cyfrowe przetwarzanie sygnałów

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA AGH 2009–2013
rzeczy, które
umiem
rzeczy, które były na wykładach
rzeczy, które były
na egzaminie
WERSJA 3.0
W przypadku ewentualnych błędów w opracowaniu proszę zgłaszać poprawki do autora.
([email protected])
"Theory is when you know all and nothing works. Practice is when all works and nobody knows why.
In this case we have put together theory and practice: nothing works... and nobody knows why!”
(anonymous author)
“A perfect example was my Mathematics Principles of Economics class which taught me how to
manually calculate a bordered Hessian but, for the life of me, I have no idea why I would ever want to
calculate such a monster.”
(JD Long)
1
Spis treści
1
WPROWADZENIE ......................................................................................................................5
2
MATEMATYKA, CZYLI TO CO WSZYSCY LUBIĄ NAJBARDZIEJ .................................................5
2.1
KILKA RZECZY, O KTÓRYCH BĘDZIE MOWA ...........................................................................5
2.1.1
KRÓTKIE SŁOWO O GRANICY, a. k. a. LIMES (limit)........................................................5
2.1.2
SCHEMAT HORNERA (Horner’s method) .......................................................................8
2.1.3
TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH (squeeze theorem)................................................ 10
2.1.4
O SILNI SŁÓW KILKA (factorial) ................................................................................... 14
2.1.5
SYMBOL NEWTONA (binominal coefficient)................................................................ 16
2.1.6
WZÓR FAULHABERA i LICZBY BERNOULLEGO (Faulhaber’s formula and Bernoullie
number) 18
2.2
POCHODNA (derivative)..................................................................................................... 23
2.2.1
WSTĘP ....................................................................................................................... 23
2.2.2
PARABOLA i POCHODNA ............................................................................................ 26
2.2.3
UŻYTECZNOŚĆ POCHODNEJ i GRAFICZNA INTERPRETACJA ......................................... 28
2.2.4
RÓWNANIE KWADRATOWE (quadratic equation)....................................................... 31
2.2.5
NOTACJE i PODSTAWOWE WYPROWADZENIA ........................................................... 33
2.3
SZEREG TAYLORA i MACLAURINA (Taylor and Maclaurin series) ......................................... 36
2.3.1
SZEREG TAYLORA, A PIERWIASTEK .......................................................................... 36
2.3.2
SZEREG MACLAURINA ................................................................................................ 37
2.3.3
SZEREG MACLAURINA – SIN, COS i EKSPONENTA ....................................................... 39
2.4
CAŁKA (integral) ................................................................................................................ 41
2.4.1
WPROWADZENIE ....................................................................................................... 41
2.4.2
SUMY RIEMANNA (Riemann sum) .............................................................................. 45
2.4.3
CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA (Riemann’s definite integral) .................................... 47
2.4.4
PEŁNY DOWÓD DLA FUNKCJI
2.4.5
FUNKCJA PIERWOTNA (antiderivative), CZYLI CAŁKA, A POCHODNA ........................... 53
2.4.6
CAŁKA JAKO WARTOŚĆ ŚREDNIA (integral mean value theorem) ................................ 55
2.4.7
CAŁKA POCHODNEJ (derivative of an integral)............................................................ 56
2.5
................................................................................ 51
LICZBY ZESPOLONE (complex numbers).............................................................................. 56
2.5.1
LICZBA UROJONA (imaginary number) ....................................................................... 56
2.5.2
WZÓR EULERA (Euler’s formula)................................................................................. 60
2.5.3
PŁASZCZYZNA LICZB ZESPOLONYCH (complex plane) .................................................. 61
2.5.4
WZÓR EULERA W RACHUNKU ZESPOLONYM .............................................................. 64
2
2.5.5
2.6
3
4
UOGÓLNIENIE SILNI – FUNKCJA GAMMA (gamma function)....................................... 64
MACIERZE (matrices) ......................................................................................................... 65
2.6.1
PRZESTRZENIE WIELOWYMIAROWE ........................................................................... 65
2.6.2
WARTOŚCI i WEKTORY WŁASNE (eigenvalues and eigenvectors) ................................ 65
PODSTAWOWE SYGNAŁY ....................................................................................................... 66
3.1
O SYGNAŁACH SŁOWO....................................................................................................... 66
3.2
WARTOŚĆ ŚREDNIA FUNKCJI SINUS ................................................................................... 66
3.3
PROSTE FILTRY – FILTR MEDIANOWY i UŚREDNIANIE ......................................................... 66
TRANSFORMATA LAPLACE (Laplace transform) ................................................................... 66
4.1
WSTĘP DO METODY OPERATOROWEJ – SKOK JEDNOSTKOWY, OBSZAR ZBIEŻNOŚCI (region
of convergence) ............................................................................................................................ 66
4.2
JESZCZE KILKA PRZYKŁADÓW ............................................................................................. 68
4.2.1
SYGNAŁ EKSPONENCJALNY......................................................................................... 68
4.2.2
DELTA DIRACA ........................................................................................................... 69
4.2.3
POTĘGA N-tego STOPNIA ........................................................................................... 69
4.3
WŁASNOŚCI TRANSFORMATY LAPLACE .............................................................................. 69
4.3.1
PRZESUNIĘCIE W CZASIE (time shift) z przykładem zastosowania ............................... 69
4.3.2
SKALOWANIE W CZASIE (scaling in time) .................................................................... 71
4.3.3
SKALOWANIE W CZĘSTOTLIWOŚCI (scaling in time).................................................... 71
4.3.4
POCHODNA................................................................................................................ 71
4.3.5
CAŁKA ........................................................................................................................ 72
4.4
PODEJŚCIE PRAKTYCZNE – RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ...................................................... 72
4.5
OBWODY ELEKTRYCZNE ..................................................................................................... 72
4.6
FILTRY PASYWNE ............................................................................................................... 72
4.6.1
OBWÓD RC – FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY (RC low-pass filter)................................... 72
4.6.2
OBWÓD RC – PASMO 3dB (half power point) ............................................................. 75
4.6.3
CHARAKTERYSTYKA BODEGO (Bode plot) ................................................................... 76
4.6.4
CHARAKTERYSTYKA NYQUISTA (Nyquist plot) ............................................................. 79
4.6.5
OKTAWA KONTRA DEKADA ........................................................................................ 80
4.6.6
OBWÓD RC JAKO UKŁAD CAŁKUJĄCY (RC integrator).................................................. 80
4.6.7
CZŁON INERCYJNY I RZĘDU – RZĄD FILTRU (filter order) ............................................. 82
4.6.8
OBWÓD CR – FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY (high pass filter) ...................................... 84
4.6.9
OBWÓD RLC – FILTR PASMOWOPRZEPUSTOWY (band-pass filter) ............................. 85
4.6.10
DOBROĆ Q (quality factor) ......................................................................................... 87
3
4.6.11
CZĘSTOTLIWOŚCI CUTOFF .......................................................................................... 87
4.6.12
CHARAKTERYSTYKI FILTRU PASMOWOPRZEPUSTOWEGO........................................... 90
4.6.13
OBWÓD RLC – FILTR PASMOWOZAPOROWY (band-stop filter)................................... 93
4.6.14
WZÓR OGÓLNY II RZĘDU ............................................................................................ 94
4.6.15
FILTR PASMOWY NOTCH ............................................................................................ 94
4.7
5
PRZYKŁAD Z 4.3.1 CAŁKOWICIE NA PIECHOTĘ .................................................................... 95
WZMACNIACZE OPERACYJNE (operational amplifiers) ......................................................... 96
5.1
CECHY IDEALNEGO i RZECZYWISTEGO WZMACNIACZA ...................................................... 96
5.2
PRZYKŁADOWE ZASTOSOWANIA........................................................................................ 96
5.2.1
KOMPARATOR (comparator) ...................................................................................... 96
5.2.2
WZMACNIACZ ODWRACAJĄCY (inverting amplifier) ................................................... 97
5.2.3
WZMACNIACZ NIEODWRACAJĄCY (noninverting amplifier) ........................................ 97
5.2.4
WTÓRNIK NAPIĘCIOWY (voltage follower) ................................................................. 97
5.2.5
KONWERTER PRĄD-NAPIĘCIE (I – to – V converter)..................................................... 97
5.2.6
SUMATOR (summing amplifier).................................................................................. 97
5.2.7
WZMACNIACZ ODEJMUJĄCY (difference amplifier)..................................................... 97
5.2.8
WZMACNIACZ CAŁKUJĄCY (integrator) ...................................................................... 98
5.2.9
WZMACNIACZ RÓŻNICZKUJĄCY (differentiator).......................................................... 98
5.2.10
WZMACNIACZ POMIAROWY (instrumentation amplifier) ........................................... 98
5.3
FILTRY AKTYWNE ............................................................................................................. 101
5.3.1
DOLNOPRZEPUSTOWY (low-pass filter) .................................................................... 101
5.3.2
GÓRNOPRZEPUSTOWY (high-pass filter) .................................................................. 101
5.3.3
ARCHITEKTURA SALLEN-KEY (Sallen-Key topology) ................................................... 101
5.3.4
FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY II RZĘDU SALLEN-KEY .................................................. 102
6
TRANSFORMATA Z ................................................................................................................ 103
7
TRANSFORMATA FOURIERA ................................................................................................ 104
7.1
CZYM JEST TRANSFORMATA FOURIERA?.......................................................................... 104
7.2
KWESTIA ROZDZIELCZOŚCI ............................................................................................... 105
7.3
PERIODOGRAM LOMB-SCARGLE’a ................................................................................... 105
4
1 WPROWADZENIE
Od momentu kiedy zacząłem pisać pierwszą wersję opracowania z Przetwarzania Sygnałów
Cyfrowych (ang. Digital Signal Processing) minęło ponad 2 lata, stąd chciałbym nieco
inaczej podejść do pewnych tematów i nieco inaczej je sformułować, a także oprawić
wszystko w trochę inną formę – bardziej oficjalną i czytelną. Być może przy okazji uda się
wyłapać pewne pomyłki i je odpowiednio skorygować. W przypadku wersji opracowania
numer 3 zaczniemy z trochę innej strony, bowiem nie od transformaty Fouriera, lecz Laplace,
od razu przechodząc do zastosowań praktycznych. Być może jest to podejście niewłaściwe,
ale cóż… może jednak warto spróbować, skoro prędzej czy później trzeba się będzie
zmierzyć z obiema transformatami? Poza tym, wciąż spory nacisk staram się kłaść na
zastosowanie wzorów, czego bardzo często brakuje w różnych książkach, bowiem najlepiej
najpierw zrobić przykład i zobaczyć jak coś działa, a dopiero później wdawać się w
matematyczne opisy i zawirowania.
Na koniec chciałbym wspomnieć trochę o wstępie matematycznym, ponieważ jest on
miejscami stosunkowo istotny. Bardzo ważnymi elementami są informacje dotyczące
pochodnej i całkowania. Dlaczego? Ponieważ na tych dwóch składowych bazuje bardzo duża
część przetwarzania sygnałów, więc warto przeczytać chociażby te dwa działy dla
odświeżenia pewnych rzeczy.
2 MATEMATYKA, CZYLI TO CO WSZYSCY LUBIĄ
NAJBARDZIEJ
2.1 KILKA RZECZY, O KTÓRYCH BĘDZIE MOWA
2.1.1
KRÓTKIE SŁOWO O GRANICY, a. k. a. LIMES (limit)
Jeśli jesteś czytelniku zaznajomiony z problemem o jakim za chwilę będzie mowa, to
polecam poniższy rozdział, bądź podrozdział „przeskoczyć”. Rzeczy tej jednak nie sposób
ominąć, bowiem jest ona stosunkowo istotna. Od zarania dziejów uczono nas, że dzielić przez
zero nie tyle nie wypada, co nie wolno. Załóżmy, że dostaliśmy zadanie, by narysować
wykres funkcji
w przedziale od
do
:
5
Początkowo na naszej twarzy pojawia się uśmiech. Problem zdaje się być błahy, więc
bierzemy pierwszą lepszą kartkę w kratę do łapki, ołówek o twardości HB w drugą i
smarujemy na papierze kolejne punkty przebiegu…
No i tak oto doszliśmy do ściany… Bo przecież, przez zero dzielić nie wolno, a wykres
narysować jakoś trzeba! Więc kombinujemy… Mamy punkty z lewej strony od zera i mamy
punkty z prawej strony od zera. Cóż jednak począć? Może to co do tej pory już zrobiliśmy
będzie wystarczyło na zaliczenie zadania…?
Rys. 2.1.1.1 Nie do końca udana próba zaliczenia zadania z wyrysowaniem funkcji
Wprawne oko zauważy jednak jedną ciekawą rzecz dotyczącą wykonanego rysunku. Otóż
gdy zbliżamy się do zera na osi x, to funkcja zaczyna albo gwałtownie rosnąć (po prawej,
dodatniej stronie zera) lub maleć (po lewej, ujemnej stronie zera). Ponieważ nie możemy
dzielić przez zero musimy zastosować pewną sztuczkę, która pozwoli nam dowiedzieć się,
6
jaka jest wartość funkcji
w zerze. Zajmijmy się teraz tylko i wyłącznie prawą stroną
wykresu, czyli tylko wartościami dodatnimi. Spróbujmy policzyć jak zmienia się funkcja
wraz z coraz bardziej malejącym , np. jeśli
, to
Z powyższych równań możemy wywnioskować, że im
:
jest bliżej zera, tym funkcja
jest większa. Pozostaje jednak pytanie, do jakiej wartości rośnie ta funkcja? Do jakiej
granicy? Okazuje się, że granicą tej funkcji jest nieskończoność, co możemy zapisać w
następujący sposób:
Co czytamy jako: limes (granica) funkcji
, dla
zmierzającego do zera po dodatniej
stronie (po prawej stronie) to plus nieskończoność. Zakładamy wtedy, że liczba jaką
podstawiamy za
jest większa od zera o nieskończenie mały ułamek. Proszę zwrócić uwagę,
że bardzo istotne jest określenie, po której stronie zera dokonujemy wyliczenia granicy,
bowiem po lewej otrzymamy minus nieskończoność:
Spróbujmy teraz policzyć co się dzieje, gdy
zmierza do nieskończoności (
):
7
Gdy wartości
są ujemne, to
również maleje do zera, stąd możemy napisać:
Ten wstęp pozwoli nam rozwiązać stosunkowo prosty problem. Teraz mały przykład:
Czyli granica funkcji
2.1.2
w nieskończoności to 7.
