla jonów
sąsiednich.
• Gdy w atomach, z których jest zbudowany kryształ, elektrony na zewnętrznych powłokach są słabo
związane to mogą one zostać uwolnione z tych atomów kosztem energii wiązania (bardzo małej).
• Elektrony te poruszają się w całym krysztale; są więc wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, że
te elektrony tworzą gaz elektronowy wypełniający przestrzeń pomiędzy dodatnimi jonami.
Gaz elektronowy działa na każdy jon siłą przyciągania większą od odpychania pozostałych jonów stąd wiązanie.
Wprawdzie w tych atomach na zewnętrznych podpowłokach są wolne miejsca ale jest za mało
elektronów walencyjnych (na atom) aby utworzyć wiązanie kowalentne.
102
• Ponieważ istnieje wiele nie obsadzonych stanów elektronowych (na zewnętrznych podpowłokach
są wolne miejsca) to elektrony mogą poruszać się swobodnie w krysztale od atomu do atomu - są
wspólne dla całego kryształu.
• Kryształy metaliczne są doskonałymi przewodnikami ciepła i elektryczności.
Mechanizmy oporności elektrycznej
Pierwszym , któremu udało się wyjaśnić tą szczególną cechę metali jaką jest doskonałe
przewodnictwo elektryczne był twórca elektronowej teorii metali P. Drude. Przyjął on bardzo prosty
model metalu, zakładając mianowicie, że jest on siecią krystaliczną zbudowaną z dodatnich jonów,
„ zanurzoną" w swego rodzaju gazie, jaki tworzą liczne w metalu elektrony swobodne. W myśl teorii
Drudego, przewodnictwo elektryczne ciał stałych warunkuje właśnie ów gaz elektronowy. Jeśli
elektronów jest dużo, ciało dobrze przewodzi prąd elektryczny, jeśli zaś mało źle. Gdy ich praktycznie
nie ma, ciało jest izolatorem. W tej interpretacji uwidocznił się ogólny warunek przepływu prądu,
istnienie swobodnych cząstek naładowanych, które mogą przenosić ładunek elektryczny (tzw.
nośników prądu); warunek ten był już wcześniej znany dla cieczy, a także (w pewnym stopniu) dla
gazów. Natomiast opór elektryczny wynikał bezpośrednio z faktu zderzania się elektronów z jonami
sieci krystalicznej.
Teoria Drudego chociaż była w stanie wyjaśnić wiele aspektów związanych
z przewodnictwem natrafiając na szereg problemów. Jednym z nich była mierzona eksperymentalnie
średnia droga swobodna elektronu – l ( średnia droga jaką przebywa elektron pomiędzy kolejnymi
zderzeniami), która powinna być porównywalna ze stałą sieci - a (odległość między sąsiednimi jonami
w sieci krystalicznej) -rysunek poniżej. Jednak w odpowiednich warunkach spotykano się z sytuacją,
że średnia droga swobodna była wielokrotnie większa.
a
l
Rys.18.2 Główny mechanizm oporności wg Drudego – zderzenia elektronów swobodnych z jonami sieci
Teorię Drudego rozwinął w 1928 A. Sommerfeld stwierdzając, że zgodnie z zasadami mechaniki
kwantowej gazu elektronowego w metalach nie można traktować w sposób klasyczny, lecz trzeba go
traktować jako gaz kwantowy. W ujęciu kwantowym gaz elektronowy nie jest zbiorowiskiem
maleńkich kulek, lecz jest zbiorowiskiem oddziałujących ze sobą fal materii (fal elektronowych). W
tym ujęciu oporność elektryczna jest efektem defektów sieci krystalicznej takich jak wakanse,
domieszki (rys), czy ruchów cieplnych sieci.
103
a)
b)
Rys. 18.3 Wakanse- nieobsadzone węzły sieci krystalicznej (a) i domieszki (b)jako główne czynniki oporności
elektrycznej.
