Elektryczny moment kwadrupolowy

Elementy Fizyki Jądrowej
Wykład 2 – własności jąder atomowych
deuter
1 H
1
- wodór
2
- deuter
3
- tryt
1H
1H
md = 1875 MeV < mp + mp = 1878 MeV
m  3 MeV
słabo związany układ dwóch nukleonów
Energia wiązania
EB/A
[MeV]
10
8
6
4
2
50
100
150
200
250
A
Energia potencjalna układu związanego jest ujemna
stabilność
A
200
150
100
50
2
4
6
8
10
najsilniej związane
(6228Ni, Fe)
rozpady ,
rozszczepienie
250
fuzja
[MeV]
EB/A
liczby magiczne
EB/A
[MeV]
10
2
8
20
28
50
82
126
8
N=28
6
Z=8
N=8
4
2
Z=28
N=50
N=82
Z=50
Z=82
N=126
Z=20
N=20
Z=2
N=2
50
100
150
200
250
A
Kształt jąder
a / b < 1.17
R p  Rn
?
naskórek neutronowy
Gęstość jądrowa
R  r0 A1 / 3
r0  1.2 fm
RPb  7.1 fm
prawie stała gęstość
dyfuzyjna granica
208Pb
(eksperyment)
rozkład Fermiego
A > 40
 r  
0
1  exp
rR
a
R – promień połówkowy
a – parametr rozmycia
t = (4ln3)a – grubość
warstwy powierzchniowej
t  2.4 fm
  r dv  A
gęstość
średni promień kwadratowy (rms):
r  r dv


  r dv
2
r
2
Spin
Spin – własny moment pędu
•własność kwantowa

•przybiera wartości równe wielokrotności
2
•wyrażamy w jednostkach  :
1 3 5
s  1, , ,
2 2 2
Spin
Ustawienie wektora spinu nie jest dowolne
– kwantyzacja przestrzenna

Liczba stanów (możliwych ustawień) wektora spinu s :
2s 1
Np. dla s = ½ liczba stanów = 2
dla s = 1 liczba stanów = 3
Bozony i fermiony
Bozony – cząstki o spinie całkowitym (0, 1, 2, 3,…)
np. fotony, bozony W i Z
Fermiony – cząstki o spinie ułamkowym (1/2 , 3/2 , 5/2,…
np. elektrony, protony, neutrony
Fermiony podlegają zakazowi Pauliego:
Dwa fermiony nie mogą znajdować się
w tym samym stanie kwantowym
Spin jądra
Spin jądra jest sumą wektorową spinów poszczególnych
nukleonów oraz ich momentów orbitalnych.
•Spiny jąder zawierających parzystą liczbę nukleonów
są całkowite (równe są całkowitej wielokrotności
stałej Plancka)
• Spiny jąder, w których liczba protonów jak i liczba
neutronów jest podzielna przez dwa, tzn. obie liczby
są parzyste - są równe zeru.
•Spiny jąder o nieparzystej liczbie nukleonów są
połówkowe (równe są nieparzystej wielokrotności
połowy stałej Plancka)
Całkowity moment pędu
Całkowity moment pędu zachowany w każdym
procesie jest równy sumie (wektorowej) spinów
i orbitalnych momentów pędów.




np. dla 2 cząstek: J  s1  s 2  l 12
…więc ten spin musi
być połówkowy
Przykład: rozpad 
A
Z
X Z 1 X  e ?
Ta sama wartość A - oba spiny
połówkowe lub oba całkowite.
A

wykluczony kwant 
spin = ½
Moment magnetyczny

masa
ładunek
częstość
promień

  IS

S
I
m
q

R
stosunek
giroskopowy
2
q


R
q
moment magnetyczny:   R

2
2
2
moment pędu:
J  m R
2
e

J
2m
Momenty magnetyczne jąder
e
e 
2m e
p = 2.8 0
n = - 1.9 0
e
0 
2m p
momenty jąder:
magneton
jądrowy
J=0
=0
J = 1, 2...
>0
J = 1/2, 3/2... różnie
Spiny jąder
• spin:
parzyste
nieparzyste
parz.parz.
niep.niep.
J=7
Kompensowanie
(dwójkowanie) spinów
J=0
J = 1, 2, ... 7
J = 1/2, 3/2, ... 9/2
176Lu
200Bi
Kompensowanie spinów
H
2
1
s
 sn  s p 
2
1H
1 1
 1
2 2
 H  n  p  2,8 0 1,9 0  0,9 0
2
1
H
s
3
1


3
1H
3
1H
p n
1
 sn  sn  s p 
2
 n  n  p  3 0
bo trzeba uwzględnić również orbitalny moment pędu
p n n
Kompensowanie spinów
He
3
2
s

