Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I

AUTOMATYKA
i
ROBOTYKA
(wykład 4)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt bezinercyjny
Przykład fizyczny.
Schemat równoważni:
x(t)
y(t)
a
b
ys  b
ay t   bxt   Gs  

xs  a
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny I rzędu
Przykład fizyczny.
i(t)
Schemat dwójnika RC:
R
y(t)
u(t)
C
Zakładamy, że sygnałem sterującym jest napięcie zasilające u(t), a sygnałem
wyjściowym – spadek napięcia na kondensatorze y(t)
u (t )  Ri t   y t 
dy t 
dy
i it   C
 u t   RC
 y t 
dt
dt
Po przekształceniu w dziedzinie zmiennej zespolonej otrzymujemy:
Y ( s)
1
G( s) 

U ( s) RCs  1
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny II rzędu
Przykład fizyczny.
Schemat procesu mieszania w zbiornikach:
Roztwór o natężeniu objętościowym  i stężeniu 
przechodzi przez dwa zbiorniki – mieszalniki o
objętościach c1 oraz c2.
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny II rzędu
Jeżeli przyjmiemy całkowite wymieszanie, to dla stężeń 1 oraz 2 w
poszczególnych zbiornikach możemy sformułować następujące
równania bilansowe:
d

1      
C
2
1
 1 dt

C d 2      
2
 2 dt
Przyjmujemy, że sygnałem wyjściowym jest stężenie w drugim
zbiorniku 1. Sygnałem wejściowym stężenie zadane .
Po przekształceniach
otrzymamy:
i
transformacji
 s 
otrzymanego
1
G s  

1s   C1
 C 2

s  1
 s  1

 

równania
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny n-tego rzędu
k
G(s) 
(T1s  1)...(Tn s  1)
Gdzie:
k – współczynnik wzmocnienia
T1 … Tn – stałe czasowe.
y(t)
k
1
2 3
4
Charakterystyki czasowe
u(t)=1(t)
czas
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny n-tego rzędu
Q(ω)
Charakterystyki
amplitudowo-fazowe :
 
ω=0
k P(ω)
1
2
3
4
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt różniczkujący rzeczywisty
Transmitancja obiektu:
gdzie:
T – czas różniczkowania,
k – współczynnik wzmocnienia
Charakterystyka czasowa:
y(t)
G( s) 
Ts
T
s 1
k
A  Tk t
y (t )  L Y ( s )  ke
T
1
Ak
T
T/k
t
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt różniczkujący rzeczywisty
G ( j ) 
j T
j
P ( ) 
T 1
k

 k
2
T
1   
k
jT 1  j T
 2T 2
 
2

T
k 1  

k


Q( ) 
Q( )
T
 
2
T
1 
k
kTd/T P(w)
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt różniczkujący rzeczywisty
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.
T
20logM(ω)
M ( ) 
 k 
1
20log(Td/T)
 
2
T

k
  ar ctg 

 T 
+20dB/dekadę
Φ(ω)
/2
/4
ω=1/T
ω
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt różniczkujący rzeczywisty
Przykład fizyczny.
i(t)
Schemat dwójnika RC:
u(t)
u (t )  uc t   y t 
C
R
duc t 
y t 
1
i i t  
i t  
 u t  
R
dt
RC
Y ( s)
R
RCs
G( s) 


1  R 1  RCs
U ( s)
Cs
y(t)
 yt dt  yt 
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący idealny
Transmitancja obiektu:
gdzie:
1
G (s) 
Ti s
Ti – czas całkowania.
1 1  1
y(t )  L     t
 s Ti s  Ti
1
y(t)
y(t)
u(t)=1(t)
1
Ti
Charakterystyka czasowa
czas
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący idealny
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa :
P ( )  0
1
Q ( )  
T
Q(ω)
1
G ( j )   j
T
 
ω=0
P(ω)
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący idealny
20logM(ω)
1
M ( ) 
T
-20dB/dekadę
L   20 log M ()  20 log T
Φ(ω)
-/2