Jeżeli uda się wyeliminować powyższe czynniki uzyskujemy kryształy metalu o znikomej oporności
elektrycznej- nadprzewodnictwo
W 1879 r. E. Hall starał się ustalić czy siła, która występuje po umieszczeniu przewodnika z
prądem w zewnętrznym polu magnetycznym dotyczy całego przewodnika, czy też odnosi się
wyłącznie do poruszających się ładunków. Przeprowadzone przez niego eksperymenty nie wykazały
istnienia dodatkowej oporności jaka powinna się pojawić gdyby słuszny był drugi z powyższych
wariantów. Jednak Hall nie traktował tego niepowodzenia jako argumentu rozstrzygającego
przypuszczając, że najprawdopodobniej pole magnetyczne stara się odchylić prąd, ale jest zbyt słabe
żeby tego dokonać. Tym bardziej, że udało mu się zaobserwować istnienie poprzecznej różnicy
potencjałów znanej obecnie pod nazwą napięcia Halla, które potwierdzało jego przypuszczenia.
Żeby zrozumieć istotę zjawiska Halla rozpatrzmy próbkę w kształcie prostopadłościanu o wymiarach
a, b, c, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B przez którą przepuszczamy
prąd o natężeniu I (rys. 1.), tak żeby pole magnetyczne było prostopadłe do kierunku płynącego
prądu.
B
E
Rys.18.4 Schemat układu do doświadczenia Halla.
Zakładając, że gęstość nośników ładunku w badanej próbce wynosi n, a ich średnia prędkość dryfu
V = [0,V ,0 ] , co oznacza , że prąd płynie tylko wzdłuż osi y to zgodnie z różniczkowym prawem
Ohma natężenie tego prądu możemy wyznaczyć z równania:
I = nqVS
(18.1)
gdzie S jest polem poprzecznym płytki S=ab
Obecność pola magnetycznego powoduje pojawienie się siły Lorentza ,
której wartość ze względu na fakt, że wektory V oraz B są wzajemnie prostopadłe wyraża się relacją:
(18.2)
FL=qVB.
104
Żeby ustalić jej kierunek i zwrot możemy wykorzystać własności iloczynu wektorowego zapisując:
r r
i j
r
FL = 0 V
0 0
r
k
r
0 = i qVB
(18.3)
B
co oznacza, że pod wpływem siły Lorentza ładunki będą się przemieszczać wzdłuż osi OX przy czym
gdyby nośnikami prądu były ładunki dodatnie (q>0)
to ich przesunięcie będzie zgodne ze zwrotem osi, natomiast w przypadku nośników ujemnych (q<0)
zostaną one przemieszczone wzdłuż tejże osi , ale w kierunku przeciwnym. Bez względu na znak
nośników prądu w obu więc przypadkach wzdłuż osi OX pojawi się dodatkowe pole elektryczne,
którego zwrot będzie przeciwny do zwrotu osi OX. ( Na powierzchni płytki bliżej nas pojawi się
zawsze nadmiar ładunku dodatniego, natomiast po przeciwnej stronie zgromadzą się ładunki ujemne).
U
E
I
---- ------------+++++++++++++
Rys.18.5 Bez względu na znak nośników ładunku w płytce powstaje zawsze pole elektryczne o takim samym
zwrocie.
Pole to działa na poruszające się ładunki z siłą
r
r
FE = qE
(18.4)
dążąc do uzyskania stanu równowagi w którym:
r r
F L + FE = 0 .
(18.5)
qE=qVB .
(18.6)
W rezultacie otrzymujemy
Zakładając, że pole elektryczne jest polem jednorodnym
E=
U
( tutaj d =a) .
d
(18.7)
Możemy obliczyć wartość napięcia poprzecznego
U = aVB .
(18.8)
Wyznaczając prędkość nośników z różniczkowego prawa Ohma, otrzymujemy w rezultacie:
U =
BI
nqb
(18.9)
105
a więc wartość napięcia poprzecznego (napięci Halla) jest wprost proporcjonalna zarówno do prądu
płynącego przez płytkę (I) jak i do wartości zastosowanego pola magnetycznego (B). Wprowadzając
teraz stałą Halla
RH =
1
qn
(18.10)
możemy ostatnią relację zapisać w postaci :
U = RH
IB
b
(18.11)
Należy zwrócić uwagę, na fakt, że znak stałej Halla zależy od znaku ładunku nośników prądu
w badanej próbce. Dodatnia wartość RH oznacza, że nośnikami prądu są ładunki dodatnie i taki jej
znak uzyskujemy dla niektórych metali ( kadm, cynk),oraz dla półprzewodników. Jednak dla
większości metali wartości stałej Halla są ujemne co potwierdza fakt, że nośnikami prądu są ujemnie
naładowane elektrony. W ten sposób zjawisko Halla pozwala badać naturę nośników prądu w badanej
próbce.
