IV MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY

WYBRANE ZADANIA Z POPRZEDNICH EDYCJI
MAŁOPOLSKIEGO KONKURSU MATEMATYCZNE DLA GIMNAZJALISTÓW
1. Oblicz.
5
5
5
5
a) 2001  2002  2000  2003 
19
19
19
19
b) Znajdź cyfrę jedności liczby 20032003.
2. Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826
podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.
3. Symbol n! gdzie n jest liczbą naturalną , oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1
do n. Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 i 1! = 1
a) Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 1!2!3!...  20! .
b) Znajdź największą liczbę naturalną n, dla której 25! jest podzielne przez 10 n .
Odpowiedzi uzasadnij.
4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej k > 3, liczba postaci k3 + 3k2 – 4k – 12 jest
iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.
5. Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek:
a2+ab+b2 > 0
6. Cena brutto kolorowej odbitki ksero wynosi 3,05 zł. W cenę tę wliczony jest 22% podatek
VAT. Przy zamówieniu większym niż 100 odbitek klient dostaje pewien rabat liczony od
ceny netto (bez podatku VAT) zamówienia. Ile procent wynosi rabat, jeżeli za 150
odbitek zapłacono 411,75 zł?
7. Rzekł Twardowski raz do żaka: „Niech umowa będzie taka: gdy przebiegniesz most ten
cały, zdwoję twoje kapitały, Ty zaś potem mi w nagrodę po 8 groszy rzucaj w wodę!”
Żaczek chętnie przez most leci raz i drugi, potem trzeci. Nagle woła: „ Jakaś zdrada! Ani
grosza nie posiadam!” Czy obliczysz – (wnet zobaczę) ile groszy (na początku) miał ten
żaczek?
8. Jeden stop zawiera dwa metale w stosunku 1:2, a drugi, te same dwa metale w stosunku
2:3. W jakim stosunku należy zmieszać te stopy, aby otrzymać stop zawierający te metale
w stosunku 17:27?
9. Trzeba 5,5 litra miodu rozlać do słoików o pojemności 0,5 litra i 0,75 litra nalewając do
pełna. Ile słoików i o jakiej wymienionej pojemności należy wykorzystać, aby zgromadzić
tę ilość miodu?
10. W klasie jest 32 uczniów.
a) Czy w tej klasie może być o 7 dziewcząt więcej niż chłopców? Odpowiedź uzasadnij.
b) Jaka liczba może być różnicą liczby dziewcząt i liczby chłopców w tej klasie? Wyznacz
wszystkie te liczby lub podaj ogólny warunek.
11. Jurek wybrał się na wycieczkę rowerową. Całą trasę podzielił na dwa odcinki równej
długości. Pierwszy odcinek pokonał z szybkością 30 km/h, a całą trasę ze średnią
szybkością 24 km/h. Oblicz, z jaką szybkością przejechał drugi odcinek trasy.
.
1
12. Dziedziną funkcji f jest zbiór tych liczb całkowitych dodatnich, dla których istnieje
225  n
wartość wyrażenia
. Funkcja f każdej liczbie n należącej do dziedziny
5
przyporządkowuje cyfrę jedności liczby 2 n  3 n .
a) Określ zbiór argumentów oraz zbiór wartości funkcji f.
b) Naszkicuj wykres funkcji dla argumentów niewiększych od 10.
c) Podaj wartość funkcji f dla argumentu n = 199.
x+
13. Funkcja f określona jest wzorem:
f(x) =
1
dla x ≤  3
2
x2 – 4 dla x   2,  1, 0, 1, 2 
 x + 6 dla x  3
a) narysuj wykres funkcji,
b) podaj wszystkie argumenty, dla których wartości tej funkcji spełniają warunek:
 4 < f(x) ≤ 1.
