Wykład 5 - Dyspersja światła

Wykład 6 i wykład 7
Dyspersja światła - zależność bezwzględnego współczynnika
załamania światła od częstości fali.
Krótki wstęp dotyczący oddziaływania światła z materią:
Moment dipolowy p = Q l, gdzie Q jest ładunkiem dodatnim a l wektorem łączącym środek
ładunku dodatniego ze środkiem ładunku ujemnego.
Polaryzację ośrodka mierzy wektor polaryzacji P równy liczbowo sumie momentów
dipolowych (p1 +p2 + ... + pN) liczby N elementarnych dipoli podzielonej przez objętość V
ośrodka, w której te dipole się znajdują, dla V dążącego do zera (niewielkiego, ale
zawierającego ciągle ogromną ilość dipoli).
Pytanie: Ile wynosi całkowity ładunek elektryczny dipola ?
1 N
pi

V

0  V
i 1
P  lim
Ważne:
Przyłożenie zewnętrznego pola elektrycznego do układu obojętnych elektrycznie atomów
może spowodować rozsunięcie się środków ładunków jądra atomowego i "chmury"
elektronowej. Powstają wtedy dipole indukowane. Znikają one gdy wyłączymy przyczynę ich
powstania - zewnętrzne pole elektryczne . Możemy mieć w ośrodku również dipole trwałe,
które zewnętrzne pole elektryczne stara się ustawić zgodnie z kierunkiem wektora
elektrycznego.
Światło jest falą elektromagnetyczną. Jeśli fala ta rozprzestrzenia się w ośrodku
dielektrycznym, a więc nieprzewodzącym prądu elektrycznego, czyli takim, gdzie nie ma
elektronów swobodnych wtedy zmienne pole elektryczne oddziałuje na ładunki w
dielektryku. Oddziałuje na te ładunki także pole magnetyczne, ale siła FM  Q v  B związana
z wartością wektora indukcji magnetycznej B pola magnetycznego jest o kilka rzędów
wielkości mniejsza niż siła FE  e E związana z oddziaływaniem na ładunki pola
elektrycznego o natężeniu E. Działanie tego pola powoduje ruch elektronów, ponieważ pole
jest szybkozmienne i protony mają zbyt dużą masę aby mogły na działanie tej siły
zareagować.
Wektor indukcji elektrycznej:
D =  E
(1)
ale jednocześnie
D =  E + P,
gdzie jest względną przenikalnością elektryczną ośrodka.
Wektor polaryzacji jest proporcjonalny do natężenia E zewnętrznego pola elektrycznego
P   0 E ,
gdzie jest współczynnikiem liczbowym zwanym podatnością elektryczną dielektryka.
Porównując oba równania dla wektora indukcji D otrzymamy związek:
(2)
(3)

 E =  E + P =  E +  E,
gdzie dodatkowo wykorzystany został związek polaryzacji ośrodka z wartością pola
zewnętrznego (poprzednie równanie). Stąd wynika, że:
(4)

Bezwzględny współczynnik załamania ośrodka
1
 0 0
c
n 
 
(6)
v
1
 0 0 
co wynika z rozwiązania równania falowego przy użyciu równań Maxwella, przy czym  jest
względną przenikalnością magnetyczną ośrodka i dla dielektryków zachodzi związek   1 .
Wynika stąd, że:
n    1 
(7)
Opis oddziaływania fali z elektronami dielektryka.
Uwaga:
Spróbuj zastanowić się jakiego typu założenia upraszczające są "przemycone" w
przedstawionym poniżej rozumowaniu.
Na ośrodek dielektryczny działa zmienne pole elektryczne
E(r,t)= E0(r) cos (t)
(8)
Wywołuje to polaryzację danego punktu ośrodka opisanego wektorem wodzącym r.
Składowa w kierunku osi x wektora polaryzacji w tym punkcie ośrodka wynosi:
Px=0 [e(r,)Ex(r,t) a(r,)Ex(r,t-/2)]
(9),
gdzie oznacza podatność elastyczną, związaną z ruchem elektronów w fazie z zewnętrzną
siłą wymuszającą, natomiast  oznacza podatność absorpcyjną związaną z ruchem
elektronów w fazie przeciwnej niż faza siły wymuszającej. Ten efekt powoduje pochłanianie
części energii fali przez dielektryk.
W ustalonym punkcie ośrodka otrzymamy dla ustalonego r:
Px=0 [e E0 cos (t -) a E0 sin t -)]
(10) ,
gdzie użyte zostały związki:
Ex(r,t) = E0 cos (t -) Ex(r,t--/2) = E0 sin t -).
Obliczamy teraz jakie siły działają na elektron :
(11)

Siła utrzymująca elektron w pobliżu jądra (o charakterze siły sprężystej)
Fs = - m 2 x
(12),
gdzie m jest masą elektronu, jest częstością kołową drgań swobodnych elektronu, a x
wychyleniem elektronu z położenia równowagi.

