math

1.4
a) I – wyliczyć pochodną funkcji do postaci kwadratowej, II – obliczyć deltę i pierwiastek z niej, III obliczyć x1 i x2
𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 4𝑥 2 − 4𝑥 − 2
𝑓 ′ (𝑥) = 3 ∗ −𝑥 2 + 2 ∗ 4𝑥1 − 1 ∗ 4𝑥 0 − 0
𝑓 ′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 8𝑥 − 4
a = −3
- „a” ujemne czyli ramiona wykresu w dół
b=8
c = −4
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 82 − 4(−3 ∗ −4)
Δ = 64 − 4(12) = 64 − 48 = 16
√Δ = √16 = 4
−𝒃 ± √𝚫
𝟐𝒂
−8 − 4 −12 −2
𝒙𝟏 =
=
=
=2
2(−3)
−6
−1
𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 =
𝒙𝟐 =
−8 + 4
−4 −2 2
=
=
=
2(−3)
−6 −3 3
2
𝑓′(𝑥) ↗= 𝑥 ∈ (3; 2)
2
𝑓 ′ (𝑥) ↘= 𝑥 ∈ (−∞; 3) ∪ 𝑥 ∈ (2; ∞)
b)
1
𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 − 3
1
𝑓 ′ (𝑥) = 3 ∗ −2𝑥 2 + 2 ∗ 2𝑥 + 1
𝑓 ′ (𝑥) = −6𝑥 2 + 𝑥 + 1
𝑎 = −6
- „a” ujemne czyli ramiona wykresu w dół
𝑏=1
𝑐=1
Δ = 1 − 4(−6 ∗ 1) = 1 + 24 = 25
√Δ = √25 = 5
−1 − 5
−6
1
=
=
−12
−12 2
−1 + 5
4
1
𝑥2 =
=
=−
−12
−12
3
𝑥1 =
1 1
𝑓′(𝑥) ↗= 𝑥 ∈ (−3; 2)
1
1
𝑓 ′ (𝑥) ↘= 𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ 𝑥 ∈ (2; ∞)
c) wzór na pochodną ilorazu
𝑥 2 − 2𝑥 + 4
𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑓
′ (𝑥)
(2 ∗ 𝑥 − 1 ∗ 2𝑥 0 ) ∗ (𝑥 − 2) − (𝑥 2 − 2𝑥 + 4) ∗ (1 ∗ 𝑥 0 )
=
(𝑥 − 2)2
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑓
′ (𝑥)
(2𝑥 − 2)(𝑥 − 2) − (𝑥 2 − 2𝑥 + 4)(1)
(𝑥 − 2)2
2𝑥 2 − 4𝑥 − 2𝑥 + 4 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 4
=
(𝑥 − 2)2
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑥 2 − 4𝑥
=0
(𝑥 − 2)2
\∗ (𝑥 − 2)2 − 𝑝𝑜𝑚𝑛𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑒 𝑜𝑏𝑢 𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑧 𝑚𝑖𝑎𝑛𝑜𝑤𝑛𝑖𝑘
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 4) = 0
=>
𝑥 = 0𝑈𝑥 = 4
𝑎=1
𝐷: (𝑥 − 2) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 2
- „a” dodatnie czyli ramiona wykresu w górę
𝑏 = −4
𝑐=0
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = −42 − 4 ∗ 1 ∗ 0 = 16 − 0 = 16
√Δ = √16 = 4
−(−4) − 4 0
= =0
2
2
−(−4) + 4 8
𝑥2 =
= =4
2
2
𝑥1 =
𝑓′(𝑥) ↗= 𝑥 ∈ (−∞; 0) ∪ 𝑥 ∈ (4; ∞)
𝑓 ′ (𝑥) ↘= 𝑥 ∈ (0; 2) ∪ 𝑥 ∈ (2; 4)
d) wzór na pochodną ilorazu
𝑓(𝑥) =
𝑓
′ (𝑥)
𝑥+3
3 + 2𝑥 − 𝑥 2
(1 ∗ 𝑥 0 + 0)(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) − (𝑥 + 3)(0 + 1 ∗ 2𝑥 0 − 2 ∗ 𝑥1 )
=
(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )2
𝑓
′ (𝑥)
(1 ∗ 1)(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) − (𝑥 + 3)(0 + 1 ∗ 2 ∗ 1 − 2 ∗ 𝑥)
=
(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )2
=
=
(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) − (𝑥 + 3)(2 − 2𝑥)
=
3 + 2𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 2𝑥 2 − 6 + 6𝑥
𝑓 ′ (𝑥) =
3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 4𝑥 + 2𝑥 2 − 6)
(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )2
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑥 2 + 6𝑥 − 3
(−𝑥 2 + 2𝑥 + 3)2
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑥 2 + 6𝑥 − 3
=0
(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )2
(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) − (2𝑥 − 2𝑥 2 + 6 − 6𝑥)
=
−3 + 6𝑥 + 𝑥 2
\∗ (3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )2
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 − 3
𝑎=1
𝑏=6
𝑐 = −3
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 62 − 4 ∗ 1 ∗ (−3) = 36 + 12 = 48
√Δ = √48 = 4√3
− − − − 𝑐ℎ𝑦𝑏𝑎 𝑐𝑜ś ź𝑙𝑒 𝑡𝑢 𝑚𝑎𝑚
𝑥1 =
𝑥2 =
−6 − 4√3 −2(3 + 2√3)
=
= −2√3 − 3 ≠ −6,46
2
2
−6+4√3
2
=
2(−3+2√3)
2
= 2√3 − 3 ≈ 0,46