14. Funkcja f określona jest na zbiorze liczb naturalnych (N = {0,1,2,3,....}) wzorem:
n – 3, gdy n jest liczbą nieparzystą,
f(n) =
1
n, gdy n jest liczbą parzystą.
2
a) Oblicz wartość tej funkcji dla n = 5.
b) Czy podana funkcja ma miejsca zerowe? Odpowiedź uzasadnij.
c) Jaka jest najmniejsza, a jaka największa wartość tej funkcji (o ile istnieje)? Odpowiedź
uzasadnij.
d) Narysuj wykres tej funkcji dla 1 < n < 10.
15. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru A = 0,1,...17 resztę z dzielenia tej
liczby przez 7, a każdej liczbie ze zbioru B = 18,19,...31 resztę z dzielenia tej liczby
przez 5.
a) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
b) Czy prawdą jest, że dla każdej liczby x 14,15,16,17,18,19,20 zachodzi warunek
f x   f 1  f x  1 ? Odpowiedź uzasadnij.
c) Rozwiąż nierówność f ( x)  3 , gdy x  0,1,...31
16. Z dwóch przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD poprowadzono odcinki
prostopadłe do przekątnej AC. Odcinki te podzieliły przekątną na trzy części o
długościach: 4cm, 8cm, 4cm. Oblicz obwód prostokąta ABCD.
.
2
17. W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku BC, a punkt N jest środkiem boku AD.
Okrąg o środku N przechodzący przez punkt M przecina bok CD w punkcie P. Ile stopni
ma kąt PNM? Wykonaj odpowiedni rysunek.
18. Jeżeli każdy bok prostokąta zwiększymy o 2 cm, to jego pole wzrośnie o 18 cm2. O ile
cm2 zmieni się pole danego prostokąta, jeżeli każdy jego bok zmniejszymy o 1 cm?
19. Dany jest kwadrat o boku długości a. Na bokach tego kwadratu, na zewnątrz, zbudowano
trójkąty równoboczne. Wierzchołki kolejnych trójkątów, niebędące wierzchołkami danego
kwadratu połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego czworokąta. Wykonaj
odpowiedni rysunek pomocniczy.
20. Dany jest kwadrat ABCD oraz trójkąt równoboczny AED. Wyznacz miarę kąta BEC.
D
A
E
B
C
21. W trójkącie równoramiennym o obwodzie 10 cm, ramię ma długość x cm, a podstawa ma
długość y cm.
a) Opisz wzorem zależność między x i y.
b) Sporządź wykres funkcji, w której argumentowi x przyporządkowujemy wartość y.
22. Trójkąt równoboczny ABC o boku długości 5 podzielono na dwa trójkąty przystające
ADC i DBC. Oblicz odległość między środkami okręgów wpisanych w trójkąty ADC i
DBC.
23. W trójkącie ABC o bokach długości AB = 8, BC = 6, AC = 4 poprowadzono prostą
równoległą do boku AB i przecinającą pozostałe boki trójkąta w punktach D i E. Prosta
podzieliła trójkąt ABC na trójkąt CDE i trapez ABED o równych polach. Oblicz długości
boków trójkąta CDE.
24. Długości krawędzi prostopadłościanu, wyrażone w centymetrach, są liczbami
naturalnymi. Jedna ze ścian ma pole 18 cm2, a druga 45 cm2. Jakie wymiary może mieć
ten prostopadłościan?
25. Średnica AB i cięciwa CD tego samego okręgu przecinają się w takim punkcie K, że kąt
CKB ma 104o, a kąt środkowy wsparty na łuku BC ma 116 o. Oblicz miary kątów w
trójkątach ACK i KOC. Punkt O jest środkiem okręgu.
26. Beczka ma kształt walca o promieniu podstawy r i
wysokości 2r. Ustawiono ją jak na rysunku i nalano wody
tak, że sięga do wysokości równej połowie promienia. Jaką
część objętości beczki stanowi nalana woda?
.
3
 7 1