Z drugiej strony pomiar napięcia Halla, przy znajomości natężenia prądu płynącego przez próbkę oraz
parametrów próbki pozwala wyznaczyć indukcję co znalazło zastosowanie w miernikach pola
magnetycznego.
Prawidłowe wyjaśnienie zjawiska Halla i mechanizmu przewodnictwa w metalach przyniosła
oparta na mechanice kwantowej pasmowa teoria ciała stałego. Zgodnie z ta teorią zbiór dozwolonych
energii elektronów walencyjnych w krysztale tworzy tak zwane pasma energetyczne. Nie jest więc ani
widmem ciągłym jak w przypadku elektronów swobodnych, ani dyskretnym jak w izolowanych
atomach.
Pasma energetyczne
W odróżnieniu od atomów (i cząsteczek) gdzie ruch elektronów jest ograniczony do małego
obszaru przestrzeni, w ciałach stałych elektrony walencyjne mogą się poruszać w całej objętości ciała
przechodząc od atomu do atomu.
Ruch elektronów w kryształach jest więc czymś pośrednim pomiędzy ruchem wewnątrzatomowym
a ruchem swobodnych elektronów w próżni.
• Energia elektronu w atomie może przyjmować tylko określone wartości tworząc zbiór dyskretnych
poziomów energetycznych.
• Elektron swobodny może poruszać się z dowolną energią, mamy więc do czynienia z ciągłym
przedziałem energii od zera do nieskończoności.
W kryształach mamy sytuacje pośrednią. Gdy duża liczba atomów jest zbliżana do siebie następuje
poszerzenie atomowych poziomów energetycznych tworzą się tzw. pasma energetyczne tak jak
pokazano na rysunku.
Silnie związane elektrony wewnętrzne w atomie pozostają zlokalizowane w atomach. Elektronom tym
odpowiadają najniższe dyskretne (atomowe) poziomy energii.
Energie elektronów walencyjnych układają się w przedziały - pasma. Pasma są tym szersze im słabsza
więź elektronów z jądrami atomowymi (czyli im bardziej przypominają elektrony swobodne).
Pasmowa struktura widma energetycznego elektronów pozwoliła wyjaśnić wiele podstawowych
właściwości ciał stałych.
Przede wszystkim pozwoliła wytłumaczyć dlaczego, mimo że odległości międzyatomowe i energie
oddziaływań w metalach, półprzewodnikach i dielektrykach są tego samego rzędu to oporność
elektryczna tych substancji różni się o 25 rzędów wielkości: od około 10-6 w metalach do 1019 Ωcm
w dielektrykach.
• Jeżeli pasmo jest puste to nie może wnosić wkładu do przewodnictwa (nie ma elektronów
o energiach w takim przedziale).
106
• Także pasmo całkowicie zapełnione nie bierze udziału w przewodnictwie. Jeżeli przykładamy
napięcie (aby popłynął prąd) to w polu elektrycznym elektrony będą przyspieszane, a to oznacza
oznac
wzrost ich energii. Ale ten proces jest niemożliwy bo nie ma wolnych (nie obsadzonych) energii
• w paśmie.
• Takich ruch elektronów jest możliwy dopiero w paśmie częściowo wypełnionym czyli takim,
w którym są nie obsadzone stany energetyczne.
Substancje o częściowo wypełnionych pasmach są więc metalami a substancje, w których występują
tylko całkowicie zapełnione lub puste stany energetyczne są dielektrykami lub półprzewodnikami
(rysunek).
dielektryk
półprzewodnik
metal
Rys.18.6
18.6 Model pasmowy przewodnictwa ciał stałych.
Na rysunku przedstawiono pasma energetyczne dla ciał w zależności od ich własności elektrycznych.
Pasma dozwolone zaznaczone prostokątami są oddzielone od siebie przerwami energetycznymi
(pasma obsadzone elektronami zostały zakropkowane). Dla trzech
trzech charakterystycznych grup ciał
stałych w stanie podstawowym (temperatura zera bezwzględnego), najniższe w skali energetycznej
pasma dozwolone są całkowicie zapełnione przez elektrony rdzenia atomowego. Kolejne pasmo
dozwolone to pasmo walencyjne, które w przypadku dielektryków i półprzewodników jest również
całkowicie zapełnione. Pasma walencyjne oddzielone są od pasm w przewodnictwa(całkowicie
pustych) przerwą energetyczną, która jest znacznie większa dla dielektryków. Natomiast dla metali
pasmo walencyjne
ne jest tylko częściowo zapełnione, będąc jednocześnie pasmem przewodnictwa.