Siła o charakterze siły oporu. Jej istnienie wynika z prostego faktu, że elektron wychylony
z położenia równowagi przez działanie okresowej siły o częstości kołowej równej jego
częstości drgań własnych osiągałby nieskończoną amplitudę. Tłumienie wynika z
oddziaływania całej zbiorowości ładunków sąsiadujących z elektronem w dielektryku.
Fb = - m b v
(13) ,
1
b jest tu stałym współczynnikiem o wymiarze .
s
Równanie ruchu elektronu pod działaniem zmiennej siły elektrycznej: e E0 cos (t -). (Patrz
oscylator wymuszony):
m a = - m 2 x - m b v + e E0 cos (t -)
(14)
Jego rozwiązanie ma postać:
x(t) = A1 cos (t -) + A2 sin (t -)
(15)
Uwaga:
Porównaj rozwiązanie opisane wzorem (15) z rozwiązaniem dyskutowanym w semestrze
zimowym - które miało postać:
x(t) = A cos (t -) , gdzie jest przesunięciem fazowym wychylenia względem fazy
siły wymuszającej. Z rozwiązania poprzednio prezentowanego wynika również, że
b
tg( )  2
. (poprzedni współczynnik  = mb w obecnym równaniu)
0   2
Podstawiając (15) z jego pierwszą i drugą pochodną do (14) i porównując współczynniki przy
cos (t -) i sin (t -) otrzymamy wartości A1 i A2 spełniające równanie (14).
eE 0
 02   2
A1 
m  02   2 2  b 2 2
(17)
eE 0
b
m  02   2 2  b 2 2
(18)
A2 
Stąd podstawiając (17) i (18) do (15) otrzymamy:
x(t) 
eE 0
 02   2
eE
b
cos(t   )  0
sin( t   ) (19)
2
m  02   2   b 2 2
m  02   2 2  b 2 2
Korzystając z definicji polaryzacji ośrodka składowa x wektora P równa jest:
Px  n 0 e x(t)
Px  n0
(20)
eE 0
 02   2
eE
b
cos(t   )  n0 0
sin( t   )
2
m  02   2  b 2 2
m  02   2 2  b 2 2




(21)
n0 jest tu liczbą elektronów na jednostkę objętości dielektryka, reszta symboli ma
zdefiniowane poprzednio znaczenie.
Porównanie tego wyrażenia z (10) pozwoli wyznaczyć podatności elastyczną i absorpcyjną

 e  n0
 02   2
e2
m 0  02   2 2  b 2 2
(22)
 a  n0
e2
b
m 0  02   2 2  b 2 2
(23)
Ponieważ współczynnik załamania zależy od podatności według zależności:
n    1 e
stąd otrzymamy współczynnik załamania ośrodka:
n  1  n0
e2
b
2
m 0  0   2 2  b 2 2


(24)
(25)
To jest właśnie poszukiwana zależność dyspersyjna.
Co to jest dyspersja światła - analiza na wykładzie
Dyskusja wyniku (25) na wykładzie
Absorpcja światła
Moc absorbowana przez jeden elektron pod działaniem siły F(t)=eE0 cos (t-) wynosi:
P(t)=F(t)v(t)= eE0 cos (t-)v(t)
Prędkość v(t) elektronu otrzymamy ze znanej wielkości x(t) - zależność (19)
Obliczenia na wykładzie
(26)
Otrzymamy zależność na średnią moc absorbowaną przez elektron:
Pśrednia 
e 2 E02
b 2
2m  02   2 2  b 2 2


(27)
W objętości dSdx jest dN=n0 dSdx elektronów, moc pochłonięta przez tę objętość dielektryka
wynosi:
dP=Pśrednia n0 dSdx
(28)
Z kolei energia absorbowana w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą
do kierunku propagacji fali równa jest elementarnej zmianie natężenia fali :
dP

 dI
(29)
dS
Natomiast fenomenologiczna analiza zjawiska pochłaniania światła pozwala napisać związek:
–dI=Idx
(30)
Zapisz objaśnienie symboli:
Z (29) i (28)
dP
 dI  Pśrednian0 dx
dS
(31)
Wstawienie (30) do (31) daje zależność:

Pśrednia
n0
I
(32)
Po wykorzystaniu zależności (27) otrzymamy:
e 2 E02
b 2
2m  02   2 2  b 2 2

n0
I


(33)
Dodatkowo wiemy, że I jest proporcjonalne do E02, czyli ostatecznie:
I =  E02, tak więc:
n0 e 2
b 2
  2 2m2 2 2 2
0    b 

Jeszcze raz zapisz znaczenie symboli w tym wzorze.
Dyskusja wyniku (34) na wykładzie

(34)