SCHEMAT HORNERA (Horner’s method)
Teraz przejdziemy do schematu Hornera. Jest to coś, co niektórzy mogą pamiętać jeszcze z
gimnazjum, co pozwala nam szybko wyliczyć pierwiastki (miejsca zerowe) równań
wysokiego rzędu. W teorii wygląda to tak, że posiadamy wielomian n-tego stopnia:
Chcąc rozłożyć powyższy wzór na jego pierwiastki można użyć poniższej tabelki:
8
Gdzie współczynnik
dobieramy w taki sposób, by
. Jak wygląda użycie
takiej tabelki w praktyce? Docelowo chcemy rozłożyć na pierwiastki wielomian z wzoru
2.1.2.2:
Zakładamy, że współczynnik
jest równy 1. Jeśli reszta
wyjdzie zero, to znaczy, że
trafiliśmy właściwie:
Czyli pierwszym pierwiastkiem wielomianu to
(
):
W tym momencie moglibyśmy skorzystać ze standardowego rozwiązania równania
, aczkolwiek spróbujemy ponownie zastosować schemat
kwadratowego dla
Hornera. Ponieważ dwumian posiada tylko i wyłącznie plusy, stąd współczynnik
ujemny (skoro
, więc
):
9
musi być
Okazuje się, że wybór
był błędny. Dobrze jest wybierać wartości, które są
dzielnikami ostatniego elementu równania, tj. dla
może to być przykładowo
:
Czyli nasze równanie po rozłożeniu na pierwiastki wygląda następująco:
2.1.3
TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH (squeeze theorem)
Czasem w przypadku wyprowadzeń pojawia się kwestia granicy funkcji sinc, czyli
może część osób pamięta, że
. Być
, jednakże najczęstsze wyprowadzenie tej
zależności pochodzi z reguły de l’Hospitala (czyt. delopitala):
Jednakże chcąc wyprowadzić pochodną funkcji sinus, nie powinniśmy korzystać z
wyprowadzenia stosującego pochodną funkcji sinus (nawet brzmi to niezbyt ładnie). Stąd
musimy zastosować nieco inne podejście. Zasada, której użyjemy nazywa się twierdzeniem o
trzech ciągach (ang. squeeze theorem lub sandwich rule). Na początek rysujemy okrąg
jednostkowy (unit circle), a w nim trójkąt prostokątny (rysunek 2.1.3.1). Proszę zwrócić
uwagę, iż nasz okrąg jest okręgiem jednostkowym, co oznacza, iż dowolny promień zawsze
jest równy
. Stąd otrzymujemy, iż sinus kąta , będzie równy :
10
Rys. 2.1.3.1 Okrąg z wrysowanym trójkątem prostokątnym
Narysujmy teraz przedłużenie promienia oraz drugi trójkąt:
Rys. 2.1.3.2 Okrąg jednostkowy
Powstaje pytanie – jakiej długości jest nowy bok
? Jeśli zapiszemy tangens kąta
ponownie, dzięki temu, iż okrąg jest jednostkowy, otrzymamy:
Czyli otrzymujemy rezultat jak na rysunku 2.1.3.3.
11
, to
Rys. 2.1.3.3 Okrąg jednostkowy
Spróbujmy teraz policzyć pola poszczególnych trójkątów znajdujących się na rysunku 2.1.3.4.
A
B
C
Rys. 2.1.3.4 Okrąg jednostkowy z zaznaczonymi polami poszczególnych elementów
Pole trójkąta A to iloczyn połowy wysokości (
) i podstawy ( ):
W przypadku pola wycinka B sprawa się trochę komplikuje. Pole całego koła to
natomiast nasz kawałek stanowi
całości. Ponieważ 180 stopni to
, więc pole wycinka to:
12
,
Na koniec pozostał jeszcze ostatni trójkąt, C:
Bardzo łatwo można zauważyć, iż pola kolejnych obszarów są coraz większe, co możemy
zapisać jako:
Oczywiście, powyższe twierdzenie jest prawdziwe tylko do momentu, gdy znajdujemy się w
pierwszej ćwiartce okręgu jednostkowego (no i poniekąd też dla czwartej ćwiartki), czyli dla
przedziału
. Następny krok to podzielenie całego wyrażenia przez
:
Przekręcając wszystkie wartości otrzymujemy:
Gdy
zmierza do zera
, to funkcja cosinus jest zmierza do jedynki
.
Korzystając w tym momencie z twierdzenia o trzech ciągach – jeśli mając trzy ciągi liczb
rzeczywistych:
13
To granica drugiego ciągu również musi zmierzać do tej samej wartości:
Stąd otrzymujemy, iż
.
Na marginesie warto jeszcze wspomnieć, że dla bardzo małych wartości można z dużym
powodzeniem przybliżyć, że
granicy dla
2.1.4
dla
, a stąd już niedaleka droga do wywnioskowania
.
O SILNI SŁÓW KILKA (factorial)
Swego czasu pojawił się genialny odcinek Numberphile wyjaśniający dlaczego:
Jest to dość istotny kłopot, który został wyjaśniony na kilka sposobów. Na początek musimy
sobie jednak odpowiedzieć czym jest silnia (ang. factorial)? Otóż w najprostszej postaci,
silnię liczby całkowitej
możemy zapisać jako:
Możemy tu na chwilę pobawić się w matematyczne definicje czyli, że funkcja silni to taka
funkcja, która rzutuje wartości zbioru liczb naturalnych
zbioru liczb naturalnych
rzutuje na wartości
, co możemy zapisać jako:
Pierwszy sposób wyjaśnienia problemu silni to uzupełnienie ciągu („to complete the
pattern”). Otóż wypiszmy sobie ciąg kolejnych silni od liczby 5 w dół:
14
I w tym miejscu widzimy, że by ciąg był zachowany, to 0
silnią
? Spróbujmy:
. Ktoś zapyta, a co z
Jak widać, otrzymujemy dzielenie przez zero, a tego się
nie robi!
Kolejna metoda spojrzenia na ten problem polega na zastosowaniu praktycznym silni.
Mianowicie
to liczba możliwości na jakie możemy ułożyć
number of ways you can arrange n objects”). I tak
obiektów („n factorial is the
obiekty możemy ułożyć na
sposobów:
Rys. 2.1.4.1 Sześć różnych sposobów ułożenia trzech obiektów
Dla dwóch obiektów mamy już tylko dwa różne rozwiązania:
Rys. 2.1.4.2 Dwa różne sposoby ułożenia dwóch obiektów
Teraz wiemy, że jeden obiekt da się ułożyć na tylko jeden sposób:
15
Rys. 2.1.4.3 Jeden sposób ułożenia jednego obiektu
Powstaje tu jednak pytanie, na ile sposobów da się ułożyć zero obiektów? Jeśli podejdziemy
do rozwiązania z odpowiedniej strony, to okaże się, że zero obiektów da się ułożyć na tylko i
wyłącznie jeden sposób – zero obiektów może przyjąć tylko jeden stan, czyli tak jakby stan
pusty.
Trzeci sposób wyjaśnienia problemu silni z zera to wykres tej zależności, który po połączeniu
kropek jest zbieżny w zerze.
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
1
2
3
4
1
2
3
4
Rys. 2.1.4.4 Interpolacja wykresu funkcji silni
Oczywiście w tym miejscu nasuwa się pytanie, czy skoro połączyliśmy kropkami wykres
silni, to czy istnieje silnia z wartości np.
? Odpowiedź na to pytanie znajduje się nieco
dalej, mianowicie przy omówieniu tematu funkcji gamma.
2.1.5
SYMBOL NEWTONA (binominal coefficient)
O wzorach skróconego mnożenia było już na pewno sporo czasu temu na matematyce. Wtedy
to powiedziano nam, że:
16
Nie jest to zbyt trudne do ogarnięcia, lecz problem pojawia się w przypadku wyższych potęg.
Wtedy to zastosować możemy trójkąt Pascala:
Żeby nie było, powyższa zależność została zauważona już w starożytności, zaś zasługą
Pascala było to, że dokonał jej formalizacji oraz przedstawił nowe jej zastosowania w swoim
Traité du triangle arithmétique z roku 1653. W ogólności wzór na n’tą potęgę przedstawia się
w sposób następujący:
gdzie
. Powyższy wzór nazywany jest dwumianem Newtona (binominal theorem).
Teraz jednak pozostaje wyjaśnić czym jest
. Otóż jest to symbol Newtona, zwany również
współczynnikiem dwumiennym, który obliczamy według wzoru:
Przypominam w tym miejscu, że silnia z zera jest równa jeden (
). Dzięki równaniu
2.1.5.3 dwumian Newtona możemy zapisać w postaci skróconej z zastosowaniem sumy:
17
Z ważniejszych własności symbolu Newtona warto pamiętać, że:
2.1.6
WZÓR FAULHABERA i LICZBY BERNOULLEGO (Faulhaber’s
formula and Bernoullie number)
Z tego co zauważyłem, to obydwie formy są dopuszczalne – zarówno Bernoulliego jak i
Bernoullego, choć i tak istnieje wersja poprawna i poprawniejsza, której będziemy się tu
trzymać… ale nie o tym teraz! Od zawsze sporym problemem było rozwiązanie sumy ciągu
arytmetycznego, zawierającego
wyrazów podniesionych do potęgi .
Zagadnienie to próbowano rozwiązać już od czasów starożytności (np. Pitagoras, Alhazen),
aczkolwiek dopiero na przełomie szesnastego i siedemnastego wieku dokonano przełomu,
który doprowadził do odkrycia ogólnego wzoru na sumy takich ciągów. W swojej pracy
Academia Algebrae, niemiecki matematyk Johann Faulhaber udostępnił rozwiązania sum aż
do potęgi 17 stopnia. Warto jednak wspomnieć, że udostępnił to wiele powiedziane, bowiem
wedle tradycji tamtego czasu, wzory były zaszyfrowane. Nie przedstawił on jednak wzoru
ogólnego, stąd zagadnienie wymagało dalszej pracy. W tym momencie pojawia się Jakob
Bernoulli ze słynnej rodziny szwajcarskich matematyków, który to odkrył istnienie serii
stałych pozwalających na rozwiązanie problemu.
Nazwisko Bernoulli może być wielu osobom znane ze względu na równanie Bernoullego
(Bernoullie’s principle) będące jednym z podstawowych praw hydrodynamiki płynów
idealnych. Jego autorem był Daniel Bernoulli, syn Johanna Bernoullego i bratanek Jakoba.
Wracając jednak do tematu, zupełnie niezależnie od Jakoba Bernoullego, istnienie tych liczb
18
odkrył japoński matematyk Seki Takakazu (Kōwa), zaś w obu przypadkach prace na ich
temat zostały wydane pośmiertnie (Bernoulli – praca Ars Conjectandi z 1713 roku i Takakazu
– praca Katsuyo Kampo z 1712 roku).
W roku 1993 Donald Ervin Knuth (zwany również królem programistów, genialny
matematyk, znany ze swojej książki The Art of Programming, systemu TeX oraz świetnego
poczucia humoru) stwierdził, że mimo, iż Bernoulli podał ogólny wzór na rozwiązanie
problemu, to jednak metody wyliczania poszczególnych sum zaprezentowane przez
Faulhabera okazały się być bardziej pomysłowe i szybsze patrząc z perspektywy
zastosowania komputerowego. Zresztą sam Bernoulli w Ars Conjectandi odwoływał się do
Faulhabera.
Problem z liczbami Bernoullego jest taki, że wzór na ich wyliczanie nie jest zbyt przyjemny,
stąd, w tym miejscu najpierw podam zastosowanie kilku pierwszych liczb, a później
postaramy się rozwałkować temat. Jak już wcześniej zaznaczyłem, potrzebujemy rozwiązania
dla sumy ciągu arytmetycznego, który zawiera
elementów podniesionych do potęgi . Wzór
ogólny, który pozwala to wyliczyć to:
Zakładając, że interesują nas pierwsze 3 potęgi, czyli
,
i
, potrzebujemy 3 pierwsze
liczby Bernoullego (czwarta w bonusie):
Przypominam w tym miejscu, że
to symbol Newtona. Tak więc jedziemy! Suma
szeregu z pierwszą potęgą:
19
Suma szeregu z drugą potęgą:
Suma szeregu z trzecią potęgą to:
Pisząc o liczbach Bernoullego trzeba wspomnieć, że istnieje również druga konwencja, która
zakłada, że
zamiast
, stąd wzór 2.1.5.2 może przyjąć postać wzoru 2.1.6.10.
Konwencja ta nosi nazwę drugich liczb Bernoullego (second Bernoullie numbers).
20
A teraz wyliczanie liczb Bernoullego! Okazuje się, że istnieje pewne przeświadczenie, iż nie
istnieją wzory pozwalające ogólnie sformułować problem wyliczania kolejnych liczb
Bernoullego, jednakże dwie definicje, które tutaj przedstawię zdają się nie potwierdzać tej
przesłanki. Można zastosować dwa podejścia – rekursywne (czyli obecnie wyliczana wartość
zależy od wartości poprzednich) lub wprost. Definicja rekursywna przedstawiona jest we
wzorze 2.1.6.11 wraz z przykładem wyliczenia kolejnych trzech liczb:
, więc
Gdzie
to (polecam korzystać z trójkąta Pascala przy wyliczaniu symbolu
Newtona):
I dalej –
I na koniec
:
:
21
Ważną informacją jest to, że wszystkie współczynniki od numeru trzeciego, dla nieparzystych
liczb są równe zero.