Ponieważ w obrębie pasma elektrony mogą przemieszczać się swobodnie, metale są dobrymi
przewodnikami.
Jeżeli szerokość obszaru oddzielającego najwyższe pasmo walencyjne od pasma przewodnictwa
p
(tzw.
przerwa energetyczna lub pasmo wzbronione) jest duża to materiał ten jest dielektrykiem we
wszystkich temperaturach (aż do temperatury topnienia).
Jeżeli jednak przerwa jest dostatecznie wąska to w odpowiedniej temperaturze dzięki energii cieplnej
część elektronów może zostać przeniesiona do pustego pasma. Kryształ, który w T = 0 K był
izolatorem teraz będzie przewodził a jego przewodność szybko rośnie (opór spada) wraz
z temperaturą. Jeżeli przerwa jest mniejsza niż 1 eV to przewodnictwoo staje się wyraźne już
w temperaturze pokojowej.
Substancje z taką przerwą nazywamy półprzewodnikami.
107
19.Elementy fizyki jądrowej
Odkrycie jąder atomowych i pierwsze oszacowanie ich rozmiarów zawdzięczamy Ruthefordowi, który
badał rozpraszanie cząstek . na cienkich foliach aluminiowych. Wynikało z nich bezpośrednio, że
rozmiary jądra atomowego są rzędu 10-15m i że wszystkie jądra posiadają ładunek dodatni będący
wielokrotnością ładunku jądra atomu wodoru – protonu. Jądra jednak nie mogły składać się z samych
tylko protonów, ponieważ stosunek ładunku do masy dla wszystkich cięższych jąder atomowych jest
mniejszy od 1. Procesy promieniotwórcze, czyli spontaniczne przekształcenia jąder atomowych
pokazały, że jądra atomowe mają także wewnętrzną strukturę. Po odkryciu neutronu przez Chadwicka
przyjęto model jądra zaproponowany przez Heisenberga według którego neutron składa się z
protonów i neutronów, rozpatrywanych jako dwa odmienne stany nukleonu. Pomimo, że rozmiary
jądra atomowego są o pięć rzędów mniejsze od rozmiaru atomu to w nim skoncentrowana jest prawie
cała masa atomu (99,9%).
Liczbę protonów w jądrze atomowym oznaczamy przez Z, natomiast N oznacza liczbę neutronów.
W przybliżeniu można przyjąć, że proton i neutron mają takie same względne masy atomowe, tzw.
ciężar atomowy równy 1. W efekcie liczba nukleonów w jądrze A=Z+N odpowiada względnej masie
atomowej. Ładunek elektryczny protonu jest co do wartości dokładnie równy ładunkowi elektronu –
ładunek elementarny r = 1,6 ∙ 10tž ›, a ponieważ atomy są elektrycznie obojętne liczba porządkowa
Z oznacza albo liczbę protonów w jądrze, lub elektronów na powłokach. W układzie okresowym
dowolny pierwiastek X zapisujemy w postaci PŸš, w lewym dolnym rogu liczba porządkowa,
decydująca o pozycji pierwiastka w układzie okresowym (zawsze naturalna), w górnym liczba
atomowa oznaczająca jak powyżej sumę nukleonów w jądrze. Zatem ž ‹ oznacza jądro atomu uranu
składające się z 92 protonów w jądrze (także 92 elektrony na powłokach), oraz z 146 neutronów.
Jednak jak łatwo zauważyć dla większości pierwiastków w układzie okresowym liczba atomowa A nie
przyjmuje wartości całkowitych np. dla wodoru wynosi 1,008. Nie oznacza to jednak, ze w jądrze
atomu wodoru znajduje się 1,008 nukleonu, ale jest efektem występowania w przyrodzie tak zwanych
odmian izotopowych tego samego pierwiastka. W przypadku atomu wodoru oprócz typowego wodoru
O - tylko jeden proton w jądrze, występuje deuter O - jeden proton i jeden neutron, oraz tryt O
składający się z jednego protonu i dwóch neutronów. Mimo różnych nazw wszystkie trzy odmiany są
atomami (jądrami) wodoru, które występują w przyrodzie w różnych proporcjach. Z tego względu
liczba masowa (atomowa ) dla wodoru jako średnia ważona wszystkich trzech izotopów ma wartość
ułamkową. Natomiast czysty izotop jak wspomniany powyżej ‹ ma liczbę atomową, która jest
zawsze liczbą naturalną.