27. Iloczyn 

2


A. mniejszą od 1.
28. Liczba 2003
2003
 7 1

 

3


B. równą 1.
2003
jest liczbą
C. większą od 1 i mniejszą od 2.
D. równą 2.
17
17
17
17
 2004
 2002
 2005
jest
113
113
113
113
A. ujemna.
B. równa 0.
D. równa
C. równa 2.
29. Cyfra jedności liczby 5533 – 7717 jest równa
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
30. Odwrotność sumy odwrotności dodatnich liczb a i b jest równa
2
ab
ab
A.
B.
C.
ab
ab
ab
31. Liczba 2 40  1 nie jest podzielna przez
A. 1023
B. 33
C. 31
A. 1
B. 6
C. 4
D. a+ b
D. 29
32. Ile różnych dzielników ma liczba 23 . 34 . 55?
A. 4 . 5 . 6
B. 3 + 4 + 5
C. 3 . 4 . 5
33. 155 – tą cyfrą po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby
17
.
113
D. 2 + 3 + 5
7
jest
13
D. 5
34. Reszta z dzielenia liczby 7778 ∙ 7779 ∙ 7780 ∙ 7781 przez 7 jest równa
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
35. Wartość wyrażenia 2  411 + 3  412 + 8  410 jest równa wartości wyrażenia
D. 226
A. 13  410
B. 13  433
C. 7  411
36. Liczba
1
2 1
A. większa od 1.

1

1
jest
3 2 2 3
B. mniejsza od 1.
C. naturalna .
37. Wyrażenie 4x2 + 1 + 4x4 można zapisać w postaci
B. (2x2 + 1 )2
C. (2x + 1 )2
A. (2x2 + 2x)2
1 1 1
 
można otrzymać
x y
f
fy
f y
B. x =
C. x =
f y
fy
D. niewymierna.
D. (2x2 + 2)2
38. Wyznaczając x ze wzoru
A. x =
y f
fy
D. x =
fy
y f
39. Za dziesięć lat dwie siostry i dwaj bracia będą mieli razem 100 lat. Za pięć lat ich łączny
wiek będzie równy
A. 105 lat.
B. 120 lat.
C. 95 lat.
D. 80 lat.
.
4
40. W styczniu pensja pracownika wynosiła 1000 zł. W każdym kolejnym miesiącu pracy
pracownik otrzymywał dziesięcioprocentową podwyżkę. Pensja tego pracownika w
kwietniu wyniosła


