Wykład 25 Kwantowa natura promieniowania.
advertisement
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1 Wykład 25 Kwantowa natura promieniowania. 10.1 Promieniowanie cieplne. Ciała zaczynają świecić, jeżeli podgrzać je do dostatecznie wysokich temperatur. Świecenie ciał, które spowodowane jest nagrzewaniem, nazywa się promieniowaniem cieplnym (temperaturowym). Promieniowanie cieplne jest promieniowaniem elektromagnetycznym. Jest ono jednym z najbardziej rozpowszechnionych zjawisk w przyrodzie, powstaje w wyniku ruchu cieplnego cząsteczek i atomów substancji (tzn. kosztem energii wewnętrznej ciała) i jest charakterystyczne dla wszystkich ciał mających temperaturę wyższą niż 0K. Promieniowanie cieplne ma widmo ciągłe częstości, a położenie maksimum tego widma zależy od temperatury. W wysokich temperaturach wypromieniowywane są fale elektromagnetyczne krótkie (widzialne i ultrafioletowe), w temperaturach niskich wysyłane są głównie fale dłuższe (podczerwone). Promieniowanie cieplne jest praktycznie jedynym rodzajem promieniowania, które możemy uważać za równowagowe. Załóżmy, że nagrzane ciało (promieniujące) umieszczone jest we wnęce, ograniczonej idealnie odbijającymi ściankami. Wraz z upływem czasu, w wyniku nieprzerwanej wymiany energii między ciałem i promieniowaniem, następuje stan równowagi, tzn. ciało w jednostce czasu pochłania tyle energii, ile wypromieniowuje. Przypuśćmy, że stan równowagi między ciałem, a promieniowaniem z jakiegoś powodu uległ naruszeniu i ciało wysyła więcej energii niż pochłania. Jeżeli w jednostce czasu ciało więcej promieniuje, niż pochłania (albo na odwrót), to temperatura ciała zacznie zmniejszać się (lub podwyższać). W wyniku tego ulegnie osłabieniu (albo wzrośnie) ilość energii wysyłanej przez ciało, tak długo, aż na koniec ustali się stan równowagi. Wszystkie inne rodzaje promieniowania są nierównowagowe. Do ilościowego scharakteryzowania promieniowania cieplnego służy widmowa (spektralna) zdolność emisyjna ciała – moc promieniowania jednostki powierzchni ciała w przedziale jednostkowym częstości: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki R ,T 2 dWprom , d , gdzie dWprom , - energia promieniowania elektromagnetycznego wysyłanego w jednostce czasu (moc promieniowania), z jednostki powierzchni w przedziale częstości ν, ν + Δν. Jednostką widmowej zdolności emisyjnej jest dżul na metr do kwadratu na sekundę (J/(m2s)). Zdolność emisyjną można przedstawić w postaci funkcji długości fali, ponieważ dWprom , R ,T d R ,T d . Ponieważ c , to d c 2 2 , d c gdzie znak minus wskazuje, że wraz ze wzrostem jednej z wielkości (ν lub λ) druga wielkość maleje. Dlatego też dalej znak minus będzie opuszczany. W ten sposób R , T R ,T 2 . c 10.1 Za pomocą 10.1 można przejść od Rν,T do Rλ,T i na odwrót. Jeżeli znamy zdolność emisyjną dla każdej części widma, to można obliczyć całkowitą zdolność emisyjną (mówimy krótko zdolność emisyjna ciała), sumując po wszystkich częstościach): R T R ,T d 10.2 Zdolność ciał do pochłaniania padającego na nie promieniowania jest scharakteryzowane spektralną (widmową) zdolnością absorpcyjną: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki A ,T 3 dWpoch , d dW , d , która pokazuje, jaka część energii fal elektromagnetycznych z przedziału częstości ν, ν +dν, dochodzącej w jednostce czasu do jednostkowej powierzchni ciała dWν.