Czas teraz na definicję liczb Bernoullego „wprost”:
I tak oto pierwszy ciąg liczb Bernoullego wyliczamy podstawiając
I trzy pierwsze liczby ciągu (przypominam, że
, ale
:
):
Teraz kolejna liczba:
22
Jak już może ktoś zauważył, wyliczenie liczb Bernoullego metodą wprost nie jest zbyt
przyjemne i wymaga rozbicie obecnych we wzorze 2.1.6.17 sum na mniejsze sumy dla
zmieniającego się
od
do , co teraz uczynimy w przypadku
:
„Małe” sumy:
I pełna suma sum (summa summarum):
Dla głodnych wiedzy polecam jeszcze:
http://www.awans.net/strony/matematyka/leska/leska1.pdf
http://www.matematyka.pl/260189.htm
http://www.serc.iisc.ernet.in/~amohanty/SE288/bn.pdf
2.2 POCHODNA (derivative)
2.2.1
WSTĘP
Pochodna jest narzędziem, które pozwala nam na zbadanie dynamiki zmian funkcji, czyli jak
gwałtownie się coś zmienia. Weźmy pod lupę bardzo prosty przypadek – ruszający
samochód. Zaczyna on rozpędzać się stopniowo, stąd mówimy, że przyspiesza. Jego prędkość
wzrasta od zera aż do (przykładowo) 100 kilometrów na godzinę (tzw. przyspieszenie „do
23
setki”). Niech naszym modelem zostanie samochód Chevrolet Spark z silnikiem 0.8 litra z
automatyczną skrzynią biegów. Od ruszenia z miejsca samochód ten potrzebuje aż 22
sekundy by osiągnąć prędkość 100 km/h. Warto tutaj przeliczyć prędkość na metry na
sekundę, czyli:
Spróbujmy teraz narysować wykres zmiany prędkości samochodu w czasie (rysunek 2.2.1.1):
Rys. 2.2.1.1 Zmiana prędkości samochodu Chevrolet Spark w czasie 22 sekund
Jakie wnioski płyną z tego wykresu? Przede wszystkim to, że prędkość rosła liniowo, czyli
według wzoru:
Gdzie
to prędkość, a
to czas. Oczywiście lepiej by było zapisać ten wzór jako
,
ale zastosowanie zapisu z równania 2.2.1.2 pozwala zachować większą ogólność.
Kontynuując jednak, pozostaje pytanie, jakie są wartości współczynników
początku, w chwili czasowej
i ? Na samym
, prędkość również jest równa zero, więc
zerem:
24
będzie także
Natomiast współczynnik nachylenia prostej
(slope) wyliczamy podstawiając, iż po 22
sekundach prędkość wynosiła 100 km/h (27.78 m/s):
Czyli otrzymaliśmy funkcję
. Pozostaje jednak pytanie, jak dynamicznie zmienia
się prędkość w czasie, czyli np. o ile wzrasta prędkość
Policzmy prędkość dla chwili czasowej równej
i
gdy minie 5 sekund (
(
)?
):
Dzięki temu jesteśmy w stanie stwierdzić, że jeśli minie 5 sekund czasu, to prędkość zmieni
się o:
Czy to dużo? W sumie, to nie wiadomo. W tym celu podajemy zamiast wyniku względnego,
bezwzględny, wyliczając nie tyle same zmiany, co ich stosunek, czyli:
Proszę zwrócić uwagę, że wynik pokrywa się ze współczynnikiem nachylenia prostej, co nie
powinno być zaskoczeniem. Nie bez powodu stała
nazywana jest po angielsku również
gradient, czyli niejako dynamika zmian (z łaciny gradus, czyli „krok, stopień”).
Jak fizycznie interpretować wynik z wzoru 2.2.1.6? Proszę zwrócić uwagę, że żeby prędkość
cały czas liniowo wzrastała, to auto musi cały czas przyspieszać, co oznacza, że wartość
jest tak naprawdę przyspieszeniem samochodu:
25
Pozostaje jednak jeszcze kwestia, dlaczego w powyższych obliczeniach tak istotny jest fakt,
że podajemy wartość w formie
zamiast samej zmiany prędkości
w odcinku czasu
.
Powód powinien zilustrować problem podnoszenia ciężarów. Załóżmy, że porównujemy
mrówkę i człowieka. Przeciętna mrówka potrafi podnieść ciężar około 15 miligramów.
Przeciętny człowiek natomiast nie ma problemu podnieść ładunek 10 kilogramów. Na
pierwszy rzut oka, człowiek zdaje się być dużo silniejszy, jednakże jeśli porównamy masę
obojga, to mrówka potrafi bez większych problemów podnieść obiekt 5 razy cięższy od niej
samej, a człowiek tylko około 0,7. Wyrażenie wartości w taki sposób pozwala lepiej ocenić
dynamikę zmian badanego sygnału lub funkcji – na przykład, zmiana napięcia o 0.1 wolta w
sygnale o amplitudzie 20 wolt, to bardzo mały skok, natomiast dla sygnału o amplitudzie 1
wolt, to zmiana aż o 10%.
Warto wspomnieć przy okazji przyspieszenia, że idąc do wesołego miasteczka nie płacimy za
szybkość, lecz przyspieszenie, bowiem człowiek tak naprawdę nie odczuwa prędkości.
Trudno uwierzyć? Weźmy pod uwagę ruch obrotowy Ziemi. Stojący na równiku człowiek
przemieszcza się z prędkością około 1670 km na godzinę, a jednak wydaje mu się jakby w
ogóle się nie przemieszczał!
2.2.2
PARABOLA i POCHODNA
Możemy sobie wyobrazić trochę inny rodzaj ruchu – jeśli podrzucamy piłkę w górę, to
nadajemy jej jakąś prędkość, która pod wpływem pola grawitacyjnego maleje. Następnie
piłka zatrzymuje się w powietrzu na chwilę, by ponownie ruszyć w kierunku Ziemi, tym
razem przyspieszana przez grawitację. Rysując ten ruch na wykresie otrzymalibyśmy
parabolę, czyli wykres funkcji kwadratowej (rys. 2.1.4.1). Zmiana prędkości piłki na wykresie
opisana jest wzorem:
Spróbujmy wyliczyć przyspieszenie korzystając z wzoru 2.2.1.8, czyli
26
Jeśli podstawimy teraz wzór 2.2.2.1 do 2.2.2.2 to otrzymamy:
piłka leci w górę zwalniając
piłka leci w dół przyspieszając
Rys. 2.2.2.1 Zmiana prędkości piłki podczas rzutu w górę
(do 3 sekundy piłka leci w górę, w 3 sekundzie zatrzymuje się, a następnie spada powrotem w dół)
W równaniu 2.2.2.5 otrzymaliśmy dość dziwny wzór z deltą czasu. Co z tym zrobić?
Definicja pochodnej to granica funkcji w punkcie, czyli sytuacja, w której
zmierza do zera:
27
Ktoś teraz zapyta, co my właściwie policzyliśmy? Otóż policzyliśmy pochodną prędkości po
czasie, czyli przyspieszenie. Ogólna zasada liczenia pochodnej to:
Dzięki czemu pochodna naszej prędkości wygląda tak jak wygląda (pochodną oznaczamy
apostrofem
). Ponieważ operacja liczenia pochodnej jest operacją liniową, stąd wzór na
przyspieszenie możemy rozbić na trzy mniejsze elementy:
W tym miejscu trzeba zaznaczyć, iż pochodna stałej jest równa zeru
stałą z wyrażenia
Przypominam również, że
2.2.3
. Dodatkowo,
można wyciągnąć przed pochodną, czyli
.
:
UŻYTECZNOŚĆ POCHODNEJ i GRAFICZNA INTERPRETACJA
Podstawowym zastosowaniem pochodnej jest pomiar dynamiki zmian interesującego nas
procesu. Jest to rzecz, która nieraz się przydaje, by z badanego sygnału „wyciągnąć”
dodatkowe informacje. Jednocześnie, pochodna jest podstawowym narzędziem w procesie
badania funkcji, czym poniekąd się teraz zajmiemy.
Na początek powinniśmy sobie zdefiniować czym są ekstrema funkcji (function extrema).
Otóż wyróżniamy maksima i minima (maxima and minima), których nie należy mylić z
wartością maksymalną i minimalną. Dlaczego? Ponieważ mówiąc o ekstremach zwykle
chodzi nam o tzw. ekstrema lokalne (local extrema), które na wykresie wyglądają jak górka
(maksimum lokalne) lub dołek (minimum lokalne). Zajmiemy się teraz dość dziwną i
pokręconą funkcją, która opisana jest wzorem 2.2.3.1, a jej wygląd z oznaczonymi
ekstremami znajduje się na rysunku 2.2.3.1.
28
maksimum lokalne
minimum lokalne
minimum lokalne
Rys. 2.2.3.1 Wykres funkcji z wzoru 2.2.3.1 z oznaczonymi ekstremami
Badając przebieg funkcji, istotną dla nas informacją jest położenie ekstremów. Jak takie dane
wydobyć z ogólnego wzoru? Okazuje się, że gdy policzymy pochodną funkcji, a później
policzymy jej pierwiastki, to otrzymamy punkty odpowiadające położeniu ekstremów.
Teraz musimy policzyć pierwiastki równania z 2.2.3.2. W tym celu można użyć schematu
Hornera. Niestety w tym przypadku nie jest to najlepszy pomysł. Lepiej użyć Wolfram Alfa,
który zrobi to za nas (http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%2B2.1x^2-34.8x-3.5), ale
jeśli ktoś bardzo chce, to poniżej pełne rozwiązanie w tabelce:
29
Rys. 2.2.3.2 Wykres funkcji z
wzoru 2.2.3.1 oraz jej pochodnej
Najważniejszym wnioskiem płynącym z rysunku 2.2.3.2 jest to, że tam, gdzie wykres
pochodnej przechodzi przez oś x, tam występują ekstrema funkcji pierwotnej. Skąd wiadomo,
czy jest to maksimum, czy minimum? Otóż jeśli pochodna zmienia znak z ujemnego na
dodatni, to otrzymujemy lokalne minimum funkcji pierwotnej. Analogicznie, gdy pochodna
zmienia znak z dodatniego na ujemny, to funkcja pierwotna w tym miejscu ma lokalne
maksimum. Dla minimum jest to zależność, którą można porównać do omawianego wcześniej
rzutu piłką w górę i działania grawitacji – najpierw działa ujemne przyspieszenie hamujące, a
następnie dodatnie przyspieszenie rozpędzające (pochodna zmienia znak z ujemnego na
dodatni).
Jeśli ktoś jeszcze ma problem z interpretacją faktu, że ekstremum funkcji pierwotnej
pojawia się gdy pochodna jest równa zero, to być może pomocny się okaże rysunek 2.2.3.3,
gdzie skorzystamy z wzoru
30
Rys. 2.2.3.2 Wykres funkcji z wzoru 2.2.3.1 oraz jej pochodnej
Warto tu wspomnieć, że oficjalnie graficzną interpretacją pochodnej jest prosta, styczna do
wykresu w punkcie dla którego liczymy granicę. Czy coś w ten deseń…
2.2.4
RÓWNANIE KWADRATOWE (quadratic equation)
Skoro już mówimy o użyteczności pochodnej, to chyba wypadałoby wspomnieć o tym, skąd
wzięła się słynna delta z równania kwadratowego. Wiemy o tym, że przyrównanie do zera
pochodnej równania pozwala nam znaleźć jej ekstremum. Spróbujmy więc policzyć pochodną
wielomianu drugiego stopnia:
Wiemy, że parabola posiada ekstremum tam, gdzie
. Pozostaje jednak wyliczyć
drugą współrzędną. W tym celu podstawiamy wyliczone
do naszego równania
kwadratowego:
31
Delta równania kwadratowego nazywana jest również wyróżnikiem (discriminant). Symbol
pochodzi od dużej litery D z języka greckiego, bowiem nawiązywała ona do słowa
Διακρίνουσα, czyli Diakrínousa (wyróżnik). Jest to bardzo ważny element dwumianu,
bowiem mówi nam o ilości rzeczywistych pierwiastków równania (miejsc zerowych).
Spróbujmy rozrysować trzy przykładowe przypadki delty (rysunek 2.2.4.1). Dość oczywistym
wydaje się być fakt, że w momencie, gdy delta jest równa zero, to mamy tylko jedno miejsce
zerowe, bowiem już same współrzędne punktu szczytowego wskazują nam na brak innego
przecięcia z osią x (dla
dostajemy
co jest punktem położenia jedynego
ekstremum paraboli).
Rys. 2.2.4.1 Przykładowe 3 parabole – dla niebieskiej delta jest dodatnia, dla czerwonej równa zero, natomiast
dla zielonej jest ujemna – we wszystkich 3 przypadkach współrzędne szczytu „górki” to
Pytanie to można rozwiązać przez przekształcenie równania kwadratowego:
32
Wiadomo, że pierwiastek dla liczb ujemnych nie istnieje, stąd gdy
jest mniejsze od
zera, to równanie nie posiada pierwiastków rzeczywistych (ale może posiadać zespolone).
2.2.5
NOTACJE i PODSTAWOWE WYPROWADZENIA
Po pierwsze sprawa wydająca się być stosunkowo błahą – oznaczenia pochodnych. Warto je
znać, bowiem bardzo często pojawiają się różne oznaczenia, w zależności od aktualnego
zapotrzebowania. Ponieważ nad rachunkiem różniczkowym pracowało wielu matematyków,
stąd wyróżniamy (w przykładzie będzie funkcja , której pochodną liczymy po ):
Notacja
Leibnitza
Lagrange
pochodna
Newtona
cząstkowa
Proszę pamiętać, iż pochodna cząstkowa NIE JEST typem notacji! Notacja Newtona
najczęściej jest stosowana w mechanice, a kropeczka nad
nazywana jest czasem bombą.
Warto zwrócić uwagę, że w notacji Lagrange pojawia się mała litera . Jest to zabieg celowy,
który ma odróżnić wielką różnicę (czyli deltę
) od nieskończenie małej różniczki (gdy delta
zmierza do zera, to staje się malutką
). Żeby było mniej-więcej jasne, wzór na
przyspieszenie, czyli pochodną prędkości po czasie można zapisać jako:
33
Teraz przechodzimy do wyprowadzeń podstawowych pochodnych. Dalsza część tego działu
opracowana jest w oparciu o serwis Matematyka.pl.
www.matematyka.pl/23319.htm
POCHODNA STAŁEJ
POCHODNA SUMY
POCHODNA ILOCZYNU
(gdzie a to wartość stała, np. 8):
:
:
34
Ponieważ
, więc
POCHODNA SIN
:
:
Korzystając z tożsamości trygonometrycznej –
otrzymujemy:
Korzystamy teraz z reguły de l’Hospitala mówiącej, iż
(oczywiście należy tu
zaznaczyć, iż jest to nieco niestosowne by korzystać z twierdzenia z pochodną sinusa w
wyprowadzeniu pochodnej tej samej funkcji – bardziej właściwe uzasadnienie znajduje się w
dziale mówiącym o twierdzeniu o trzech ciągach):
35
2.3 SZEREG TAYLORA i MACLAURINA (Taylor and Maclaurin series)
2.3.1
SZEREG TAYLORA, A PIERWIASTEK
Na początek sformułujmy pewien problem do rozwiązania. Chcemy policzyć pierwiastek
liczby 5. Nie jest to rzecz prosta, bowiem w wyniku otrzymamy liczbę niewymierną, więc
musimy się zadowolić jakimś przybliżeniem. W tym miejscu bardzo przydatny jest szereg
Taylora, który zdefiniowany jest następującym wzorem:
W definicji szeregu z 2.3.1.1, funkcja
jest naszym przybliżeniem, natomiast
jest
punktem, w okolicy którego dokonujemy przybliżenia. Skoro chcemy obliczyć pierwiastek z
pięciu, więc funkcja jaką będziemy przybliżać to
użyjemy punktu
. Do rozwinięcia w szereg
, ponieważ wyliczenie jego pierwiastka nie stwarza problemów:
Teraz musimy się zdecydować, z jak dużym przybliżeniem będziemy wyliczać nasz
pierwiastek. Ustalmy, że policzymy pierwsze 3 pochodne, tak więc:
Mamy już rozpisane poszczególne pochodne, więc teraz spróbujmy zastosować je we wzorze
2.3.1.1 – proszę jednak zwrócić uwagę, iż nie używamy znaku równości ze względu na
zastosowanie szeregu tylko 3 pierwszych pochodnych, przez co otrzymujemy jedynie
przybliżenie wartości:
36
Jeśli teraz będziemy chcieli wyliczyć pierwiastek z 5, to do wzoru 2.3.1.6 zamiast
podstawić właśnie tą wartość. Dzięki temu, że przyjęliśmy punkt
musimy
równy 4, nie tylko
pozbyliśmy się uciążliwych pierwiastków dających w rezultacie liczby niewymierne, ale
również w każdym z
otrzymamy w wyniku jedynkę. Proszę zwrócić uwagę, jak
wyglądają kolejne przybliżenia, jeśli będziemy kolejno dodawać do siebie poszczególne
składowe równania (
):
Jak widać, błąd przybliżenia jest bardzo mały już w przypadku zastosowania tylko 3
pochodnej w szeregu (około 0.0003).
