Logika dla informatyków

Logika dla informatyków
Adam Kolany
plan wykładu
[4 godz.] Logika zdaniowa.
• Formuły zdaniowe, wartościowania, tautologie.
• Metody analityczna Smullyana i Gentzena rozstrzygania tautologiczności.
• Alternatywowe (DNF) i koniunkcyjne (KNF) postacie normalne.
• Reguła rezolucji zdaniowej.
• Aksjomatyka KRZ.
• Dedukcja naturalna.
[2 godz.] Rachunek predykatów I-go rzędu.
• Aksjomatyka rachunku predykatów.
• Preneksyjna Postać Normalna (PNF), matryca PNF.
• Twierdzenie Herbranda, uniwersum Herbranda.
• Rezolucja kwantyfikatorowa, unifikacja.
[4 godz.] Elementy teorii mnogości.
• Aksjomaty ekstensjonalności, pary, sumy, zbioru potęgowego, nieskończoności
i regularności.
• Schematy aksjomatów wycinania i zastępowania.
• Aksjomat wyboru.
• Suma, przekrój rodziny zbiorów; Para, trójka, n-tka nieuporządkowana i uporządkowana; Relacje i funkcje; Obrazy i przeciwobrazy zbiorów poprzez relacje
i funkcje; Rodziny indeksowane, działania uogólnione; Produkt rodziny indeksowanej.
[2 godz.] Liczby naturalne.
• Zasada indukcji matematycznej.
• Twierdzenia o rekursji.
• Arytmetyka Peano.
• Zasady równoważne zasadzie indukcji:
zasady minimum i maksimum; zasada pudełkowa (gołębnika);
zasada uniformizacji, . . ..
• Dzielenie ’z resztą’; relacja przystawania ’modulo’.
• Kodowanie skończonych ciągów:
twierdzenie ’chińskie’ o resztach, funkcja β; funkcja pary.
[2 godz.] Elementy teorii rekursji.
• Funkcje pierwotnie rekurencyjne; µ-operator i funkcje rekurencyjne.
• Obliczalność w sensie Turinga, Gödla i Markova.
• Numery gödlowskie; Twierdzenie Kleene’go o rekursji i twierdzenie S nm .
• Nieobliczalność własności stopu; istnienie funkcji nierekurencyjnych.
1
[2 godz.] Porządki.
• Porządki liniowe; charakteryzacja porządków przeliczalnych.
• Porządki gęste; typ λ.
• Porządki dobre; typy porządkowe ω i ω 1 .
• Indukcja porządkowa; definiowanie przez rekusję porządkową.
[1 godz.] Algebry, homomorfizmy, modele.
• Relacje równoważnościowe, kongruencje.
• Struktury ilorazowe.
[4 godz.] Zbiory liczbowe.
• Liczby całkowite.
• Liczby wymierne.
• Liczby rzeczywiste: konstrukcje Dedekinda i Cantora.
• Liczby p - adyczne.
• Liczby hiperrzeczywiste.
• Pierścienie wielomianów formalnych.
[2 godz.] Kraty i algebry Boole’a.
• Kraty jako porządki; operacje u i t w kracie; kraty rozdzielne; kraty implikacyjne,
algebry Heytinga; kraty komplementarne, algebry Boole’a.
• Filtry pierwsze w kratach; izomorfizm Stone’a.
• Funkcje boolowskie; Zupełność; test Posta.
[1 godz.] Intuicjonistyczna logika zdaniowa.
• Aksjomatyka INT.
• Struktury Kripkego dla INT.
• Twierdzenie o pełności dla INT względem semantyki algebraicznej i kripkowskiej.
[4 godz.] Logika algorytmiczna.
• Język AL: termy i formuły algorytmiczne.
• Aksjomatyka AL. Pojęcie dowodu w systemie logiki algorytmicznej.
• Stan i wykonanie programu; prawdziwość formuły algorytmicznej.
• Twierdzenie o pełności dla logiki algorytmicznej.
• Zastosowanie do dowodzenia poprawności algorytmów.
[2 godz.] Rachunek λ.
• α, β i η redukcja.
• Twierdzenie Churcha-Rosera.
• Operatory punktu stałego.
• Operatory liczb naturalnych; operatory działań na liczbach, etc.; λ-reprezentowalność
funkcji rekurencyjnych.
• Typowany rachunek λ.
• Kombinatory.
30 godzin
2