ν+dν, jest pochłaniana przez ciało. Zdolność absorpcyjna jest wielkością bezwymiarową. Rν,T i Aν,T zależą od natury ciała, jego temperatury termodynamicznej i różnią się w zależności od częstości promieniowania. Dlatego też, wielkości te są podawane dla określonych temperatur i częstości (dokładniej: dla dostatecznie wąskiego przedziału częstości od ν do ν +dν) i nazywają się również spektralną gęstością promieniowania Rν,T i i spektralną zdolnością absorpcyjną Aν,T. Ciało, które jest zdolne do całkowitego pochłaniania promieniowania dla wszystkich częstości dla dowolnej temperatury nazywa się ciałem doskonale czarnym. W rezultacie zdolność absorpcyjna ciała doskonale czarnego jest równa 1 dla wszystkich częstości i temperatur ( A cz ,T 1 ). Ciała doskonale czarne w przyrodzie nie występują, jednak takie ciała jak sadza, czerń platynowa, czarny aksamit i niektóre inne materiały dla pewnych przedziałów częstości mają własności zbliżone do ciała doskonale czarnego. Rysunek 10.1 Idealnym modelem ciała doskonale czarnego jest zamknięta powierzchnia z niewielkim otworkiem O, której wewnętrzna powierzchnia jest zaczerniona (Rysunek 10.1). Promień światła padając do środka takiej powierzchni doznaje wielokrotnego odbicia od ścianek powierzchni, w rezultacie czego natężenie wychodzącego promieniowania jest praktycznie równe zeru. Doświadczenie pokazuje, że dla otworu mniejszego niż 0,1 powierzchni wpadające promieniowanie jest praktycznie w całości pochłaniane. Konsekwencją tego jest fakt, że otwarte okna domów od strony ulicy wydają się czarnymi, chociaż wewnątrz pokoju jest dostatecznie jasno w wyniku odbijania się promieni od ścian. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 4 Obok pojęcia ciała doskonale czarnego wprowadza się pojęcie ciała szarego – ciała, którego zdolność absorpcyjna jest mniejsza od jedności, za to jednakowa dla wszystkich częstości i zależy tylko od temperatury. Tak więc, dla ciała szarego A sz ,T A T const 1 . Badania promieniowania cieplnego odegrały ważną role w stworzeniu teorii kwantowej światła, dlatego musimy przeanalizować prawa, którym promieniowanie to podlega. 10.2 Prawo Kirchhoffa. Kirchhoff opierając się na drugiej zasadzie termodynamiki i analizując warunki promieniowania izotropowych ciał znajdujących się w stanie równowagi termicznej, określił ilościową zależność między spektralną zdolnością emisyjną i spektralną zdolnością absorpcyjną ciał. Stosunek spektralnej zdolności emisyjnej do spektralnej zdolności absorpcyjnej nie zależy od natury ciała; jest on dla wszystkich ciał uniwersalną funkcją częstości (długości fali) i temperatury (prawo Kirchhoffa) R ,T A ,T r ,T 10.3 Dla ciała doskonale czarnego 𝐀𝐜𝐳 𝛎,𝐓 ≡ 1, dlatego też z prawa Kirchhoffa wynika, że 𝐑 𝛎,𝐓 jest równa 𝐫𝛎,𝐓 . Wynika stąd, że uniwersalna funkcja Kirchhoffa jest po prostu spektralną zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego. W rezultacie, zgodnie z prawem Kirchhoffa, dla wszystkich ciał stosunek spektralnej zdolności emisyjnej do spektralnej zdolności absorpcyjnej jest równy spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego dla danej temperatury. Z prawa Kirchhoffa wynika, że spektralna zdolność emisyjna dowolnego ciała w dowolnej części widma jest zawsze mniejsza od spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego (dla tych samych wartości T i ν), ponieważ Aν,T < 1, to RνT <rν. Oprócz Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 5 tego z 10.3 wynika, że jeżeli ciało nie pochłania fal elektromagnetycznych jakiejś częstości, to również nie emituje fal o tej częstości Aν,T = 0, RνT = 0. Wykorzystując prawo Kirchhoffa wyrażenie na całkowitą zdolność emisyjną ciała można zapisać w postaci: R T A ,T r ,T d . 