He
4
2
3
2 He
3
2H
 sn  s p  s p 
1
2
 n  p  p  2,10
s

4
2 He
4
2 He
p p n
0
0
n n p p
Parzystość
Parzystość
2
H 
2mi
 2
2
2 
 2  2  2   U x i , y i , z i 
y i
z i 
 x i
hamiltonian symetryczny względem
inwersji współrzędnych przestrzennych:
x i  x i , y i  y i , z i  z i ,
…więc funkcja falowa będąca
rozwiązaniem równania Schrödingera
też będzie symetryczna
Parzystość
Prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki w danym punkcie nie zależy
od układu współrzędnych…
z
y
x
2
…prawoskrętnego
z
y
 x , y , z     x ,y ,z 
2
(  x , y ,z    x , y , z 
x
+ lub -
…czy lewoskrętnego
dwa rodzaje funkcji falowej
Parzystość
funkcje parzyste:
(  x , y ,z    x , y , z 
P=1
funkcje nieparzyste:
(  x , y ,z    x , y , z 
P=0
Parzystość
Jądro w modelu powłokowym to układ
nieoddziałujących nukleonów poruszających się
w uśrednionym polu potencjalnym.
Parzystość jądra:
P   1
li
li – orbitalna liczba kwantowa określająca
ruch orbitalny i – tego nukleonu wokół
wspólnego środka masy
np. 3 Li ma 4 nukleony w stanie s (l = 0) i 3 w stanie p (l = 1).
Parzystość jądra w stanie podstawowym =  13  1
7
Spin i parzystość
3,37 MeV
2+
0+
Spiny i parzystości stanu podstawowego
i stanu wzbudzonego jądra 10Be
W oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych
parzystość jest zachowana.
Elektryczny moment kwadrupolowy
zlokalizowany układ ładunków:

 r  

r
1
4 0

i
qi
 
r  ri
szereg Taylora:

ri
qi

1
1
 r    q i  2
r i
r

1
q
r
e

 i i r r 3  
i
moment dipolowy
moment monopolowy
moment kwadrupolowy
Multipole
Q0   q i
i

Q1 

q
r
 ii
moment monopolowy
- skalar
moment dipolowy
- wektor
i
 x 2q
i
i

i
Qˆ 2    x i y i q i
 i
 xzq
i i i
 
i
~
 y i qi
i
 y i zi qi
2
i


~ 

2
z
 i q i 
i
~
moment kwadrupolowy - tensor symetryczny
Symetryczny rozkład ładunku
jeśli rozkład ładunków jest symetryczny względem osi z:

Q1  0,0,Q1 
Q2 xx

ˆ
Q2  


Q2
xx



zz
Q2 
diagonalny
Ciągły rozkład ładunku
moment kwadrupolowy względem osi symetrii:
Q2 
2
2

q
3
z

r
 i i i
i
a w przypadku symetrii sferycznej
Q2 = 0
Q2 jest miarą odstępstwa od sferyczności
Q0    dv
rozkład ciągły ładunków:
Q1   z dv
Q2 
   x, y , z 
- gęstość ładunku
 3z
2
 r 2  dv
Przykład
elipsoida obrotowa o jednorodnej gęstości ładunku:
b
a
Q2 
 3z
2
ab
R
2
2b  a 

ba
 r 2 dv 
4
Q0 R 2
5
średni promień
parametr kształtu
<0
Q2 < 0
>0
Q2 > 0
Momenty kwadrupolowe jąder
jądra o magicznej liczbie Z lub N : Q2 = 0 (jądra sferyczne)
Momenty kwadrupolowe jąder
w przedziale między dwiema liczbami magicznymi jądro przybiera kształt:
Moment kwadrupolowy deuteronu
dodatnia wartość momentu kwadrupolowego
Q2 > 0
rozkład ładunku rozciągnięty wzdłuż osi
pokrywającej się ze spinem jądra
Największa wartość sił jądrowych, gdy spiny nukleonów
równoległe do osi deuteronu.
Niecentralny charakter sił jądrowych – zależą nie tylko od
odległości między nukleonami, a również od wzajemnej
orientacji spinów.
Siły jądrowe
• dwuciałowe
• przyciągające 
EB
 
0
A
Siły jądrowe
• silne
  7 MeV
He: energia wiązania na nukleon:
energia oddz. elektrom. na nukleon:
e2
 0.7 MeV
r
• wysycone
EB  A
a nie:
E B  A2
każdy nukleon oddziałuje tylko z najbliższymi sąsiadami
Siły jądrowe
• krótkozasięgowe
 do 2 fm
• zależne od spinu
Jądro 2H - największa wartość sił jądrowych, gdy
spiny nukleonów równoległe do osi deuteronu.
Siły jądrowe nie są siłami centralnymi.
Siły jądrowe
• niezależne ładunkowo
Energie wiązania jąder zwierciadlanych są
równe z dokładnością do poprawki na energie
oddziaływania kulombowskiego.
E B  3 H   E B  3 He   0.7 MeV
Oddziaływanie jądrowe każdej pary nukleonów jest jednakowe:
n n  p  p  n  p
Izospin
Izospin nukleonu: ½ (dublet izospinowy)
T3 (p) = 1/2
T3 (n) = -1/2
Ładunek: Q=T3 +1/2