A. 1000  1 
1

10 
3
B. 1200
C. 2000
41. Funkcja określona w R wzorem: f ( x) 
A. jest rosnąca, gdy m < 0.
D. 1000  1,13
mx  4
2
1
.
2
D. jest rosnąca, gdy m > 0.
B. jest malejąca, gdy m 
C. jest stała, gdy m =1.
42. Jeden z dwóch kątów, jakie tworzą o godzinie 820 wskazówki zegara, godzinowa i
minutowa, ma miarę
A. 90o
B. 130o
C. 120o
D. 135o
43. Który z poniższych rysunków nie przedstawia siatki sześcianu?
A.
B.
C.
D.
44. Wyspa ma kształt trójkąta różnobocznego. Punktem najbardziej oddalonym od morza jest
punkt przecięcia
A. wysokości trójkąta.
B. dwusiecznych kątów trójkąta.
C. symetralnych boków trójkąta.
D. środkowych trójkąta.
45. Każdy kąt dwunastokąta foremnego ma miarę
A.108o
B.120o
C.150o
D.180o
46. Temperatura topnienia lodu jest równa 32 w skali Fahrenheita, a temperatura wrzenia
wody jest równa 212 w tej samej skali. Zależność między temperaturą TC w skali
Celsjusza a temperaturą T F w skali Fahrenheita wyraża wzór
A. 5  TF  9TC  32 B. 9  TC  5TF  32 C. TC  TF
D. 5  TC  9  TF
47. Jeżeli S jest polem prostokąta, a 2p jego obwodem, to
A. p 2  4S
B. p 2  4S
C. p 2  3S
D. p 2  3S
48. Obszar A na mapie w skali 1:100 000 ma pole 4 cm2. Ten sam obszar na mapie w skali
1:80 000 ma pole równe
A. 5 cm2
B. 550 mm2
C. 6.5 cm2
D. 625 mm2
49. Punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej BC trójkąta prostokątnego
1
ABC, odcinek AO ma długość równą 10 , a odcinek AB długość 18.
2
Pole trójkąta ABC jest równe
C
O
B
A
A. 27 13
.
B. 30 13
C. 94,5
D. 189
5
50. Pięć pająków łapie pięć much w ciągu pięciu godzin. Zakładając, że każdy pająk łapie tyle
samo much w ciągu godziny, sto pająków łapie sto much w ciągu
A. 400 godzin.
B. 100 godzin.
C. 20 godzin.
D. 5 godzin.
51. Kąt wpisany w okrąg o promieniu r ma miarę 60o. Cięciwa, na której oparty jest ten kąt
ma długość równą
3
3
D. r
B. r
A. r 3
C. r
2
2
52. Średnica AB i cięciwa CD okręgu przecinają się w punkcie M. Kąt CMB ma miarę 75, a
kąt środkowy oparty na łuku BC miarę 58. Miara kąta ACD wynosi
A. 17
B. 37,5
C. 46
D. 29
53. Dwa okręgi styczne zewnętrznie są równocześnie styczne wewnętrznie do
trzeciego okręgu o promieniu 3 cm, jak na rysunku. Obwód trójkąta,
którego wierzchołkami są środki tych okręgów jest
A. mniejszy od 6 cm.
B. równy 6cm.
C. większy od 6 cm.
D. równy 9 cm.
54. Kartka papieru ma kształt prostokąta o przekątnej 120 cm. Zginamy ją na cztery równe
części wzdłuż jednego z boków oraz na trzy równe części wzdłuż drugiego boku. Po
takim złożeniu kartki otrzymujemy kwadrat. Krótszy bok tej kartki ma długość
A. 24 cm.
B. 96 cm.
C. 72 cm.
D. 180 2 cm.
55. Wysokość trójkąta ABC o wierzchołkach A(0; 0), B(8; 8), C(3; 6) nie ma długości równej
8 5
3 2
8 3
24 29
A.
B.
C.
D.
29
5
2
3
56. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości odpowiednio równe 4 cm i 2 cm.
Przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na dwa kąty przystające. Pole tego
trapezu jest równe
A. 3cm2
B. 3 3 cm2
C. 3 5 cm2
D. 6 3 cm2
57. Dany jest kwadrat o boku 1. W dwóch sąsiednich wierzchołkach tego
kwadratu umieszczono środki kół o promieniu 1, które nie pokrywają
całego kwadratu. Pole figury zaznaczonej na rysunku jest równe

2
3
1
3

A.
B.  
C.  
D.
3
4
6
3
3
2
58. Naczynie w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 4 cm, 5 cm, 6 cm postawiono na
stole, na jednej ze ścian i nalano wody. Następnie zanurzono pewien przedmiot a poziom
wody w naczyniu podniósł się o 1,5 cm. Objętość zanurzonego przedmiotu nie może
wynosić
A. 45 cm3
B. 40 cm3
C. 36 cm3
D. 30 cm3
.
6
59. Jeżeli x 
A. 12
1
1
 4 , to x 2  2 jest równe
x
x
B. 14
C. 16
D. 18
60. Układ równań 2x + y – 5 = 0
2y + 4x = k
A. k = 0
ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
C. k = – 5
B. k = 5
D. k = 10
5
 3 przyjmuje największą wartość równą
3x  4
2
3
A. 3  2
C. 2  3
B.  2
D.  1
4
7
2
62. Dana jest funkcja o równaniu f (x ) = x + 3. Wartość f(–2) – f( 5 ) jest równa
A. –21
B. –1
C. –7
D. 4 – 5
61. Funkcja f określona wzorem f(x) =
.
2
7