0 Dla ciała szarego R A T r ,T d A T R e , sz T 10.4 0 gdzie 𝐑𝐞 = ∞ 𝐫 𝐝𝛎 𝟎 𝛎,𝐓 10.5 - Re całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego (zależy tylko od temperatury). Prawo Kirchhoffa opisuje tylko promieniowanie cieplne, będąc na tyle charakterystycznym dla niego, że może służyć jako kryterium określającym naturę promieniowania. Promieniowanie, które nie spełnia prawa Kirchhoffa nie jest promieniowaniem cieplnym. 10.3 Prawa Stefana – Boltzmanna i przesunięć Wiena. Z prawa Kirchhoffa wynika (patrz 10.3), że spektralna zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest uniwersalną funkcją, dlatego też znajdowanie jej jawnej zależności od częstości i temperatury jest ważnym zadaniem teorii promieniowania cieplnego. Austriacki fizyk J. Stefan analizując dane eksperymentalne i Boltzmann stosując metody termodynamiczne rozwiązali to zadanie tylko częściowo, ustalając zależność między całkowitą zdolnością emisyjną, a temperaturą. Zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 6 R e T 4 , 10.6 Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury termodynamicznej; σ stała Stefana – Boltzmanna; jej wartość rλT wyznaczona eksperymentalnie jest równa 5,67 10 8 W / m 2 K . Rysunek 10.2 Prawo Stefana – Boltzmanna, określając zależność Re od temperatury, nie daje odpowiedzi na to jaki jest skład widmowy ciała doskonale czarnego. Z krzywych doświadczalnych zależności funkcji rλ,T ( r ,T c r ,T ) od długości fali λ dla różnych temperatur (Rysunek 2 10.2) wynika, że rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego jest nierównomierny. Wszystkie krzywe mają wyraźnie wydzielone maksima, które w miarę zwiększania się temperatury przesuwają się w stronę fal krótszych. Pole powierzchni ograniczone krzywą zależności rλ,T od λ i osią odciętych jest proporcjonalne do zdolności emisyjnej Re i w rezultacie, zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna, do czwartej potęgi temperatury. Niemiecki fizyk Wien, w oparciu o prawa termo- i elektroprzewodnictwa, ustalił zależność między długością fali λmax, odpowiadającą maksimum funkcji rλ,T, a temperaturą. Zgodnie z prawem Wiena, max b , T 10.7 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 7 Długość fali λmax, odpowiadająca maksymalnej wartości spektralnej zdolności emisyjnej rλ,T ciała doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalna do jego temperatury termodynamicznej, b – stała Wiena; jej wartość wyznaczona doświadczalnie wynosi 2,9 10 3 m K . Wyrażenie 10.7 dlatego często nazywa się prawem przesunięć Wiena. Prawo Wiena wyjaśnia dlaczego w miarę zmniejszania się temperatury nagrzanych ciał w ich widmie coraz silniej zaczyna dominować promieniowanie o falach długich (na przykład zmiana białego żaru w czerwony podczas ostygania metalu). Pomimo, iż prawa Stefana – Boltzmanna i Wiena odgrywają ważną rolę, są one tylko prawami częściowymi – nie dają ogólnego obrazu rozkładu energii w zależności od częstości dla różnych temperatur. 10.4 Wzory Rayleigha – Jeansa i Plancka. Z analizy praw Stefana – Boltzmanna i Wiena wynika, że podejście termodynamiczne w celu znalezienia uniwersalnej funkcji Kirchhoffa rλ,T nie dało pożądanych rezultatów. Pierwsza dokładna próba wyprowadzenia teoretycznej zależności rλ,T została podjęta przez angielskich uczonych Rayleigha i Jeansa, którzy zastosowali do promieniowania cieplnego metody fizyki statystycznej, korzystając z klasycznego prawo równomiernego podziału energii na stopnie swobody. Wzór Rayleigha – Jeansa na spektralną zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego ma postać r ,T 2 2 kT, c2 10.8 gdzie k – stała Boltzmanna. Wg Rayleigha-Jeansa Wg Wiena Rysunek 10.3 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 8 Jak pokazało doświadczenie, wyrażenie 10.8 zgadza się z danymi eksperymentalnymi tylko w obszarze małych częstości i wysokich temperatur. W obszarze dużych częstości wzór Rayleigha – Jeansa bardzo wyraźnie różni się od danych doświadczalnych i prawa Wiena (Rysunek 10.3). Oprócz tego okazało się, że próba otrzymania prawo Stefana – Boltzmanna z prawa Rayleigha – Jeansa prowadzi do absurdu. Rzeczywiście, obliczenie ze wzoru 10.8 zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego R e r ,T d 0 2kT 2 d , c 2 0 gdy tymczasem zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna Re jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Wynik ten został nazwany „katastrofą ultrafioletową”. Tak więc, na bazie teorii klasycznej nie udało się wyprowadzić praw rządzących rozkładem energii w zależności od częstości promieniowania cieplnego. Prawidłowe, zgodne z danymi eksperymentalnymi wyrażenie na spektralną zdolność emisyjną podał w 1900 roku niemiecki fizyk Max Planck. W tym celu musiał on odejść od klasycznego podejścia fizyki, w myśl którego energia dowolnego układu może zmieniać się w sposób ciągły, tzn. może przyjmować dowolnie bliskie wartości. Zgodnie z zaproponowaną przez Plancka hipotezą kwantową, oscylatory atomowe wysyłają energię nie w sposób ciągły, a określonymi porcjami – kwantami, przy czym energia kwantu proporcjonalna jest do częstości drgań: 0 h hc , 10.9 gdzie h 6,625 1034 J s - stała Plancka. Ponieważ energia jest wysyłana porcjami, to energia oscylatora ε może przyjmować tylko określone dyskretne wartości, będące wielokrotnością elementarnej porcji energii ε0: nh (n = 0, 1, 2, ...) Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 9 Stosując metody statystyczne i kwantowe podejście do promieniowania cieplnego, M. Planck wyprowadził wzór na uniwersalną funkcję Kirchhoffa r ,T 2 2 h , 2 h / kT c e 1 10.10 która w sposób doskonały zgadzała się z danymi eksperymentalnymi dotyczącymi rozkładu energii w widmie ciała doskonale czarnego w zależności od wszystkich częstości od 0 do i dla różnych temperatur. M. Planck przedstawił teoretyczny dowód tego wzoru na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego 14 października 1900 roku. Dzień ten można uważać za datę narodzin fizyki kwantowej. W obszarze niskich częstości tzn. gdy hν << kT (energia kwantu jest znacznie mniejsza od energii ruchu cieplnego kT), wzór Plancka 10.10 pokrywa się ze wzorem Rayleigha – Jeansa 10.8. Aby to pokazać rozłóżmy funkcję eksponencjalną w szereg ograniczając się tylko do dwu pierwszych wyrazów: e h / kT 1 h , kT e h / kT 1 h . kT Podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru 10.10 otrzymamy r ,T 2 2 h 2 2 2 2 kT , c h / kT c czyli wzór Rayleigha – Jeansa 10.8. Ze wzoru Plancka można otrzymać prawo Stefana – Boltzmanna. Zgodnie z 10.5 0 0 R e r ,T d 2 2 h d . 2 h / kT c e 1 Wprowadźmy wielkość bezwymiarową x h / kT : dx hd / kT ; d kTdx / h . Wzór na Re przekształci się do postaci Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki Re 10 2k 4 4 x 3dx T x T 4 . 