Defekt masy i energia wiązania.
Jądra atomowe są wyjątkowo trwałe, nie rozkładają się na części składowe ani pod wpływem
wysokiej temperatury, ciśnienia czy napięcia. Oznacza to, że energia wiązania nukleonów musi być
bardzo duża.
Zgodnie z równaniem Einsteina ,każdej masie m odpowiada energia:D = , gdzie , = 3 ∙
10 / oznacza prędkość światła. Względne masy atomów jak również ich składników są wyrażane
w fizycznej skali atomowej, gdzie standardem odniesienia jest masa izotopu węgla ¢› przyjęta za
równą 12,00000. W pomiarach spektromasowych osiągnięto dokładność do siódmego miejsca po
przecinku i tak masa protonu N = 1,007825, masa neutronu * = 1,008665. Zatem masa
dowolnego jądra atomowego PŸš zgodnie z tym co przyjęto wcześniej powinna być równa £ −
¤N + 2q − ¤4* . Jednak co było niespodzianką masa jądra atomowego wyznaczona równie
precyzyjnie jak masy nukleonów okazała się dla każdego jądra mniejsza od sumy mas jego
składników. Analizując ten efekt na przykładzie jądra helu †Or którego wyznaczona masa :
£ = 4,002600, natomiast suma mas składników 2N + 2* = 4,032980. Stąd różnica mas
zwana defektem masy;∆ = 0,030380. Wykorzystując teraz równanie Einsteina i pamiętając, że
jednostka masy atomowej, czyli 1/12 masy izotopu węgla › odpowiada 1,66 ∙ 10t† + otrzymujemy
∆ = 28,27r. Oznacza to, że podczas syntezy 4 nukleonów (dwóch protonów i dwóch
neutronów) tworzących jądro helu wydziela się taka wartość energii. Z drugiej strony, takiej właśnie
108
energii trzeba dostarczyć żeby rozłożyć jądro helu na składowe nukleony. Jest to wartość bardzo duża,
energia wiązania przypadająca na jeden nukleon dla jądra helu wynosi 7,085MeV, a zatem jest o kilka
rzędów większa niż energia jonizacji dla atomów, co zapewnia jądrom tak dużą stabilność. W ten
sposób można wyznaczyć energię wiązania na jeden nukleon dla jąder pozostałych pierwiastków
(rys). Jak widać z wykresu krzywa pokazująca zależność energii wiązania na jeden nukleon
w zależności od liczby masowej osiąga maksimum około 9MeV, dla jąder o liczbie masowej z
przedziału 60-100. Dla większych mas atomowych energia wiązania maleje i tak dla S‹ wynosi 7,5
MeV. Dla jąder lżejszych, krzywa ta opada znacznie bardziej stromo.
E/A
MeV
«®
8
¬­
©ª«
¨
6
4
2
0
¯
i
50
150
100
A
200
250
Rys.19.1 Zależność energii wiązania przypadającej na jeden nukleon od liczby masowej
Trwałość jąder atomowych jest zdeterminowana przez liczbę i stosunek występujących w nim
nukleonów. Wszystkie jądra dla których Z>83 są niestabilne ulegając rozpadowi
promieniotwórczemu.
§
¦
.
2
1
Rys. 19.2. Promieniowanie radioaktywne pomiędzy okładkami kondensatora
109
Próbka pierwiastka promieniotwórczego(1) emituje wiązkę (2), która przechodzi przez pole
elektryczne płaskiego kondensatora. Obserwujemy, że w polu wiązka rozdziela się na trzy części;
pierwsza odchyla się w stronę okładki naładowanej ujemnie- promieniowanie . , druga znacznie
słabiej w stronę okładki dodatniej- promieniowanie ¦ , trzecia nie reaguje z polem elektrycznympromieniowanie § . Szybko sprawdzono, że promieniowanie .
to strumień jąder helu,
promieniowanie ¦ okazało się strumieniem elektronów, natomiast promieniowanie § to
promieniowanie elektromagnetyczne o bardzo dużej częstotliwości, a zatem o wielkiej energii
kwantów. Rozpad promieniotwórczy ma charakter przypadkowy, jądra ulegają rozpadowi niezależnie
od siebie z określonym prawdopodobieństwem, zdeterminowanym przez średni czas życia nuklidu.
