matematyka klucz odpowiedzi

SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ ETAPU WOJEWÓDZKIEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO 2003/2004
Za każde inne niż w schemacie, poprawne i pełne rozwiązanie, przyznajemy maksymalną liczbę punktów za zadanie.
Poprawne rozwiązanie
Nr
L.
zadania pkt.
1.
4 p. Obliczenie zarobków:
x – zarobki najstarszego
2
x + 75%x +
 75%x = 7200
3
x = 3200 (zł) – zarobki najstarszego
75%  3200 = 2400 (zł) – zarobki Czarka
2
 2400 = 1600 (zł) – zarobki bankiera
3
Obliczenie liczby lat każdego z panów:
2y + 3y + 4y = 108
y = 12
2 y = 24 – wiek najmłodszego
3y = 36 – wiek środkowego
4y = 48 – wiek najstarszego
wiek
zarobki
imię
zawód
2.
Zasady przyznawania punktów
24
2400 (zł)
Czarek
lekarz
36
1600 (zł)
Adam
bankier
48
3200 (zł)
Bartek
architekt
4 p. Przekształcenie wyrażenia:
2  2 2  ...  2 99  2100 (2  2 2 )  (2 3  2 4 )  ...  (2 99  2100 )
=
= ... =
1 2  3
1 2  3
=1 + 22 + .... + 298
Otrzymana liczba 1 + 22 + .... + 298 jest liczbą całkowitą.
Strona 1 z 4
metoda wyznaczenia zarobków
1 p.
metoda obliczenia wieku
1 p.
poprawne obliczenia zarobku i wieku
1 p.
ustalenie imion, zawodów, wieku i
zarobków każdego z mężczyzn
1 p.
pogrupowanie składników sumy
1 p.
wyłączenie z każdej sumy wspólnego
czynnika przed nawias
1 p.
3.
4.
5.
5 p. Zapisanie liczby po zwiększeniu o p%:
p
a + p% a = (1 +
)a
100
Zapisanie i uproszczenie otrzymanej liczby po zmniejszeniu o p%:
p
p
p
p
p
p2
(1 +
)a – p%(1 +
)a = (1 +
)a – (
+
)a = a +
a
100
100
100
100 10000
100
p2
p
p2
p2
p2
–
a–
a=a–
a = a – 100 a = a –
%a
100
100
10000
10000
100
p2
Otrzymana liczba jest o
% mniejsza od liczby a.
100
doprowadzenie do postaci 1 + 22 + .... +
298
stwierdzenie, że otrzymana liczba jest
całkowita
zapisanie liczby a po zwiększeniu o p%
zapisanie liczby (1 +
p
)a po
100
1 p.
1 p.
1 p.
1 p.
zmniejszeniu o p%
doprowadzenie otrzymanej liczby
do najprostszej postaci
1 p.
wyznaczenie, o ile procent zmieni się
liczba a
sformułowanie wniosku, że liczba
zmniejszyła się
1 p.
4 p. x – długość pociągu
x
- prędkość pociągu
4
x  60
– prędkość pociągu
7
x
x  60
=
4
7
x = 80 (m)
Odp: Długość pociągu wynosiła 80 metrów.
analiza zadania
1 p.
ułożenie równania
1 p.
rozwiązanie równania
1 p.
zapisanie poprawnej odpowiedzi
1 p.
3 p.  xy  z 2  1

x  y  2
Z pierwszego równania wynika, że xy > 0.
Zatem liczby x i y muszą być obie dodatnie lub obie ujemne.
uzasadnienie, że xy > 0
1 p.
sformułowanie wniosku, że liczby x i y są
tego samego znaku
1 p.
Strona 2 z 4
1 p.
Skoro x + y = 2, a liczby x i y są całkowite, to x = 1, y = 1.
Zatem z = 0.
Trzy liczby całkowite spełniające układ równań to x = 1, y = 1 i z = 0.
6.
3 p.
2vt
4m
3 p.
C
a
z
y
1 p.
zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
1 p.
rozwiązanie równania (obliczenie
wysokości topoli)
1 p.
wykonanie rysunku z oznaczeniami
1 p.
zapisanie zależności dotyczącej pól
trójkątów
1 p.
wyznaczenie sumy odcinków x, y, z
1 p.
a
P
x
A
wykonanie rysunku z oznaczeniami
8m
(vt)2 = 32 + 42
i
(2vt)2 = 82 + x2
Zatem x = 6 (m)
Odp: Wysokość topoli jest równa 6 m.
7.
1 p.
x
vt
3m
wyznaczenie liczb całkowitych x, y, z
spełniających układ równań
a
B
PABC = PABP + PAPC + PBPC
a2 3
1
1
1
= ax + ay + az
2
2
2
4
a 3
x + y +z =
2
Strona 3 z 4
8.
4 p.
C
D
O
A
E
F
sporządzenie rysunku z oznaczeniami
1 p.
uzasadnienie, że kąt ABD ma miarę 45
1 p.


B
Trójkąty ABO i CDO są prostokątne i równoramienne, zatem ich kąty ostre uzasadnienie, że trójkąt DEB jest
równoramienny
mają miary 45.
W szczególności kąt ABD ma 45. Wynika stąd, że trójkąt DEB jest
trójkątem prostokątnym równoramiennym. Zatem EB = ED = h.
Pole trapezu ABCD jest równe polu kwadratu EBFD, zatem
PABCD = PEBFD = h2
9.
4 p. Wiadomo, że V = Pc walca. Zatem
r2H = 2r2 + 2rH
rH = 2(r +H)
rH
=2
rH
Promień podstawy i wysokość walca są liczbami całkowitymi. Zatem są
trzy pary liczb spełniające warunki zadania:
r=3iH=6
r=6iH=3
r=4iH=4
Strona 4 z 4
1 p.
uzasadnienie, że pole trapezu jest równe
polu kwadratu o boku h i zapisanie jego
pola
1 p.
zapisanie za pomocą wzorów równości
objętości i pola powierzchni całkowitej
walca
1 p.
przekształcenie równości do prostszej
postaci
1 p.
wyznaczenie wszystkich par liczb
całkowitych równych promieniowi
i wysokości walca
Jeśli uczeń poda tylko jedną lub dwie pary
liczb, to otrzymuje 1 p
2 p.