2 3 c h e 1 0 10.11 gdzie 2k 4 2 3 ch x 3dx 2 5 k 4 0 e x 1 15c 2 h 3 , ponieważ x 3dx 4 0 e x 1 15 . W ten sposób wzór Plancka pozwala rzeczywiście otrzymać prawo Stefana – Boltzmanna. Oprócz tego, podstawienie liczbowych wartości k, c, i h pokazuje, że obliczona stała Stefana – Boltzmanna pokrywa się z wielkością zmierzoną doświadczalnie. Prawo przesunięć Wiena można otrzymać ze wzorów 10.1 i 10.10: r ,T c 2c 2 h 1 , 2 r ,T 5 hc / kT e 1 skąd hc hc / kT e 2c 2 h kThc/ kT 6 hc / kT 5 . e 1 e 1 r ,T Wartość λmax, dla której funkcja osiąga maksimum, znajdziemy przyrównując do zera tę pochodną. Wprowadzając podstawienie x hc / kT max , otrzymamy równanie xe x 5 e x 1 0 . Rozwiązanie tego ogólnego równania metodą kolejnych przybliżeń daje x = 4,965. W rezultacie hc / kT max 4,965 , skąd T max hc / 4,965k b , Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 11 co jest równoważne prawu przesunięć Wiena 10.7. Z równania Plancka znając uniwersalne stałe h, k i c można obliczyć stałe Stefana – Boltzmanna σ i Wiena b. z drugiej strony znając doświadczalne wartości σ i b można obliczyć wartości h i k (właśnie w taki sposób po raz pierwszy obliczono wartość stałej Plancka). W ten sposób, wzór Plancka nie tylko dobrze zgadza się z danymi doświadczalnymi, ale zawiera w sobie częściowe prawa promieniowania cieplnego, a także pozwala na wyliczenie stałych występujących w prawach promieniowania cieplnego. W rezultacie, wzór Plancka jest pełnym rozwiązaniem podstawowego problemu promieniowania cieplnego przedstawionego przez Kirchhoffa. Rozwiązanie tego problemu stało się możliwe dzięki rewolucyjnej kwantowej hipotezie Plancka. 10.5 Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Hipoteza Plancka, pozwalająca w sposób doskonały zjawisko promieniowania cieplnego ciała doskonale czarnego, została potwierdzona i rozwinięta dalej podczas wyjaśniania natury zjawiska fotoelektrycznego – zjawiska, którego odkrycie i wyjaśnienie odegrało dużą rolę w stworzeniu teorii kwantowej. Zjawiskiem fotoelektrycznym zewnętrznym nazywa się wysyłanie elektronów z powierzchni substancji pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego. Zjawisko fotoelektryczne obserwuje się ciałach stałych (metalach, półprzewodnikach, dielektrykach), jak również w gazach. Zjawisko fotoelektryczne zostało odkryte przez Henryka Herza w 1887 roku, który obserwował zwiększenie procesu rozładowywania podczas oświetlania przerwy iskrowej światłem ultrafioletowym. Ogólny schemat do obserwacji zjawiska fotoelektrycznego przedstawiony jest na rysunku 10.4. Dwie elektrody: katoda i anoda podłączone są w rurce próżniowej do baterii w ten sposób, że za pomocą potencjometru R można zmieniać zarówno wartość, jak i znak przyłożonego do nich napięcia. Prąd powstający Rysunek 10.4 podczas oświetlania katody światłem monochromatycznym jest mierzony za pomocą włączonego w obwód miliwoltomierza. Oświetlając katodę światłem o różnych długościach fal obserwuje się następujące prawidłowości 1) najbardziej efektywne działanie okazują fale nadfioletowe, 2) pod wpływem Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 12 światła substancja traci tylko ładunek ujemny, 3) natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do natężenia światła. W 1899 roku niemiecki fizyk P. Lenard i J.J.Thomson za pomocą metody odchylania ładunków w polu elektrycznym i magnetycznym określili ładunek cząstek, wbijanych przez światło z katody, udowadniając, że cząsteczkami tymi były elektrony. Rysunek 10.5 Przedstawione na rysunku 10.4 urządzenie pozwala badać charakterystyki napięciowoprądowe zjawiska fotoelektrycznego – zależność prądu fotoelektrycznego I, wytworzonego przez strumień elektronów wysyłanych z katody od napięcia U między elektrodami. Taką zależność przedstawiono na rysunku 10.5. Oczywiście taka charakterystyka mierzona jest dla stałego natężenia padającego światła. Z