 ( )  
2
ω
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.
Podstawowe człony dynamiczne
Logarytm modułu jest najczęściej mierzony w decybelach
[dB], przy czym 1 dB jest równy 20 log M().
Charakterystyka częstotliwościowa logarytmiczna jest więc
linią prostą o ujemnym nachyleniu. Nachylenie tej
charakterystyki możemy łatwo obliczyć: załóżmy na
początku, że rozważamy dwie wartości pulsacji, powiązane z
sobą następująco: 1 =  , 2 = 101.
Wtedy –(20log2T-20log1T) = -20 ( log101T - log1T )
= -20( 1 + log1T - log1T ) = -20dB. Zmianę częstotliwości
w stosunku 1 : 10 nazywamy dekadą. Stąd mówimy, że
nachylenie charakterystyki wynosi –20 dB/dekadę.
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący idealny
Przykład fizyczny.
Jako przykład fizyczny obiektu całkującego rozważmy zbiornik o
stałym polu przekroju równym S, z wymuszonym dopływem i
odpływem. Załóżmy, że natężenie dopływu jest równe Fd. Oznaczmy
gęstość cieczy w zbiorniku przez  , a poziom cieczy przez h. Wtedy
na podstawie bilansu masy możemy zapisać równanie stanu tego
systemu:
S
Fd
h
dh
S
 Fd
dt
hs 
1
G s  

Fd s  S s
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący z inercją I rzędu
kv
G(s) 
s (Ts  1)
Transmitancja obiektu:
gdzie:
T – stała czasowa,
kv - współczynnik wzmocnienia
prędkościowego .
y(t)
t



y (t )  Akv t  AkvT 1  e T


arctg k v
0
T
Charakterystyka czasowa
t





Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący z inercją I rzędu
kv
G ( j ) 
j ( jT  1)
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa :
Nyquist Diagrams
150
Imaginary Axis
100
50
0
kT
-50
-100
-150
-6
-4
-2
0
Real Axis
2
4
6
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący z inercją I rzędu
20logM(ω)
-20dB/dekadę
-40dB/dekadę
Φ(ω)
ω=1/T
ω
-/2
-
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący z inercją I rzędu
Przykład fizyczny.
Przykładem obiektu całkującego z inercją jest silnik prądu stałego
przy założeniu, że zbiornik energii pola magnetycznego (
indukcyjność uzwojeń ) jest pomijalnie mały w porównaniu ze
zbiornikiem energii kinetycznej ruchu obrotowego ( wirujące masy ).
Wtedy, przyjmując że prąd wzbudzenia jest stały i żadne opory ruchu
nie występują otrzymujemy następujący schemat:
i
R
Schemat silnika prądu stałego:
u(t))
(t)
e
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący z inercją I rzędu
Przyjmujemy, że sygnałem wejściowym jest napięcie zasilania u(t), a sygnałem wyjściowy – kąt
obrotu wału (t) Zakładamy, że:
e  k e (t )  k e
M  ki i
u  iR  e
Równanie silnika można zapisać w następującej
postaci:
Po przeprowadzeniu transformacji Laplace’a
otrzymujemy:
d

 M  ki i
dt
U ( s)  I ( s) R  E ( s)  I ( s) R  k e s( s)
s 2 ( s)  ki I ( s)
Definiując transmitancję
jako:
Otrzymujemy:
G( s) 
( s)
G( s) 
U ( s)
R
ki ke
1
ke
s2  s
s 2 ( s)  ki
1 U ( s )  k s( s ) 
e
R
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt oscylacyjny
Transmitancja obiektu:
gdzie:
k – współczynnik wzmocnienia,
k
G( s)  2 2
T0 s  2T0 s  1
T0 – okres drgań własnych,
 - współczynnik tłumienia .
Warunek wystąpienia oscylacji:
 <1
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt oscylacyjny


 t
T0
 1  2



1
k
e
y (t )  L1   2 2
sin 
  k 1(t ) 
 T0
1  2
 s T0 s  2T0 s  1



y(t)
1
u(t)=1(t)
Charakterystyka czasowa
czas


t 



Podstawowe człony dynamiczne
obiekt oscylacyjny
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa :
Q(ω)
 