Rozpad typu ° - jądra pierwiastków o liczbie porządkowej większej od bizmutu w procesie
przekształcania się w lżejsze, trwałe jądra emitują jądra helu zwane cząstkami . . W procesie tym
liczba porządkowa maleje o dwie jednostki, a liczba masowa o cztery.
P
Ÿš
→ †. + Pt†
Ÿt±
(19.1)
Rozpad ² – jądra, które zawierają zbyt dużo neutronów, emitują promieniowanie¦ t , będące
strumieniem elektronów powstałych podczas przeważających statystycznie przemian neutronów w
protony.
6
→ + tr + ³
(19.2)
Dodatkowy składnik po prawej stronie równania to antyneutrino elektronowe, cząstka elektrycznie
obojętna i prawie zerowej masie spoczynkowej, która unosi brakujący pęd.
W efekcie takiej przemiany jądro wyjściowe przekształca się w jądro pierwiastka o tej samej liczbie
masowej natomiast liczbie porządkowej zwiększonej o jeden.
P
P
(19.3)
Ÿš → t¦ + Ÿw±
Rozpad ¦ w - dotyczy jąder, które posiadają nadmiar protonów w jądrze i w efekcie przeważają w nim
przemiany protonów w neutrony.
(19.4)
→ 6 + r + 
W rezultacie takiej przemiany emitowany jest pozytron – cząstka elementarna o masie równej
elektronowi, ale przeciwnym ładunku.
Ponieważ rozpad promieniotwórczy ma charakter statystyczny – nie jesteśmy w stanie określić, które
jądra ulegną rozpadowi, a jedynie podać ile ulegnie rozpadowi w danym czasie, do jego opisu
analitycznego używamy prostych metod statystycznych. Zakładamy, że ilość jąder Δ0 , które ulegną
rozpadowi w czasie Δ jest proporcjonalna do tego czasu, oraz do liczby jąder promieniotwórczych –
N. Ilość rozpadów musi także zależeć od rodzaju jąder, które podlegają rozpadowi, co uwzględniamy
wprowadzając współczynnik proporcjonalności tak zwaną stałą rozpadu ´ charakterystyczną dla
każdego pierwiastka promieniotwórczego. Zatem:
(19.5)
Δ0 = −´0Δ
Znak minus po prawej stronie równania oznacza, że wskutek rozpadu występuje tu ujemny przyrost
jąder. Relacja powyższa pozwala zdefiniować stałą rozpadu
Δ0
´=−
(19.6)
0Δ
110
jako względną liczbę jąder, które ulegają rozpadowi w jednostce czas u. Przechodząc do przyrostów
nieskończenie małych relację () zapisujemy w postaci:
(19.7)
d0 = −´0d
Jest to równanie różniczkowe, które możemy rozwiązać przez separację zmiennych
B0
= −´0B,
0
a następnie bezpośrednio scałkować:
1
B0
A
= − A ´B
0
1v
(19.8)
Otrzymując w rezultacie podstawowe równanie rozpadu promieniotwórczego:
0 = 0 r t¶
(19.9)
(19.10)
Zwróćmy uwagę na dobór warunków brzegowych (granic całkowania); w chwili początkowej t=0,
w próbce jest N0 jąder promieniotwórczych, po czasie t zostaje ich N, a zatem rozpadowi uległo:
(19.11)
Δ0 = 0 − 0.
Stałą rozpadu promieniotwórczego możemy wyrazić poprzez tak zwany czas połowicznego zaniku T,
zdefiniowanego jako czas po którym ulegnie rozpadowi połowa jąder macierzystych. Okresy
połowicznego rozpadu wszystkich pierwiastków promieniotwórczych zawierają się w bardzo
szerokim zakresie od 10-8s do 1018 lat. Korzystając z definicji T, możemy zapisać ostatnią relację
w postaci:
1
0 = 0 r t¶·
(19.12)
2 Co po prostych przekształceniach, w których wykorzystujemy podstawowe własności logarytmów
prowadzi do zależności:
`62
(19.13)
´=
(
Reakcje jądrowe.
