7. Własności relacji binarnych. Relacje równoważności. 1. Zbadaj

wstęp do matematyki
7. Własności relacji binarnych. Relacje równoważności.
1. Zbadaj czy relacja jest: zwrotna, symetryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna.
(a) R ⊂ {a, b}2 ,
R = {(a, a), (b, b), (a, b)}.
(b) R ⊂
{a, b, c, d}2 ,
(c) > ⊂
R2 .
(d) R ⊂ N2 ,
(e) R ⊂
R2 ,
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}.
xRy ⇔ x|y.
xRy ⇔ x2 6= y 2 .
(f) R ⊂ Z2 ,
xRy ⇔ |x| + |y| =
6 3.
(g) R ⊂ R2 ,
xRy ⇔ |x − 2| = |y + 2|.
(h) R ⊂
R2 ,
(i) ⊥ ⊂ X 2 ,
xRy ⇔ x − y ∈ Q.
X = zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie.
(2X )2 ,
(j) R ⊂
X– dowolny zbiór taki, że X 6= ∅, a – ustalony element taki, że a ∈ X,
ARB ⇔ a ∈ A ∪ B.
(k) R ⊂ (2X )2 , X– dowolny zbiór taki, że X 6= ∅, a – ustalony element taki, że a ∈ X,
ARB ⇔ (A = B ∨ a ∈
/ A ∪ B).
(l) R ⊂ (R[t] \ {0})2 ,
f Rg ⇔ f · g jest wielomianem stopnia parzystego.
X 2,
(m) R ⊂
X = {(x, y) ∈ R2 ; |x| 6 1 ∧ |y| 6 1},
0
(x, y)R(x , y 0 ) ⇔ [(x, y) = (x0 , y 0 )] ∨ [{x, x0 } = {0, 1} ∧ y = y 0 ].
2. Przedstaw za pomocą diagramów (grafów) następujące relacje określone na zbiorach skończonych
(a) R ⊂ A2 ,
A = {0, 1, 2}, xRy ⇔ x < y,
(b) R ⊂
A2 ,
A = {1, 2, 3, 4}, xRy ⇔ 2|x + y,
(c) R ⊂
A2 ,
A = {1, 2, . . . , 10}, xRy ⇔ (x|y ∧ x 6= y).
Jakie własności mają diagramy relacji, które są zwrotne, symetryczne, przechodnie, antysymetryczne, spójne?
3. Dla danego zbioru X oraz relacji R ⊂ X 2 wykaż, że R jest relacją równoważności, a następnie znajdź
zbiór ilorazowy X/R (tzn. zbiór wszystkich klas abstrakcji elementów X).
(a) X = N, nRm ⇔ 2|n + m.
(b) X = N, xRy ⇔ k|x − y, k – ustalona liczba taka, że k ∈ N>2 .
(c) X = R, xRy ⇔ x − y ∈ Z.
(d) X = zbiór liczb parzystych, xRy ⇔ 3|x − y.
(e) X = N20 , (r, s)R(t, u) ⇔ r + u = s + t.
(f) X = {1, 2, . . . , 16}, xRy ⇔ 4|x2 − y 2 .
(g) X = zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie, aRb ⇔ a k b.
(h) X = zbiór macierzy rzeczywistych wymiaru 2 × 2, ARB ⇔ det A = det B.
(i) X = zbiór wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach wymiernych,
(xn )n R(yn )n ⇔ lim xn = lim yn .
n→∞
n→∞
4. Niech R1 , R2 ⊂ X 2 będą równoważnościami. Czy relacje R1 ∩ R2 , R1 ∪ R2 , X 2 \R1 są równoważnościami? Jeśli tak, to opisz klasy abstrakcji w zależności od klas abstrakcji względem R1 i R2 .
1
wstęp do matematyki
5. Udowodnij, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między rodziną wszystkich podziałów
zbioru A na parami rozłączne i niepuste podzbiory a rodziną wszystkich relacji równoważności na
A.
Uwaga. Rodzinę {Ai }i∈I nazywamy podziałem A, jeśli
S
Ai = A oraz zbiory Ai są niepuste i parami
i∈I
rozłączne.
6. Udowodnij, że R jest relacją równoważności na
i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina
S zbiorze A wtedy
S
P parami rozłącznych zbiorów taka, że R =
C ×C i
C = A.
C∈P
C∈P
7. Znajdź relacje równoważności wyznaczone przez następujące podziały zbioru X
(a) X = R, P = {[n, n + 1); n ∈ Z},
(b) X = Z, P = {zbiór liczb parzystych, zbiór liczb nieparzystych},
(c) X = R2 , P = {Pn ; n ∈ N}, Pn = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = n2 },
(d) X = R2 , P = {A0 , AI , AII , AIII , AIV },
A0 = {(x, y) ∈ R2 ; xy = 0},
AI = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0},
AII = {(x, y) ∈ R2 ; x < 0, y > 0},
AIII = {(x, y) ∈ R2 ; x < 0, y < 0},
AIV = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y < 0}.
8.∗∗ Dla Zbioru X ⊆ R oraz liczby a ∈ R niech X + a oznacza przesunięcie zbioru X o liczbę a, tzn.
X + a = {a + x; x ∈ X}. Określmy relację ∼∞ w zbiorze 2R następująco: A ∼∞ B wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieją ciągi: (An )n∈N podzbiorów zbioru A i (Bn )n∈N podzbiorów zbioru B oraz ciąg
(qn )n∈N liczb wymiernych takie, że
(1) ∀n,m∈N [n 6= m ⇒ (An ∩ Am = ∅ ∧ Bn ∩ Bm = ∅)],
S
S
(2) A =
An i B =
Bn ,
n∈N
n∈N
(3) ∀n∈N Bn = An + qn .
Innymi słowy, A ∼∞ B wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A można podzielić na przeliczalnie wiele
podzbiorów, których pewne przesunięcia o liczby wymierne tworzą podział zbioru B.
(a) Udowodnij, że ∼∞ jest relacją równoważności w zbiorze 2R ,
(b) Zbiór S ⊆ R nazywamy zbiorem Vitaliego, jeśli ma on dokładnie jeden element wspólny z każdą
klasą abstrakcji relacji równoważności ≡, określonej następująco:
x ≡ y ⇔ x − y ∈ Q,
x, y ∈ R.
Udowodnij, że S jest zbiorem Vitaliego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
(1) ∀x∈R ∃q∈Q x + q ∈ S,
(2) ∀s1 ,s2 ∈S (s1 6= s2 ⇒ s1 ∈
/ Q + s2 ).
(c) Udowodnij, że jeśli S jest zbiorem Vitaliego i A, B ⊆ S, to A 6= B ⇒ A ∞ B.
(d) Udowodnij, że jeśli S1 i S2 są dowolnymi zbiorami Vitaliego, to S1 ∼∞ S2 .
(e) Udowodnij, że dowolny przedział otwarty jest sumą pewnej przeliczalnej rodziny parami rozłącznych zbiorów Vitaliego.
(f) Udowodnij, że jeśli I jest dowolnym przedziałem otwartym, to I ∼∞ R.
2