2.3.2
SZEREG MACLAURINA
Jeśli przyjmiemy współczynnik
, to otrzymamy w wyniku szereg Maclaurina. Zapisując
wzór 2.3.1.1 przy pomocy znaku sumy, czyli sigmy, to otrzymamy:
Podstawiając
do wzoru z sumą uzyskamy:
37
Proszę w tym miejscu zauważyć, iż nie istnieje możliwość rozłożenia funkcji
w szereg
Maclaurina, ponieważ w pochodnej doszłoby do dzielenia przez zero:
Możemy jednak w szereg rozwinąć funkcję minimalnie inną, mianowicie
:
Wyliczmy więc kolejne 4 pochodne:
Wstawiając wyniki z 2.3.2.5 do wzoru 2.3.2.4 otrzymujemy:
Jeśli teraz podstawimy
, to otrzymamy wynik dla równania
, czyli:
38
Niestety, jak widać, wzór ten daje satysfakcjonujące rezultaty tylko i wyłącznie dla wartości
z przedziału od –1 do 1 (
Czyli w przypadku pierwszym
2.3.3
), np.
i
.
SZEREG MACLAURINA – SIN, COS i EKSPONENTA
Bardzo istotnymi funkcjami rozwiniętymi w szereg Maclaurina są dwie funkcje
trygonometryczne sinus i cosinus. Zaczniemy najpierw od pięciu pierwszych pochodnych
sinusa:
Stąd otrzymujemy, że funkcja sinus rozwinięta w szereg Maclaurina wygląda następująco:
39
W przypadku funkcji cosinus otrzymamy podobny wynik, lecz nieco „przesunięty w fazie”.
Jeśli popatrzymy na pierwszą pochodną funkcji sinus, to od razu widzimy podobieństwo obu
szeregów:
Korzystając z wyliczonych wartości z 2.3.3.3 rozwijamy w szereg funkcję cosinus:
W tym miejscu wyprowadzimy rzecz, która jest niezwykle istotna i na której zakończymy
rozważania na temat szeregu Taylora. Spróbujmy rozłożyć funkcję
w szereg Maclaurina,
wyliczając pierwsze dwie pochodne:
Jak widać w 2.3.3.5, za każdym razem w wyniku otrzymujemy jedynkę, bez względu na rząd
pochodnej, więc rozwijając funkcję w szereg dostaniemy:
40
2.4 CAŁKA (integral)
2.4.1
WPROWADZENIE
Podstawowe pytanie, które w tej chwili zadamy jest stosunkowo trywialne – ile wynosi pole
trójkąta narysowanego na rysunku 2.4.1.1, którego bok
, a wysokość
?
Odpowiedź jest prosta, bowiem jest to połowa pola prostokąta o wymiarach 4 na 8, czyli
.
Rys. 2.4.1.1 Trójkąt o wymiarach
i
oraz polu
Spróbujmy teraz popatrzeć na to zagadnienie z nieco innej perspektywy. Potraktujmy nasz
trójkąt jako pole znajdujące się pod prostą .
41
Rys. 2.4.1.2 Trójkąt przedstawiony w układzie współrzędnych
Widać, że prosta
opisana jest wzorem
, bowiem dla
otrzymujemy
. Powstaje teraz pytanie, w jaki sposób policzyć pole pod linią funkcji
w taki
sposób, by dało się tą metodę zastosować w dowolnym przypadku? A gdyby tak przybliżyć
pole trójkąta za pomocą kilku prostokątów o równej szerokości? Ponieważ długość podstawy
trójkąta to 8, więc podzielmy pole na 4 prostokąty tak jak na rysunku 2.4.1.3?
Rys. 2.4.1.3 Przybliżenie pola trójkąta przy pomocy 4 prostokątów liczonych „od prawej” strony
Przybliżenie to daje nam sumę 4 pól prostokątów: , ,
i . Już na oko widać, że
metoda ta jest niedoskonała i otrzymamy nadmiarowe pole. Oznaczając szerokość prostokąta
jako mamy (
):
42
Dlaczego w powyższym wzorze napisane jest
pod wykresem
. Chodzi tu o to, że rzeczywiste pole
jest w przybliżeniu równe polu prostokątów
liczonych „od prawej”.
Oznacza to, że wysokość prostokątów jest wyliczana na podstawie prawej strony jego
szerokości. Równie dobrze, moglibyśmy wyliczać pola prostokątów stosując metodę „od
lewej”, czyli tak jak na rysunku 2.4.1.4:
Rys. 2.4.1.4 Przybliżenie pola trójkąta przy pomocy 4 prostokątów liczonych „od lewej” strony
Ponieważ pierwszy prostokąt ma zerową wysokość, stąd nie został on oznaczony na rysunku.
Policzmy teraz sumę „lewych” prostokątów:
Otrzymaliśmy teraz za małe pole. Proszę jednak zobaczyć, co się stanie, jeśli uśrednimy pola
prawe i lewe:
43
Podobny efekt otrzymamy używając wartości środkowych, jednak jest to trochę bardziej
kłopotliwe (rysunek 2.4.1.5 oraz wzór 2.4.1.4).
Rys. 2.4.1.5 Przybliżenie pola trójkąta przy pomocy 4 prostokątów liczonych „od środka”
Otrzymaliśmy satysfakcjonujące wyniki, aczkolwiek przy bardziej złożonych funkcjach
problem się komplikuje. Zawsze można zastosować inne przybliżenie, np. pola trapezów, tak
jak na rysunku 2.4.1.6 – warto pamiętać o tego typu rozwiązaniach, bowiem czasem trzeba
policzyć całkę pod wykresem, którego przepisu funkcji nie znamy.
Rys. 2.4.1.4 Przybliżenie pola trójkąta przy pomocy pól trapezów
44
2.4.2
SUMY RIEMANNA (Riemann sum)
Dobra. Mamy już jakąś koncepcję i pomysł na wyliczanie tego pola pod wykresem. Teraz
powstaje pytanie, w jaki sposób poprawić dokładność naszych wyliczeń? Pierwszy pomysł,
który nasuwa się do głowy od razu, to zwiększyć ilość prostokątów, które będą użyte w
przybliżeniu pola.
Rys. 2.4.2.1 Przybliżenie pola pod wykresem przy pomocy 8 prostokątów liczonych „od prawej” strony
Na rysunku 2.4.2.1 zmniejszono szerokość prostokąta z 2 do 1 jednostki i dzięki temu pod
wykresem zmieściło się ich dwa razy więcej. Czy zyskaliśmy coś na tym? Przeliczmy sumę
pól (wzór 2.4.2.1).
Skoro wcześniej otrzymaliśmy wynik 20, a teraz mamy 18, czyli zwiększając ilość
prostokątów dwukrotnie, błąd zmniejszył się o połowę z czterech jednostek pola do dwóch.
Spróbujmy teraz stworzyć jakiś ogólny wzór na nasze wypociny. Szerokość prostokąta można
oznaczyć jako
, ponieważ jest to długość skoku, o który przemieszczamy się po osi x
(w przypadku z rysunku 2.4.2.1
będzie to
do 8, czyli
). Ilość prostokątów, które sumujemy to
(dla nas
). Potrzebujemy jeszcze iterator , który będzie się zmieniał w przedziale od 1
. Na koniec musimy jakoś zdefiniować wysokość
każdego z
prostokątów. Definicja ta będzie inna dla „lewych”, „prawych” i „środkowych” sum. My,
korzystając z rysunku 2.4.2.1, zdefiniujemy najpierw „prawe” sumy. Dla pierwszego
45
prostokąta (
(
) wysokość była równa
) była równa
, natomiast dla drugiego
. W naszej definicji musimy skorzystać zarówno z
iteratora , jak i szerokości
, stąd wysokość dowolnego z prostokątów wyrażona będzie
jako:
Mamy już zdefiniowane wszystkie elementy składowe, więc możemy przystąpić do
stworzenia wzoru ogólnego na przybliżone pole
Podstawiając, że
trójkąta:
otrzymujemy:
Spróbujmy teraz jeszcze bardziej zwiększyć ilość prostokątów, z ośmiu do szesnastu (dla
,
). Przypominam w tym miejscu, że żeby policzyć sumę
można
skorzystać z wzoru Faulhabera 2.1.4.5 (lub jeśli ktoś lubi takie rozrywki, to można liczyć na
piechotę 1+2+3+…+15+16 :) ).
Teraz wypadałoby zastanowić się, od czego zależy szerokość
naszych prostokątów.
Odpowiedź jest prosta – od ich ilości . Jeśli przyjmiemy, że pole pod wykresem liczymy od
punktu
do punktu
, więc dla 16 prostokątów otrzymamy szerokość równą:
46
Ponieważ granice, w których będziemy obliczać pole są dość ważne, stąd wypadałoby je
wprowadzić do naszej definicji:
Dzięki takiemu opisowi, dla ostatniego prostokąta (
) otrzymamy wysokość:
Teraz jeszcze tylko wzory dla „lewych” i „środkowych” sum i możemy przejść dalej:
2.4.3
CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA (Riemann’s definite integral)
No i teraz zaczyna się prawdziwa zabawa. Stwierdziliśmy już, że zwiększenie ilości
prostokątów pod wykresem powoduje poprawę dokładności w przybliżeniu pola pod
wykresem. Wraz z wzrastającą ilością prostokątów musiała jednak maleć ich szerokość. W
poprzednim podrozdziale zdefiniowaliśmy pewne elementy. Pole pod wykresem liczymy w
(czyli przedział obustronnie domknięty
przedziale od
do
, gdzie
),
podzielonym na
prostokątów o szerokości
Jeśli ilość naszych prostokątów będzie się zwiększać do nieskończoności, czyli
, to
.
szerokość naszych prostokątów zmaleje z „dużej delty” do nieskończenie małej szerokości,
czyli
. Chcąc odpowiednio to zdefiniować, we wzorze 2.4.2.7 zastosujmy granicę :
47
Z czasem zaczęto oznaczać składnik
jako
, gdzie
i
oznaczały granice,
w których liczone było pole:
Zakładając, że
otrzymujemy:
Sprawdźmy czy to działa. Nasza funkcja
granicach od
do
opisująca trójkąt to
w
:
Spróbujmy udowodnić zależność z wzoru 2.4.3.3. Ponownie zakładamy, że nasza funkcja to
, natomiast
. Obszar ten dzielimy na
segmentów, gdzie dla prostoty zapisu
, czyli:
Czyli w ogólności (zakładając, że
):
48
Tak więc, podstawiając powyższe wyprowadzenie funkcji do wzoru na „prawą” sumę (wzór
2.4.2.7):
Spróbujmy teraz przeliczyć powyższe wyprowadzenie dla przykładowej wartości
:
Możemy teraz sumę 2.4.3.4 rozbić na trzy mniejsze:
Teraz musimy skorzystać z wzorów Faulhabera dla sumy ciągów 2.1.4.5 i 2.1.4.7:
Teraz przechodzimy do właściwej definicji całki. We wzorze 2.4.2.7 na prawe sumy
stosujemy pewną sztuczkę. Mianowicie stosujemy tutaj granicę, w której ilość prostokątów
pod wykresem rośnie aż do nieskończoności (
) dzięki czemu w wyniku otrzymujemy
prawdziwe pole pod krzywą, a nie jedynie jego przybliżenie:
49
Podstawiając 2.4.3.11 do 2.4.3.12 otrzymujemy:
Ponieważ
, więc:
Teraz trzeba policzyć trzy limesy. W przypadku dwóch ostatnich od razu widać, iż potęga
mianownika (dołu ułamka) jest większa od licznika, stąd jeśli
będzie rosło do
nieskończoności, to całe wyrażenie będzie malało do zera:
Pierwszy limes jest nieco bardziej problematyczny – w wyniku otrzymujemy:
Czyli wynikiem jest:
50
2.4.4
PEŁNY DOWÓD DLA FUNKCJI
Udowodniliśmy wcześniej, że całka oznaczona dla funkcji
w przedziale od
do
to:
Aczkolwiek wprawny obserwator zauważy, że coś jednak nie gra w wyprowadzeniu z
podrozdziału 2.4.3… Założyliśmy dla uproszczenia, że
, jednak jeśli ktoś ma ochotę, to
może sprawdzić wyprowadzenie dokładając niezerową wartość . Wtedy jednakże należałoby
zapisać, iż
oraz
, czyli:
Dla zainteresowanych poniżej znajduje się pełne wyprowadzenie dla
. Nie jest ono
jednak istotne dla zrozumienia tematu i można je ominąć. Ale jak ktoś lubi, to zapraszam:
Rozwiązując równanie 2.4.4.3 dla
:
51
Teraz obliczamy limes:
Rozbijamy trzy sumy z 2.4.4.4 na trzy osobne granice, z czego ostatnia z nich została już
wyliczona w podrozdziale 2.4.3:
Wiemy, że granica dla ostatniej sumy to , więc:
Czyli sumarycznie pole będzie równe:
Wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymujemy:
52
2.4.5
FUNKCJA PIERWOTNA (antiderivative), CZYLI CAŁKA, A
POCHODNA
Wiemy już, że dla funkcji
pochodna to:
Spróbujmy policzyć przykładową pochodną dla funkcji
Jak widać, po policzeniu pochodnej funkcja
:
jest krótsza o jeden wyraz, mianowicie
,
ponieważ pochodna ze stałej to zero (można to interpretować jako pochodną z
). Całka oznaczona Riemanna jest pojęciem bardzo szczegółowym, które
pozwala w prosty sposób zrozumieć ideę, aczkolwiek ma bardzo ograniczoną ilość
zastosowań. Z czasem całka ta wymagała uogólnień, które doprowadziły do powstania całki
nieoznaczonej, którą dla funkcji
prawie tak samo, jak to zdefiniowaliśmy wcześnie,
mianowicie:
Czym jest to
na końcu? Po pierwsze musimy zauważyć związek pomiędzy pochodną,
a całką. Otóż całkowanie jest operacją przeciwną do różniczkowania. Trudno uwierzyć?