krzywej tej widać, że przy pewnym niezbyt dużym napięciu prąd fotoelektryczny osiąga stan nasycenia – wszystkie emitowane przez katodę elektrony dochodzą do anody. Zatem natężenie prądu nasycenia In określone jest przez liczbę elektronów emitowanych pod wpływem światła przez katodę w jednostce czasu. Łagodnie nachylona część krzywej wskazuje na to, że elektrony wylatują z różnymi co do wartości prędkościami. Elektrony odpowiadające prądowi dla U = 0 mają prędkości wystarczające na to, by samodzielnie” dolecieć do katody. Aby natężenie prądu było równe zeru, należy przyłożyć napięcie hamujące Uh. Przy takim napięciu ani jeden elektron – mający nawet podczas opuszczania katody największą prędkość nie dotrze do anody. Można zatem napisać 1 mv 2m eU h , 2 gdzie m – masa elektronu. Mierząc zatem napięcie hamujące Uh można wyznaczyć maksymalną prędkość fotoelektronów. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 13 Przed 1905 r. stwierdzono, że maksymalna prędkość fotoelektronów nie zależy od natężenia światła, a jedynie od jego częstości – zwiększenie częstości prowadzi do wzrostu prędkości. Ustalone doświadczalnie zależności nie zgadzały się z klasyczną teorią falową. Na przykład, zgodnie z klasycznymi teorią falową: 1. Prędkość fotoelektronów powinna wzrastać wraz z amplitudą (a zatem i natężeniem) fali elektromagnetycznej. 2. Światło o dowolnej częstości powinno wywoływać efekt fotoelektryczny. 3. Powinno istnieć pewne opóźnienie zachodzenia zjawiska związane z czasem potrzebnym do zgromadzenia dostatecznie dużej energii, aby elektron mógł wyrwać się z katody. Jak wykazał w 1905 roku A. Einstein, wszystkie cechy zjawiska fotoelektrycznego można łatwo wyjaśnić, jeżeli założy się, że światło jest pochłaniane takimi samymi porcjami h (kwantami) jakimi – według hipotezy Plancka – jest ono emitowane. Według Einsteina energia uzyskana przez elektron jest dostarczona w postaci pochłoniętego w całości kwantu h . Część tej energii, równa pracy wyjścia W, zużywana jest na to, by elektron mógł opuścić ciało. Jeżeli światło uwalnia elektron nie przy samej powierzchni katody, a na pewnej głębokości, to część energii E’ może być tracona wskutek przypadkowych zderzeń wewnątrz materiału katody. Reszta energii przekształca się w energię kinetyczną Ek elektronu opuszczającego powierzchnię. Energia kinetyczna jest maksymalna, gdy E’ = 0. W takim przypadku powinna być spełniona zależność h 1 mv 2m W 2 10.12 znana jako równanie Einsteina. Ze względu na trudności w otrzymaniu czystej powierzchni metalu dość długo nie można było potwierdzić eksperymentalnie równania Einsteina. W 1916 roku R. Millikan przeprowadził dokładne pomiary i mierząc W i 1 mv 2m dla danej częstości światła ν 2 wyznaczył wartość stałej Plancka h; okazała się ona zgodna z liczbami otrzymanymi na Pracą wyjścia nazywamy najmniejszą energię, jaką należy nadać elektronowi, aby usunąć z powierzchni metalu do próżni. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki podstawie rozkładu 14 widmowego zrównoważonego promieniowania cieplnego oraz krótkofalowej granicy rentgenowskiego promieniowania hamowania. Ze wzoru 10.12 wynika, że w przypadku gdy praca wyjścia W jest większa od kwantu hν, to elektrony nie mogą opuścić metalu. Zatem, aby powstało zjawisko fotoelektryczne, musi być spełniony warunek hν >W lub 0 W , h 10.13 a dla długości fali otrzymamy analogiczny warunek 0 hc W 10.14 Częstość ν0 (lub długość fali λ0) nosi nazwę czerwonej granicy zjawiska fotoelektrycznego. Liczba elektronów uwolnionych w zjawisku fotoelektrycznym powinna być proporcjonalna do liczby kwantów światła padającego na powierzchnię katody. Również strumień świetlny Φ określony jest przez liczbę kwantów światła (fotonów) padających na powierzchnię w jednostce czasu. Zgodnie z tym prąd nasycenia In powinien być proporcjonalny do padającego strumienia światła: In ~ . 