m mM ddr L r G r rU rF +

WPPT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 8 pt.: Analiza ilościowa i jakościowa wybranych zagadnień fizyki pola grawitacyjnego (PG) dotyczących wyznaczania: a) wektorowych (natężenie) i skalarnych (potencjał) wielkości PG (zastosowanie
twierdzenia Gaussa), b) wartości siły grawitacyjnej, c) energii potencjalnej; pod koniec listy zadania do samodzielnego
rozwiązania. Przypomnienie: Studentka/student jest zobligowana/y do założenia i przynoszenia na zajęcia portfolio, w którym
powinny znaleźć się: wydrukowane tabele wzorów fizycznych i matematycznych, notatki z wykładów, wszystkie listy zadań
itp. Lista nr 8 ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania
zadań dotyczących pola grawitacyjnego z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kompetencji. Brakujące a potrzebne dane
należy samodzielnie znaleźć w tablicach fizycznych lub podręczniku RHW: Masa Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc
3,8·108m, stałą grawitacji 7·10-11m3/kg·s2, odległość Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masa Słońca 2·1030 kg, stała grawitacji
G=6,67ˑ10-11 m3/(kgˑs2); masa Księżyca 7,4·1022 kg, masa komety Halleya 1,4·1014 kg.
46. Na wykładzie 10. pokazano, że natężenie pola grawitacyjnego w punkcie P
(patrz rys. obok) wynosi
że: a) |
|=
/
=
cos . Korzystając z danych na rys. pokaż,
, b) potencjał pola grawitacyjnego
=−
/
.
47. A) Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a.
Wyznacz natężenie i potencjał pola grawitacyjnego w środku jednego z jego boków. B) Trzy identyczne kulki o
masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a. Jaką pracę wykonają siły oddziaływań
grawitacyjnych, a jaką siła zewnętrza przy przesunięciu jednej z kulek do nieskończoności (bez zmiany energii
kinetycznej)?
48. Satelita o masie 50 kg okrąża planetę w 6 h. Planeta przyciąga satelitę siłą 80 N. Ile wynosi promień orbity
a ile masa planety?
49. Korzystając ze stosownych danych wyznacz na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca punkt(y), w którym(ch)
wartość zerową przyjmuje natężenie i potencjał wypadkowego pola grawitacyjnego. Ws-ka: Przyjąć, że masa
Ziemi jest 81 razy większa od masy Księżyca.
50. A) Energia mechaniczna planety A o masie m na orbicie eliptycznej o nieznanej półosi wielkiej a wokół
gwiazdy o masie M >> m wyraża się wzorem Em = –GMm/(2a). Znając m, M, czas T obiegu A wokół gwiazdy,
wyznacz Em.
51. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi 27 dób. Po spaleniu paliwa jądrowego (5·109 lat) Słońce zacznie
początkowo pęcznieć (do rozmiaru promienia orbity ziemskiej 1,5·1011 m), następnie zacznie kurczyć się pod
wpływem grawitacji. Oszacuj promień Słońca, przy którym zacznie się ono rozpadać, jeśli jej obecny promień
wynosi 7·108 m.
52. Na jaką wysokość wzniesie się pocisk wystrzelony pionowo do góry z prędkością (GM/R)1/2 z powierzchni
planety o masie M i promieniu R?
53. Największa odległość komety Halleya od Słońca to L = 35,4 RZS (RZS = 1,5·1011 m − średnia odległość Ziemi
i Słońca), a najmniejsza l = 0,59 RZS. Prędkość liniowa ruchu komety w odległości L jest równa 910 m/s. Ile wynosi
prędkość komety i jej energia mechaniczna, gdy jest najbliżej Słońca? .
54. Wykorzystując prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego wyznacz natężenia pola grawitacyjnego, którego źródłem
jest jednorodna kula o masie M i promieniu R , w punktach odległych od środka kuli r > R, r < R i r = R.
55. (Do portfolio )Tzw. efektywna energia potencjalna (EEP) planety o momencie pędu L poruszającej się w polu
grawitacyjnym Słońca określa wzór U (r ) = −G
mM S
L2
+
, gdzie r oznacza odległość planety od Słońca; dla
r
2mr 2
Ziemi L=2,7 ˑ1040 kgˑm2/s. Czy EEF ma minimum? Pochodna EEP pozwala obliczyć siłę grawitacji działającą na
planetę: F (r ) = −
dU (r )
mM
L2
= −G 2 S +
. Wyznacz wartość r0 dla której F (r0 ) = 0 i porównaj wynik z
dr
r
mr 3
odległością Ziemia-Słońca podawaną w tablicach fizycznych.
W. Salejda
Wrocław, 24 XI 2016
1
2
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania; przyjąć g = 10 m/s .
1. Kulka znajduje się w najwyższym punkcie gładkiej półkuli o promieniu R (rys. obok). Nadano jej
prędkość poziomą v0. Wyznacz miarę kąta ϕ, przy którym kulka oderwie się od powierzchni półkuli.
Odp. cosϕ=2/3 + (v0)2/(3Rg). Dla jakiej prędkości V oderwie się od razu od półkuli?
2. Na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca natężenia pola grawitacyjnego jest równe zeru w
punkcie odległym od środka Ziemi o l = 0.9d, gdzie d jest odległością Ziemia–Księżyc równą 380 00
km. Promień Księżyca RK stanowi 25 % promienia Ziemi RZ = 6400 km; masa Księżyca MK = MZ /81.