Policzmy całkę z pochodnej funkcji
:
53
No i znowu pojawia się to
po całkowaniu! Litera
został przyjęta od słowa
,
czyli stała (oficjalnie mówimy tu o stałej całkowania, czyli constant of integration). Wynika
ona z tego, że licząc pochodną, pochodna stałej to zero. W momencie, kiedy wykonujemy
operację całkowania pochodnej (czyli cofamy się o krok), niekoniecznie wiemy, czy w
równaniu taka stała wartość była, czy też jej nie było, stąd zastępujemy ją symbolem
przypadku 2.4.5.4 wiemy jednak, że
pierwotną (antiderivative), czyli
.W
ponieważ od początku mieliśmy podaną funkcję
. Spróbujmy teraz policzyć najpierw pochodną, a
później całkę pochodnej następującej funkcji:
A teraz całka pochodnej:
Proszę zwrócić uwagę, że element
oznacza, że liczmy całkę z
Teraz pasuje się jakoś pozbyć tego elementu
.
. Otóż sprawa wygląda tak, że
Nazywamy to warunkami początkowymi (initial value), czyli korzystając z 2.4.5.5:
Stąd otrzymujemy, że:
54
.
2.4.6
CAŁKA JAKO WARTOŚĆ ŚREDNIA (integral mean value theorem)
Okazuje się, iż da się powiązać proces całkowania z wyliczaniem średniej. Jak? Na początek
przypomnijmy sobie jak wygląda średnia arytmetyczna (arithmetic mean, czasem również
jako average value). Mamy pewien ciąg wartości od
do
, więc:
I wszystko się zgadza! Jeśli ja jem ryż, a mój szef mięso, to razem średnio obaj jemy gołąbki.
Teraz załóżmy, że mamy pewną funkcję
i chcemy wyliczyć jej wartość średnią. Wtedy
wzór 2.4.6.1 zmieni nieco postać, bowiem będziemy sumować kolejne wartości funkcji
dla kolejnych
od
do
:
Proszę jednak zauważyć, że otrzymaliśmy jedynie wartość przybliżoną średniej, bowiem
funkcja
jest ciągła. Jedynym rozwiązaniem jest zwiększenie ilości elementów do
nieskończoności, czyli:
Wyobraźmy sobie, że liczymy średnią od punktu
do punktu . Wtedy to (tak jak w 2.4.3)
„szerokość” naszego przybliżenia (lub skoku po osi x) to:
Więc wracając do 2.4.6.2, przybliżenie naszej średniej to:
55
Używając symbolu sumy otrzymujemy:
Jeśli ponownie wrócimy do pomysłu zwiększenia ilości elementów do nieskończoności to
dostaniemy wzór na średnią:
Pamiętając, że gdy
to
, stąd zamieniamy
na
i sigmę (sumę) wraz z limes
na całkę oznaczoną:
Przypominam w tym miejscu, że istnieje pewna konwencja zapisu, która mówi, iż średnią
oznaczamy przez płaski „daszek” nad literą.
2.4.7
CAŁKA POCHODNEJ (derivative of an integral)
Rozwiązanie poniższe zostało zaczerpnięte z mathmistakes.info – Calculus Facts. Weźmy
przykładową całkę oznaczoną funkcji
:
2.5 LICZBY ZESPOLONE (complex numbers)
2.5.1
LICZBA UROJONA (imaginary number)
Z definicji, liczba urojona to taka liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną.
Zacznijmy jednak od odrobiny historii – ponoć istnienie tych liczb zauważył już grecki
inżynier i matematyk Heron z Aleksandrii żyjący pomiędzy rokiem 10, a 70 naszej ery.
56
W roku 1572 Rafael Bombelli po raz pierwszy ustanowił zasady mnożenia liczb zespolonych,
jednakże w tamtym czasie koncepcja liczb zespolonych była słabo rozumiana, a przez część
uważana za bezsensowną i niepotrzebną. Rzecz zaczęła się zmieniać począwszy od Rene
Descartesa, znanego również jako Kartezjusz (1596–1650), który w swym dziele La
Géométrie po raz pierwszy użył nazwy liczby urojone (fr. nombre imaginaire – stąd zresztą
skrót
oznacza francuskie imaginaire, a nie imaginary z angielskiego). Szersze użycie liczb
urojonych nie było akceptowane aż do ukazania się prac Leonarda Eulera (1707–1783) i Carla
Friedricha Gaussa (1777–1855).
Zajmijmy się jednak graficzną interpretacją. Na początek wyobraźmy sobie zwykłą oś
liczbową liczb rzeczywistych, z zaznaczonymi punktami dla zera i jedynki:
Rys. 2.5.1.1 Pozioma oś liczbowa
Proszę zwrócić uwagę, iż mnożąc jedynkę przez minus jeden, w wyniku otrzymujemy minus
jeden. Reasumując, dokonaliśmy „obrotu” położenia jedynki o 180 stopni (rysunek 2.5.1.2).
Rys. 2.5.1.2 „Obrót” liczby o 180 stopni na osi liczbowej
Jednocześnie, by wrócić ponownie na prawą stronę osi liczbowej, musimy znów „obrócić”
liczbę o 180 stopni, czyli pomnożyć razy minus jeden wynik poprzedniego mnożenia
(rysunek 2.5.1.3).
57
Rys. 2.5.1.3 „Obrót” liczby o 180 stopni na osi liczbowej
Stąd już bardzo blisko do bardzo ważnego wniosku, iż obrót o 360 stopni otrzymujemy przez
mnożenie razy minus jeden do kwadratu (czyli dwa obroty o 180 stopni – rysunek 2.5.1.4).
Rys. 2.5.1.4 „Obrót” liczby o 360 stopni na osi liczbowej
Podsumowując, wiemy, iż obrót o 180 stopni uzyskujemy mnożąc razy minus jeden do potęgi
pierwszej (
drugiej (
), natomiast obrót o 360 stopni mnożąc razy minus jeden do potęgi
). Jak zatem uzyskać obrót o 90 stopni? Skoro dwukrotnie większy
obrót uzyskujemy dwukrotnie większą potęgą, stąd o połowę mniejszy obrót od 180 stopni
powinniśmy uzyskać przez o połowę mniejszą potęgę:
Czyli odpowiedź jest następująca – obrót o 90 stopni uzyskujemy mnożąc przez pierwiastek z
minus jeden (rysunek 2.5.1.5).
58
Rys. 2.5.1.5 „Obrót” liczby o 90 na płaszczyźnie
Jeśli odnotujemy fakt, iż kwadrat liczby urojonej to minus jeden:
otrzymamy w rezultacie bardzo ładną płaszczyznę liczb zespolonych:
Rys. 2.5.1.6 Płaszczyzna liczb zespolonych
Liczby zespolone
najłatwiej
interpretować na
zasadzie
dwuwymiarowego
układu
współrzędnych tak, jakby tradycyjne liczby (reel, czyli współrzędną ) zostały rozszerzone o
drugi wymiar (imaginaire, czyli współrzędną ). Znaczenie geometrycznej interpretacji liczb
zespolonych zostało odkryte przez Caspara Wessela (1745–1818). Oczywiście istnieje
rozszerzenie tych liczb o jeszcze jeden wymiar – w 1843 roku irlandzki matematyk, pan
59
William Rowan Hamilton wymyślił system trójwymiarowy tworząc tzw. kwaterniony
(quaternion):
2.5.2
WZÓR EULERA (Euler’s formula)
W tym miejscu pojawia się element łączący liczby zespolone z szeregiem Maclaurina. Na
początek potrzebujemy rozwinięcia funkcji wykładniczej
Jeśli podstawimy w 2.5.2.1 za
Pamiętając, że
(podrozdział 2.3.3):
liczbę urojoną z niewiadomą
dostajemy (
(
), to otrzymamy:
):
Teraz musimy trochę posprzątać. Wyrażenia zawierające liczbę urojoną grupujemy po
prawej, natomiast pozostałe po lewej:
Na koniec wyciągamy liczbę urojoną przed nawias:
Jeśli jeszcze ktoś pamięta jak wyglądało wyprowadzenie na rozwinięcie w szereg Maclaurina
funkcji sinus i cosinus, to od razu zauważy, że:
60
Wzór ten w roku 1748 został opublikowany przez Eulera. Czasami jest on również nazywany
funkcją
, czyli cosine plus i sine. Równanie to jest bardzo wszechstronnie używane w
matematyce, fizyce oraz inżynierii – fizyk Richard Feynmann nazwał je kiedyś
najważniejszym i najbardziej wpływowym z wszystkich. Warto dodatkowo wspomnieć, że
dowód na podobną równość opublikował już w 1714 roku Roger Cotes:
2.5.3
PŁASZCZYZNA LICZB ZESPOLONYCH (complex plane)
Z zakresu rachunku liczb zespolonych musimy sobie przypomnieć kilka podstawowych
własności, które w dalszych rozważaniach będą kluczowe. Podstawą liczb zespolonych jest
jednostka urojona, która spełnia warunek:
Elektrotechnicy wolą zamiast
stosować literkę , coby się z natężeniem prądu nie myliło.
My w dalszej części opracowania również (raczej) stosować będziemy notację
elektrotechniczną, czyli
(ale zmiany w oznaczeniach nietrudno zauważyć). Liczby
zespolone zapisujemy w formie:
gdzie
to część rzeczywista (real part), natomiast
to część urojona (imaginary part), co
możemy zapisać:
Oczywiście, co kraj to obyczaj i nieraz się zdarza, że w kwestii oznaczeń każdy woli po
swojemu. Przykładowo, u automatyków lubi pojawić się oznaczenie części rzeczywistej jako
i części urojonej jako
. Na szczęście notacja ta pojawia się tylko w pewnych określonych
sytuacjach. Dodatkowo warto pamiętać o innych typach zapisu, jak we wzorach z 2.5.3.4:
61
Należy w tym miejscu ponownie podkreślić, iż skróty Re i Im nie pochodzą z angielskiego,
lecz francuskiego, od reel i imaginaire. Liczby zespolone można przedstawić graficznie jako
współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej (complex plane – płaszczyzna zwana
również płaszczyzną Arganda lub Gaussa – rysunek 2.5.3.1). Jeśli liczba
liczb zespolonych, to piszemy, że
należy do zbioru
.
b
0
a
Rys. 2.5.3.1 Płaszczyzna liczb zespolonych
Jak widać, na wykresie mamy bardzo ładny trójkąt, o bokach
długości
i
oraz przeciwprostokątnej o
, czyli modułu liczby zespolonej (moduł po angielsku to modulus, magnitude lub
też absolute value, od którego jest polecenie abs w np. MatLabie).
φ
0
Rys. 2.5.3.2 Płaszczyzna liczb zespolonych
Jak policzyć ten moduł? Najłatwiej zastosować twierdzenie Pitagorasa:
62
Kolejnym krokiem jest wyjaśnienie, czym jest argument liczby zespolonej – otóż na
schemacie został zaznaczony kąt
(fi), który nazywany jest właśnie argumentem (argument)
lub fazą (phase). Liczy się go przy pomocy funkcji cyklometrycznej tangensa (funkcja
odwrotna, arcus tangens):
W przypadku liczb zespolonych, mamy możliwość zapisu każdej z nich przy pomocy funkcji
sinus i cosinus:
Należy tu jeszcze wspomnieć o sprzężeniu (conjugation), w którym znak części urojonej
zostaje zamieniony, czyli w najprostszej formie:
Czasami stosuje się również zapis z gwiazdką, czyli
. Sprzężenie powoduje odbicie
liczby zespolonej względem osi OX. Po co to? Czasem się przydaje gdy chcemy pozbyć się z
równania części urojonej. Na przykład mamy liczbę zespoloną w formie ułamka i chcemy z
niej wydzielić osobno obie jej części:
Dzięki temu wiemy, że część rzeczywista ułamka to
, a część urojona
.
63
2.5.4
WZÓR EULERA W RACHUNKU ZESPOLONYM
W 2.5.3.7 odnotowano, że liczbę zespoloną można zapisać w formie
Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by w zapisie tym zastosować jeszcze wzór Eulera, dzięki
czemu otrzymamy (
):
Teraz warto jeszcze wyprowadzić dwa ważne wzory. Wiemy, że
, ale
jakby to wyglądało w drugą stronę? Trzeba w tym miejscu jeszcze wspomnieć, iż:
Sumując oba równania ze sobą otrzymamy:
W przypadku funkcji sinus wykonujemy różnicę obu wyrażeń:
2.5.5
UOGÓLNIENIE SILNI – FUNKCJA GAMMA (gamma function)
Wcześniej już wspomnieliśmy, że po połączeniu punktów tworzących wykres funkcji silni
powstaje pytanie o jej istnienie dla wartości z np. ułamkiem. Żeby sprostać temu problemowi
stworzono uogólnienie w postaci funkcji gamma. Jej powiązanie z każdym
zbioru liczb naturalnych (
należącym do
) to:
64
Sama zaś funkcja gamma prezentuje się następująco:
Przykładowo dla jedynki otrzymujemy
Ponieważ granica
( to liczba zespolona):
. Niestety funkcja Gamma nie jest zdefiniowana dla liczb
całkowitych ujemnych. Możemy to zapisać jako
do liczb zespolonych, dla których
lub zbiór liczb
należących
nie należy do ujemnych liczb całkowitych
(ew. zbiór liczb zespolonych z wyłączeniem ujemnych
).