10.15 Zależność ta również została potwierdzona doświadczalnie. Zauważmy, że tylko niewielka część kwantów przekazuje swoją energię fotoelektronom. Energia pozostałych kwantów tracona jest na nagrzewanie ciała pochłaniającego światło. 10.6 Masa i pęd fotonu. Ciśnienie światła. Zgodnie z hipotezą Einsteina dotyczącą kwantów światła, światło jest wysyłane, pochłaniane i rozprzestrzenia się w postaci porcji energii (kwantami), zwanymi fotonami. Energia fotonu wynosi 0 h . Jego masę możemy obliczyć korzystając z prawa równoważności i energii: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki mf 15 h c2 10.16 Foton jest cząstką elementarną, która zawsze (w dowolnym ośrodku) porusza się z prędkością światła i ma masę spoczynkową równą zeru. W związku z tym masa fotonu różni się od masy takich cząstek elementarnych, jak elektron, proton i neutron, które posiadają różną od zera masę spoczynkową i mogą znajdować się w stanie spoczynku. Pęd fotonu p, zgodnie z teorią względności wynosi pf 0 h c c 10.17 Z przytoczonych rozważań wynika, że foton, jak każda inna cząstka, jest scharakteryzowana przez energię, pęd i masę. Związki 0 h , 10.16 i 10.17 wiążą własności korpuskularne fotonów z własnościami falowymi światła – jego częstością ν. Jeżeli fotony posiadają pęd, to światło padając na ciało powinno wywierać na nie ciśnienie. Z punktu widzenia teorii kwantowej, ciśnienie światła na powierzchnię spowodowana jest tym, że każdy foton podczas zderzenia z powierzchnią przekazuje jej swój pęd. Obliczmy, z punktu widzenia teorii kwantowej, ciśnienie wywierane na powierzchnię przez strumień promieniowania monochromatycznego padającego prostopadle do powierzchni. Jeżeli w jednostce czasu na jednostkę powierzchni ciała pada N fotonów, to dla współczynnika odbicia ρ światła od powierzchni ciała ρN fotonów ulegnie odbiciu, a (1-ρ)N ulegnie pochłonięciu. Każdy pochłonięty foton przekazuje powierzchni pęd pf h / c , a każdy odbity 2p f 2h / c . Ciśnienie światła na powierzchnię jest równa pędowi, który jest przekazywany powierzchni jednostkowej w ciągu 1s przez N fotonów: p 2h h 1 N 1 h N . N c c c Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 16 Nh E e jest energią wszystkich fotonów, padających na jednostkę powierzchni w jednostce czasu, a E e / c w - gęstość objętościowa energii promieniowania. Dlatego ciśnienie wywierane przez światło podczas prostopadłego padania światła na powierzchnię p Ee 1 w (1 ) . c 10.18 Wzór 10.18 wyprowadzony na podstawie opisu kwantowego, pokrywa się z wyrażeniem otrzymanym na podstawie elektromagnetycznej (falowej) teorii Maxwella (patrz wykład 20). W ten sposób ciśnienie światła równie dobrze wyjaśnia się na gruncie teorii falowej, jak i korpuskularnej. 