Przez reakcje jądrowe rozumiemy przemianę jąder pod wpływem bombardowania ich cząstkami
takimi jak protony, neutrony, lekkie jądra izotopów wodoru, lub helu, a także wysokoenergetyczne
kwanty promieniowania. Rzadziej stosuje się w tym celu jądra cięższych pierwiastków ze względu na
olbrzymie energie jakie trzeba im nadawać, żeby pokonać oddziaływania elektryczne, które rosną
wraz ze zwiększaniem ładunku jądra. Produktami reakcji jądrowych są inne jądra oraz wymienione
powyżej cząstki. Ogólnie reakcje jądrowe zapisujemy w postaci:
(19.14)
q + →  +b
lub w prostszej formie: A(a,b)B, gdzie a jest zawsze cząstką wywołującą reakcję, A-jądro
początkowe, b- cząstka powstała w wyniku reakcji jądrowej, B- jądro końcowe. Pierwsza w historii
reakcja jądrowa przeprowadzona w 1919 roku przez Rutheforda polegała na bombardowaniu jąder
azotu cząstkami .,
111
†
X0
+ †. →
X
¸
+ O
(19.15)
otrzymując w rezultacie izotop tlenu i jądro wodoru, lub po prostu proton.
Reakcje typu q2., 64, przeprowadzone w latach trzydziestych ubiegłego stulecia doprowadziły
bezpośrednio do wykrycia neutronu (Chadwick 1932), który był produktem końcowym każdej tego
typu reakcji.
†
ž
(19.16)
†r + . → ¢› + 6
Reakcje z jądrami aluminium przeprowadzone w 1934 przez Fryderyka i Irenę Joliot-Curie
doprowadziły do wykrycia sztucznej promieniotwórczości:
X
†
(19.17)
q` + . → S¹ + 6
W reakcjach jądrowych obowiązują wszystkie zasady zachowania. Rzuca się w oczy prawo
zachowania ładunku i liczby nukleonów, zgodnie z którymi suma ładunków cząstki i jądra przed
reakcją musi być równa sumie ładunków otrzymanych produktów reakcji ( suma indeksów dolnych po
lewej stronie reakcji musi być równa sumie tych indeksów po prawej stronie), natomiast liczba
nukleonów nie ulega zmianie (indeksy górne). W reakcjach jądrowych spełniona jest bezwzględnie
zasada zachowania energii. Zestawiając bilans energetyczny reakcji jądrowej musimy uwzględnić nie
tylko energie kinetyczne biorących w niej udział jąder i cząstek, ale także ich energie wewnętrzne.
Różnica energii wewnętrznych:
(19.18)
3 = 2P + 4, − 2" + º 4, nazywana jest ciepłem reakcji. W równaniu duże M odnoszą się do mas jąder, natomiast małe m
oznaczają odpowiednio masy cząstek padającej i końcowej. Dla Q>0- reakcje egzotermiczne,
w przypadku Q<0 endotermiczne.
Rozszczepienie jąder
Jednym z rodzajów reakcji jądrowych jest rozszczepienie jądra na dwa w przybliżeniu równe
składniki. Rozszczepienie zachodzi jeżeli masa rozszczepianego jądra jest większa od sumy mas obu
części powstałych w wyniku podziału. W celu lepszego zrozumienia istoty procesu rozważmy
rozszczepienie jądra S‹ pod wpływem bombardowania neutronami. Reakcja rozszczepienia
przebiega zgodnie z równaniem:
†
S
¢
ž
(19.19)
ž‹ + 6 → ž‹ → S¢ + ¢» + 2 6
Q
Rys.19.3 Rozszczepienie jądra uranu
112
Po wychwyceniu neutronu jądro uranu S‹ przekształca się w niestabilne jądro ¢‹, które
samorzutnie rozpada się na dwa znacznie mniejsze fragmenty; jądra baru i kryptonu. Dodatkowo
powstają dwa neutrony i wydziela się znaczna ilość energii Q. Powstawanie dodatkowej energii
wynika z faktu, że energia wiązania dla jądra uranu jest mniejsza (rys.19.1)niż energia wiązania
nowych mniejszych jąder. Powstałe podczas rozszczepienia neutrony mogą być wykorzystane do
kolejnych rozszczepień.
113