2.6 MACIERZE (matrices)
2.6.1
PRZESTRZENIE WIELOWYMIAROWE
Zwykle jesteśmy przyzwyczajeni do spoglądania na świat jedno, bądź dwuwymiarowo.
Mimo, że cały czas bytujemy w środowisku trójwymiarowym, to jednak poruszanie się w tej
przestrzeni już zaczyna sprawiać pewną trudność. Osoby, które przeszły kurs fizyki znają
pojęcie wektora, który zapisać można macierzowo jako v = [x, y, z] („przeciwieństwem”
wektora jest skalar, który jest jedynie pojedynczą wartością). Jeśli wykonamy macierz
dwuwymiarową x = [ 0 , 0 ; 0 , 0 ], to mówimy o przestrzeni liczb rzeczywistych R 2.
Oczywiście wymiarów może być n, a wtedy nasza macierz nie jest rozmiarów dwa na dwa,
lecz n na n, a przestrzeń ma rozmiar Rn.
2.6.2
WARTOŚCI i WEKTORY WŁASNE (eigenvalues and eigenvectors)
Zwykle jesteśmy przyzwyczajeni do spoglądania na świat jedno, bądź dwuwymiarowo.
Mimo, że cały
65
3 PODSTAWOWE SYGNAŁY
3.1 O SYGNAŁACH SŁOWO
Sygnał jednowymiarowy, który najszybciej przychodzi nam do głowy to fala dźwiękowa,
głos. Przy okazji omawiania tego typu zagadnień zwykle pojawia się funkcja sinus bądź
cosinus. My zaczniemy z nieco innej strony, bowiem od jednej funkcji Haara.
3.2 WARTOŚĆ ŚREDNIA FUNKCJI SINUS
W podrozdziale 2.4.6 wspomniałem, że całka może być wykorzystana do liczenia wartości
średniej. Z tym, jak wartość średnia ma się do rzeczywistości to każdy nieraz mógł się
dowiedzieć samemu. Jedna taka ciekawostka – swego czasu jedna z partii proponowała, by
podnieść w Polsce płacę minimalną do poziomu wynagrodzenia średniego. Oczywiście nie
widzieli w tym żadnego problemu, że będzie to proces nieskończony, bowiem wraz z
wzrostem płacy minimalnej, w tej samej chwili wzrośnie średnie wynagrodzenie… Jednakże
wracając do meritum. Na początek proste pytanie – ile wynosi pole pod wykresem funkcji
sinus?
3.3 PROSTE FILTRY – FILTR MEDIANOWY i UŚREDNIANIE
Lorem ipsum
4 TRANSFORMATA LAPLACE (Laplace transform)
4.1 WSTĘP DO METODY OPERATOROWEJ – SKOK JEDNOSTKOWY,
OBSZAR ZBIEŻNOŚCI (region of convergence)
Teoretycznie część z Was powinna się już była zaprzyjaźnić z teorią obwodów, zwaną wprost
drutami. Jeśli ktoś z tej znajomości nie czerpał szczególnej radości, to jest to zrozumiałe,
bowiem w początkowym podejściu nie jest to rzecz prosta. Jednakże, jeśli odrzucić na bok
66
wszystkie uprzedzenia i drobne niesnaski jakie wystąpiły między Wami w Waszych relacjach,
to okazuje się, iż druty da się lubić. Chyba.
Ale wracając do tematu – transformata Laplace o dziwo nie nazywa się tak dlatego, że była
dziełem Laplace. Nazwa ta została nadana ku jego czci i wygląda w sposób następujący:
gdzie
jest to zmienna określana jako operator Laplace, która jest zmienną zespoloną opisaną
wzorem:
Można rzec, że już na start wygląda to wręcz znakomicie! Rzucamy okiem na wzory drugi
raz, wyłączamy ten plik, wyłączamy komputer i idziemy do łóżka spać by jak najszybciej
zapomnieć o tym co właśnie zobaczyliśmy. Nie dajmy się jednak negatywnym emocjom i
spróbujmy policzyć transformatę Laplace skoku jednostkowego
, pamiętając iż jest to
funkcja, która jest równa 1 w przedziale od zera do nieskończoności:
W tym momencie trzeba się na chwilę zatrzymać. Dla
Aczkolwiek dla
zapominać, że
urojoną
mamy sprawę prostą, bowiem
musimy zahaczyć o granicę funkcji, czyli limes. Nie można
nie jest stałą, lecz zmienną zespoloną z częścią rzeczywistą
i
.
Rozbiliśmy nasz problem na dwa pod-problemy. Jeśli weźmiemy pod uwagę jedynie człon z
częścią urojoną, to można go zapisać jako
, więc bez względu
67
na to jaką wartość przyjmie , nie przekroczymy zakresu od plus do minus jeden. Jednakże
co się dzieje z członem
? Otóż otrzymujemy w wyniku, że:
Bowiem jeśli część rzeczywista
będzie mniejsza od zera, to
będzie zmierzać
eksponencjalnie do nieskończoności wraz z rosnącym . Tak więc:
O obszarze zbieżności (ROC, czyli region of convergence lub domain of convergence)
transformaty trzeba pamiętać! Dodatkowo warto wspomnieć, iż
jest również zwany
zmienną zespolonej częstotliwości (complex frequency variable), której jednostką jest Hertz
(
). Jeśli zmienna
to czas w sekundach, to wyrażenie
jest wyrażeniem bez
jednostki.
4.2 JESZCZE KILKA PRZYKŁADÓW
W Internecie i w książkach znaleźć można dużo gotowych, wyliczonych transformat, bowiem
jak to niektórzy mawiają, nie ma sensu od nowa wynajdywać koła, stąd elementy tu zawarte
są bardziej ciekawostką, ponieważ w rzeczywistości najczęściej korzysta się z tablic.
Jednakże jeśli ktoś lubi ćwiczyć całki, to można się trochę pobawić w wyprowadzenia.
4.2.1
SYGNAŁ EKSPONENCJALNY
68
4.2.2
DELTA DIRACA
4.2.3
POTĘGA N-tego STOPNIA
Wyprowadzenie wymaga zastosowania całkowania przez części.
Jeśli
, więc otrzymujemy:
, to
Jeśli liczylibyśmy te całki odpowiednio długo, to doszlibyśmy do wyniku, że:
Dla
i
.
4.3 WŁASNOŚCI TRANSFORMATY LAPLACE
Lorem ipsum.
4.3.1
PRZESUNIĘCIE W CZASIE (time shift) z przykładem zastosowania
W przypadku przesunięcia sygnału w czasie używamy skoku jednostkowego
by
„przefiltrować” sygnał, powodując wyzerowanie wszystkiego co działo się przed momentem
określonym w przesunięciu (rysunek 4.3.1.1).
69
SKOK JEDNOSTKOWY
z przesunięciem w czasie o
SYGNAŁ SUMARYCZNY
SINUS
z przesunięciem w czasie o
Rys. 4.3.1.1 Zdolność skoku jednostkowego z przesunięciem
do filtracji sygnału z przesunięciem
Tak więc, mamy naszą funkcję
stosujemy skok jednostkowy
równe zeru (czas
, którą przesunęliśmy w czasie o
. Dodatkowo,
, żeby wszystko co działo się przed czasem
było
jest naszym nowym punktem startowym). Jak więc policzyć transformatę
Laplace :
Skoro przed czasem
wszystko było równe zeru, wiec możemy przesunąć granicę naszej
całki (po co dodawać do ogólnej sumy coś, co jest równe zeru?). Po wprowadzeniu tego
założenia, funkcję
zamienić możemy na jedynkę, bowiem od czasu
ma ona stałą
wartość:
Zastosujemy teraz podstawienie, iż
wyjaśnienie w temacie granicy całki – otóż jeśli
czyli
. Przed podstawieniem jeszcze krótkie
, to
, a jeśli
, to
:
70
,
PRZYKŁAD:
Czy to twierdzenie się przydaje? Ano przydaje się. Zwłaszcza w takiej ciekawej sytuacji:
Na pierwszy rzut oka, funkcję
można zinterpretować jako
i policzyć
transformatę z przesunięciem dla każdego z elementów. Jednakże jeśli popatrzeć na to jako
, a po przesunięciu
, to według wzoru 4.2.3.4 i 4.3.1.4
otrzymujemy wynik:
Licząc krok po kroku (począwszy od wzoru 4.3.1.2):
W punkcie 4.7 znaleźć można rozwiązanie tego zadania „na piechotę”, bez stosowania
własności o przesunięciu w czasie.
4.3.2
SKALOWANIE W CZASIE (scaling in time)
Lorem ipsum.
4.3.3
SKALOWANIE W CZĘSTOTLIWOŚCI (scaling in time)
Lorem ipsum.
4.3.4
POCHODNA
Lorem ipsum.
71
4.3.5
CAŁKA
Lorem ipsum.
4.4 PODEJŚCIE PRAKTYCZNE – RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Lorem ipsum.
4.5 OBWODY ELEKTRYCZNE
Lorem ipsum.
4.6 FILTRY PASYWNE
Zajmiemy się w tym miejscu nieco bardziej zagadnieniem filtrów, bowiem jest to niezwykle
przydatna rzecz. Dlaczego? Załóżmy, że chcemy coś zmierzyć, np. fale gamma pochodzące z
mózgu, które zamykają się w przedziale 38 do 42 Hz. Okazuje się jednak, że na naszym
elektroencefalogramie jest masa szumów i jeszcze wszechobecne 50 Hz z sieci energetycznej.
Co z tym zrobić? Otóż projektujemy wtedy filtr pasmowo zaporowy (wycina pewien zakres
częstotliwości od do), który pozwoli odciąć wszystkie zbędne częstotliwości sygnału –
konstruujemy swego rodzaju okienko, w którym będziemy pracować:
częstotliwości, które znajdują się poza
„okienkiem” są przez filtr tłumione
Wzmocnienie
sygnału
filtr, dzięki któremu mierzymy
tylko częstotliwości od 38 do 42 Hz
0
Częstotliwość [Hz]
50
Rys. 4.6.1 Przykładowy filtr pasmowo przepustowy
4.6.1
OBWÓD RC – FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY (RC low-pass filter)
Okazuje się, że najprostszym możliwym filtrem do wykonania jest taki, który składa się z
opornika i kondensatora. Jest to pasywny filtr dolnoprzepustowy (LPF, low-pass filter), czyli
przepuszczający tylko niskie częstotliwości (wysokie są tłumione).
72
potencjał masy
Rys. 4.6.1.1 Obwód RC (RC LPF)
Jeśli ktoś coś jeszcze pamięta z teorii obwodów, to impedancja
pulsacji
. Dla przypomnienia, pulsacja to inaczej częstość kołowa (angular frequency), która
powiązana jest z częstotliwością przez wzór
herców
kondensatora zależała od
na radiany na sekundę
. W tym przypadku przechodzimy z
.
Warto w tym miejscu zauważyć, że gdy częstotliwość
zmierza do nieskończoności, to
impedancja kondensatora zmierza do zera, natomiast gdy częstotliwość zmierza do zera, to
impedancja rośnie do nieskończoności (wzrasta drastycznie opór):
Spostrzeżenie to jest o tyle ważne, że gdy rozrysujemy prosty obwód RC (rysunek 4.6.1.1), to
widać, iż dla wysokich częstotliwości kondensator staje się zwarciem, przez co na wyjściu
zaczynamy otrzymywać potencjał masy 0V zamiast sygnału wejściowego. Z tego
wynika prosty wniosek, że skonstruowaliśmy filtr dolnoprzepustowy, który przepuszcza
sygnały o niskich częstotliwościach (wtedy kondensator symuluje przerwę w obwodzie, jak
na rysunku 4.6.1.2), a te o wysokich są „odsyłane” do potencjału masy.
73
Rys. 4.6.1.2 Po lewej reakcja obwodu RC na sygnał wejściowy o bardzo niskiej częstotliwości, a po prawej na
sygnał o bardzo wysokiej częstotliwości
Powstaje jednak pytanie, czy da się konkretnie obliczyć, jakie częstotliwości są przesyłane do
wyjścia, a jakie zostają wyciszone? Dodatkowo, czy jest to proces nagły, czy stopniowy?
W tym miejscu pomocna staje się transformata Laplace. Zakładając, że
otrzymujemy:
Stosując metodę węzłową rozpływu prądu wyliczyć możemy stosunek napięcia wyjściowego
do wejściowego (oczywiście można by tu było zastosować wzór na zwykły dzielnik
impedancyjny):
Teraz ponownie wracamy do pulsacji. Zastosowanie tutaj transformaty Laplace nie jest
szczególnym ułatwieniem, aczkolwiek definitywnie lepiej wykonywać obliczenia z
podstawieniem aniżeli bez (trudniej się pomylić) – liczymy moduł liczby zespolonej:
74
Proszę zwrócić uwagę, iż powyższy wzór podaje stosunek sygnału wyjściowego do
wejściowego. Jeśli ktoś pamięta o co chodziło z decybelami, to może już coś pokojarzy.
Więcej informacji w następnym podrozdziale.
4.6.2
OBWÓD RC – PASMO 3dB (half power point)
Skoro już otrzymaliśmy wzór na stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego
(wzór 4.6.1.9), to możemy rozważyć 3 przypadki jakie mogą zajść w obwodzie:

co się dzieje dla małych częstotliwości sygnału wejściowego (
),

co się dzieje dla dużych częstotliwości sygnału wejściowego (
),

odpowiedź obwodu na
.
Sporą zagadką pozostaje to, dlaczego akurat
? Musimy się tutaj trochę cofnąć – mianowicie
badając nasz filtr szukamy miejsca, w którym moc sygnału wejściowego spada o połowę,
. Punkt ten odpowiada spadkowi napięcia
czyli
wyjściowego o
(spadek napięcia o około
ten punkt na wykresie musimy odszukać taką pulsację
), więc żeby zaznaczyć
żeby:
A uzyskujemy taki efekt jeśli:
Pojawia się jednak następne pytanie – dlaczego połowa mocy przypada na
spadku
wzmocnienia? Moc chwilową (instantaneous power) sygnału – kwadrat modułu sygnału:
75
Jeśli sygnał pomniejszymy o pierwiastek z dwóch, to moc zmniejszy się o połowę. Ale
wracając do naszej funkcji:
Warto wspomnieć, że częstotliwość dla pasma
nazywana jest częstotliwością odcięcia
(cutoff frequency, break frequency) lub częstotliwością graniczną filtru (corner frequency).