10.7 Zjawisko Comptona. W sposób najbardziej pełny i przejrzysty korpuskularne własności światła przejawiają się w zjawisku Comptona. Fizyk amerykański A. Compton badając w 1923 roku rozproszenie monochromatycznych promieni rentgenowskich w substancjach posiadających lekkie atomy (parafina, bor), odkrył, że w składzie promieniowania rozproszonego o początkowej długości fali obserwuje się także promieniowanie o długościach fal dłuższych. Doświadczenie pokazało, że różnica ' nie zależy od długości fali promieniowania padającego λ i rodzaju substancji rozpraszającej promieniowanie, a jest określona tylko wielkością kąta rozproszenia θ: ' 2 C sin 2 / 2 10.19 gdzie λ’ – długość fali rozproszonej, λC – komptonowska długość fali (dla rozpraszania fali na elektronie λC = 2,426pm). Zjawiskiem promieniowania Comptona nazywa elektromagnetycznego się sprężyste (rentgenowskiego rozproszenie i krótkofalowego promieniowania γ) na swobodnych, albo słabo związanych elektronach substancji, któremu towarzyszy zwiększenie długości fali. Zjawisko to nie daje się wyjaśnić na gruncie falowej natury światła, według Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 17 której długość fali pod wpływem rozproszenia nie powinna się zmieniać: pod wpływem okresowego pola fali świetlnej elektron drga z częstością pola i dlatego promieniuje rozproszone fale o tej samej częstości. Rysunek 10.6 Zjawisko Comptona da się wyjaśnić na podstawie kwantowej natury światła. Jeżeli uważać, jak zakłada teoria kwantowa, że promieniowanie ma charakter korpuskularny, tzn. jest strumieniem fotonów, to efekt Comptona jest wynikiem sprężystego zderzenia fotonów rentgenowskich z swobodnymi elektronami substancji. W wyniku takiego zderzenia foton przekazuje część swojej energii i pędu zgodnie z zasadami zachowania. Rozpatrzmy zderzenie sprężyste dwóch cząstek (Rysunek 10.6) – padającego fotonu, posiadającego pęd pf h / c i energię f h ze spoczywającym swobodnym elektronem (energia spoczynkowa E 0 m 0 c 2 ; m0 – masa spoczynkowa elektronu). Foton zderzając się z elektronem przekazuje mu część swojej energii i pędu i zmienia kierunek ruchu (rozproszenia). Zmniejszenie energii fotonu oznacza oczywiście zwiększenie długości fali promieniowania rozproszonego. Niech pęd i energia fotonu rozproszonego będą równe p'f h' / c i ' h' . Elektron, który wcześniej znajdował się w spoczynku otrzymuje pęd p mv i energię E mc 2 i zaczyna się poruszać. Podczas każdego takiego zderzenia spełniona jest zasada zachowania energii i pędu. Zgodnie z zasadą energii E 0 f E 'f , 10.20 a zgodnie z zasadą zachowania pędu pf pe p'f . 10.21 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 18 Podstawiając do wzoru 10.20 wartości odpowiednich wielkości i zapisując zasadę zachowania pędu 10.21 zgodnie z rysunkiem 10.6, otrzymujemy: m0 c 2 h mc 2 h' , mv 2 h2 h h' 2 2 ' cos c c c 2 10.22 2 10.23 Masa elektronu odrzutu związana jest z jego prędkością wyrażeniem m m 0 / 1 v / c . 2 Podnosząc równanie 10.22 do kwadratu, a następnie wyliczając z niego 10.23 z uwzględnieniem wzoru na masę, otrzymamy m0 c 2 ' h ' 1 cos . Ponieważ h / , ' h / ' i ' , to otrzymamy h 1 cos 2h sin 2 . m0c m0c 2 10.26 Wyrażenie 10.26 jest właśnie wzorem otrzymanym doświadczalnie przez Comptona (10.21). Podstawiając do tego wyrażenia h, m0, c otrzymujemy komptonowską długość fali - C h / m0 c 2,426pm. Obecność w zestawie rozproszonego światła o nieprzesuniętej linii (promieniowania o początkowej długości fali) można wyjaśnić w następujący sposób. Podczas rozpatrywania mechanizmu rozproszenia fali zakładaliśmy, że foton zderza się tylko ze swobodnym elektronem. Jednak jeżeli elektron jest silnie związany z atomem, jak ma to miejsce dla elektronów wewnętrznych, to foton wymienia się energią i pędem z całym atomem. Ponieważ masa atomu w porównaniu z masą elektronu jest bardzo duża, to atom uzyskuje tylko minimalną wartość energii fotonu. Dla tego też w tym przypadku długość fali λ’ promieniowania rozproszonego praktycznie nie będzie się różnić od długości fali padającej λ.