Z jaką minimalną prędkością należy wystrzelić rakietę, aby doleciała do Księżyca. Ws-ka: Wystarczy, gdy doleci na odległość l od
Ziemi. Dlaczego?
3. Ciało o masie m spada z wysokości H znacznie większej od promienia Ziemi R. Pokaż, że energia kinetyczna tego w momencie
zderzenia z powierzchnia naszej planety będzie równa mgR.
4. Układ podwójny tworzą gwiazdy o masach 3·1030 kg każda, które krążą wokół wspólnego środka masy po orbitach o promieniach
1011 m. Wyznacz ich prędkości kątowe i liniowe.
5. Ciała o masach m i M znajdujące się w spoczynku, gdy dzieli je ogromna odległość, zaczynają spadać na siebie wzdłuż prostej
pod wpływem wzajemnej grawitacji. Wyznacz prędkości mas, gdy dzieli je odległość d.
6. Dwie identyczne kulki znajdują się na tej samej wysokości. Jedna z nich leży na płaskim poziomym, nieprzewodzącym ciepła
stole, a druga wisi na nieprzewodzącej nici. Obu kulkom dostarczmy tej samej ilości ciepła Q. Która z kul będzie miała wyższą
temperaturę?
7. Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a. Wyznacz natężenie i potencjał
pola grawitacyjnego w środku trójkąta.
8. Ziemia o masie 6·1024 kg porusza się po elipsie wokół Słońca o masie 2·1030 kg. Jej najmniejsza i największa odległość od Słońca
wynoszą odpowiednio 1,49·1011 m i 1,51·1011 m. Wyznacz wartości prędkości Ziemi w tych punktach. Oszacuj całkowitą energię
mechaniczną Ziemi w polu grawitacyjnym Słońca zakładając, że średnia odległość dzielące te obiekty wynosi 1,50·1011 m.
9. Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało pionowo do góry z prędkością v0. Na jaką wysokość wzniesie się to ciało? Jaką powinno
mieć najmniejszą prędkość początkową, aby nie spadło nigdy na Ziemię?
10. Ziemia obiega wokół Słońca po elipsie. Wektor momentu pędu Ziemi nie zależy od czas. Dlaczego?
11. Oszacować prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity są kołowe. Przyjąć: stałą
grawitacji 7·10-11m3/kg·s2, masę Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc 3,8·108m, odległość Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masę
Słońca 2·1030 kg.
12. Wyznaczyć odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego − tj. poruszającego się w płaszczyźnie
równikowej naszej planety − satelity. Przyjąć wartość stałe grawitacji 7·10-11 m3/kg·s2, promień Ziemi 6400 km, przyspieszenie
ziemskie g = 10 m/s2.
13. Gwiazda neutronowa ma masę Słońca i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni tej gwiazdy,
b) ile czasu zajmuje spadek swobodny z wysokości 1 m?
14. SOHO, to kosmiczna obserwatorium monitorujące non-stop Słońce (patrz Solar and Heliosferic Observatory Homepage
http://sohowww.nascom.nasa.gov/) umieszczone w punkcie, gdzie równoważą się siły grawitacji Słońca i Ziemi. W jakiej odległości
od Słońca orbituje SOHO?
15. Oszacować promienie RCz.D Ziemi, Słońca i kuli o masie 55 kg, przy których stałyby się czarnymi dziurami? Ile ważyłoby ciało
znajdujące się w odległości 2·RCz.D od takich obiektów?
16. Wyznacz prędkości ucieczki dla: a) Słońca, b) białego karła (jedna z gwiazd układu potrójnego Syriusza) o masie Słońca
i promieniu 107 m, c) gwiazdy neutronowej o masie Słońca i promieniu 104 m.
17. Obliczyć i porównać ze sobą siły oddziaływań grawitacyjnych: a) Ziemi i Księżyca; b) Słońca i Księżyca; c) Ziemi i Słońca.
Masy: MZ = 6·1024 kg, MK = 7,4·1022 kg, MS = 2·1030 kg; odległości: d Z−K = 3,8·108m, d Z−S = 1,5·1011m; stała grawitacji G = 6,67 ·
10−11 m3/(s2kg).
18. Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznaczyć natężenie i potencjał pola grawitacyjnego: A) Wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej
cienkiej sfery o masie M i promieniu R (rozwiązanie w notatkach do wykładów); B) Powłoki sferycznej o masie M, promieniu
zewnętrznym R i wewnętrznym r; C) Wyznacz natężenie pola grawitacyjnego jednorodnej nieskończenie długiej struny o liniowej
gęstości masy λ.
19. A) Zakładając, że orbita Ziemi jest okręgiem oblicz jej prędkość orbitalną. B) Wyznaczyć energię mechaniczną Ziemi w polu
grawit. Słońca. C) Obliczyć energię mech. Księżyca w polu grawit. Ziemi.
20. Pokazać, że sztuczny satelita okrąża kulistą planetę po orbicie kołowej nisko leżącej nad powierzchnią planety w czasie T =
[Gρ/(3π)]1/2, gdzie ρ — średnia gęstość masy planety.
21. Satelita znajduje się na kołowej orbicie okołoziemskiej. Jak zależy od promienia r orbity: A) Okres obiegu; B) Energia kinetyczna
satelity; C) Jego moment pędu i prędkość w ruchu po orbicie.
22. Pokazać, że przyspieszenie grawitacyjne aD na dnie wydrążonego w Ziemi pionowego szybu o głębokości D wynosi aD = g(1 −
D/RZ), gdzie R–promień Ziemi.
W. Salejda
Wrocław, 24 XI 2016
2