Poza faktem, iż jest to miejsce gdzie sygnał wyjściowy ma połowę swej mocy, to
jednocześnie jest to punkt, w którym przecina się pozioma i pochylona część charakterystyki
Bodego dla filtru pierwszego rzędu…
4.6.3
CHARAKTERYSTYKA BODEGO (Bode plot)
Charakterystyka Bodego składa się z dwóch części – charakterystyki amplitudowej i fazowej.
Nas jednak na początek bardziej interesować będzie część amplitudowa. Wykres takiej
charakterystyki na osi poziomej
ma częstotliwości w skali logarytmicznej, zaś na osi
pionowej wzmocnienie (gain) w decybelach (rysunek 4.6.3.1). Proszę jednak pamiętać, iż
częstotliwość podawana jest jako pulsacja, czyli w radianach na sekundę, a nie hercach
(
, czyli
).
Rys. 4.6.3.1 Charakterystyka amplitudowa obwodu RC
76
Powstaje pytanie w jakim punkcie została narysowana na wykresie z rysunku 4.6.3.1
częstotliwość pasma
więc korzystając z wzoru
? Skoro przypada ona na
4.6.2.2 możemy obliczyć przykładowe wartości elementów RC. Najpierw załóżmy pojemność
kondensatora rzędu 50 mikrofaradów. Stąd otrzymujemy:
Proszę zwrócić uwagę, że zbocze charakterystyki nie jest narysowane pod dowolnym kątem.
Otóż spadek charakterystyki w przypadku obwodu RC to
dekadę), co oznacza, że co kolejną potęgę pulsacji (
(–20 decybeli na
) następuje spadek wzmocnienia o
20 decybeli.
Niektórych może dziwić, dlaczego na wykresie przy wzmocnieniu oznaczamy
, a nie
. Otóż w języku polskim brakuje bodaj słówka magnitude, które oznacza generalnie
wielkość względną. W przypadku osi pionowej używamy
, stąd ta
, a nie
różnica.
Teraz czas na charakterystykę fazową. We wzorze 4.6.1.7 pojawiła się finalna wersja naszej
funkcji przejścia (transfer function), inaczej transmitancji:
W przypadku charakterystyki fazowej musimy wydzielić część urojoną i zespoloną (proszę
zwrócić uwagę, że faza jest w dziedzinie pulsacji, a nie
):
By rozbić transmitancję na składowe musimy użyć sprzężenia liczby zespolonej, co pozwala
na pozbycie się urojenia z mianownika (dół ułamka  ) przez skorzystanie z własności liczby
urojonej, iż
:
77
W ten oto sposób otrzymujemy „przepis” na wykres fazowy:
, to wyliczając arcus tangens z
W przypadku, gdy
(lub
, otrzymujemy kąt
jak ktoś bardziej preferuje). Teraz co dalej? Sprawdzamy więc standardowo
zmierzającą do zera i nieskończoności:
Ktoś w tym miejscu mógłby pokusić się o stwierdzenie, że skoro mamy 3 punkty, to rysujemy
przez nie linię prostą. Nic bardziej mylnego! Proszę sobie przypomnieć przebieg wykresu
arcusa tangensa! Jest pewna zasada, która mówi, że na wykresie występuje spadek fazy o
na dekadę w okolicy punktu
– mając tą informację spróbujmy wykonać charakterystykę
fazową Bodego (rysunek 4.6.3.2):
Rys. 4.6.3.2 Charakterystyka fazowa obwodu RC
78
4.6.4
CHARAKTERYSTYKA NYQUISTA (Nyquist plot)
Skoro wykresy Bodego składają się z charakterystyki amplitudowej i charakterystyki fazowej,
to czym jest wykres Nyquista? Jest to charakterystyka amplitudowo-fazowa (polar plot),
gdzie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej zaznaczamy kolejne punkty odpowiedzi układu.
Tak jak w przypadku charakterystyki fazowej, tak i tutaj potrzebujemy rozdziału transmitancji
na składowe rzeczywistą i urojoną:
Badamy teraz granice transmitancji dla trzech dobrze nam znanych pulsacji. W tym celu
dobrze jest rozrysować odpowiednią tabelkę:
Tab. 4.6.4.1 Odpowiedź transmitancji na różne wartości pulsacji
Pulsacja
Część rzeczywista
Część urojona
Mając w ten sposób rozpisane punkty możemy przystąpić do rysowania charakterystyki.
Warto pamiętać o kierunku strzałki na wykresie, bowiem zawsze zaczynamy od zerowej
pulsacji, co należy stosownie zaznaczyć (rysunek 4.6.4.1).
Rys. 4.6.4.1 Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquista) obwodu RC
79
4.6.5
OKTAWA KONTRA DEKADA
Czasem zamiast spadku wyliczanego na dekadę (decade), czyli
pojawia się pojęcie
zmiany wzmocnienia przypadającej na oktawę (goctave). W przypadku filtru RC
dolnoprzepustowego stwierdziliśmy spadek wzmocnienia o
, co było równoznaczne z
tym, że sygnał był osłabiony o 20 decybeli pomiędzy częstotliwością
(lub jeśli
,a
ktoś woli, to pomiędzy kolejnymi potęgami pulsacji).
W przypadku zastosowania oktawy zamiast dekady, przechodzimy z logarytmu o podstawie
10 do logarytmu o podstawie 2. W konsekwencji wiąże się to z tym, że o ile dla dekady
mówiliśmy o dziesięciokrotności częstotliwości, to dla oktawy mówimy o jej podwojeniu
bądź zmniejszeniu o połowę. Skoro nasz filtr osłabiał sygnał o
w przedziale od
10 kHz do 1 kHz, więc w przeliczeniu na oktawy otrzymujemy:
W drugą stronę, jedna oktawa to:
4.6.6
OBWÓD RC JAKO UKŁAD CAŁKUJĄCY (RC integrator)
Część może jeszcze pamięta o co chodzi z prawem Ohma. Ci, którzy nie pamiętają, to zaraz
odszukają, że chodzi o to, iż
impedancja obwodu RC to
, a w bardziej uogólnionej formie
. Sumaryczna
, więc prąd płynący przez obwód to:
W momencie, gdy częstotliwość płynącego prądu będzie odpowiednio duża, czyli:
80
to kondensator ma bardzo mało czasu na gromadzenie ładunku, więc napięcie
znajdujące
się na nim jest bardzo małe. Jednocześnie należy zauważyć, iż z wzoru 4.6.6.2 wynika, to, że
człon
musi być bardzo duży:
co powoduje, że impedancja kondensatora
(
jest bardzo mała w porównaniu z rezystancją
). Pozwala nam to założyć, że:
Wzór na pojemność kondensatora
to:
Jeśli weźmiemy pod uwagę, że napięcie na kondensatorze jest tak naprawdę napięciem
wyjściowym obwodu RC, oraz podstawimy wzór 4.6.6.4 do wzoru 4.6.6.8, to otrzymamy
wyjaśnienie, dlaczego w żargonie elektroników mówi się na obwód RC układ całkujący:
Czy to prawda? Całka ze stałej to funkcja liniowa, np. (pomijam stałą C, zakładając, że
):
81
Więc jeśli na wejście układu RC podamy sygnał prostokątny (square wave), to przy
odpowiednio wysokiej częstotliwości powinniśmy na wyjściu otrzymać sygnał trójkątny
(triangle wave):
SYGNAŁ WYJŚCIOWY
(DLA MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI
)
SYGNAŁ WEJŚCIOWY
SYGNAŁ WYJŚCIOWY
(DLA DUŻEJ CZĘSTOTLIWOŚCI
)
Rys. 4.6.6.1 Reakcja obwodu RC na sygnał prostokątny o różnych częstotliwościach
Nazywając obwód RC układem całkującym, nie należy go mylić z układem całkującym
zbudowanym w oparciu o wzmacniacz operacyjny! Wyprowadzenie dla niego jest prostsze i
poniekąd podobne do powyższego – dla ciekawych zapraszam do sekcji o wzmacniaczach
operacyjnych.
4.6.7
CZŁON INERCYJNY I RZĘDU – RZĄD FILTRU (filter order)
Jeśli zerkniemy do książek opowiadających o automatyce, to dowiemy się, że istnieje coś
takiego jak człon inercyjny I rzędu. Jest to nazwa dla grupy elementów, których transmitancja
operatorowa wygląda w sposób następujący:
82
W przypadku filtra dolnoprzepustowego wzmocnienie
, a
. W ogólności,
charakterystyka Bodego dla takiego elementu wygląda następująco:
Charakterystyka amplitudowa:
Charakterystyka fazowa:
Warto pamiętać, że to co elektronicy i elektrotechnicy nazwą
, to automatycy
nazwą . Wciąż jednak pozostaje pytanie o co chodzi z rzędem. Otóż rząd jest równoznaczny
z ilością pierwiastków znajdujących się w mianowniku równania. Przykładowo, transmitancja
operatorowa filtru drugiego rzędu będzie posiadała dwa pierwiastki, czyli będzie de facto
równaniem kwadratowym:
Reasumując, warto pamiętać, że istnieją też elementy inercyjne rzędu II (wzór 4.6.7.6) i
wyższego (wzór 4.6.7.7):
83
4.6.8
OBWÓD CR – FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY (high pass filter)
Obwód CR zwany jest też pasywnym układem różniczkującym (passive differentiator lub RC
differentiator circuit), który pozwala na odcięcie składowej stałej (DC) z sygnału (pochodna
wartości stałej to zero).
Rys. 4.6.8.1 Obwód CR
Z prawa Ohma wiadomo, że prąd płynący przez obwód ma wartość:
Jeśli założymy, że nasz obwód pracuje przy stosunkowo niskiej częstotliwości, czyli
to otrzymamy wniosek, że
,
, stąd możemy uogólnić, iż prąd jest równy:
Jeśli odpowiednio przekształcimy wzór 4.6.8.1, to wyjdzie nam, że napięcie wejściowe jest w
przybliżeniu równe spadkowi napięcia na kondensatorze:
Prąd płynący przez kondensator opisany jest wzorem
. Ponieważ ten sam prąd
płynie zarówno przez kondensator jak i opornik, a napięcie na oporniku
wyjściowe
to nasze napięcie
, więc zapisać możemy, iż:
84
Wzmocnienie obwodu:
4.6.9
OBWÓD RLC – FILTR PASMOWOPRZEPUSTOWY (band-pass filter)
Jeśli ktoś miał trochę więcej do czynienia z fizyką, to wie, że w przypadku LC można
spodziewać się tzw. rezonansu. Ale zacznijmy od narysowania naszego obwodu.
Rys. 4.6.9.1 Obwód RLC (RLC BPF band-pass series RLC filter)
Jeśli założymy, że
to impedancja zarówno cewki
jak i kondensatora , to otrzymujemy
dzielnik napięcia:
Wzór transmitancji filtru jest już prawie gotowy, po przejściu do pulsacji otrzymujemy:
85
Teraz liczymy moduł:
Spróbujmy teraz rozważyć jak zachowuje się nasz układ. Co warto zauważyć na początku, to
dla
wyrażenie
Analogicznie, w przypadku
, stąd już na początku możemy go wyeliminować z równania:
, od razu możemy wyeliminować wyrażenie
, które
zmierza do zera. W podobny sposób staramy się „wyciągnąć” pulsację spod pierwiastka jak
poprzednio:
No dobrze. Stwierdziliśmy, że wzmocnienie (gain) dla dwóch skrajności jest równe zeru.
Pytanie, kiedy wzmocnienie naszego układu będzie maksymalne?
Żeby spełnić ten warunek, wyrażenie
musi być równe zeru, co jest spełnione w
momencie gdy:
86
Jest to nasza częstotliwość rezonansowa układu, gdzie znajduje się maksimum wzmocnienia:
4.6.10 DOBROĆ Q (quality factor)
Jest taki parametr, który nazywa się (jak dla mnie) dość zabawnie – dobroć (Q factor). Mówi
on nam o szerokości krzywej rezonansowej – im większa dobroć, tym ostrzejsze jest zbocze
krzywej. Ale o samej krzywej trochę więcej nieco dalej. Skoro mamy we wzorze 4.6.9.2
rozpisaną funkcję wzmocnienia i wiemy, że częstotliwość rezonansowa naszego układu to
, spróbujmy więc tak przekształcić wzór by uwzględnić jej obecność:
4.6.11 CZĘSTOTLIWOŚCI CUTOFF
Skoro mamy już wzmocnienia dla częstotliwości rezonansowej oraz dla pulsacji
nieskończonej i zerowej, to teraz wypadałoby dowiedzieć się jak sprawa wygląda z pasmem
trzy decybelowym (tj. lower and upper cutoff frequency). Wyliczamy moduł ze wzoru
4.6.10.3 i przyrównujemy go do wzmocnienia
:
87
Można tutaj zauważyć pewną zależność, że aby mianownik wzmocnienia był równy
element
to
musi być równe 1:
Jeśli wyrażenie po lewej stronie wzoru 4.6.11.3 jest pod kwadratem, to oznacza, że może być
ono albo ujemne albo dodatnie:
Okazuje się, że tak naprawdę otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, jedno z plusem,
drugie z minusem. Rozwiązując je otrzymamy 4 różne pierwiastki, z czego dwa z nich będą
, stąd będą rozwiązaniami błędnymi. Najpierw równanie z dodatnim znakiem:
Współczynniki to
,
oraz
:
88
Pierwiastki równania plusem:
Od razu można stwierdzić, że
równania. Żeby
, to
ujemnej liczby (przypominam, że
, więc fizycznie nie może być pierwiastkiem
, a nie da się obliczyć rzeczywistego pierwiastka z
). Teraz jeszcze wyniki dla równania z minusem
(ponieważ różnica w znaku znajduje się przy wyrazie , który w delcie jest podnoszony do
kwadratu, więc
Ponieważ
):
, więc
, stąd górna i dolna częstotliwość odcięcia dla
filtru RLC pasmowo przepustowego to:
Warto zauważyć, że dla rosnącej dobroci Q, oba pierwiastki zaczynają się ku sobie zbliżać:
89
Jeśli udałoby się uzyskać nieskończoną dobroć w układzie, to nasz filtr przepuszczałby tylko i
wyłącznie częstotliwość rezonansową. Stąd wniosek, że im większy parametr
, tym bardziej
ostry jest szpic charakterystyki. Kolejne ważne spostrzeżenie to fakt, że poziom dobroci
możemy regulować samym opornikiem
rezonansową. Pamiętając, że
i
, zachowując wciąż tą samą częstotliwość
otrzymujemy:
Przy pisaniu tego rozdziału oparłem się o notatki zawarte na:
http://aries.ucsd.edu/najmabadi/CLASS/ECE53B-LAB/05-W/LAB/filter.pdf
http://tera.yonsei.ac.kr/class/2006_1/lecture/Lect%2014%20SecondOrder%20Passive%20Filters.pdf
4.6.12 CHARAKTERYSTYKI FILTRU PASMOWOPRZEPUSTOWEGO
Ostatni element jaki pozostał do wykonania to charakterystyki Bodego naszego pasywnego
filtru pasmowo przepustowego RLC. Z wzorów 4.6.9.5 i 6 wiemy, że wzmocnienie jest równe
zeru, jeśli pulsacja zmierza albo do nieskończoności albo do zera. Dodatkowo, dzięki wzorom
4.6.9.9, 4.6.11.13 i 14 mamy trzy charakterystyczne punkty na wykresie – częstotliwość
rezonansową oraz odcięcia dolną i górną. Przy rysowaniu charakterystyki amplitudowej
zakładamy następujące parametry cewki indukcyjnej i kondensatora:
Zakładając, że
, częstotliwość rezonansowa i dobroć to:
90
Przechodząc z pulsacji do częstotliwości
. A częstotliwości graniczne:
Rys. 4.6.12.1 Charakterystyka amplitudowa obwodu RLC
Co ciekawe, to szerokość pasma
opisana jest stosunkowo prostym wzorem:
Charakterystykę fazową wykonujemy rozdzielając wzór sprzężeniem liczby zespolonej na
wzmocnienie na dwie części, tj. urojoną i rzeczywistą:
91
Obliczając granicę dla pulsacji zmierzającej do zera otrzymujemy (zamiast zapisu
użyty teraz będzie
ze względu na oszczędność miejsca):
Podobnie sytuacja wygląda w przypadku nieskończoności. Reasumując otrzymujemy:
Możemy teraz wszystko ładnie rozrysować na wykresie:
Rys. 4.6.12.2 Charakterystyka fazowa obwodu RLC
92
Jeśli ktoś byłby zainteresowany automatycznym przeliczaniem charakterystyk, to na stronie
podanej poniżej znajduje się skrypt php, który bardzo ładnie wszystko rozrysowuje (poza
charakterystykami Bodego wykonywane są jeszcze charakterystyka Nyquista i odpowiedź
skokowa):
Rys. 4.6.12.3 Charakterystyki Bodego filtru RLC
[Źródło: http://sim.okawa-denshi.jp/en/RLCtool.php]
4.6.13 OBWÓD RLC – FILTR PASMOWOZAPOROWY (band-stop filter)
W przypadku konstruowania urządzeń elektrycznych bardzo często (o ile nie zawsze)
pojawia się problem 50 Hz (lub 60 Hz jeśli mieszka się w Japonii lub USA). Sygnał
zakłócający można wyeliminować za pomocą prostego obwodu rezonansowego RLC, który
posiada bardzo mocno selektywną charakterystykę.