ω=0
k P(ω)
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt oscylacyjny
20logM(ω)
 0
20log(k)
-20dB/dekadę
Φ(ω)
ω=1/T
0
-/2
-
ω
Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy
Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę
wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do
ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest
przesunięcie trzpienia x.
p z(t)
A
A - powierzchnia membrany,
m - masa części ruchomych (
membrana i trzpień ),
k - stałą sprężystości sprężyny
podpierającej,
R - współczynnik oporów ruchu
części ruchomych.
m
k
R
x(t)
Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy
• Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na
podstawie bilansu sił występujących w nim:
• Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.
Fp(t) = Apz(t)
• Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia
trzpienia
Fs(t)=kx(t)
• Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w
rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do
prędkości:
FR(t)=Rv(t)
• jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem:
Fb(t)=ma(t)
Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy
• Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na
podstawie bilansu sił występujących w nim:
• Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.
Fp(t) = Apz(t)
• Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia
trzpienia
Fs(t)=kx(t)
• Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w
rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do
prędkości:
FR(t)=Rv(t)
• jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem:
Fb(t)=ma(t)
Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy
Bilans sił można zapisać następująco:
Fp = Fs+FR+Fb
Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy:
Wiedząc, że:
Otrzymujemy:
Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t)
v(t )  x (t )
a(t )  v(t )  x(t )
Apz (t )  kx(t )  Rx(t )  mx(t )
Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych
warunków początkowych na x oraz x będzie mieć następującą postać:
APz(s) = kX(s) + RsX(s) +ms2X(s)
Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem –
sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć
postać:
X (s)
A
G ( s) 
Pz ( s )

ms 2  Rs  k
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt opóźniający
Transmitancja obiektu:
G( s)  e  s
gdzie:
 - opóźnienie (czas martwy) obiektu.
Charakterystyka czasowa:
y(t)
 1 s 
y (t )  L   e   1(t   )
s

1
y(t)
1

u(t)=1(t)
czas
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt opóźniający
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa :
G( j )  e  j
Q(ω)
1
1
1
1
P(ω)
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt opóźniający
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.
20logM(ω)
M() = 1
L()=20logM()=0
Φ(ω)
ω
Φ(ω)=- ω
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt opóźniający
Przykład fizyczny.
Z elementami opóźniającymi najczęściej spotykamy się podczas
opisu wszelkiego rodzaju procesów transportu, np. z użyciem
przenośników taśmowych. Rozważamy układ pokazany na rys. 2.28.
Materiał sypki na przenośnik jest podawany w punkcie a, a do
zbiornika podawany jest w punkcie b, odległym od a o długość l.
Taśmociąg jako element opóźniający.
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt opóźniający
W rozważanym układzie możemy zauważyć, że jeśli prędkość przesuwu
taśmy taśmociągu jest stała i równa v, wielkością wejściową w układzie
jest masa materiału podawana na wejście w punkcie a, a wyjściem
układu jest masa podawana do zbiornika w punkcie b to opóźnienie
wnoszone przez ten element jest równe:  = l/v . Jeżeli oznaczymy
masę substancji podawaną w punkcie a przez ma, a masę podawaną
do zbiornika w punkcie b przez mb, to zależność pomiędzy tymi masami
jako funkcja czasu może tu być zapisana w uproszczeniu ( przy
założeniu braku strat po drodze ) następująco:
mb(t) = ma(t-)
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt I rzędu z opóźnieniem
Transmitancja obiektu:
kes
G( s) 
gdzie:
Ts  1
 - opóźnienie (czas martwy) obiektu,
t 
s
k – wzmocnienie obiektu,





1
ke
1
T

y(t )  L  
  k 1(t   )  e
T – stała czasowa obiektu.

 s Ts  1
y(t)
k

y(t)
u(t)=1(t)

T
Charakterystyka czasowa
czas

Podstawowe człony dynamiczne
obiekt I rzędu z opóźnieniem
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa :
Q(ω)
k
P(ω)
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt I rzędu z opóźnieniem
20logM(ω)
20log(k)
-20dB/dekadę
Φ(ω)
ω=1/T
ω
Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.
Modele zastępcze obiektów dynamicznych
Załóżmy, że mamy eksperymentalnie wyznaczoną odpowiedź
skokowa nieznanego obiektu wysokiego rzędu.
y(t)
y(t)
k
u(t)=1(t)
czas
Modele zastępcze obiektów dynamicznych
Budowa poprawnie działającego układu sterowania
nie wymaga znajomości dokładnego modelu
obiektu. W wielu sytuacjach wystarczy model
przybliżony, mający postać np. transmitancji
zastępczej z opóźnieniem.
Model zastępczy Kupfmullera I rzędu:
 s
ke
G( s) 
Ts  1
Identyfikacja parametrów modelu:
Metoda graficzna:
y(t)
y(t)
k
ym(t)
u(t)=1(t)

T
yust
k 
u
czas
Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych
Model zastępczy Kupfmullera II rzędu:
 s
ke
G( s) 
(T1s  1)(T2 s  1)
Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych
Model zastępczy Strejca bez opóźnienia:
k
G (s) 
n
(Tn s  1)
Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych
Model zastępczy Strejca z opóźnieniem:
s
ke
G ( s) 
n
(Tn s  1)