Rys. 4.6.12.1 Obwód RLC pasmowo zaporowy
93
Teraz musimy policzyć granice wzmocnienia (pierwiastek kwadratu w liczniku ułamka został
zamieniony na moduł, tj. wartość bezwzględną):
Oraz wzmocnienie
dla częstotliwości rezonansowej
:
4.6.14 WZÓR OGÓLNY II RZĘDU
Lorem ipsum
4.6.15 FILTR PASMOWY NOTCH
Lorem ipsum
94
4.7 PRZYKŁAD Z 4.3.1 CAŁKOWICIE NA PIECHOTĘ
Tak dla zabawy sprawdźmy, czy da się wyliczyć przykład z podrozdziału 4.3.1 bez używania
własności o przesunięciu w czasie.
Całość rozbić możemy na 3 osobne transformaty:
Teraz skorzystamy z tego, że transformata Laplace jest liniowa, więc możemy ją rozbić na 3
kolejne. W przypadku każdego z elementów korzystamy z wzoru 4.2.3.4:
Sumując powyższe elementy otrzymujemy:
Podobne rozwiązania otrzymujemy również w przypadku
i
, czyli:
95
Oraz ostatni element
:
Sumując elementy z 4.7.2 otrzymujemy:
Czyli jednak wyszło to samo. Spokój ducha przywrócony…
5 WZMACNIACZE OPERACYJNE (operational amplifiers)
5.1 CECHY IDEALNEGO i RZECZYWISTEGO WZMACNIACZA
Teoretycznie część z Was powinna się już była zaprzyjaźnić z teorią obwodów, zwaną wprost
drutami. Jeśli ktoś z tej znajomości nie czerpał szczególnej radości, to jest to zrozumiałe,
bowiem w początkowym podejściu nie jest to rzecz prosta. Jednakże, jeśli odrzucić na bok
5.2 PRZYKŁADOWE ZASTOSOWANIA
Teoretycznie część z Was powinna się już była zaprzyjaźnić z teorią obwodów, zwaną wprost
drutami. Jeśli ktoś z tej znajomości nie czerpał szczególnej radości, to jest to zrozumiałe,
bowiem w początkowym podejściu nie jest to rzecz prosta. Jednakże, jeśli odrzucić na bok
5.2.1
KOMPARATOR (comparator)
Lorem ipsum
96
5.2.2
WZMACNIACZ ODWRACAJĄCY (inverting amplifier)
Lorem ipsum
5.2.3
WZMACNIACZ NIEODWRACAJĄCY (noninverting amplifier)
Lorem ipsum
5.2.4
WTÓRNIK NAPIĘCIOWY (voltage follower)
Lorem ipsum
5.2.5
KONWERTER PRĄD-NAPIĘCIE (I – to – V converter)
Lorem ipsum
5.2.6
SUMATOR (summing amplifier)
Lorem ipsum
5.2.7
WZMACNIACZ ODEJMUJĄCY (difference amplifier)
Rys. 5.2.7.1 Schemat wzmacniacza odejmującego
W przypadku końcówki nieodwracającej wzmacniacza
mamy zwykły dzielnik napięcia
opisany wzorem:
Przypominam, że napięcie na końcówce odwracającej i nieodwracającej wzmacniacza jest
takie samo, więc rozpisując przepływ prądu nie zamiast
będzie od razu
:
97
We wzorze 5.2.7.5 można poczynić jedno z trzech założeń (albo i więcej):

wszystkie opornik są sobie równe,

oporniki są mają rezystancje według schematu

oporniki są proporcjonalne
5.2.8
i
:
(wzór 5.2.7.7 poniekąd wynika z tej zależności):
WZMACNIACZ CAŁKUJĄCY (integrator)
Lorem ipsum
5.2.9
WZMACNIACZ RÓŻNICZKUJĄCY (differentiator)
Jest to rodzaj wzmacniacza różnicowego (odejmującego).
5.2.10 WZMACNIACZ POMIAROWY (instrumentation amplifier)
Jest to rodzaj wzmacniacza różnicowego (odejmującego), nazywany zamiennie klasycznym
wzmacniaczem różnicowym lub wzmacniaczem pomiarowym. Jest on przeznaczony do
98
bardziej wymagających zastosowań, ponieważ układ ten zapewnia bardzo dużą rezystancję
wejściową oraz doskonale tłumi sygnał współbieżny, jednocześnie mocno wzmacniając
sygnał różnicowy. Regulację wzmocnienia można uzyskać przy pomocy tylko jednego
opornika
. Schemat układu znajduje się na rysunku 5.2.10.1.
Rys. 5.2.10.1 Schemat wzmacniacza pomiarowego na trzech wzmacniaczach operacyjnych
W prawej części obwodu z rysunku 5.2.10.1 znajduje się wzmacniacz odejmujący. Problem
polega jednak na tym, w jaki sposób połączyć lewą część z prawą. W tym celu warto nieco
przerysować schemat, tj. tak jak na ilustracji 5.2.10.2.
99
Rys. 5.2.10.2 Schemat wzmacniacza pomiarowego na trzech wzmacniaczach operacyjnych z oznaczeniem
rozpływu prądu i napięciami
Poszczególnymi kolorami zaznaczono obszary o takim samym potencjale (napięciu).
Korzystając z metody węzłowej, wyliczymy prądy płynące w obwodzie:
Dodatkowo prąd płynący przez cały obwód (sumując rezystancje):
Jeśli z wzoru 5.2.10.1 weźmiemy tylko składnik środkowy i połączymy go z wzorem 5.2.10.2
to otrzymamy:
Jeśli teraz odwołamy się do wzoru na odpowiedź wzmacniacza odejmującego (wzór 5.2.7.8):
100
To otrzymamy odpowiedź wzmacniacza pomiarowego (pod warunkiem, że
):
5.3 FILTRY AKTYWNE
Lorem ipsum
5.3.1
DOLNOPRZEPUSTOWY (low-pass filter)
Lorem ipsum.
5.3.2
GÓRNOPRZEPUSTOWY (high-pass filter)
Lorem ipsum.
5.3.3
ARCHITEKTURA SALLEN-KEY (Sallen-Key topology)
Ogólna struktura układu w topologii Sallen-Key wygląda jak na rysunku 5.3.3.1. Chcąc
stworzyć filtr mający konkretne właściwości i typ, trzeba odpowiednio dobrać zarówno rodzaj
elementów, jak i ich parametry.
Rys. 5.3.3.1 Schemat filtru w uogólnionej architekturze Sallen-Key
101
By obliczyć wzmocnienie układu musimy zauważyć, że napięcie na końcówce z plusem
jest tak naprawdę napięciem na wyjściu obwodu
. Rozpisując rozpływ prądów w
obwodzie otrzymujemy:
Proszę zwrócić uwagę, że prąd
płynący zarówno przez
alternatywnie moglibyśmy napisać
Potrzebujemy teraz pozbyć się potencjału
jak i
jest taki sam, więc
lub ponownie z użyciem potencjału masy:
z równania, stąd skorzystamy z impedancyjnego
dzielnika napięcia:
Łącząc oba równania otrzymujemy:
5.3.4
.
FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY II RZĘDU SALLEN-KEY
Co oznacza, że
102
Rys. 5.3.4.1 Schemat filtru dolnoprzepustowego w architekturze Sallen-Key
Wykorzystując wyprowadzony wcześniej ogólny wzór 5.3.3.8 podstawiamy
,
i
:
Szukamy częstotliwości rezonansowej
:
6 TRANSFORMATA Z
Lorem ipsum
103
,
7 TRANSFORMATA FOURIERA
7.1 CZYM JEST TRANSFORMATA FOURIERA?
Jest to zasadnicze pytanie, które należy zadać zaraz przed zagłębieniem się w istotę problemu.
Weźmy prosty przykład – rejestracja sygnału elektrycznego pochodzącego z serca to
elektrokardiografia, czyli EKG (ang. electrocardiography, ECG). Lekarz, który ogląda
elektrokardiogram, czyli wynik badania, otrzymuje jedynie informacje o zmianach
potencjałów w czasie. Na podstawie tych informacji wnioskuje o stanie serca. Czasem jednak
zdarza się, że sygnał, który otrzymujemy jest mocno zniekształcony szumem. By usunąć
pewne zawirowania, można zastosować na przykład filtr medianowy, bądź uśrednianie
próbek. Niestety, tego typu metoda nie poradzi sobie dobrze z zakłóceniami pochodzącymi z
sieci energetycznej. Prąd, który płynie w gniazdku jest powodem, iż wynik EKG zaczyna
„płynąć” (ang. floating baseline, czyli zniekształcenie izolinii na badaniu). Jak sobie z tym
poradzić? Dobrze by było wiedzieć, jakiej częstotliwości jest sygnał zakłócający – czy
posiadamy takie informacje? Owszem, w Polsce prąd ma częstotliwość 50 Hz, natomiast w
USA i Japonii to 60 Hz. Pytanie jednak co z tym dalej zrobić? Przydałoby się znaleźć sposób,
by wyliczyć jakie częstotliwości są w sygnale EKG, a następnie usunąć niepotrzebne z nich.
W tym celu można zastosować transformatę Fouriera:
Dlaczego w FFT mamy e^-jwt? bowiem licząc całkę tylko dla cosinusa nie mamy możliwości
przesuniecia go w fazie. podobny problem jest z sinusem. rewolucja fouriera polega na
monitorowaniu nie tylko częstotliwości sinusa, ale także jago przesunięcia w fazie
104
Koncepcja STFT jest już znana – cytując Conceptual Wavelets… D. Lee Fugala, są nimi
nuty, bowiem dają nam zarówno informację na temat częstotliwości dźwięku (jego wysokość)
oraz o jego położeniu w czasie.
7.2 KWESTIA ROZDZIELCZOŚCI
Lorem ipsum
7.3 PERIODOGRAM LOMB-SCARGLE’a
Mamy sytuację, w której kłopoty są następujące – sygnał jest nierównomiernie próbkowany, a
do tego stosunkowo krótki, zaś my potrzebujemy w miarę dobrej rozdzielczości jeśli chodzi o
częstotliwość. Co w takim momencie zrobić? Jednym z rozwiązań jest interpolowanie
sygnału (liniowo, parabolicznie lub innym wielomianem), a następnie uzupełnienie zerami do
potrzebnej długości przy danym próbkowania i liczymy FFT. Niestety rozwiązanie to nie da
nam satysfakcjonujących rezultatów z powodów omówionych już wcześniej – dodawanie zer
nie powoduje rzeczywistego wzrostu rozdzielczości przez brak wkładu w większą ilość
informacji o sygnale.
Alternatywnym rozwiązaniem jest periodogram metodą Lomba z 1976 roku. Drugi człon w
nazwie pochodzi od pana Scargle, który dokonał później istotnych modyfikacji w 1982 roku.
Warto jednak wspomnieć, że sama metoda Lomba jest uproszczeniem metody Petra Vaníčeka
z 1971 roku, a sam algorytm zalicza się do grupy LSSA, czyli analiza spektralna metodą
najmniejszych kwadratów (ang. Least Squares Spectral Analysis).
Sama metoda jest stosunkowo prosta, aczkolwiek obliczeniowo dość kosztowna. Pozwala
jednak na analizę nierównomiernie próbkowanych danych, co bardzo ułatwia pracę. Na
początek ustalamy jakąś częstotliwość , dla której chcemy policzyć moc. Wyliczamy dla niej
opóźnienie czasowe tau . Przypominam, że pulsacja to
.
105
Normalizowany Lomb z wariancją: http://w3eos.whoi.edu/12.747/notes/lect07/l07s05.html
Generalizowany Lomb: http://bayes.wustl.edu/glb/lomb.pdf
Szybkie algorytmy Lomb-Scargle’a:
http://www.astro.wisc.edu/~townsend/resource/publications/offprints/gpu-period.pdf
106